2022屆福建師范大學(xué)大附屬中學(xué)數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)試題含解析

1、2021-2022高二下數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)：1答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無(wú)效。3考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1一名法官在審理一起珍寶盜竊案時(shí)，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供詞如下，甲說(shuō)：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙說(shuō)：“我沒有作案，是丙偷的”；丙說(shuō)：“甲、乙兩人中有一人是小偷”；丁說(shuō)：“

2、乙說(shuō)的是事實(shí)”經(jīng)過調(diào)查核實(shí)，四人中有兩人說(shuō)的是真話，另外兩人說(shuō)的是假話，且這四人中只有一人是罪犯，由此可判斷罪犯是( )A乙 B甲 C丁 D丙2設(shè)集合M=0，1，2，則（ ）A1M B2M C3M D0M3有名學(xué)生，其中有名男生.從中選出名代表，選出的代表中男生人數(shù)為，則其數(shù)學(xué)期望為（ ）ABCD4在中，分別為內(nèi)角的對(duì)邊，若，且，則（ ）A2B3C4D55把圓x2+(y-2)A線段B等邊三角形C直角三角形D四邊形6下面有五個(gè)命題： 函數(shù)y=sin4x-cos4x的最小正周期是； 終邊在y軸上的角的集合是|=kABCD7已知為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)滿足，則（ ）ABCD8函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為（ ）A

3、BCD9元朝著名數(shù)學(xué)家朱世杰在四元玉鑒中有一首詩(shī):“我有一壺酒，攜著游春走，遇店添一倍，逢友飲一斗，店友經(jīng)三處，沒了壺中酒，借問此壺中，當(dāng)原多少酒?”用程序框圖表達(dá)如圖所示，即最終輸出的，則一開始輸入的x的值為( )ABCD10（ ）A2B1C0D11已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，取得最小值，則等于（）A-3B2C3D812下面幾種推理過程是演繹推理的是 （ ）A某校高三有8個(gè)班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推測(cè)各班人數(shù)都超過50人B由三角形的性質(zhì)，推測(cè)空間四面體的性質(zhì)C平行四邊形的對(duì)角線互相平分,菱形是平行四邊形,所以菱形的對(duì)角線互相平分D在數(shù)列an中，a11,，由此歸納出an的通項(xiàng)公式

4、二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍為_.14已知等比數(shù)列為遞增數(shù)列.若，且，則數(shù)列的公比_.15已知三棱錐ABCD的頂點(diǎn)都在球O的表面上，且ABBC，BCCD，ABCD，若AB1，BC，CD，則球O的表面積為_16已知函數(shù)f(x)是R上的增函數(shù)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟。17（12分）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和.已知.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）是否對(duì)一切正整數(shù)，有？說(shuō)明理由.18（12分）質(zhì)檢部門對(duì)某工廠甲、乙兩個(gè)車間生產(chǎn)的12個(gè)零件質(zhì)量進(jìn)行檢測(cè)甲、乙兩個(gè)車間的零件質(zhì)量（單位：克）分布的莖葉圖

5、如圖所示零件質(zhì)量不超過20克的為合格（1）質(zhì)檢部門從甲車間8個(gè)零件中隨機(jī)抽取4件進(jìn)行檢測(cè)，若至少2件合格，檢測(cè)即可通過，若至少3件合格，檢測(cè)即為良好，求甲車間在這次檢測(cè)通過的條件下，獲得檢測(cè)良好的概率；（2）若從甲、乙兩車間12個(gè)零件中隨機(jī)抽取2個(gè)零件，用X表示乙車間的零件個(gè)數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望19（12分）設(shè)函數(shù).（1）求過點(diǎn)的切線方程；（2）若方程有3個(gè)不同的實(shí)根，求的取值范圍。（3）已知當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍20（12分）在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，點(diǎn)在直線l：上（1）求曲線C和直線l的直角坐標(biāo)方程；（2）

6、若直線l與曲線C的相交于點(diǎn)A、B，求的值21（12分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在極坐標(biāo)系中，曲線，C與l有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)（）求a；（）O為極點(diǎn)，A，B為C上的兩點(diǎn)，且，求的最大值22（10分）將正整數(shù)排成如圖的三角形數(shù)陣，記第行的個(gè)數(shù)之和為.（1）設(shè)，計(jì)算，的值，并猜想的表達(dá)式；（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明（1）的猜想.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】由題意，這個(gè)問題的關(guān)鍵是四人中有兩人說(shuō)真話，另外兩人說(shuō)了假話，通過這一突破口，進(jìn)行分析，推理即可得到結(jié)論.【詳解】在甲、乙、丙、丁四人的供詞中，可以得出乙

7、、丁兩人的觀點(diǎn)是一致的，因此乙丁兩人的供詞應(yīng)該是同真同假（即都是真話或都是假話，不會(huì)出現(xiàn)一真一假的情況）；假設(shè)乙、丁兩人所得都是真話，那么甲、丙兩人說(shuō)的是假話，由乙說(shuō)真話可推出丙是犯罪的結(jié)論；由甲說(shuō)假話，推出乙、丙、丁三人不是犯罪的結(jié)論；顯然這兩人是相互矛盾的；所以乙、丁兩人說(shuō)的是假話，而甲、丙兩人說(shuō)的是真話，由甲、丙的供詞可以斷定乙是犯罪的，乙、丙、丁中有一人是犯罪的，由丁說(shuō)假話，丙說(shuō)真話推出乙是犯罪的，綜上可得乙是犯罪的，故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了推理問題的實(shí)際應(yīng)用，其中解答中結(jié)合題意，進(jìn)行分析，找出解決問題的突破口，然后進(jìn)行推理是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與論證能力.2、A【解析】解

8、：由題意，集合M中含有三個(gè)元素0，1，1A選項(xiàng)1M，正確；B選項(xiàng)1M，錯(cuò)誤；C選項(xiàng)3M，錯(cuò)誤，D選項(xiàng)0M，錯(cuò)誤；故選：A【點(diǎn)評(píng)】本題考查了元素與集合關(guān)系的判定，一個(gè)元素要么屬于集合，要么不屬于這個(gè)集合，二者必居其一，這就是集合中元素的確定性3、B【解析】利用超幾何分布分別求隨機(jī)變量X的概率，分布列及其數(shù)學(xué)期望即可得出【詳解】隨機(jī)變量X的所有可能取值為1，2，3，4.P(Xk)(k1，2，3，4)所以，隨機(jī)變量X的分布列為X1234P 隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X).【點(diǎn)睛】本題考查了超幾何分布的概率計(jì)算公式、分布列及其數(shù)學(xué)期望，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題4、C【解析】利用正弦定理可得:

9、， 由余弦定理可得：， 由，得， 由 得，故選C.5、B【解析】通過聯(lián)立方程直接求得交點(diǎn)坐標(biāo)，從而判斷圖形形狀.【詳解】聯(lián)立x2+(y-2)2=1與x2【點(diǎn)睛】本題主要考查圓與橢圓的交點(diǎn)問題，難度不大.6、B【解析】先進(jìn)行化簡(jiǎn)，再利用求周期的公式即可判斷出是否正確；對(duì)k分奇數(shù)、偶數(shù)討論即可；令h（x）=xsinx，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可；利用三角函數(shù)的平移變換化簡(jiǎn)求解即可【詳解】函數(shù)y=sin4xcos4x=（sin2x+cos2x）（sin2xcos2x）=cos2x，最小正周期T=22=，函數(shù)y=sin4xcos4x的最小正周期是，故當(dāng)k=2n（n為偶數(shù)）時(shí)，a=2n2=n，表示的是終邊

10、在x軸上的角，故令h（x）=xsinx，則h（x）=1cosx0，函數(shù)h（x）在實(shí)數(shù)集R上單調(diào)遞增，故函數(shù)y=sinx與y=x最多只能一個(gè)交點(diǎn)，因此不正確；把函數(shù)y=3sin（2x+3）的圖象向右平移6得到y(tǒng)=3sin（2x3綜上可知：只有正確故選B【點(diǎn)睛】本題綜合考查了三角函數(shù)的周期性、單調(diào)性、三角函數(shù)取值及終邊相同的角，利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)和利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性是解題的關(guān)鍵7、B【解析】先根據(jù)復(fù)數(shù)的除法求出，然后求出模長(zhǎng).【詳解】因?yàn)?，所以，所以，故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算和模長(zhǎng)求解，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).8、D【解析】分析：由題意，求得，得到，利用直線的點(diǎn)斜式方程，即可求

11、解切線的方程；詳解：由題意，函數(shù)，則，所以，即切線的斜率為，又，所以切線過點(diǎn)，所以切線的方程為，即，故選D點(diǎn)睛：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解切線的方程問題，其中熟記導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力9、B【解析】由已知中的程序語(yǔ)句可知：該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計(jì)算輸入時(shí)變量x的值，模擬程序的運(yùn)行過程，分析循環(huán)中各變量值的變化情況，可得到答案.【詳解】本題由于已知輸出時(shí)x的值，因此可以逆向求解：輸出,此時(shí)；上一步：,此時(shí)；上一步：,此時(shí)；上一步：,此時(shí)；故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了程序框圖的循環(huán)結(jié)構(gòu)，考查了學(xué)生邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于基礎(chǔ)題.10、C【解析

12、】用微積分基本定理計(jì)算【詳解】故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查微積分基本定理求定積分解題時(shí)可求出原函數(shù)，再計(jì)算11、C【解析】配湊成可用基本不等式的形式。計(jì)算出最值與取最值時(shí)的x值?！驹斀狻慨?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，即【點(diǎn)睛】在使用均值不等式時(shí)需注意“一正二定三相等”缺一不可。12、C【解析】分析：根據(jù)歸納推理、類比推理、演繹推理得概念判斷選擇.詳解：某校高三有8個(gè)班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推測(cè)各班人數(shù)都超過50人,這個(gè)是歸納推理；由三角形的性質(zhì)，推測(cè)空間四面體的性質(zhì)，是類比推理；平行四邊形的對(duì)角線互相平分,菱形是平行四邊形,所以菱形的對(duì)角線互相平分，是演繹推理；在數(shù)列an中，a1

13、1,，由此歸納出an的通項(xiàng)公式，是歸納推理，因此選C.點(diǎn)睛：本題考查歸納推理、類比推理、演繹推理，考查識(shí)別能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】分析：由條件可得，由單調(diào)遞增的定義可知 ，由求得交集即可得到答案詳解：函數(shù)在上單調(diào)遞增，時(shí)為增，即 時(shí)也為增，即有 又由單調(diào)遞增的定義可知 由可得由可得故的取值范圍為點(diǎn)睛：本題考查了分段函數(shù)的應(yīng)用，考查了函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用，助于分段函數(shù)的分界點(diǎn)的情況，是一道中檔題，也是易錯(cuò)題。14、2【解析】本題可以點(diǎn)把轉(zhuǎn)化為一個(gè)關(guān)于公比的一元二次方程，再根據(jù)遞增數(shù)列得出結(jié)論?！驹斀狻浚蛞?yàn)榈缺葦?shù)列為遞增數(shù)列所以【點(diǎn)睛】要注意一個(gè)遞增

14、的等比數(shù)列，它的公比大于1。15、6【解析】根據(jù)題意畫出圖形，結(jié)合圖形把三棱錐補(bǔ)充為長(zhǎng)方體，則該長(zhǎng)方體的外接球?yàn)槿忮F的外接球，計(jì)算長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)，求出外接球的直徑，利用球的表面積公式，即可求解.【詳解】如圖所示，以和為棱，把三棱錐補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體，則該長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高分別為，此時(shí)長(zhǎng)方體的外接球即為三棱錐的外接球，且長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)為，即，即，所以外接球的表面積為. 【點(diǎn)睛】本題主要考查了多面體的外接球的表面積的計(jì)算，其中解答中以和為棱，把三棱錐補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體，此時(shí)長(zhǎng)方體的外接球即為三棱錐的外接球是解答本題的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題.16、【解析】由題意可知，故答案為.三、解

15、答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）對(duì)一切正整數(shù)，有.【解析】（1）運(yùn)用數(shù)列的遞推式，結(jié)合等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式，可得所求；（2）對(duì)一切正整數(shù)n，有，考慮當(dāng)時(shí)，再由裂項(xiàng)相消求和，即可得證?！驹斀狻浚?）當(dāng)時(shí)，兩式做差得，當(dāng)時(shí)，上式顯然成立，。（2）證明：當(dāng)時(shí)，可得由可得即有則當(dāng)時(shí)，不等式成立。檢驗(yàn)時(shí)，不等式也成立，綜上對(duì)一切正整數(shù)n，有?！军c(diǎn)睛】本題考查數(shù)列遞推式，考查數(shù)列求和，考查裂項(xiàng)法的運(yùn)用，確定數(shù)列的通項(xiàng)是關(guān)鍵18、（1）（2）見解析【解析】分析：（1）設(shè)事件表示“件合格，件不合格”；事件表示“件合格，件不合格”；事件表示“件全合格”；事件表示“

16、檢測(cè)通過”；事件表示“檢測(cè)良好”.通過，P（E）=P（B）+P（C），求解概率即可（2）由題意知， 的所有可能取值為0，1，2，求出概率得到分布列，然后求解期望即可詳解：（1）設(shè)事件表示“件合格，件不合格”；事件表示“件合格，件不合格”；事件表示“件全合格”；事件表示“檢測(cè)通過”；事件表示“檢測(cè)良好”.故所求概率為.（2）可能取值為分布列為所以，.點(diǎn)睛：本題考查條件概率的應(yīng)用，離散型隨機(jī)變量的分布列以及期望的求法，考查分析問題解決問題的能力19、（1）；（2）；（3）【解析】求導(dǎo)帶入求出切線斜率，再利用點(diǎn)斜式寫出切線。求出的單調(diào)區(qū)間，極值，則在極小值與極大值之間。參變分離，求最值。【詳解】(1

17、)設(shè)切點(diǎn)為切線過 (2)對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，得函數(shù)令，即，解得，或，即，解得，的單調(diào)遞增區(qū)間是及，單調(diào)遞減區(qū)間是當(dāng),有極大值；當(dāng)，有極小值當(dāng)時(shí)，直線與的圖象有3個(gè)不同交點(diǎn)，此時(shí)方程有3個(gè)不同實(shí)根。實(shí)數(shù)的取值范圍為 (3)時(shí)，恒成立，也就是恒成立，令，則，的最小值為，【點(diǎn)睛】本題考查曲線上某點(diǎn)的切線方程，兩方程的交點(diǎn)問題以及參變分離。屬于中檔題。20、 (1) C：；l：；(2) 【解析】（1）直接把曲線C的參數(shù)方程中的參數(shù)消去，即可得到曲線C的普通方程，把P的極坐標(biāo)代入直線方程求得m，結(jié)合極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式可得直線l的直角坐標(biāo)方程；（2）寫出直線l的參數(shù)方程，把直線l的參數(shù)方程代入曲線C的直角

18、坐標(biāo)方程，化為關(guān)于t的一元二次方程，利用此時(shí)t的幾何意義及根與系數(shù)的關(guān)系求解【詳解】（1）由為參數(shù)），消去參數(shù)，可得曲線C的普通方程為；由在直線l：cossin+m1上，得，得m由，直線l：cossin+m1的直角坐標(biāo)方程為xy1；（2）由（1）知直線l的傾斜角為，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），代入，得：13t221t211|PA|PB|【點(diǎn)睛】本題考查簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程，考查參數(shù)方程化普通方程，關(guān)鍵是參數(shù)方程中此時(shí)t的幾何意義的應(yīng)用，是中檔題21、（3）（3）【解析】試題分析（I）把圓與直線的極坐標(biāo)方程分別化為直角坐標(biāo)方程，利用直線與圓相切的性質(zhì)即可得出a；（II）不妨設(shè)A的極角為，B的極角為+，則|OA|+|OB|=3cos+3cos（+）=3cos（+），利用三角函數(shù)的單調(diào)性即可得出解：（）曲線C：=3acos（a2），變形3=3acos，化為x3+y3=3ax，即（xa）3+y3=a3曲線C是以（a，2）為圓心，以a為半徑的圓；由l：cos（）=，展開為，l的直角坐標(biāo)方程為x+y3=2由直線l與圓C相切可得=a，解得a=3（）不妨設(shè)A的極角為，B的極角為+，則|OA|+|OB|