ARMA時間序列模型及其相關(guān)應(yīng)用

1、ARMA時間序列模型及其相關(guān)應(yīng)用提綱時間序列模型的概念模型的識別模型階數(shù)的確定模型參數(shù)的估計(jì)模型的檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷膽?yīng)用23一、時間序列模型的概念時間序列的概念時間序列是指將同一統(tǒng)計(jì)指標(biāo)的數(shù)值按其發(fā)生的時間先后順序排列而成的序列。時間序列分析的主要目的是根據(jù)已有的歷史數(shù)據(jù)對未來進(jìn)行預(yù)測。42000-2013年我國GDP增長圖*公開數(shù)據(jù)整理ARMA模型的概念A(yù)RMA 模型（自回歸滑動平均模型，Auto-Regressive and Moving Average Model）是研究時間序列的重要方法。1976年，英國統(tǒng)計(jì)學(xué)家G.E.P.Box和英國統(tǒng)計(jì)學(xué)家G.M.Jenkins聯(lián)合出版了時間序列分析預(yù)測和

2、控制一書，在總結(jié)前人的研究的基礎(chǔ)上，系統(tǒng)地闡述了ARMA模型的識別、估計(jì)、檢驗(yàn)及預(yù)測的原理和方法，成為時間序列分析的核心，故ARMA 模型也稱為Box-Jenkins模型。5ARMA模型的概念A(yù)RMA 是一種單變量、同方差的線性模型，對于滿足有限參數(shù)線形模型的平穩(wěn)時間序列，主要有以下三種基本形式：自回歸模型（ AR : Auto-regressive）移動平均模型（ MA : Moving-Average） 混合模型（ ARMA : Auto-regressive Moving-Average）6平穩(wěn)時間序列：統(tǒng)計(jì)量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律不隨時間變化。設(shè) 為零均值的實(shí)平穩(wěn)時間序列，階數(shù)為p的自回歸模型定義

3、為：7AR模型模型簡記為 ，是時間序列 自身回歸的表達(dá)式，所以稱為自回歸模型。其中， 是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，且滿足 ， 也稱白噪聲序列。 為了方便表示，引進(jìn)延遲算子的概念。令：則自回歸模型可寫為： 其中： 對于模型：8AR模型若滿足條件： 的根全在單位圓外，即所有根的模都大于1，則稱此條件為AR(p)模型的平穩(wěn)性條件。當(dāng)模型滿足平穩(wěn)性條件時， 存在且一般是B的冪級數(shù)，于是模型又可寫為：設(shè) 為零均值的實(shí)平穩(wěn)時間序列，階數(shù)為q的滑動平均模型定義為：9模型簡記為 。同樣為了方便表示，引進(jìn)延遲算子的概念。令：則滑動平均模型可寫為： 其中： MA模型若滿足條件： 的根全在單位圓外，則稱此條件為MA

4、(q)模型的可逆性條件，此時 存在且一般是B的冪級數(shù)，于是模型又可寫為：10AR與MA模型的比較自回歸模型：意義在于僅通過時間序列變量的自身歷史觀測值來反映有關(guān)因素對預(yù)測目標(biāo)的影響和作用，不一定平穩(wěn)。 滑動平均模型：意義在于用過去各個時期的隨機(jī)干擾（白噪聲）或預(yù)測誤差的線性組合來表達(dá)當(dāng)前預(yù)測值，但具有不一定可逆性。11ARMA模型設(shè) 為零均值的實(shí)平穩(wěn)時間序列，p階自回歸q階滑動平均混合模型定義為：=模型簡記為ARMA(p, q).顯然，當(dāng)q =0時，ARMA(p, q)模型就是AR (p)模型；顯然，當(dāng)p =0時，ARMA(p, q)模型就是MA (q)模型；ARMA(p, q)模型的平穩(wěn)性只

5、依賴于AR 部分；ARMA(p, q)模型的可逆性只依賴于MA 部分；12二、模型的識別13MA模型的自相關(guān)函數(shù)階數(shù)為q的滑動平均模型定義為：根據(jù)自相關(guān)函數(shù)的定義：因?yàn)樗宰韵嚓P(guān)函數(shù)變?yōu)槿?xiàng)：14MA模型的自相關(guān)函數(shù)對于：分以下幾種情況討論：1）當(dāng) k =0 時，有2）當(dāng) 時，有3）當(dāng) kq 時，有從上述性質(zhì)可以看出，MA(q)序列的自相關(guān)系數(shù) 在 kq 時全為0.這種性質(zhì)稱為q步截尾性，表明序列只有q步相關(guān)性。 15AR模型的自相關(guān)函數(shù)階數(shù)為q的自相關(guān)模型定義為：根據(jù)自相關(guān)函數(shù)的定義：令k=1,2, p,得自相關(guān)系數(shù)：從上述性質(zhì)可以看出，AR(q)序列的自相關(guān)系數(shù) 隨著k的增大始終不為0.這

6、種性質(zhì)稱為拖尾性，并且是呈負(fù)指數(shù)衰減。 16ARMA模型的自相關(guān)函數(shù)ARMA(p, q)模型的自相關(guān)系數(shù)，可以看做AR(p)模型的自相關(guān)函數(shù)和MA(q)模型的自相關(guān)系數(shù)的混合物。當(dāng)p=0時，它具有截尾性質(zhì)；當(dāng)q=0時，它具有拖尾性質(zhì)；當(dāng)p，q均不為0時，如果當(dāng)p, q均大于或者等于2，其自相關(guān)函數(shù)的表現(xiàn)形式比較復(fù)雜，有可能呈現(xiàn)出指數(shù)衰減、正弦衰減或者二者的混合衰減，但通常都具有拖尾性質(zhì)。17偏相關(guān)函數(shù)從上面的討論可知，對于自相關(guān)函數(shù)，只有MA(q)模型是截尾的，AR(p)和ARMA(p, q)模型是拖尾的。為了進(jìn)一步區(qū)分AR(p)模型和ARMA(p, q)模型，我們引入了偏相關(guān)函數(shù)的概念。對于

7、零均值的平穩(wěn)時間序列中，給定 ，則 之間的偏相關(guān)函數(shù)定義為：注意：此時的期望指的是條件期望。18AR模型偏相關(guān)函數(shù)設(shè) 為零均值的實(shí)平穩(wěn)時間序列，設(shè)它滿足AR(p)模型：用 乘上式兩邊，當(dāng)給定 時，取條件期望得： 因?yàn)?k0 時， ，且有故顯然 即為AR(p)序列的偏相關(guān)函數(shù)，同時它又是AR(p)模型的最后一個回歸系數(shù)。當(dāng)kp時，有 ，也即是截尾的。19ARMA模型偏相關(guān)函數(shù)ARMA模型的偏相關(guān)函數(shù)求解方法和上述略有不同，考慮用對 做最小方差估計(jì)來求ARMA(p, q)序列(把MA(q)看作是 p=0 的特例) 的偏相關(guān)函數(shù) ，同時推出偏相關(guān)函數(shù)與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系。 當(dāng)kp時， 即ARMA模型和

8、MA模型都是拖尾的。20平穩(wěn)時間序列的類型識別類別模型AR(p)MA(q)ARMA(p, q)模型方程平穩(wěn)條件 的根全在單位圓外無條件平穩(wěn) 的根全在單位圓外自相關(guān)函數(shù)拖尾截尾拖尾偏相關(guān)函數(shù)截尾拖尾拖尾21三、模型階數(shù)的確定22討論：如何用樣本自相關(guān)函數(shù)來推斷模型的階。模型階數(shù)的確定23樣本的自相關(guān)函數(shù)樣本自相關(guān)函數(shù)定義為：模型階數(shù)的確定（式1）由樣本值求出樣本自相關(guān)函數(shù)由正態(tài)分布的性質(zhì)知，或在實(shí)際應(yīng)用中，因?yàn)閝一般不是很大，而N很大，此時常取或2525或（3）ARMA(p, q)模型的階數(shù)p和q難于確定，一般采用由低階到高階逐個試探，如取(p, q)為(1,1)，(1,2)，(2,1)，直到經(jīng)

9、驗(yàn)證認(rèn)為模型合適為止。26四、模型參數(shù)的估計(jì)27 當(dāng)選定模型及確定階數(shù)后，進(jìn)一步地問題是要估計(jì)出模型的未知參數(shù)。參數(shù)估計(jì)方法有矩法、最小二乘法、極大似然法等。模型參數(shù)的估計(jì)28模型參數(shù)的估計(jì)寫成矩陣式為（式2）（式3）推導(dǎo)見課本P135AR(p)模型的參數(shù)估計(jì)29利用(式2)，(式3) 將參數(shù)換成它們的估計(jì)，模型參數(shù)的估計(jì)AR(p)模型的參數(shù)估計(jì)30模型參數(shù)的估計(jì)將參數(shù)換成它們的估計(jì)，可直接求解，也可迭代求解。MA(q)模型的參數(shù)估計(jì)MA(q)序列的協(xié)方差函數(shù)表達(dá)式31模型參數(shù)的估計(jì)首先，利用（式4），將參數(shù)換成它們的估計(jì)（式4）ARMA(p, q)模型的參數(shù)估計(jì)32然后，令模型參數(shù)的估計(jì)AR

10、MA(p, q)模型的參數(shù)估計(jì)33五、模型的檢驗(yàn)34模型的檢驗(yàn)35模型的檢驗(yàn)M取N/10左右36六、模型的應(yīng)用37 時間序列或動態(tài)數(shù)據(jù)是依時間順序先后排列的，各有其大小的一列數(shù)據(jù)。這種有序性和大小反映了數(shù)據(jù)內(nèi)部的相互聯(lián)系和變化規(guī)律，蘊(yùn)含著產(chǎn)生這列數(shù)據(jù)的現(xiàn)象、過程或系統(tǒng)的有關(guān)特性，有關(guān)的信息。 研究、分析與處理動態(tài)數(shù)據(jù)，正是為了揭示數(shù)據(jù)本身的結(jié)構(gòu)與規(guī)律，了解系統(tǒng)的特性，明了系統(tǒng)與外界的聯(lián)系，推斷數(shù)據(jù)與系統(tǒng)的未來情況。 但是，通常人們獲得的實(shí)測數(shù)據(jù)總是有限而非無限的，所以時間序列分析就是在有限個樣本數(shù)據(jù)總量的情況下，建立相對準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)模型，從而獲得具有一定精度的統(tǒng)計(jì)特性，進(jìn)而達(dá)到預(yù)判經(jīng)濟(jì)形勢、規(guī)避

11、風(fēng)險(xiǎn)等目的。時間序列分析38某商品月銷售額時間1991年1992年1993年1994年1995年1996年1月份603.2225612.8499620.2722629.6026640.5817649.40082月份636.8149645.9645655.7020663.0500672.2036681.69993月份707.1452715.9899723.8026733.8552743.0334752.35014月份638.0379646.1702654.8081664.6104675.1520684.52265月份620.6295628.2095636.0499645.5190655.5609

12、663.96336月份707.2703717.1703725.7692735.4458741.9791753.33477月份539.0789549.4425557.4150566.1298573.6024583.93478月份252.8602259.8826270.9799279.3648288.2158297.61629月份591.7836601.1425611.3857620.6696627.7034639.499810月份626.9935637.4908646.0962654.9507663.0892672.444911月份582.6923592.8298602.6265611.4662

13、620.7718629.950112月份611.3965620.8653630.0778637.0239647.4319655.4984構(gòu)建模型的數(shù)據(jù)（67個數(shù)據(jù)，5個測試數(shù)據(jù)）構(gòu)建時間序列模型39使用SPSS畫出時間序列的序列圖序列特點(diǎn)：1.序列具有周期性，且周期為12個月。2.序列具有上升趨勢。3.序列不平穩(wěn)。構(gòu)建時間序列模型40 RA 、MA 、RAMA模型，只適用于平穩(wěn)時間序列，但是通過前面的分析，該時間序列的模型符合以下特征：其中 是趨勢項(xiàng)， 是周期項(xiàng)， 則是平穩(wěn)序列。 只要能將平穩(wěn)序列 從原始具有趨勢的非平穩(wěn)序列 中提取出來，就可以對提取出來的序列進(jìn)行上述平穩(wěn)序列的分析。 而一個具

14、有趨勢項(xiàng)的非平穩(wěn)序列，總是可以在經(jīng)過若干次差分后變?yōu)槠椒€(wěn)序列。當(dāng)然，具有周期性的序列也可以通過季節(jié)性的差分提取平穩(wěn)序列。 如果序列蘊(yùn)含著顯著的線性趨勢，一階差分就可以實(shí)現(xiàn)趨勢平穩(wěn)；如果序列蘊(yùn)含著曲線趨勢，通常低階（二階或三階）差分就可以提取出曲線趨勢的影響；對于蘊(yùn)含著固定周期的序列進(jìn)行步長為周期長度的差分運(yùn)算，通?？梢暂^好的提取周期信息。構(gòu)建時間序列模型序列平穩(wěn)化41構(gòu)建時間序列模型序列平穩(wěn)化進(jìn)行季節(jié)性差分，周期為12序列特點(diǎn)：1.周期性基本去除；2.序列仍然具有上升趨勢。42構(gòu)建時間序列模型序列平穩(wěn)化進(jìn)行季節(jié)性差分以及一階差分序列特點(diǎn)：1.周期性基本去除；2.序列圍繞著0波動，零均值。3.經(jīng)

15、過差分處理后為平穩(wěn)的序列適用于ARMA模型時，稱這種模型為ARIMA(p,d,q)(P,D,Q)43構(gòu)建時間序列模型相關(guān)性分析自相關(guān)函數(shù)特性：1.自相關(guān)函數(shù)在一階滯后的函數(shù)值基本都落入置信區(qū)間。2.在12階滯后時自相關(guān)系數(shù)超出置信區(qū)間，周期性趨勢仍存在。3.自相關(guān)函數(shù)拖尾，無截?cái)唷?4特性：1.偏相關(guān)函數(shù)在二階滯后的函數(shù)值基本都落入置信區(qū)間；2.偏相關(guān)函數(shù)拖尾，無截?cái)?差分處理后的模型適用于ARMA模型，因此對原序列采用ARIMA模型分析。3.根據(jù)偏相關(guān)函數(shù)：初步定階為：非周期性滯后偏相關(guān)階數(shù)p = 2，周期性滯后偏相關(guān)階數(shù)P=0；4.根據(jù)相關(guān)函數(shù)，初步定階為：非周期性滯后相關(guān)階數(shù)q =1，周

16、期性滯后相關(guān)階數(shù)Q=1；構(gòu)建時間序列模型相關(guān)性分析偏相關(guān)函數(shù)45構(gòu)建時間序列模型確定模型構(gòu)建模型：1.選擇銷售額作為因變量輸入。2.在方法中選擇使用ARIMA模型，階數(shù)為(2,1,1)(0,1,1),前面的括號表示非周期性滯后階數(shù)變量，其中p=2，d=1，q=1，d表示的是差分的階數(shù)；后面的括號表示的是季節(jié)性滯后階數(shù)變量，其中D=1表示進(jìn)行1次季節(jié)性差分。46構(gòu)建時間序列模型結(jié)果分析當(dāng)模型為RAIMA(2,1,1)(0,1,1)時,Ljung-Box檢驗(yàn)的顯著性水平為0.264 0.05, 接受原假設(shè)：即真實(shí)值與預(yù)測值的殘差是白噪聲，說明模型可行。預(yù)測結(jié)果時間1996年8月1996年9月199

17、6年10月1996年11月1996年12月預(yù)測值297.5634637.7872672.8924629.6920656.5378真實(shí)值297.6162639.4998672.4449629.9501655.4984差值-0.0528-1.71260.4475-0.25811.0394預(yù)測結(jié)果與真實(shí)值的差別不大，模型具有較好的預(yù)測能力。47構(gòu)建時間序列模型結(jié)果分析預(yù)測結(jié)果時間序列48總結(jié)1.本次試驗(yàn)僅僅對銷售額做了簡單的時間序列的擬合與預(yù)測，但往往數(shù)據(jù)的影響因素是多樣的，如果在建立模型時考慮多種因素，那么模型的準(zhǔn)確度更高。2.時間序列在金融、自然災(zāi)害等預(yù)測方面應(yīng)用廣泛，且在SPSS下操作簡單，構(gòu)

18、造模型具有一定的準(zhǔn)確性。3.目前對于預(yù)測未來趨勢的相關(guān)研究，多轉(zhuǎn)入了機(jī)器學(xué)習(xí)的研究。9、靜夜四無鄰，荒居舊業(yè)貧。9月-229月-22Sunday, September 18, 202210、雨中黃葉樹，燈下白頭人。21:07:4821:07:4821:079/18/2022 9:07:48 PM11、以我獨(dú)沈久，愧君相見頻。9月-2221:07:4821:07Sep-2218-Sep-2212、故人江海別，幾度隔山川。21:07:4821:07:4821:07Sunday, September 18, 202213、乍見翻疑夢，相悲各問年。9月-229月-2221:07:4821:07:48S

19、eptember 18, 202214、他鄉(xiāng)生白發(fā)，舊國見青山。18 九月 20229:07:48 下午21:07:489月-2215、比不了得就不比，得不到的就不要。九月 229:07 下午9月-2221:07September 18, 202216、行動出成果，工作出財(cái)富。2022/9/18 21:07:4821:07:4818 September 202217、做前，能夠環(huán)視四周；做時，你只能或者最好沿著以腳為起點(diǎn)的射線向前。9:07:48 下午9:07 下午21:07:489月-229、沒有失敗，只有暫時停止成功！。9月-229月-22Sunday, September 18, 202

20、210、很多事情努力了未必有結(jié)果，但是不努力卻什么改變也沒有。21:07:4821:07:4821:079/18/2022 9:07:48 PM11、成功就是日復(fù)一日那一點(diǎn)點(diǎn)小小努力的積累。9月-2221:07:4821:07Sep-2218-Sep-2212、世間成事，不求其絕對圓滿，留一份不足，可得無限完美。21:07:4821:07:4821:07Sunday, September 18, 202213、不知香積寺，數(shù)里入云峰。9月-229月-2221:07:4821:07:48September 18, 202214、意志堅(jiān)強(qiáng)的人能把世界放在手中像泥塊一樣任意揉捏。18 九月 20229:07:48 下午21:07:489月-2215、楚塞三湘接，荊門九派通。九月 229:07 下午9月-2221:07September 18, 202216、少年十五二十時，步行奪得胡馬騎。2022/9/18 21:07:4821:07:4818 September 202217、空山新雨后，天氣晚來秋。9:07:48 下午9:07 下午21:07:489月-229、楊柳散和風(fēng)，青山澹吾慮。9月-229月-22