同濟(jì)六版高等數(shù)學(xué)市公開課獲獎?wù)n件

1、一、平面圖形面積 二、體積 6.2 定積分在幾何學(xué)上應(yīng)用三、平面曲線弧長 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁第1頁第1頁 f上(x) f下(x)dx,它也就是面積元素.一、平面圖形面積 設(shè)平面圖形由上下兩條曲線yf上(x)與yf下(x)及左右兩條直線xa與xb所圍成. 因此平面圖形面積為 在點(diǎn)x處面積增量近似值為 1.直角坐標(biāo)情形 下頁第2頁第2頁討論： 由左右兩條曲線xj左(y)與xj右(y)及上下兩條直線yd與yc所圍成平面圖形面積如何表示為定積分？提醒： 面積為 面積元素為j右(y)j左(y)dy,下頁第3頁第3頁 例1 計(jì)算拋物線y2x與yx2所圍成圖形面積. 解 (2)擬定在x軸上投影區(qū)間: (

2、4)計(jì)算積分 0, 1; (1)畫圖; 下頁第4頁第4頁 例2 計(jì)算拋物線y22x與直線yx4所圍成圖形面積. (2)擬定在y軸上投影區(qū)間: (4)計(jì)算積分 (3)擬定左右曲線:-2, 4. 解 (1)畫圖; 下頁第5頁第5頁 例3 由于橢圓參數(shù)方程為 xacost, ybsint, 因此 解 橢圓面積是橢圓在第一象限部分四倍.于是 ydx, 橢圓在第一象限部分面積元素為 下頁第6頁第6頁曲邊扇形曲邊扇形面積元素 曲邊扇形是由曲線()及射線, 所圍成圖形.曲邊扇形面積 2.極坐標(biāo)情形 下頁第7頁第7頁 例4 計(jì)算阿基米德螺線a (a0)上相應(yīng)于從0變到2 一段弧與極軸所圍成圖形面積. 解 例5

3、 計(jì)算心形線a(1cos)(a0)所圍成圖形面積. 解 首頁曲邊扇形面積： 第8頁第8頁二、體積 旋轉(zhuǎn)體就是由一個平面圖形繞這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成立體. 這直線叫做旋轉(zhuǎn)軸. 下頁1.旋轉(zhuǎn)體體積 第9頁第9頁 旋轉(zhuǎn)體都能夠看作是由連續(xù)曲線yf(x)、直線xa、ab及x軸所圍成曲邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成立體. 下頁二、體積1.旋轉(zhuǎn)體體積 旋轉(zhuǎn)體體積元素 考慮旋轉(zhuǎn)體內(nèi)點(diǎn)x處垂直于x軸厚度為dx切片, 用圓柱體體積f(x)2dx作為切片體積近似值, 旋轉(zhuǎn)體體積 于是體積元素為 dVf(x)2dx. 第10頁第10頁 例6 連接坐標(biāo)原點(diǎn)O及點(diǎn)P(h, r)直線、直線xh及x軸圍成一個直角三角形.

4、將它繞x軸旋轉(zhuǎn)構(gòu)成一個底半徑為r、高為h圓錐體. 計(jì)算這圓錐體體積. 旋轉(zhuǎn)體體積： 解 下頁第11頁第11頁 解 軸圍成圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成立體. 旋轉(zhuǎn)橢球體體積為 下頁旋轉(zhuǎn)體體積： 例7 計(jì)算由橢圓 所成圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成旋轉(zhuǎn)體(旋轉(zhuǎn)橢球體)體積. 第12頁第12頁 例8 計(jì)算由擺線xa(tsint), ya(1cost)一拱, 直線y0所圍成圖形分別繞x軸、y軸旋轉(zhuǎn)而成旋轉(zhuǎn)體體積. 解 所給圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成旋轉(zhuǎn)體體積為 下頁第13頁第13頁 例8 計(jì)算由擺線xa(tsint), ya(1cost)一拱, 直線y0所圍成圖形分別繞x軸、y軸旋轉(zhuǎn)而成旋轉(zhuǎn)體體積. 解 下頁 設(shè)曲線左半邊為x=x

5、1(y), 右半邊為x=x2(y). 所給圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)而成旋轉(zhuǎn)體體積為6 3a3 . 第14頁第14頁 設(shè)置體在x軸上投影區(qū)間為a, b, 立體內(nèi)垂直于x軸截面面積為A(x). 立體體積元素為 立體體積為下頁2.平行截面面積為已知立體體積 A(x)dx. A(x)第15頁第15頁截面面積為A(x)立體體積： 例9 一平面通過半徑為R圓柱體底圓中心, 并與底面交成角. 計(jì)算這平面截圓柱所得立體體積. 建立坐標(biāo)系如圖, 則底圓方程為x2y2R2. 所求立體體積為 解 下頁立體中過點(diǎn)x且垂直于x軸截面為直角三角形, 其面積為 第16頁第16頁三、平面曲線弧長 設(shè)曲線弧由直角坐標(biāo)方程yf(x) (a

6、xb)給出, 其中f(x)在區(qū)間a, b上含有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù). 現(xiàn)在來計(jì)算這曲線弧長度. 在曲率一節(jié)中, 我們已經(jīng)知道弧微分表示式為 這也就是弧長元素. 因此, 曲線弧長度為下頁直角坐標(biāo)情形 第17頁第17頁 例11 長度. 因此, 所求弧長為 解 曲線yf(x)(axb)弧長： 下頁第18頁第18頁 設(shè)曲線弧由參數(shù)方程x(t)、y(t)(t)給出, 其中(t)、(t)在, 上含有連續(xù)導(dǎo)數(shù). 于是曲線弧長為 下頁曲線yf(x)(axb)弧長： 參數(shù)方程情形 第19頁第19頁曲線x(t)、y(t)(t)弧長： 例13 求擺線xa(qsinq), ya(1cosq)一拱(02 )長度. 解 于是所求

7、弧長為曲線yf(x)(axb)弧長： 弧長元素為下頁第20頁第20頁 設(shè)曲線弧由極坐標(biāo)方程()()給出, 其中()在, 上含有連續(xù)導(dǎo)數(shù). 由于 x(q)cosq, y(q)sinq (), 因此弧長元素為 曲線弧長為 下頁極坐標(biāo)情形 曲線yf(x)(axb)弧長： 曲線x(t)、y(t)(t)弧長：第21頁第21頁曲線()()弧長： 例14 求阿基米德螺線a (a0)相應(yīng)于從0到2 一段弧長. 解 于是所求弧長為 結(jié)束 弧長元素為曲線yf(x)(axb)弧長： 曲線x(t)、y(t)(t)弧長：第22頁第22頁內(nèi)容小結(jié)1. 平面圖形面積邊界方程極坐標(biāo)方程2. 平面曲線弧長曲線方程參數(shù)方程方程極坐標(biāo)方程弧微分:直角坐標(biāo)方