2021年高考數(shù)學一輪總復習專題24平面向量的概念及運算檢測文

1、 年高考數(shù)學輪總復專題 平面向量的概及算檢測 本專題專門注意：1.向量加減的幾何意義2. 向共線的問題3. 零量問題4.向量夾角為銳角和鈍角問題5.差不多定理的兩條路徑法表示量6.向量共線與三點共線的區(qū)別與系7.向量的模與夾角的運算及應用題8.平行與垂直問題【學習目標】1明白得平面向量的概念，明得兩個向量相等的含義明白得向量的幾何表示2把握向量的加法、減法的運，并明白得其幾何意義3把握向量數(shù)乘的運算及其幾意義，明白得兩個向量共線的含義4了解向量線性運算的性質及幾何意義【方法總結】1.向量線性運算技巧(1)用已知向量表示與其相關的外一些向量時，在運用向量的加法、減法、數(shù)乘運算的同時，應充分利用

2、平面幾何的一些差不多定.(2)在求向量時盡可能轉化到某行四邊形或三角形內，以便運用平行四邊形法則和三角形法則，涉及到線 段比時，一方面考慮平行線定理，另一方面充分運用數(shù)乘運算的幾何意.2.向量共線問題(1)向量共線的充要條件中要注當兩向量共線時，通常只有非零向量才能表示與之共線的其他向量，要注 意待定系數(shù)法和方程思想的運. / (2)證明三點共線問題，可用向共線來解決，但應注意向量共線與三點共線的區(qū)別與聯(lián)系，當兩向量共線 且有公共點時，才能得出三點共.高考模擬：一、單選題1已知平面向量A. B. 2 C. D. 3 【答案】，則 （ ）點睛：該題考查的是有關向量的模的問題，在解題的過程中，需要

3、應用向量的數(shù)乘以及減法運公式，求得對應 向量的坐標，之后應用模的坐標運算式求得結.2設為向量，則“ ”“ ”（ ）A. 充不必要條件 B. 必不充分條件 C. 分必要條件 D. 既充分也不必要條件 【答案】【解析】分析：“可得結果 詳解：由”可得 ，“ ”可得向量夾角為 或 ，用充分不必要的定義，得 ，即由或 ， ，得向量 與 同向反向，或 ， ，“ ”“”的充分必要條件，故選 C.點睛定充要條件應注意弄條件 和論 分別是什么直了當依據(jù)定義嘗.關于帶有否定性的命題或比較難判定的命題，除借助集合思想化抽象為直觀外，還可利用原命和逆否命題、逆 / x x x x 命題和否命題的等價性，轉化為判定它

4、的等價命題；關于范疇問題也能夠轉化為包含關系來處3已知向量A. B. C. 【答案】，且D. 5，則 （ ）【解析】分析：第一應用向量共線時坐標所滿足的關系，求得 向量的模的坐標公式求得結果.，從而能夠求得 ，之后應用詳解：依照題意可得，可得 ，因此 ，而可求，故選 B.點睛：該題考查的是有關向量模的求解問題，在解題的過程中，需要利用向量共線坐標所滿足條件，求得相關 的參數(shù)的值，之后應用向量加法運費法則求得和向量的坐標，接著應用向量的模的坐標公式求結4已知四個命題：假如向量 a與 共線，則 a 或 ；x 是x 的必要不充分條件；命題 ： 0， x 的否定 ： ， x x ；“指數(shù)函數(shù)y 是增函

5、數(shù)，而 是指數(shù)函數(shù)，因此 是增函數(shù)”此三段論大前提錯誤，但推理形式是正確. 以上命題正確的個數(shù)為（ ）A. 0 B. C. D. 【答案】【解析】錯，假如向量 a b 共線，則 ；x 是x 的必要不充分條件；正確，由x 能夠得到x ，但由x 不能得到x ，如 ；命題 ： 0 x 的定 ： x ；正確“指數(shù)函數(shù) 是增函數(shù)，而 y 是指數(shù)函數(shù)，因此 / 是增函數(shù)”此三段論大前提錯誤，但推理形式是正確.，正. 故選 D.5兩個單位向量 ， 的夾角為，則 （ ）A. B. C. 【答案】D.6已知 ， 是個單位向量，則A. B. C. D. 【答案】【解析】設則的最大值為（ ），因此當且僅當時，取到最

6、大值 5.,因此的最大值為 , 故選 A.點睛：本題的難點在于解題思路的找尋，關于那個最值，一樣利用函數(shù)的思想，先建立的三角函數(shù)，進而研究函數(shù)7若向量 、 滿足 、的最值， ， 與 的夾角為（ A. B. 【答案】C. D. / 考點：平面向量的數(shù)量 積模夾角.8已知向量，滿足 ， ，若且 （ ， 的最小值為（ ）A. 1 B. 【答案】【解析】C. D.，當且僅當時，點睛：本題考查向量的差不多運算，向量模的求法，差不多不等式的應用，考查運算能力解時二次函數(shù)的配 方是解題的關鍵9已知A.是互相垂直的兩個單位向量，B. C. D.， ，則【答案】【解析】本題選擇 B 選項.10設平面向量 i滿足

7、 i，且 1 ，則 的最大值為（ ）A. 2 B. C.2 D. 2【答案】 / 點睛：由于向量 1 ，且 a ，因此向量 2確定，這是解題的基礎也是關鍵然后在此基礎上依照向量模的三角不等式可得 的范疇，解題時要注意等號成立的條件11四邊形 中 DC 且 AB AD ，則四邊形 是 ）A. 平四邊形 B. 菱 C. 矩形 D. 方形【答案】【解析】由于 ，四邊形是平行四邊形，依照向量加法和減法的幾何意義可知，該行四邊形的對角 線相等，故為矩.12下列命題正確個數(shù)為的是（ ） 關任意向量 、 b 、 ， a ， b ， a c 若量 與 同，且 則 向 AB與CD是共線向量，則 、B、 四一定共

8、線A. 4 個 B. 個 C. 個 D. 個【答案】【解析】 關 不能得出 錯于量能比較大小此錯于，表示與 共線的向量，a / 2 22 2 與 CD 是線向量，等價于 CD，、 四不一定共線，因此錯，正確個數(shù)為 0 個，選 D.點睛：本題要緊考查向量中的有關概念，屬于易錯題。解答本題的關鍵是熟練把握向量中的相概念、性質等。13 圖，以 AB為直徑在正方形 ABCD 內作半圓 ， 為半圓上與 B不重合的一動點，下面關于 PB PD的說法正確的是（ ）A. 無大值，但有最小值B. 既最大值，又有最小值C. 有大值，但無最小值D. 既最大值，又無最小值【答案】【解析】設正方形的邊長為 2，圖建立平

9、面直角坐標系，則 D（-1，2（cos，sin 0）PA PB PD 2 PD PB cos（-1，1 PB PD，16）.故選 D.點睛本題考查了向量的加法及量模的運算利用建系的方法引入三角函數(shù)來解決使得思路清晰算簡便， 遇見正方形，圓，等邊三 角，角三角形等專門圖形常用建系的方.14下列命題正確的是( ) / 2 , 4 2 , 4A.a與 b,b與共 線，則 a與 也共線B. 任兩個相等的非零向量的始點與終點是一平行四邊形的四頂點C. 向 與 b 不線，則 與 b 差多上非零向量D. 有同起點的兩個非零向量不平行【答案】【解析】當 b 為零向量時，A 不立；兩個相等的零向量的始點與終點能

10、夠在同一直線上B 不立；有相同起點的兩個非零向量若它們終與起點共線則它們平行 不成若 與b至一零向量則向量 a與 共線，因此 C 正確選 C.15知向量OA與OB 的夾角為 OA ，OB ，OP tOA，OQ ，PQ在t時取最小值，當 時， 的值范疇為（ ）A. 1 1 ,0 B. , C. ,1 D. 2 2 4 【答案】【解析】解：建立如圖所示的平面直角坐標系，則由題意有：A ，由向量關系可得： OP tOA ，則： ，整理可得：PQ ，滿足題意時： t 3 ，據(jù)此可得三角不等式： 3 1 4，解得： ，即 的取值范疇是 1 .本題選擇 D 選項. / 點睛：求兩個向量的數(shù)量積有三種方法：

11、利用定義；利用向量的坐標運算；利用數(shù)量積的幾何義具體應用時 可依照已知條件的特點來選擇，同時要注意數(shù)量積運算律的應用16下列命題中： 存在唯獨的實數(shù)，使得 ； 為單向量，且 ，； ； 與 共線， 與 共線，則 與 共；若正確命題的序號是（ ）A. B. C. D. 【答案】【解析】分析：逐一分析判定即得正確答. / 點睛）本題要緊考查平面向的差不多概念和性質定理，意在考查學生對這些基礎知識的把握能力和辨別能力 (2)本題的幾個命題是典型易錯題，要明白得把如： 線， 與 共線，則 與 共線；若.17給出下列命題：兩個具有公共終點的向量，一定是共線向.兩個向量不能比較大小，但它們的模能比較大.存在

12、唯獨的實數(shù)，使得 ； 與 共a （ 實 為. 實數(shù)，若 ，則 與 b 共線其中正確的命題的個數(shù)為( )A. 1 B. C. D. 【答案】【解析因為兩個向量終點相同點若不 在條直線上則不共線命題錯誤由于兩個向量能比較大小，但它們的模能比較大小，因此命題是正確的；若a （ 實 也夠零 ，此命題也是錯誤的；若為 0，盡管有 ，則 與 b也不一定共線，即命題也是錯誤的，應選答案 。18關于非零向量a b c，下列命題正確的是（ ）A. 若 1 ，則 1 B. 若a / b 則 a 在 b 上投影為C. 若 ，則 D. 若a ，則 【答案】 / 【解析】A.：若 1 1 a 2時，不一定有 1 2，故

13、 A 錯B：a / / b可得在b上的投影為或，故 B 錯；C：由a b， 可a 從而有 b ，故 C 正D：由 不一定成立，故 D 錯故選 C19設a , 差不多上非零向量，下列四個條件中，一定能使a a 成立的是( )A.a B./bC.a D.a 【答案】【解析】由a a 得若 a a b,即a b b,則向量a b共線且方向相反，因此當 向 b 共且方向相反,能使a a 成立，本題選擇 D 選項.20在以下關于向量的命題中，正確的是（ ）A. 若量 B. 若邊形 ABCD 為菱，則AB DC 且 AB ADC. 點 G 是 的重心，則 GB D. 中， AB 和 夾角等于 A 【答案】

14、【解析】 中， AB和的夾角等于 的補角，D 的法是錯誤的本題選擇 D 選項.二、填空題21已知向量， ，中 ，且 與 共線，則當 取最小值時，為_【答案】【解析】由向量共線的充要條件得 / 則當且僅當時，取等號，現(xiàn)在 ，則22已知向量 ，若 （ 實數(shù) _.【答案】【解析】 ，即 ，得23若 AP PB AB 【答案】 ，則 _.【解析】如圖所示，由 AP PB可知點 P 是段 上靠近點 A 的三分點，則 BP結合題意可得： 5 , 2.24如圖所示已知,由射線OA和射線OB及線段 構成如圖所示的陰影區(qū)（不含邊界（1）若 D為 中點,OD （OA,OB表示）（2）已知下列四個向量: / OM

15、OB ; 1OA 3; OM 1 OA ; OM OB 5.關于點 , , , M ,落在陰影區(qū)域內（不含邊界）的點_（把所有符合條件點都填 1 2 4上）【答案】 , 12【解析】若 D 為 中點,則由向量的加法法則可得 D ；設 M 在影區(qū)域，則射線 O 與段 有共點，記為 ， 則存在實數(shù) t 且存在實數(shù) r ，使得OM rON從而OM rtOA 且rt 于 ，故 rt ，解得 r ， 滿足 r 也滿足 條件關于 rt 解得 r ， 13，滿足 r 也滿足 條件， 關于 rt ，解得 r ， 6 5 關于 rt ， ，不滿足 r ，故不滿足條件， 解得 r ， ，不滿足 r ，故不滿足條件

16、，故答案為1).(2). M1 225已知向量 ， b _.【答案】5【解析】由a 1 5,由 a ，方得 2 a b 25，因為a b，因此a ，有20 2 25，解得 / 2 2 2 2 2 3 3 3 b b 整 理可得：， 2 2 2 2 2 3 3 3 b b 整 理可得：， 26已知 a ， b ， a 0 ，若向量 c 滿 【答案】【解析 c cos a c cos a ，因此 或c c，由此可得的取值范疇是.27 在 平 面 直 角 坐 標 系 中 已 知 O 為 坐 標 原 點 ， ， B 0,cos，C ， 若 動 點 1 1 3 3 OC OD的最大值為_.【答案】 7

17、【解析】設動點D ，由題意得動點 D軌跡方程為 則 OB OC OD 2 2 2 由其幾何意義得 2 2 3表示圓上的點到 3 的距離，max 2 1 故OA OB OD max 3 3 點睛：本題要緊考查了平面向量的線性運算及其運用，綜合了圓上點與定點之間的距離最大值先給出動點的軌跡方程，再表示出向量的坐標結果，依據(jù)其幾何意義運算求得結果，本題方法不唯獨，還能夠截了當運算含有 三角函數(shù)的最值28已知向量a b的夾角為，若 a 7，則 _ _。【答案】【解析】由題意可得： b 2 ，據(jù)此可得： . / 2 22 229已知TM 2， 且 TM 若點 P 滿足TM TN 則TP的取值范疇_【答案

18、】【 解 析 】 因 為TM 2 TM ， 由TM TN TM ， 得 TP ,故填30在銳角 【答案】中， ， ， _31如圖，在中， 為段上的一點， ， ，則 _， _.【答案】【解析題合形照面向量的運算法則 因此 ， . ，32若 與 為零向量，且時，則必與 或 中一的方向相同；若 為位向量，且，則 ； ；若 與 共線， 與 共， 與 必共線；若平面內有四個點 ，必有 .上述命題正確的_.（序號）【答案】【解 析】由題意，命題中， 與 相等且方向相反時，不成立；命題中，若 為零向量時不成立；命題中，依照向量數(shù)量積，得 ；題中，若為 零量時，不成立；命題中，依照向量的 / 加減，由，得 ，

19、 ，因此 ，成立，故正確答案為.點睛：此題要緊考查平面向量中的相等向量、共線向量、數(shù)量積、加減法則等有關方面的知識技能，屬于中低檔題，也是平面向量的基礎知識點.此問題中，針對每個命題的條件與結論，逐一對比平面向量相關的知識， 進行運算、判定，抓住零向量方向的專門性，進行驗證，從而問題可得.33設為單位向量，若 為面內的個向量，則；若 與 平行則 ；若 與 平行且 ， .上述命題，假命題個數(shù)_ 【答案】【解析】向量是既有大小又有方向的量， 與兩種情形：一是同向，二是反向，反向時模相同，但方向不一定相同，故為假命題；若 與 方向有 ，故也是假命題，故答案為34如， 為線段 中點， CE ， BD.

20、， DF AF 設 AC ， AB 試 a ， 表 AE，【答案】 AD 1 ， BD 5【 解析題析】依據(jù)題設條件運用向量的三角形法則進行求解：解：因為CB ， CE CF CB b 3， 因此 AE AC CE a . 8 因為 AF ，因此 AD AF a 5，因此BD AD AB 4 5 .35已知 共線的單位向量【答案】 4 或 , 5 5 【解析】由題意可得：AB / 或 AM , 1 3 或 AM , 1 3 設所求向量為：n ，由題意可得：x2 y 2 ，y 求解方程組可得：與向量 共的單位向量為 3 4 .36如下圖所示，平行四邊形 ABCD 的角線 AC 與 BD 相交于點

21、 ，點 M 是段 OD 的中點，設則 = 果用 表示）AB AD ，1 3【答案】a b4 【解析】試題分析：由題可知， AD DM AD 考點：向量的運算 DO DB ( ) = a 4 4；37 已 知是 .， ，數(shù) ， 那下列 四個題中正 確題的 序號f 是周期函數(shù)，其最小正周期為；當 x 時，f 有最小值 ； 8是函數(shù)f 的一個單調遞增區(qū)間；點 2 是函數(shù) f x 的一個對稱中心.【答案】【解析】試題分析： / f f x 1 3 1 x x x sin2 x 2 x 2 2 4 數(shù)f 的周期為， 錯誤的；當 時，f 取得最小值，現(xiàn)在 x k ，即 x k Z ，當 k 時， x ，

22、為正確的；令 2 5 k k ， 2 8， 函 數(shù)f 的 增 區(qū) 間 為 5 3 k ，當 時，函數(shù) 的增區(qū)間為 , ， 正確的；令 8 ，解得 x k， 數(shù)f 的對稱中心為 k Z 2 ，當 時，得點 2 是函數(shù) f x 的一個對稱中心， 正確的上述是正確的命.故答案為.考點：命題的真假；三角函數(shù)的性.38天直梯形 ABCD 中BCADC=90 是腰 DC 上的動點的最小值為 【答案】【解析】試題分析：依照題意，利用解析法求解，以直 分別為 軸立平面直角坐標系，則 （2，a a依向量模的運算公式即可得 ，利用完全平方式非負，即可求得其最小值解：如圖，以直線 DA，DC 分為 x，y 建立平面直角坐標系， 則 A（2，