天津市部分學(xué)校2021-2022學(xué)年數(shù)學(xué)高二下期末質(zhì)量檢測(cè)模擬試題含解析

1、2021-2022高二下數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)：1 答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用05毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1已知集合，則( )ABCD2甲、乙、丙三人到三個(gè)不同的景點(diǎn)旅游，每人只去一個(gè)景點(diǎn)，設(shè)事件為“

2、三個(gè)人去的景點(diǎn)各不相同”，事件為“甲獨(dú)自去一個(gè)景點(diǎn)，乙、丙去剩下的景點(diǎn)”，則等于（ ）ABCD3已知函數(shù)，若函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）ABCD4下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又是在區(qū)間上單調(diào)遞減的函數(shù)為（ ）ABCD5在中，已知，則的最大值為（ ）ABCD6已知點(diǎn)F是拋物線C：y28x的焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)，F(xiàn)M的延長(zhǎng)線交y軸于點(diǎn)N，若M是FN的中點(diǎn)，則M點(diǎn)的縱坐標(biāo)為（）A2B4C2D47函數(shù)在區(qū)間上的最大值為（ ）A2BCD8一個(gè)盒子里有6支好晶體管，5支壞晶體管，任取兩次，每次取一支，每次取后不放回，已知第一支是好晶體管時(shí)，則第二支也是好晶體管的概率為（ ）A23 B512 C79已

3、知X的分布列為X10 1P設(shè)Y2X3，則E(Y)的值為A B4C1D110函數(shù)的定義域是（ ）ABCD11復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）的共軛復(fù)數(shù)是（ ）ABCD12袋中裝有紅球3個(gè)、白球2個(gè)、黑球1個(gè)，從中任取2個(gè)，則互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件是A至少有一個(gè)白球；都是白球B至少有一個(gè)白球；至少有一個(gè)紅球C至少有一個(gè)白球；紅、黑球各一個(gè)D恰有一個(gè)白球；一個(gè)白球一個(gè)黑球二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13的展開式中， 的系數(shù)是_（用數(shù)字填寫答案）14我國(guó)南北朝時(shí)期數(shù)學(xué)家祖瞘，提出了著名的祖暅原理：“冪勢(shì)既同， 則積不容異”，其中“冪”是截面積，“勢(shì)” 是幾何體的高，該原理的意思是：夾在兩個(gè)平行平

4、面間的兩個(gè)幾何體，被任一平行于這兩個(gè)平行平面的平面所截，若所截的兩個(gè)截面的面積恒相等，則這兩個(gè)幾何體的體積相等.如圖，在空間直角坐標(biāo)系中的平面內(nèi)，若函數(shù)的圖象與軸圍城一個(gè)封閉的區(qū)域，將區(qū)域沿軸的正方向平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到幾何體（圖一），現(xiàn)有一個(gè)與之等高的圓柱（圖二），其底面積與區(qū)域的面積相等，則此圓柱的體積為 _.圖一 圖二15若一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖是面積為的半圓面，則該圓錐的體積為 .16已知函數(shù)滿足，且的導(dǎo)數(shù)，則不等式的解集為_三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）已知數(shù)列滿足，數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.（1）求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.1

5、8（12分）已知正項(xiàng)數(shù)列滿足：，. （）求；（）證明：；（）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，證明：.19（12分）為了更好的了解某校高二學(xué)生化學(xué)的學(xué)業(yè)水平學(xué)習(xí)情況，從800名高二學(xué)生中隨機(jī)抽取名學(xué)生，將他們的化學(xué)模擬考試成績(jī)（滿分100分，成績(jī)均為不低于40分的整數(shù)）分成六段：后得到如圖所示的頻率分布直方圖據(jù)統(tǒng)計(jì)在內(nèi)有10人（1）求及圖中實(shí)數(shù)的值；（2）試估計(jì)該校高二學(xué)生在這次模擬考試中，化學(xué)成績(jī)合格（不低于60分）的人數(shù)；（3）試估計(jì)該校高二全體學(xué)生在這次模擬考試中的化學(xué)平均成績(jī)20（12分）設(shè),函數(shù),是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù), 是自然對(duì)數(shù)的底數(shù). (1)當(dāng)時(shí),求導(dǎo)函數(shù)的最小值; (2)若不等式對(duì)任意恒成立,求實(shí)數(shù)

6、的最大值;(3)若函數(shù)存在極大值與極小值，求實(shí)數(shù)的取值范圍.21（12分）某中學(xué)對(duì)高二甲、乙兩個(gè)同類班級(jí)進(jìn)行“加強(qiáng)語文閱讀理解訓(xùn)練對(duì)提高數(shù)學(xué)應(yīng)用題得分率有幫助”的試驗(yàn)，其中甲班為試驗(yàn)班（加強(qiáng)語文閱讀理解訓(xùn)練），乙班為對(duì)比班（常規(guī)教學(xué)，無額外訓(xùn)練），在試驗(yàn)前的測(cè)試中，甲、乙兩班學(xué)生在數(shù)學(xué)應(yīng)用題上的得分率基本一致，試驗(yàn)結(jié)束后，統(tǒng)計(jì)幾次數(shù)學(xué)應(yīng)用題測(cè)試的平均成績(jī)（均取整數(shù)）如下表所示：60分及以下6170分7180分8190分91100分甲班（人數(shù)）3612159乙班（人數(shù)）4716126現(xiàn)規(guī)定平均成績(jī)?cè)?0分以上（不含80分）的為優(yōu)秀.（1）由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認(rèn)為“加強(qiáng)語文

7、閱讀理解訓(xùn)練對(duì)提高數(shù)學(xué)應(yīng)用題得分率”有幫助；（2）對(duì)甲乙兩班60分及以下的同學(xué)進(jìn)行定期輔導(dǎo)，一個(gè)月后從中抽取3人課堂檢測(cè)，表示抽取到的甲班學(xué)生人數(shù)，求及至少抽到甲班1名同學(xué)的概率.22（10分）已知函數(shù).（1）討論函數(shù)在上的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，若時(shí)，求證：.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】先求出集合M，由此能求出MN【詳解】則故選：C【點(diǎn)睛】本題考查交集的求法，考查交集定義、函數(shù)性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題2、C【解析】這是求甲獨(dú)自去一個(gè)景點(diǎn)的前提下，三個(gè)人去的景點(diǎn)不同的概率，求出相應(yīng)的基

8、本事件的個(gè)數(shù)，即可得出結(jié)果.【詳解】甲獨(dú)自去一個(gè)景點(diǎn)，則有3個(gè)景點(diǎn)可選，乙、丙只能在剩下的兩個(gè)景點(diǎn)選擇，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可得，對(duì)應(yīng)的基本事件有種；另外，三個(gè)人去不同景點(diǎn)對(duì)應(yīng)的基本事件有種，所以，故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查條件概率，確定相應(yīng)的基本事件個(gè)數(shù)是解決本題的關(guān)鍵.3、C【解析】求導(dǎo)計(jì)算處導(dǎo)數(shù)，畫出函數(shù)和的圖像，根據(jù)圖像得到答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，則，；當(dāng)時(shí)，則，當(dāng)時(shí)，；畫出和函數(shù)圖像，如圖所示：函數(shù)有3個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)圖像知.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力，畫出函數(shù)圖像是解題的關(guān)鍵.4、A【解析】本題考察函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性由函數(shù)的奇偶性

9、定義易得，是偶函數(shù)，是奇函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，單調(diào)區(qū)間為時(shí)，變形為，由于21,所以在區(qū)間上單調(diào)遞增時(shí)，變形為，可看成的復(fù)合，易知為增函數(shù)，為減函數(shù)，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減的函數(shù)故選擇A5、C【解析】由題知，先設(shè)，再利用余弦定理和已知條件求得和的關(guān)系，設(shè)代入，利用求出的范圍，便得出的最大值.【詳解】由題意，設(shè)的三邊分別為，由余弦定理得：，因?yàn)?，所以，即，設(shè)，則，代入上式得：，所以.當(dāng)時(shí)， 符合題意，所以的最大值為，即的最大值為.故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查運(yùn)用的余弦定理求線段和得最值，轉(zhuǎn)化成一元二次方程，以及根的判別式大于等于0求解.6、C【解析】求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，推出M的坐標(biāo)，然后求解，

10、得到答案【詳解】由題意，拋物線的焦點(diǎn)，是上一點(diǎn)，的延長(zhǎng)線交軸于點(diǎn)，若為的中點(diǎn)，如圖所示，可知的橫坐標(biāo)為1，則的縱坐標(biāo)為，故選C 【點(diǎn)睛】本題主要考查了拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題7、D【解析】求出導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，從而可確定最大值【詳解】，當(dāng)時(shí)，；時(shí)，已知函數(shù)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，.故選D【點(diǎn)睛】本題考查用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值解題時(shí)先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)的增減，從而確定最值，在閉區(qū)間的最值有時(shí)可能在區(qū)間的端點(diǎn)處取得，要注意比較8、D【解析】試題分析：由題意，知取出一好晶體管后，盒子里還有5只好晶體管，4支壞晶體管，所以若已知

11、第一支是好晶體管，則第二支也是好晶體管的概率為59考點(diǎn)：等可能事件的概率9、A【解析】由條件中所給的隨機(jī)變量的分布列可知EX=1+0+1=，E（2X+3）=2E（X）+3，E（2X+3）=2（）+3= 故答案為：A10、D【解析】根據(jù)求具體函數(shù)的基本原則：分母不為零、偶次根式被開方數(shù)非負(fù)、對(duì)數(shù)中真數(shù)為正數(shù)列不等式解出的取值范圍，即為函數(shù)的定義域【詳解】由題意可得，即，解得，因此，函數(shù)的定義域?yàn)?，故選D.【點(diǎn)睛】本題考查具體函數(shù)的定義域的求解，求解原則如下：（1）分式中分母不為零；（2）偶次根式中被開方數(shù)非負(fù)；（3）對(duì)數(shù)中真數(shù)大于零，底數(shù)大于零且不為；（4）正切函數(shù)中，；（5）求定義域只能在原函

12、數(shù)解析式中求，不能對(duì)解析式變形.11、B【解析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法運(yùn)算，化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)概念得結(jié)果【詳解】，故的共軛復(fù)數(shù).故選B.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)除法運(yùn)算以及共軛復(fù)數(shù)概念，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.12、C【解析】由題意逐一考查所給的事件是否互斥、對(duì)立即可求得最終結(jié)果.【詳解】袋中裝有紅球3個(gè)、白球2個(gè)、黑球1個(gè)，從中任取2個(gè)，逐一分析所給的選項(xiàng)：在A中，至少有一個(gè)白球和都是白球兩個(gè)事件能同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件，故A不成立在B中，至少有一個(gè)白球和至少有一個(gè)紅球兩個(gè)事件能同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件，故B不成立；在C中，至少有一個(gè)白球和紅、黑球各一個(gè)兩個(gè)事件不能同時(shí)發(fā)生但能同時(shí)不發(fā)生，是互

13、斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件，故C成立；在D中，恰有一個(gè)白球和一個(gè)白球一個(gè)黑球兩個(gè)事件能同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件，故D不成立；本題選擇C選項(xiàng).【點(diǎn)睛】“互斥事件”與“對(duì)立事件”的區(qū)別：對(duì)立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情況，但互斥事件不一定是對(duì)立事件，“互斥”是“對(duì)立”的必要不充分條件二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、28【解析】分析：由題意知本題要求二項(xiàng)式定理展開式的一個(gè)項(xiàng)的系數(shù)，先寫出二項(xiàng)式的通項(xiàng)，使得變量x的指數(shù)等于5，解出r的值，把r的值代入通項(xiàng)得到這一項(xiàng)的系數(shù)詳解：要求x5的系數(shù)，8-=5，r=2，x5的系數(shù)是（-1）2C82=28，故答案為28點(diǎn)睛：本題是一個(gè)典型的二項(xiàng)式

14、問題，主要考查二項(xiàng)式的通項(xiàng)，注意二項(xiàng)式系數(shù)和項(xiàng)的系數(shù)之間的關(guān)系，這是容易出錯(cuò)的地方，本題考查展開式的通項(xiàng)式，這是解題的關(guān)鍵14、【解析】先利用定積分計(jì)算底面面積，再用體積公式得到答案.【詳解】的圖象與軸圍城一個(gè)封閉的區(qū)域故答案為【點(diǎn)睛】本題考查了體積的計(jì)算，意在考查學(xué)生解決問題的能力.15、【解析】由面積為的半圓面，可得圓的半徑為2，即圓錐的母線長(zhǎng)為2.圓錐的底面周長(zhǎng)為.所以底面半徑為1.即可得到圓錐的高為.所以該圓錐的體積為.16、【解析】試題分析：設(shè)根據(jù)題意可得函數(shù)在R上單調(diào)遞減，然后根據(jù)可得，最后根據(jù)單調(diào)性可求出x的取值范圍設(shè)，即函數(shù)F（x）在R上單調(diào)遞減，而函數(shù)F（x）在R上單調(diào)遞減，

15、即，故答案為考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算；其它不等式的解法三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、 (1)；(2).【解析】試題分析：（1）由等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式可得an；運(yùn)用數(shù)列的遞推式：當(dāng)n=1時(shí)，b1=S1，當(dāng)n2時(shí)，bn=Sn-Sn-1，即可得到bn的通項(xiàng)公式；（2）由（1）知cn=，運(yùn)用數(shù)列的求和方法：錯(cuò)位相減法，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，即可得到所求和試題解析：（1）因?yàn)椋?，所以為首項(xiàng)是1，公差為2的等差數(shù)列，所以 又當(dāng)時(shí)， ，所以，當(dāng)時(shí)， 由-得，即， 所以是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，故. （2）由（1）知，則 -得 所以 點(diǎn)睛：用錯(cuò)位相減法求和應(yīng)注意的問題

16、(1)要善于識(shí)別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形；(2)在寫出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”以便下一步準(zhǔn)確寫出“SnqSn”的表達(dá)式；(3)在應(yīng)用錯(cuò)位相減法求和時(shí)，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應(yīng)分公比等于1和不等于1兩種情況求解.18、（）；（）詳見解析；（）詳見解析.【解析】（）由題意，得，可求出；（）由，得與同號(hào)，可得，再由可得，問題得證；（）令，得，當(dāng)時(shí)，由可得，再由可使問題得證.【詳解】（）解：由題意，解得或（舍去）.（）證明：因?yàn)?，且，所以與同號(hào)，與也同號(hào).而，因此.又，所以.綜上，有成立.（）證明：令，則，且.由，得到.于是當(dāng)時(shí)，又，因此，即.考慮，

17、故，即.當(dāng)時(shí)，也成立.綜上所述，.【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列遞推式，數(shù)列求和，考查了放縮法證明不等式，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題.19、（1）；（2）；（2）.【解析】（1）根據(jù)在內(nèi)有10人，以及頻率分布直方圖，即可列式求出；根據(jù)頻率之和為1，即可列式求出的值；（2）根據(jù)頻率分布直方圖，求出成績(jī)合格的頻率，即可得出結(jié)果；（3）根據(jù)每組的中間值乘以該組的頻率，再求和，即可得出平均值.【詳解】（1）因?yàn)樵趦?nèi)有10人，考試成績(jī)?cè)诘念l率為，所以；又由頻率分布直方圖可得：，解得：；（2）由頻率分布直方圖可得：化學(xué)成績(jī)合格的頻率為，因此，化學(xué)成績(jī)合格（不低于60分）的人數(shù)為；（3）由頻率分布直方圖可得

18、，該校高二全體學(xué)生在這次模擬考試中的化學(xué)平均成績(jī)?yōu)椋?【點(diǎn)睛】本題主要考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題型.20、（1）（2）（3）【解析】分析：（1）先求導(dǎo)數(shù)，再求導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，求零點(diǎn)，列表分析導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性變化規(guī)律，進(jìn)而確定導(dǎo)函數(shù)最小值取法，（2）先變量分離化簡(jiǎn)不等式，再利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性確定其最小值，即得實(shí)數(shù)的取值范圍，進(jìn)而得其最大值;（3）函數(shù)存在極大值與極小值，即存在兩個(gè)零點(diǎn)，且在零點(diǎn)的兩側(cè)異號(hào).先確定導(dǎo)函數(shù)不單調(diào)且最小值小于零，即得，再證明時(shí)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn).詳解：解：（1）當(dāng)時(shí)，記則，由得.當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增所以當(dāng)時(shí)，所以（2）由得，即因?yàn)?，所?記，則

19、記，則 因?yàn)?，所以且不恒?所以時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，所以所以在上單調(diào)遞增，因?yàn)閷?duì)恒成立，所以，即所以實(shí)數(shù)的最大值為（3）記，因?yàn)榇嬖跇O大值與極小值，所以，即存在兩個(gè)零點(diǎn)，且在零點(diǎn)的兩側(cè)異號(hào).當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，此時(shí)不存在兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，由，得當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以 所以存在兩個(gè)零點(diǎn)的必要條件為： ，即由時(shí)，()記，則所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，所以.所以在上，有且只有一個(gè)零點(diǎn).又在上單調(diào)，所以在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，記為，由在內(nèi)單調(diào)遞減，易得當(dāng)時(shí)，函數(shù)存在極大值（）記，則所以時(shí)，所以由（1）知時(shí)，有所以在上單調(diào)遞增，所以時(shí), 因?yàn)榍?，的圖像在單調(diào)且不間斷，所以在上，有且只有一個(gè)零點(diǎn).又在上單調(diào)所以在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，記為，由在內(nèi)單調(diào)遞增，易得當(dāng)時(shí)，函數(shù)存在極小值綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.點(diǎn)睛：導(dǎo)數(shù)極值點(diǎn)的討論層次：一是有無，即沒有零點(diǎn)，就沒有極值點(diǎn)（導(dǎo)數(shù)存在情形下）；二是在與不在，不在定義區(qū)間的零點(diǎn)也不是極值點(diǎn)；三是是否變號(hào)，導(dǎo)函數(shù)不變號(hào)的零點(diǎn)也不是極值點(diǎn).21、（1）見解析；（2）.【解析】（1）根據(jù)題意得到列聯(lián)表，然后由列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)得到的值，再結(jié)合臨界值表可得結(jié)論（2）由題意得到隨機(jī)變量的所有可能取值，并分別求出對(duì)應(yīng)的概率，進(jìn)而得到