歷屆全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽(非數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)類(lèi))初賽試題統(tǒng)計(jì)分析

1、歷屆全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽（非數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)類(lèi)）初賽試題統(tǒng)計(jì)分析摘要本文對(duì)歷屆全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽（非數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)類(lèi)）初賽試題及答案進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)分析，剖析了競(jìng)賽試題的命 題理念與結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，并提出競(jìng)賽準(zhǔn)備的幾點(diǎn)建議.關(guān)鍵詞大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽;統(tǒng)計(jì)分析Statistical Analyses of the Chinese Mathematics Competitionsfor Non-Mathematical ProfessionalsAbstract Wi th all the past test quest i ons of the Chi nese Mathemati cs Compet i ti ons for

2、 NonMathemati cal Professionals, this paper presents the statistics of the questions proposition idea and structural characteristics, and puts forward some suggestions.Keywords The Chinese Mathematics Competitions, statistical analysis為激勵(lì)大學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，進(jìn)一步推動(dòng)高 等學(xué)校數(shù)學(xué)課程的改革和建設(shè)，提高大學(xué)數(shù)學(xué)課程 的教學(xué)水平，發(fā)現(xiàn)和選拔數(shù)學(xué)創(chuàng)新人才，自20

3、09年 起，中國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)每年舉辦一次全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽 （The Chinese Mathematics Competitions （簡(jiǎn)稱(chēng) CMC）.競(jìng)賽的參賽對(duì)象為大學(xué)本科二年級(jí)及二年 級(jí)以上的在校大學(xué)生，分為數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)類(lèi)和非數(shù)學(xué)專(zhuān) 業(yè)類(lèi)兩組，數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)類(lèi)競(jìng)賽內(nèi)容為大學(xué)本科數(shù)學(xué)專(zhuān) 業(yè)基礎(chǔ)課的教學(xué)內(nèi)容，非數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)類(lèi)競(jìng)賽內(nèi)容為大 學(xué)本科理工科專(zhuān)業(yè)高等數(shù)學(xué)課程的教學(xué)內(nèi)容.競(jìng)賽分為初賽和決賽進(jìn)行,試題均由全國(guó)大學(xué)生 數(shù)學(xué)競(jìng)賽委員會(huì)統(tǒng)一組織專(zhuān)家命制.分區(qū)初賽由各 ?。ㄊ小^(qū)、軍隊(duì)院校）數(shù)學(xué)會(huì)負(fù)責(zé)組織選拔，使用全國(guó) 統(tǒng)一試題，在同一時(shí)間內(nèi)進(jìn)行考試；決賽由全國(guó)大學(xué) 生數(shù)學(xué)競(jìng)賽工作小組和承辦單位負(fù)責(zé)組織實(shí)施.作為

4、一項(xiàng)面向本科生的全國(guó)性高水平學(xué)科竟 賽，全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽為青年學(xué)子提供了一個(gè)展 示數(shù)學(xué)基本功和數(shù)學(xué)思維的舞臺(tái)，為高校發(fā)現(xiàn)和選 拔優(yōu)秀數(shù)學(xué)人才并進(jìn)一步促進(jìn)數(shù)學(xué)課程建設(shè)的改革 和發(fā)展積累了調(diào)研素材.競(jìng)賽試題在所考查的知識(shí) 內(nèi)容、題量分布與命題理念方面有何特點(diǎn)，在解題方 法上應(yīng)該怎樣準(zhǔn)備，是許多大學(xué)數(shù)學(xué)老師和學(xué)生十分關(guān)心的問(wèn)題，有鑒于此，筆者對(duì)歷屆全國(guó)大學(xué)生數(shù) 學(xué)競(jìng)賽（非數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)類(lèi)）初賽的試題進(jìn)行了全面的統(tǒng) 計(jì)分析，希望能有助于大家進(jìn)一步明確全國(guó)大學(xué)生 數(shù)學(xué)競(jìng)賽的試題特點(diǎn)與復(fù)習(xí)教學(xué)目標(biāo)，從而更好地 加強(qiáng)教學(xué)及備考的針對(duì)性.一、歷屆全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽（非數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè) 類(lèi)）初賽試題統(tǒng)計(jì)分析$試題來(lái)源及整體

5、情況試題來(lái)源于全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽資源網(wǎng)!網(wǎng)址： http:/www. cmathc. cn.選取 2009 年至 2019 年 共11屆全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽（非數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)類(lèi)）初賽 試題，共101題，總分值1100分.試題統(tǒng)計(jì)將11屆試題的每一道題按題型、分值、所考查 的知識(shí)點(diǎn)、用到的解題方法進(jìn)行整理，利用python 統(tǒng)計(jì)題型分布，知識(shí)點(diǎn)及解題方法出現(xiàn)的頻次.（1）題量除2011年9道&2009年和2012年11道外，其 余均為10道題.（2）題型0.30.2llllllll-0 02009年 2010 年 2011 年 2012 年 2013 年 2014 年 2015 年 2016 年 201

6、7 年 2018 年 2019 年題型主要有填空、計(jì)算、證明、綜合（既有證明又 有計(jì)算）0.30.2llllllll-0 02009年 2010 年 2011 年 2012 年 2013 年 2014 年 2015 年 2016 年 2017 年 2018 年 2019 年圖1歷屆初賽試題計(jì)算題分值占比圖圖2歷屆初賽試題證明題分值占比圖計(jì)算題在前幾屆競(jìng)賽初賽中分值所占比例較 大，2012 年 6% ,2013 年&2015 年 72%（見(jiàn)圖 1）.近 幾年計(jì)算題比例有所下降，證明題比例則大幅上升, 2016年&2018年證明題分值所占比例達(dá)到56% , 2017年&2019年比例均超過(guò)40%

7、（見(jiàn)圖2）.從題型 分布來(lái)看,前面幾屆側(cè)重考察學(xué)生的運(yùn)算能力，近幾 年則更注重考察學(xué)生的邏輯思維能力及綜合運(yùn)用數(shù) 學(xué)思想方法的能力.（3）知識(shí)點(diǎn)歷屆全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽（非數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)類(lèi)）初賽 試題均嚴(yán)格遵循全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽競(jìng)賽大綱的 要求，試題所涉及的知識(shí)點(diǎn)均在大學(xué)本科理工科專(zhuān) 業(yè)高等數(shù)學(xué)課程的教學(xué)內(nèi)容中.從統(tǒng)計(jì)結(jié)果看，考 查單一知識(shí)點(diǎn)的試題較少，大部分都涉及2 3個(gè) 知識(shí)點(diǎn).填空題難度相對(duì)小一些，在立足于對(duì)基礎(chǔ)知識(shí) 進(jìn)行考查的同時(shí)，也注重對(duì)數(shù)學(xué)思維方法綜合運(yùn)用 的能力進(jìn)行考查，雖然所涉及的概念與知識(shí)點(diǎn)少一 些，但解題時(shí)也都需要運(yùn)用轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想 先將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題，出現(xiàn)次數(shù)較多的知

8、識(shí) 點(diǎn)有：函數(shù)的極限、不定積分計(jì)算、數(shù)列的極限、定積 分計(jì)算、微分方程等.計(jì)算題大部分都綜合2 3個(gè)知識(shí)點(diǎn)，有的甚至 涉及4個(gè)知識(shí)點(diǎn)，主要考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)思維方法 解決問(wèn)題的能力和運(yùn)算能力，高頻出現(xiàn)的知識(shí)點(diǎn)有： 數(shù)列的極限、函數(shù)的極限、三重積分計(jì)算、偏導(dǎo)數(shù)、曲 線(xiàn)積分、定積分計(jì)算、廣義積分、條件極值等.證明題難度相對(duì)較大，已知條件與結(jié)論之間的 聯(lián)系更復(fù)雜、更隱蔽，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知問(wèn)題的難度 更大，主要考查邏輯思維能力以及數(shù)學(xué)思維方法的 綜合運(yùn)用能力，積分不等式、數(shù)列的極限、級(jí)數(shù)斂散 性、中值定理、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)在證明題中出現(xiàn) 次數(shù)較多.綜合來(lái)看,在歷屆試題中出現(xiàn)次數(shù)最多的知識(shí) 點(diǎn)是數(shù)列的極

9、限，幾乎每屆都有關(guān)于數(shù)列極限的題, 其次，函數(shù)的極限、積分不等式、偏導(dǎo)數(shù)、曲線(xiàn)積分、 定積分計(jì)算、三重積分計(jì)算等知識(shí)點(diǎn)出現(xiàn)的頻次也 較高（見(jiàn)表1）.表1出現(xiàn)頻次排名前十的知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)頻次知識(shí)點(diǎn)頻次數(shù)列的極限15定積分計(jì)算5函數(shù)的極限9三重積分計(jì)算5積分不等式6微分方程4偏導(dǎo)數(shù)6級(jí)數(shù)斂散性4曲線(xiàn)積分6二重積分計(jì)算3(4)解題方法-多元復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t矗泰勒公精換元積分法理無(wú)身iar義希加!1濾圖3解題方法詞云圖從參考答案中每道題用到的解題方法統(tǒng)計(jì)情況 來(lái)看，泰勒公式用到的次數(shù)最多，在計(jì)算函數(shù)的極 限、求方程的近似解、計(jì)算高階導(dǎo)數(shù)、不等式或等式 證明的題中都有用到，其次是換元積分法，在一些

10、計(jì) 算定積分、重積分、曲線(xiàn)積分的題中，需要用換元法 來(lái)進(jìn)行計(jì)算，此外，多元復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t、求數(shù)列極限的夾逼準(zhǔn)則、求函數(shù)極 限的等價(jià)無(wú)窮小替換、洛必達(dá)法則、求不定積分或定 積分的分部積分法、恒等變形、拉格朗日中值定理、 解一階線(xiàn)性微分方程的常數(shù)變易法等方法用的次數(shù) 也較多(見(jiàn)圖3,字體越大表示出現(xiàn)次數(shù)越多).二、關(guān)于競(jìng)賽準(zhǔn)備的幾點(diǎn)建議縱觀歷屆全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽(非數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)類(lèi)) 初賽試題，各屆試題考查知識(shí)點(diǎn)均未超出高等數(shù) 學(xué)課程教學(xué)內(nèi)容的范圍，在考查學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí) 能力的同時(shí)，也考查學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的理解和 掌握程度，并重點(diǎn)考查學(xué)生在分析與解決問(wèn)題時(shí)的 求變意識(shí)與化歸能力.因而.在競(jìng)

11、賽準(zhǔn)備的復(fù)習(xí)與教 學(xué)中，應(yīng)著重做好以下幾點(diǎn)：夯實(shí)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，構(gòu)建完整知識(shí)體系初賽試題基本涵蓋了高等數(shù)學(xué)的主干知識(shí)內(nèi) 容，例如，函數(shù)、極限、連續(xù)、一元函數(shù)微積分學(xué)、微分 方程、空間解析幾何、多元函數(shù)微積分學(xué)、級(jí)數(shù)等都 有涉及，因此，在競(jìng)賽準(zhǔn)備時(shí)，對(duì)主干知識(shí)內(nèi)容要有 整體的把握，構(gòu)建完整的知識(shí)體系，具備扎實(shí)的知識(shí) 基礎(chǔ).教師在競(jìng)賽培訓(xùn)時(shí)，不僅要引導(dǎo)學(xué)生全面掌 握各章節(jié)知識(shí)內(nèi)容與基本方法，還要多渠道引導(dǎo)學(xué) 生深刻理解核心概念與數(shù)學(xué)思想，弄清知識(shí)之間的 聯(lián)系，促使知識(shí)得以融會(huì)貫通，提高解題時(shí)的化歸能 力，讓學(xué)生在解題時(shí)能迅速找到與問(wèn)題相關(guān)的可適 用公式與定理，能通過(guò)類(lèi)比與聯(lián)想將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一 個(gè)更簡(jiǎn)單的問(wèn)

12、題.突出復(fù)習(xí)重點(diǎn)，提高備考學(xué)習(xí)效率在具備扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)，也要注意突出重點(diǎn)，提高學(xué)習(xí)效率，比如，求極限、積分不等式 證明、求多元復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)、曲線(xiàn)積分、定積分 計(jì)算、重積分計(jì)算、求解微分方程、判斷級(jí)數(shù)的斂散 性等在歷屆試題出現(xiàn)頻次較高，在復(fù)習(xí)時(shí)就應(yīng)著重 加強(qiáng)這方面的練習(xí).對(duì)于出現(xiàn)次數(shù)較多的解題方法 及思路，要在練習(xí)時(shí)有意識(shí)加強(qiáng)訓(xùn)練，比如，在求數(shù) 列極限時(shí)，應(yīng)增強(qiáng)運(yùn)用夾逼準(zhǔn)則、單調(diào)有界準(zhǔn)則或利 用定積分定義轉(zhuǎn)化為定積分的意識(shí)；在求函數(shù)極限 時(shí)，應(yīng)增強(qiáng)利用等價(jià)無(wú)窮小替換、泰勒公式、洛必達(dá) 法則的意識(shí)；在求定積分時(shí)，應(yīng)增強(qiáng)學(xué)生運(yùn)用換元 法、分部積分法的意識(shí)，等等.此外，重積分的換元 法、利用

13、球坐標(biāo)計(jì)算三重積分、求方程的近似解、二 元函數(shù)的二階泰勒公式、歐拉(Euler)方程、散度和 旋度的概念及計(jì)算等知識(shí)點(diǎn)是教材中打大號(hào)的內(nèi) 容，不是平時(shí)教學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，但屬于競(jìng)賽的考查范 圍，比如，歷屆試題中就有5道題需要用重積分的換 元法,4道題需要用球坐標(biāo)系計(jì)算三重積分，所以復(fù) 習(xí)時(shí)還需要有意識(shí)加強(qiáng)這些內(nèi)容的練習(xí).圍繞真題訓(xùn)練，增強(qiáng)求變轉(zhuǎn)化意識(shí)競(jìng)賽的每一道題，基本都需要運(yùn)用化歸的數(shù)學(xué) 思想將問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，所以，在競(jìng)賽準(zhǔn)備中培養(yǎng)求變 意識(shí)和化歸能力尤為重要，分析歷屆競(jìng)賽真題就是 最好的訓(xùn)練途徑.對(duì)于真題的解題思路、方法和步 驟，要進(jìn)行歸納總結(jié)，弄清楚如何審題，如何探索解 題思路，如何找到解題思

14、路的切入點(diǎn)，逐步培養(yǎng)轉(zhuǎn)化 問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.比如，第五屆第 1題：求極限-m (1 / sm! $1/42廣，這是求數(shù)列 極限的問(wèn)題，但利用重要極限、夾逼準(zhǔn)則、單調(diào)有界準(zhǔn)則等方法都不好做，這時(shí)候就要“求變”，看能否通 過(guò)適當(dāng)恒等變形將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為可以利用一般方法求 解的問(wèn)題，注意到正弦函數(shù)是以眼為周期的周期函 數(shù)，因此siiiTt /1+4疽=sin（兀 J1 + 4疽2兀）此時(shí),sin （ j + , + 2 J*。（ ），這樣就可以 利用第二類(lèi)重要極限來(lái)求極限了.第九屆第2題求 極限limsm2 J 干具）的解題思路也與此類(lèi)似.從 本質(zhì)上來(lái)說(shuō)，解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的基本思路就是命題變 更，將一些復(fù)雜的問(wèn)題逐步轉(zhuǎn)化為一個(gè)一個(gè)簡(jiǎn)單的 問(wèn)題，所以，在平時(shí)的訓(xùn)練中，應(yīng)逐步培養(yǎng)一定的求 變意識(shí)和化歸能力，只有具備這樣的能力，才能在竟 賽中做到胸有成竹、輕松應(yīng)對(duì).三、結(jié)語(yǔ)全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽自2009年舉辦以來(lái)，受到 越來(lái)越多的高校和學(xué)生的關(guān)注，現(xiàn)已成為全國(guó)影響 最大、參加人數(shù)最多的學(xué)科競(jìng)賽之一，不僅為青年學(xué) 子提供了一個(gè)展示數(shù)學(xué)基本功和數(shù)學(xué)思維的舞臺(tái)， 也