幾類不同增長的函數(shù)模型-精講版課件

1、y=axy=ax+by=lnx3.2.1幾類不同增長的函數(shù)模型新課導(dǎo)入 函數(shù)是描述客觀世界變化的規(guī)律的基本數(shù)學(xué)模型，不同的變化規(guī)律需要用不同的函數(shù)模型來描述。例如：澳大利亞的兔子數(shù)“爆炸”.澳大利亞兔子 一大群喝水、嬉戲的兔子，多可愛啊，但是這群兔子曾使澳大利亞傷透了腦筋1859年，有人從歐洲帶進(jìn)澳洲幾只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且沒有兔子的天敵，兔子數(shù)量不斷增加，不到100年，兔子們占領(lǐng)了整個(gè)澳大利亞，數(shù)量達(dá)到75億只可愛的兔子變得可惡起來，75億只兔子吃掉了相當(dāng)于75億只羊所吃的牧草，草原的載畜率大大降低，而牛羊是澳大利亞的主要牲口這使澳大利亞頭痛不已，他們采用各種方法消滅這些兔子，直

2、至二十世紀(jì)五十年代，科學(xué)澳大利亞兔子數(shù)“爆炸” 家采用載液瘤病毒殺死了百分之九十的野兔，澳大利亞人才算松了一口氣想一想：這種現(xiàn)象可以用哪個(gè)函數(shù)模型來描述呢？ 在理想條件（食物或養(yǎng)料充足，空間條件充裕，氣候適宜，沒有敵害等）下，種群在一定時(shí)期內(nèi)的增長大致符合“J”型曲線； 在有限環(huán)境（空間有限，食物有限，有捕食者存在等）中，種群增長到一定程度后不增長，曲線呈“S”型 實(shí)際問題實(shí)際分析，那么如何選擇恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型來刻畫呢？ 可用指數(shù)函數(shù)描述一個(gè)種群的前期增長，用對(duì)數(shù)函數(shù)描述后期增長的.前期后期 例1 假設(shè)你有一筆資金用于投資，現(xiàn)有三種投資方案供你選擇，這三種方案的回報(bào)如下： 方案一：每天回報(bào)40元

3、. 方案二：第一天回報(bào)10元，以后每天比前一 天多回報(bào)10元. 方案三: 第一天回報(bào)0.4元，以后每天的回 報(bào)比前一天翻一番. 請問，你會(huì)選擇哪種投資方案？分析：先建立三種方案所對(duì)應(yīng)的函數(shù)模型，方案： 通過比較它們的增長情況，為選擇投資方案提供依據(jù).（1）涉及哪些數(shù)量關(guān)系？（2）如何用函數(shù)描述這些數(shù)量關(guān)系？ 探究1我們來計(jì)算三種方案所得回報(bào)的增長情況：x/天方案一方案二方案三y/元y/元y/元增加量增加量增加量1234040400010203010100.40.81.60.40.8045678304040404040400000040506070803001010101010103.26.41

4、2.825.651.2 214748364.81.63.26.412.825.6107374182.4 從表格中獲取信息，體會(huì)三種函數(shù)的增長差異。下面利用圖象從整體上把握不同函數(shù)模型的增長：4080120160y1012xoy=40y= 10 x 我們看到，底為2的指數(shù)函數(shù)模型比線性函數(shù)模型增長速度要快得多,從中體會(huì)“指數(shù)爆炸”的含義.下面再看累計(jì)的回報(bào)數(shù)： 結(jié)論：投資6天以下，應(yīng)選擇第一種投資方案；投資7天，應(yīng)該選擇方案一或方案二；投資810天，應(yīng)選擇第二種投資方案；投資11天（含11天）以上，應(yīng)選擇第三種投資方案.天數(shù)回報(bào)/元方案一二三401 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1180

5、 120 160 200 240 280 320 360 400 440 10 30 60 100 150 210 280 360 450 550 6600.4 1.2 2.8 6 12.4 25.2 50.8 102 204.4409.2818.8例2 某公司為了實(shí)現(xiàn)1000萬元利潤的目標(biāo)，準(zhǔn)備制定一個(gè)激勵(lì)銷售部門的獎(jiǎng)勵(lì)方案：在銷售利潤達(dá)到10元時(shí)，按銷售利潤進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，且獎(jiǎng)金y（單位：萬元）隨銷售利潤x（單位：萬元）的增加而增加，但獎(jiǎng)金總數(shù)不超過5萬元，同時(shí)獎(jiǎng)金不超過利潤的25%?，F(xiàn)有三個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)模型：其中哪個(gè)模型能符合公司的要求？ 例2涉及了哪幾類函數(shù)模型？本例的實(shí)質(zhì)是什么？我們不妨先作出函數(shù)

6、圖象：通過觀察函數(shù)圖象得到初步結(jié)論：按對(duì)數(shù)模型進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)時(shí)符合公司的要求。40060080010001200200 1 2 3 45678xyo 對(duì)數(shù)增長模型比較適合于描述增長速度平緩的變化規(guī)律。y=5y=0.25x列表計(jì)算確認(rèn)上述判斷：2.51.022.1851.042.544.954.445.044.4424.55模型獎(jiǎng)金/萬元利潤10208008101000y0.25X 當(dāng)x20時(shí)，y5所以該模型不符合要求. 可知道在區(qū)間（800，810）內(nèi)有一點(diǎn)x0，滿足 所以說當(dāng)xx0時(shí)，y5,該模型也不符合要求.xyo我們來看函數(shù) 的圖象:問題:當(dāng) 時(shí),獎(jiǎng)金是否不超過利潤的25%呢?10 對(duì)數(shù)函數(shù)，

7、指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)在(0,+)上都是增函數(shù)，但是它們的增長是有差異的，這種差異具體情況是怎么樣的呢？ 在10，1000上總是小于0.綜上所述:模型 確實(shí)符合公司要求.對(duì)于函數(shù)模型 ：y=2x, y=x2, y=log2x 其中x0. 思考1:觀察三個(gè)函數(shù)的自變量與函數(shù)值對(duì)應(yīng) 表, 這三個(gè)函數(shù)增長的快慢情況如何？ 1.7661.5851.3791.1380.8480.4850-0.737-2.322y=log2x11.5696.764.843.241.9610.360.04y=x210.55686.0634.5953.4822.63921.5161.149y=2x3.43.02.62.21.81.

8、410.60.2x探究2xyo1124y=2xy=x2y=log2x思考2：觀察在同一坐標(biāo)系中這三個(gè)函數(shù)圖象，標(biāo)出使不等式log2x2xx2 , log2xx20時(shí)，你估計(jì)函數(shù)y=2x和y=x2的圖象共有幾個(gè)交點(diǎn)？ xyo1124y=2xy=x2由圖像知2個(gè)交點(diǎn)思考4:上述不等式表明，這三個(gè)函數(shù)模型增長的快慢情況如何？xyo1124y=2xy=x2y=log2x思考1:對(duì)任意給定的a1和n0，在區(qū)間(0,+)上ax是否恒大于xn? ax是否恒小于xn?思考2:一般地，指數(shù)函數(shù)y=ax (a1)和冪函數(shù)y=xn(n0)在區(qū)間(0,+)上，其增長的快慢情況是如何變化的？探究3 一般冪、指、對(duì)函數(shù)模

9、型（y=xn,y=ax ,y= logax ）的差異. 在區(qū)間(0,+)上，無論n比a大多少，盡管在x的一定變化范圍內(nèi)，ax 會(huì)小于xn ，但是由于ax 的增長快于xn 的增長，因此總存在一個(gè)x0 ，當(dāng)x x0時(shí)，就會(huì)有ax xn.思考3:對(duì)任意給定的a1和n0，在區(qū)間 (0,+)上,logax是否恒大于xn? logax是否恒小于xn?思考4:隨著x的增大,logax增長速度的快慢程度如何變化? xn增長速度的快慢程度如何變化？xyo1y=logaxy=xn 在區(qū)間(0,+)上，隨著x的增大， logax增長得越來越慢，圖像就像是漸漸與x軸平行了一樣，盡管在x的一定變化范圍內(nèi)， logax可

10、能會(huì)大于xn ，但由于logax的增長慢于xn 的增長，因此總存在一個(gè)x0 ，當(dāng)x x0時(shí)，就會(huì)有l(wèi)ogax xn思考5:對(duì)于指數(shù)函數(shù)y=ax(a1)，對(duì)數(shù)函數(shù) y=logax(a1)和冪函數(shù)y=xn(n0)，總存在一個(gè)x0，使xx0時(shí),ax,logax,xn三者的大小關(guān)系如何？logaxxn ax 指數(shù)函數(shù)y=ax (0a1)，對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax(0a1)和冪函數(shù)y=xn(n x0時(shí)，就會(huì)有xnax logax.例3 某工廠今年1月，2月，3月生產(chǎn)某種產(chǎn)品分別為1萬件，1.2萬件，1.3萬件，為了估計(jì)以后每個(gè)月的產(chǎn)量，以這三個(gè)月的產(chǎn)品數(shù)量為依據(jù)，用一個(gè)函數(shù)模擬該產(chǎn)品的月產(chǎn)量y與月份數(shù)x的

11、關(guān)系.模擬函數(shù)可以選用y=ax2+bx+c或y=abx+c.已知4月份該產(chǎn)品的產(chǎn)量為1.37萬件，試選用一個(gè)適當(dāng)?shù)哪M函數(shù). 解：分別求出模擬函數(shù)中的a,b,c。假如是模擬函數(shù)y=ax2+bx+c得到a=-0.05,b=0.35,c=0.7，所以此模擬函數(shù)為y=-0.05x2+0.35x+0.7，則四月份的產(chǎn)量是1.2萬件.假如是模擬函數(shù)y=abx+c.得到a=-0.8,b=0.5,c=1.4，所以此模擬函數(shù)為y=-0.80.5x+1.4，所以四月份的產(chǎn)量為1.45萬件.由于已知四月份的產(chǎn)量為1.37萬件，與1.45萬件更接近，所以選用模擬函數(shù)y=abx+c作為估計(jì)以后每月的產(chǎn)量.確定函數(shù)模型

12、利用數(shù)據(jù)表格、函數(shù)體會(huì)直線上升、指數(shù)圖象討論模型爆炸、對(duì)數(shù)增長等不同類型函數(shù)的含義.課堂小結(jié) 1.購買收集“全球通”卡，使用需付基本月租費(fèi)50元，在市內(nèi)通話時(shí)每分鐘另收話費(fèi)0.40元（打出和接聽的標(biāo)準(zhǔn)相同）；購買“神州行”卡，使用時(shí)不收基本月租費(fèi)，但在市內(nèi)通話時(shí)每分鐘花費(fèi)為0.60元（打出和接聽的標(biāo)準(zhǔn)相同）。若某用戶只在市內(nèi)用手機(jī)，并且每月手機(jī)費(fèi)預(yù)算為120元，在不考慮其他因素的情況下，他購買這兩種卡中的更合算.課堂練習(xí)“神州行”卡 2.某學(xué)生離家去學(xué)校，為了鍛煉身體，一開始跑步前進(jìn)，跑累了再走余下的路程，下圖中，縱軸表示離學(xué)校的距離，橫軸表示出發(fā)后的時(shí)間，則下列四個(gè)圖形中較符合該學(xué)生的走法的

13、是 ( )0td0td0td0tdABCDD 3.某種細(xì)菌在培養(yǎng)過程中，每20分鐘分裂一次（一個(gè)分裂為兩個(gè)），經(jīng)過3小時(shí)，這種細(xì)菌由1個(gè)可繁殖成( ) A. 511個(gè) B. 512個(gè) C. 1023個(gè) D. 1024個(gè)B 4.某工廠生產(chǎn)兩種成本不同的產(chǎn)品，由于市場銷售發(fā)生變化，A產(chǎn)品連續(xù)兩次提價(jià)20，B產(chǎn)品連續(xù)兩次降價(jià)20，結(jié)果都以23.04元出售，此時(shí)廠家同時(shí)出售A、B產(chǎn)品各一件，盈虧情況為 ( )A不虧不賺 B虧5.92元C賺5.92元 D賺28.96元B 5.某企業(yè)近幾年的年產(chǎn)值如圖，則年增長率最高的是（增長率=增長值/原產(chǎn)值） ( ) A. 97年 B.98年 C. 99年 D.00年B 6.向高為H的水瓶中注水，注滿為止.如果注水量V與水深h的函數(shù)關(guān)系的圖象如圖所示，那么水瓶的形狀是 ( ) hV0HB 7.某商店出售茶壺和茶杯，茶壺每只定價(jià)20元，茶杯每只定價(jià)5元，該商店制定了兩種優(yōu)惠辦法： （1）買一只茶壺贈(zèng)送一只茶杯； （2）按總價(jià)的92%付款 某顧客需買茶壺4只，茶杯若（不少于4只），若購買茶杯 x(只)付款y（元），試分別建立兩種優(yōu)惠辦法中x與y之間的函數(shù)關(guān)系式，并討論該顧客買