歷屆全國大學生數(shù)學競賽(非數(shù)學專業(yè)類)初賽試題統(tǒng)計分析

1、歷屆全國大學生數(shù)學競賽（非數(shù)學專業(yè)類）初賽試題統(tǒng)計分析摘要本文對歷屆全國大學生數(shù)學競賽（非數(shù)學專業(yè)類）初賽試題及答案進行了統(tǒng)計分析，剖析了競賽試題的命 題理念與結構特點，并提出競賽準備的幾點建議.關鍵詞大學生數(shù)學競賽;統(tǒng)計分析Statistical Analyses of the Chinese Mathematics Competitionsfor Non-Mathematical ProfessionalsAbstract Wi th all the past test quest i ons of the Chi nese Mathemati cs Compet i ti ons for

2、 NonMathemati cal Professionals, this paper presents the statistics of the questions proposition idea and structural characteristics, and puts forward some suggestions.Keywords The Chinese Mathematics Competitions, statistical analysis為激勵大學生學習數(shù)學的興趣，進一步推動高 等學校數(shù)學課程的改革和建設，提高大學數(shù)學課程 的教學水平，發(fā)現(xiàn)和選拔數(shù)學創(chuàng)新人才，自20

3、09年 起，中國數(shù)學會每年舉辦一次全國大學生數(shù)學競賽 （The Chinese Mathematics Competitions （簡稱 CMC）.競賽的參賽對象為大學本科二年級及二年 級以上的在校大學生，分為數(shù)學專業(yè)類和非數(shù)學專 業(yè)類兩組，數(shù)學專業(yè)類競賽內(nèi)容為大學本科數(shù)學專 業(yè)基礎課的教學內(nèi)容，非數(shù)學專業(yè)類競賽內(nèi)容為大 學本科理工科專業(yè)高等數(shù)學課程的教學內(nèi)容.競賽分為初賽和決賽進行,試題均由全國大學生 數(shù)學競賽委員會統(tǒng)一組織專家命制.分區(qū)初賽由各 ?。ㄊ?、區(qū)、軍隊院校）數(shù)學會負責組織選拔，使用全國 統(tǒng)一試題，在同一時間內(nèi)進行考試；決賽由全國大學 生數(shù)學競賽工作小組和承辦單位負責組織實施.作為

4、一項面向本科生的全國性高水平學科竟 賽，全國大學生數(shù)學競賽為青年學子提供了一個展 示數(shù)學基本功和數(shù)學思維的舞臺，為高校發(fā)現(xiàn)和選 拔優(yōu)秀數(shù)學人才并進一步促進數(shù)學課程建設的改革 和發(fā)展積累了調研素材.競賽試題在所考查的知識 內(nèi)容、題量分布與命題理念方面有何特點，在解題方 法上應該怎樣準備，是許多大學數(shù)學老師和學生十分關心的問題，有鑒于此，筆者對歷屆全國大學生數(shù) 學競賽（非數(shù)學專業(yè)類）初賽的試題進行了全面的統(tǒng) 計分析，希望能有助于大家進一步明確全國大學生 數(shù)學競賽的試題特點與復習教學目標，從而更好地 加強教學及備考的針對性.一、歷屆全國大學生數(shù)學競賽（非數(shù)學專業(yè) 類）初賽試題統(tǒng)計分析$試題來源及整體

5、情況試題來源于全國大學生數(shù)學競賽資源網(wǎng)!網(wǎng)址： http:/www. cmathc. cn.選取 2009 年至 2019 年 共11屆全國大學生數(shù)學競賽（非數(shù)學專業(yè)類）初賽 試題，共101題，總分值1100分.試題統(tǒng)計將11屆試題的每一道題按題型、分值、所考查 的知識點、用到的解題方法進行整理，利用python 統(tǒng)計題型分布，知識點及解題方法出現(xiàn)的頻次.（1）題量除2011年9道&2009年和2012年11道外，其 余均為10道題.（2）題型0.30.2llllllll-0 02009年 2010 年 2011 年 2012 年 2013 年 2014 年 2015 年 2016 年 201

6、7 年 2018 年 2019 年題型主要有填空、計算、證明、綜合（既有證明又 有計算）0.30.2llllllll-0 02009年 2010 年 2011 年 2012 年 2013 年 2014 年 2015 年 2016 年 2017 年 2018 年 2019 年圖1歷屆初賽試題計算題分值占比圖圖2歷屆初賽試題證明題分值占比圖計算題在前幾屆競賽初賽中分值所占比例較 大，2012 年 6% ,2013 年&2015 年 72%（見圖 1）.近 幾年計算題比例有所下降，證明題比例則大幅上升, 2016年&2018年證明題分值所占比例達到56% , 2017年&2019年比例均超過40%

7、（見圖2）.從題型 分布來看,前面幾屆側重考察學生的運算能力，近幾 年則更注重考察學生的邏輯思維能力及綜合運用數(shù) 學思想方法的能力.（3）知識點歷屆全國大學生數(shù)學競賽（非數(shù)學專業(yè)類）初賽 試題均嚴格遵循全國大學生數(shù)學競賽競賽大綱的 要求，試題所涉及的知識點均在大學本科理工科專 業(yè)高等數(shù)學課程的教學內(nèi)容中.從統(tǒng)計結果看，考 查單一知識點的試題較少，大部分都涉及2 3個 知識點.填空題難度相對小一些，在立足于對基礎知識 進行考查的同時，也注重對數(shù)學思維方法綜合運用 的能力進行考查，雖然所涉及的概念與知識點少一 些，但解題時也都需要運用轉化與化歸的數(shù)學思想 先將問題轉化為熟悉的問題，出現(xiàn)次數(shù)較多的知

8、識 點有：函數(shù)的極限、不定積分計算、數(shù)列的極限、定積 分計算、微分方程等.計算題大部分都綜合2 3個知識點，有的甚至 涉及4個知識點，主要考查綜合運用數(shù)學思維方法 解決問題的能力和運算能力，高頻出現(xiàn)的知識點有： 數(shù)列的極限、函數(shù)的極限、三重積分計算、偏導數(shù)、曲 線積分、定積分計算、廣義積分、條件極值等.證明題難度相對較大，已知條件與結論之間的 聯(lián)系更復雜、更隱蔽，將問題轉化為已知問題的難度 更大，主要考查邏輯思維能力以及數(shù)學思維方法的 綜合運用能力，積分不等式、數(shù)列的極限、級數(shù)斂散 性、中值定理、導數(shù)的應用等知識點在證明題中出現(xiàn) 次數(shù)較多.綜合來看,在歷屆試題中出現(xiàn)次數(shù)最多的知識 點是數(shù)列的極

9、限，幾乎每屆都有關于數(shù)列極限的題, 其次，函數(shù)的極限、積分不等式、偏導數(shù)、曲線積分、 定積分計算、三重積分計算等知識點出現(xiàn)的頻次也 較高（見表1）.表1出現(xiàn)頻次排名前十的知識點知識點頻次知識點頻次數(shù)列的極限15定積分計算5函數(shù)的極限9三重積分計算5積分不等式6微分方程4偏導數(shù)6級數(shù)斂散性4曲線積分6二重積分計算3(4)解題方法-多元復合函數(shù)求偏導的鏈式法則矗泰勒公精換元積分法理無身iar義希加!1濾圖3解題方法詞云圖從參考答案中每道題用到的解題方法統(tǒng)計情況 來看，泰勒公式用到的次數(shù)最多，在計算函數(shù)的極 限、求方程的近似解、計算高階導數(shù)、不等式或等式 證明的題中都有用到，其次是換元積分法，在一些

10、計 算定積分、重積分、曲線積分的題中，需要用換元法 來進行計算，此外，多元復合函數(shù)求偏導的鏈式法則、求數(shù)列極限的夾逼準則、求函數(shù)極 限的等價無窮小替換、洛必達法則、求不定積分或定 積分的分部積分法、恒等變形、拉格朗日中值定理、 解一階線性微分方程的常數(shù)變易法等方法用的次數(shù) 也較多(見圖3,字體越大表示出現(xiàn)次數(shù)越多).二、關于競賽準備的幾點建議縱觀歷屆全國大學生數(shù)學競賽(非數(shù)學專業(yè)類) 初賽試題，各屆試題考查知識點均未超出高等數(shù) 學課程教學內(nèi)容的范圍，在考查學生應用數(shù)學知識 能力的同時，也考查學生對數(shù)學思想方法的理解和 掌握程度，并重點考查學生在分析與解決問題時的 求變意識與化歸能力.因而.在競

11、賽準備的復習與教 學中，應著重做好以下幾點：夯實數(shù)學基礎，構建完整知識體系初賽試題基本涵蓋了高等數(shù)學的主干知識內(nèi) 容，例如，函數(shù)、極限、連續(xù)、一元函數(shù)微積分學、微分 方程、空間解析幾何、多元函數(shù)微積分學、級數(shù)等都 有涉及，因此，在競賽準備時，對主干知識內(nèi)容要有 整體的把握，構建完整的知識體系，具備扎實的知識 基礎.教師在競賽培訓時，不僅要引導學生全面掌 握各章節(jié)知識內(nèi)容與基本方法，還要多渠道引導學 生深刻理解核心概念與數(shù)學思想，弄清知識之間的 聯(lián)系，促使知識得以融會貫通，提高解題時的化歸能 力，讓學生在解題時能迅速找到與問題相關的可適 用公式與定理，能通過類比與聯(lián)想將問題轉化為一 個更簡單的問

12、題.突出復習重點，提高備考學習效率在具備扎實的基礎知識的同時，也要注意突出重點，提高學習效率，比如，求極限、積分不等式 證明、求多元復合函數(shù)的偏導數(shù)、曲線積分、定積分 計算、重積分計算、求解微分方程、判斷級數(shù)的斂散 性等在歷屆試題出現(xiàn)頻次較高，在復習時就應著重 加強這方面的練習.對于出現(xiàn)次數(shù)較多的解題方法 及思路，要在練習時有意識加強訓練，比如，在求數(shù) 列極限時，應增強運用夾逼準則、單調有界準則或利 用定積分定義轉化為定積分的意識；在求函數(shù)極限 時，應增強利用等價無窮小替換、泰勒公式、洛必達 法則的意識；在求定積分時，應增強學生運用換元 法、分部積分法的意識，等等.此外，重積分的換元 法、利用

13、球坐標計算三重積分、求方程的近似解、二 元函數(shù)的二階泰勒公式、歐拉(Euler)方程、散度和 旋度的概念及計算等知識點是教材中打大號的內(nèi) 容，不是平時教學的重點內(nèi)容，但屬于競賽的考查范 圍，比如，歷屆試題中就有5道題需要用重積分的換 元法,4道題需要用球坐標系計算三重積分，所以復 習時還需要有意識加強這些內(nèi)容的練習.圍繞真題訓練，增強求變轉化意識競賽的每一道題，基本都需要運用化歸的數(shù)學 思想將問題進行轉化，所以，在競賽準備中培養(yǎng)求變 意識和化歸能力尤為重要，分析歷屆競賽真題就是 最好的訓練途徑.對于真題的解題思路、方法和步 驟，要進行歸納總結，弄清楚如何審題，如何探索解 題思路，如何找到解題思

14、路的切入點，逐步培養(yǎng)轉化 問題、分析問題和解決問題的能力.比如，第五屆第 1題：求極限-m (1 / sm! $1/42廣，這是求數(shù)列 極限的問題，但利用重要極限、夾逼準則、單調有界準則等方法都不好做，這時候就要“求變”，看能否通 過適當恒等變形將問題轉化為可以利用一般方法求 解的問題，注意到正弦函數(shù)是以眼為周期的周期函 數(shù)，因此siiiTt /1+4疽=sin（兀 J1 + 4疽2兀）此時,sin （ j + , + 2 J*。（ ），這樣就可以 利用第二類重要極限來求極限了.第九屆第2題求 極限limsm2 J 干具）的解題思路也與此類似.從 本質上來說，解決數(shù)學問題的基本思路就是命題變 更，將一些復雜的問題逐步轉化為一個一個簡單的 問題，所以，在平時的訓練中，應逐步培養(yǎng)一定的求 變意識和化歸能力，只有具備這樣的能力，才能在竟 賽中做到胸有成竹、輕松應對.三、結語全國大學生數(shù)學競賽自2009年舉辦以來，受到 越來越多的高校和學生的關注，現(xiàn)已成為全國影響 最大、參加人數(shù)最多的學科競賽之一，不僅為青年學 子提供了一個展示數(shù)學基本功和數(shù)學思維的舞臺， 也