B 概率統(tǒng)計(jì)Ch7 參數(shù)估計(jì)part2

1、 思想方法：一次試驗(yàn)就出現(xiàn)的 事件有較大的概率 例如: 有兩外形相同的箱子,各裝10個(gè)球 第一箱 9個(gè)白球 1 個(gè)紅球 第二箱 1 個(gè)白球 9個(gè)紅球現(xiàn)從兩箱中任取一箱, 并從箱中任取一球,結(jié)果所取得的球是白球.答: 9/10.試估計(jì)所取箱中的白球比例。2. 極大似然估計(jì)1 原則： 以樣本X1,X2, . Xn的觀測(cè)值x1, . xn來估計(jì)參數(shù) 若選取 使觀測(cè)值出現(xiàn)的概率最大, 把 作為參數(shù) 的估計(jì)量。極大似然估計(jì)法2第七章 參數(shù)估計(jì) 2 極大似然估計(jì)記：發(fā)生的概率為：3第七章 參數(shù)估計(jì) 2 極大似然估計(jì)4第七章 參數(shù)估計(jì) 2 極大似然估計(jì)5第七章 參數(shù)估計(jì) 2 極大似然估計(jì)6第七章 參數(shù)估計(jì)

2、2 極大似然估計(jì)7第七章 參數(shù)估計(jì) 2 極大似然估計(jì)（似然方程組）（對(duì)數(shù)似然方程組）8試求參數(shù)p的極大似然估計(jì)量。故似然函數(shù)為第七章 參數(shù)估計(jì) 2 極大似然估計(jì)9與矩估計(jì)量相同。第七章 參數(shù)估計(jì) 2 極大似然估計(jì)1011似然函數(shù)為：第七章 參數(shù)估計(jì) 2 極大似然估計(jì)11第七章 參數(shù)估計(jì) 2 極大似然估計(jì)12 極大似然估計(jì)的不變性設(shè) 是 的極大似然估計(jì), u=u( )是 的函數(shù), 且有單值反函數(shù)： = (u), 則 是 u( ) 的極大似然估計(jì). 13第七章 參數(shù)估計(jì) 2 極大似然估計(jì)14第七章 參數(shù)估計(jì) 2 極大似然估計(jì)15第七章 參數(shù)估計(jì) 2 極大似然估計(jì)16X的概率密度為：第七章 參數(shù)估計(jì)

3、 2 極大似然估計(jì)矩估計(jì)：17似然方程組無解.直接從似然函數(shù)本身考慮求最大值.第七章 參數(shù)估計(jì) 2 極大似然估計(jì)18 第七章 參數(shù)估計(jì) 3 估計(jì)量評(píng)選標(biāo)準(zhǔn)1920212223 第七章 參數(shù)估計(jì) 3 估計(jì)量評(píng)選標(biāo)準(zhǔn)3. 估計(jì)量的評(píng)選標(biāo)準(zhǔn)需要討論以下問題:問題的提出 從前面可見, 對(duì)同一個(gè)參數(shù), 用不同的估計(jì)法求出的估計(jì)量可能不同。(1)對(duì)于同一個(gè)參數(shù)究竟哪一個(gè)估計(jì)量好?(2)評(píng)價(jià)估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)是什么?24 常用的幾條標(biāo)準(zhǔn)是：1無偏性2有效性3一致性 第七章 參數(shù)估計(jì) 3 估計(jì)量評(píng)選標(biāo)準(zhǔn)25一、無 偏 性 第七章 參數(shù)估計(jì) 3 估計(jì)量評(píng)選標(biāo)準(zhǔn)我們不可能要求每一次由樣本得到的估計(jì)值與真值都相等，但可以

4、要求這些估計(jì)值的平均值與真值相等.定義的合理性26證例. 第七章 參數(shù)估計(jì) 3 估計(jì)量評(píng)選標(biāo)準(zhǔn)27特別： 樣本二階矩是總體是總體均值 =E( X ) 樣本均值的無偏估計(jì)量.的無偏估計(jì)量.二階矩 第七章 參數(shù)估計(jì) 3 估計(jì)量評(píng)選標(biāo)準(zhǔn)28證例 第七章 參數(shù)估計(jì) 3 估計(jì)量評(píng)選標(biāo)準(zhǔn)29因而 第七章 參數(shù)估計(jì) 3 估計(jì)量評(píng)選標(biāo)準(zhǔn)30(這種方法稱為無偏化). 第七章 參數(shù)估計(jì) 3 估計(jì)量評(píng)選標(biāo)準(zhǔn)31例. 設(shè)總體 X 的密度函數(shù)為為常數(shù)為 X 的一個(gè)樣本. 證明：與都是 的無偏估計(jì)量.證 故是 的無偏估計(jì)量.32令即故 nZ 是 的無偏估計(jì)量.33一個(gè)參數(shù)往往有不止一個(gè)無偏估計(jì), 若和都是參數(shù) 的無偏估計(jì)

5、量，可以比較 第七章 參數(shù)估計(jì) 3 估計(jì)量評(píng)選標(biāo)準(zhǔn)以方差小為好, 這就引進(jìn)了有效性這一概念 . 34D( ) D( )則稱 較 有效 .都是參數(shù) 的無偏估計(jì)量，若對(duì)任意n，設(shè)和二、有效性35 第七章 參數(shù)估計(jì) 3 估計(jì)量評(píng)選標(biāo)準(zhǔn)例. 設(shè)總體 X 的密度函數(shù)為為 X 的一個(gè)樣本. 36證明： 第七章 參數(shù)估計(jì) 3 估計(jì)量評(píng)選標(biāo)準(zhǔn)37 設(shè)總體 X，且 E( X )= , D( X )= 2 為總體 X 的一個(gè)樣本證明是 的無偏估計(jì)量(2) 證明比更有效證 (1) 例(1) 設(shè)常數(shù)38(2) 結(jié)論 算術(shù)均值比加權(quán)均值更有效.而39例如 X N( , 2 ) , ( X 1 ,X 2 ) 是樣本.都是

6、 的無偏估計(jì)量所以最有效.40定義 設(shè) 是總體參數(shù) 則稱是總體參數(shù) 的一致估計(jì)量.的估計(jì)量. 若當(dāng)n 時(shí), 依概率收斂于 , 即三、一致性41關(guān)于一致性的兩個(gè)常用結(jié)論 1. 樣本 k 階矩是總體 k 階矩的一致性估計(jì)量. 是 的一致估計(jì)量.由大數(shù)定律證明用切貝雪夫不 等式證明矩法得到的估計(jì)量一般為一致估計(jì)量2. 設(shè) 是 的無偏估計(jì) 量, 且 , 則42則 是 的一致估計(jì)量.證: 例.所以 是 的一致估計(jì)量, 證畢.434. 區(qū) 間 估 計(jì) 區(qū)間估計(jì)：根據(jù)樣本給出未知參數(shù)的一個(gè)范圍，并保證真參數(shù)以指定的較大概率屬于這個(gè)范圍。(一) 單正態(tài)總體情形441. 置信區(qū)間與置信度第七章 參數(shù)估計(jì) 4.區(qū)

7、間估計(jì)45第七章 參數(shù)估計(jì) 4.區(qū)間估計(jì)通常，采用95%的置信度，有時(shí)也取99%或90%46 2. 反映了估計(jì)的可靠度, 越小, 越可靠.1. 置信區(qū)間的長度 L 反映了估計(jì)精度, 越小, 1- 越大, 估計(jì)的可靠度越高,但 3. 確定后, 置信區(qū)間 的選取方法不唯一, 常選長度最小的一個(gè). 幾 點(diǎn) 說 明 L 越小, 估計(jì)精度越高.這時(shí), L 往往增大, 因而估計(jì)精度降低.47第七章 參數(shù)估計(jì) 4.區(qū)間估計(jì)2. 正態(tài)總體，求均值的區(qū)間估計(jì)(1). 已知方差，估計(jì)均值48即： 對(duì)稱區(qū)間最短第七章 參數(shù)估計(jì) 4.區(qū)間估計(jì)49得到的置信區(qū)間為：第七章 參數(shù)估計(jì) 4.區(qū)間估計(jì)區(qū)間的長度為 達(dá)到最短5

8、0取 = 0.051-1-51例. 已知幼兒身高服從正態(tài)分布，現(xiàn)從5歲的幼兒 中隨機(jī)地抽查了9人，其高度分別為： 115,120,131,115,109,115,115,105,110cm;第七章 參數(shù)估計(jì) 4.區(qū)間估計(jì)52(2). 未知方差，估計(jì)均值第七章 參數(shù)估計(jì) 4.區(qū)間估計(jì)53第七章 參數(shù)估計(jì) 4.區(qū)間估計(jì) 對(duì)稱區(qū)間最短54得到的置信區(qū)間為：第七章 參數(shù)估計(jì) 4.區(qū)間估計(jì)55例. 用儀器測(cè)量溫度，重復(fù)測(cè)量7次，測(cè)得溫度分別為： 115,120,131,115,109,115,115,105,110cm; 設(shè)溫度第七章 參數(shù)估計(jì) 4.區(qū)間估計(jì)563.正態(tài)總體，求方差2的區(qū)間估計(jì)第七章 參

9、數(shù)估計(jì) 4.區(qū)間估計(jì)57第七章 參數(shù)估計(jì) 4.區(qū)間估計(jì)58第七章 參數(shù)估計(jì) 4.區(qū)間估計(jì)得到2的置信區(qū)間為：59例. 設(shè)某機(jī)床加工的零件長度今抽查16個(gè)零件，測(cè)得長度（mm）如下：12.15, 12.12, 12.01, 12.08, 12.09, 12.16, 12.03, 12.01, 12.06, 12.13, 12.07, 12.11, 12.08, 12.01, 12.03, 12.06, 以置信度為95%，試求總體方差 的置信區(qū)間。第七章 參數(shù)估計(jì) 4.區(qū)間估計(jì)60為總體 XN ( 1 12 ) 的樣本,為總體 YN ( 2 22 ) 的樣本,設(shè)X,Y獨(dú)立，置信度為 1 .分別表示

10、X, Y的樣本均值與修正(二) 雙正態(tài)總體情形第七章 參數(shù)估計(jì) 4.區(qū)間估計(jì)樣本方差.求 1- 2，12/ 22 的區(qū)間估計(jì).61相互獨(dú)立, 1. 已知, 求 的置信區(qū)間第七章 參數(shù)估計(jì) 4.區(qū)間估計(jì)62解出 的置信區(qū)間為：63取樣本函數(shù)2. 方差比的置信區(qū)間 得，方差比的置信區(qū)間：第七章 參數(shù)估計(jì) 4.區(qū)間估計(jì)64例2 某廠兩條流水線包裝產(chǎn)品，重量都服從正態(tài)分布，其均值為 1與 2. 現(xiàn)分別抽取容量分別為n1=13與n2=17的兩獨(dú)立樣本： 與測(cè)得：第七章 參數(shù)估計(jì) 4.區(qū)間估計(jì)(1) 若已知方差,求均值差的置信度為0.95 的置信區(qū)間; 求方差比置信度為 0.95 的置信區(qū)間.65解查表得 ，n1=13, n2=17 代入公式 的置信區(qū)間為(1) 取樣本的函數(shù)66(2) 取樣本函數(shù)查表得代入公式得方差比 的置信區(qū)間為67(三) 單側(cè)置信區(qū)間 某些問題只關(guān)心置信區(qū)間的上限或下限，如次品率問題只關(guān)心上限, 產(chǎn)品壽命問題只關(guān)