換元積分法課件

1、關(guān)于換元積分法第一張，PPT共五十頁，創(chuàng)作于2022年6月 利用積分性質(zhì)和簡單的積分表可以求出不少函數(shù)的原函數(shù), 但實際上遇到的積分憑這些方法是不能完全解決的. 現(xiàn)在介紹與復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則相對應(yīng)的積分方法 不定積分換元法. 它是在積分運(yùn)算過程中進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q, 將原來的積分化為對新的變量的積分, 而后者的積分是比較容易積出的.第二張，PPT共五十頁，創(chuàng)作于2022年6月引例(因為 d(3x) = 3dx).一、第一換元法(或稱湊微分法）令 u = 3x，則上式變?yōu)榈谌龔垼琍PT共五十頁，創(chuàng)作于2022年6月那么，也就是說上述結(jié)果正確.一般地，能否把公式定理 1 回答這個問題.第四張，PPT

2、共五十頁，創(chuàng)作于2022年6月第一換元法且 u = j (x) 為可微函數(shù)，證已知 F (u) = f (u)， u = j (x)，則所以則第五張，PPT共五十頁，創(chuàng)作于2022年6月第一換元法可以分為以下三個步驟：（1）湊微分：將被積表達(dá)式湊成 的形式，（2）代換：令（3）還原：用于是：求不定積分還原， 即第六張，PPT共五十頁，創(chuàng)作于2022年6月用上式求不定積分的方法稱為第一換元法或稱湊微分法 式就是把已知的積分中的 x 所以說把基本積分表中的積分變量換成可微函數(shù) j (x) 后仍成立 .其中 u = j (x) 可微.換成了可微函數(shù) j (x) .第七張，PPT共五十頁，創(chuàng)作于202

3、2年6月例 1求解對照基本積分表，如果把 dx 寫成了 d(3x + 2)，那么就可用定理 1 及為此將 dx 寫成代入式中，那么令 3x + 2 = u 則a, b 均為常數(shù)，且 a 0.第八張，PPT共五十頁，創(chuàng)作于2022年6月例 2求解上式與基本積分表中相似，為此將 dx 寫成那么令 4x + 5 = u，第九張，PPT共五十頁，創(chuàng)作于2022年6月例 3求解上式與基本積分表中為此將 dx = d(x + 1) 代入式中，那么第十張，PPT共五十頁，創(chuàng)作于2022年6月例 4求(a 0 常數(shù)).解上式與基本積分表第十一張，PPT共五十頁，創(chuàng)作于2022年6月例 5求(a 0 常數(shù)).解

4、第十二張，PPT共五十頁，創(chuàng)作于2022年6月等等.第十三張，PPT共五十頁，創(chuàng)作于2022年6月例 6求解將被積分式中的 xdx 因子湊微分，則經(jīng)求導(dǎo)驗算，結(jié)果正確 .即即第十四張，PPT共五十頁，創(chuàng)作于2022年6月例 7求解湊微分，即則第十五張，PPT共五十頁，創(chuàng)作于2022年6月例 8求解解例 9求第十六張，PPT共五十頁，創(chuàng)作于2022年6月例 10求解第十七張，PPT共五十頁，創(chuàng)作于2022年6月3.利用三角函數(shù)的恒等式.例 12 求解第十八張，PPT共五十頁，創(chuàng)作于2022年6月例 13求解第十九張，PPT共五十頁，創(chuàng)作于2022年6月例 14求解第二十張，PPT共五十頁，創(chuàng)作于

5、2022年6月例 15求解第二十一張，PPT共五十頁，創(chuàng)作于2022年6月例 16求解4.利用代數(shù)恒等式第二十二張，PPT共五十頁，創(chuàng)作于2022年6月例 17求(a 0 常數(shù)).解第二十三張，PPT共五十頁，創(chuàng)作于2022年6月例 18求解第二十四張，PPT共五十頁，創(chuàng)作于2022年6月例 19求解第二十五張，PPT共五十頁，創(chuàng)作于2022年6月例 20求解第二十六張，PPT共五十頁，創(chuàng)作于2022年6月例 21求解第二十七張，PPT共五十頁，創(chuàng)作于2022年6月例 22求解第二十八張，PPT共五十頁，創(chuàng)作于2022年6月二、第二換元法引例為了將被積函數(shù)中的根式去掉，應(yīng)將其作為一個整體，因此

6、令因此，將其代入原積分式中，第二十九張，PPT共五十頁，創(chuàng)作于2022年6月第三十張，PPT共五十頁，創(chuàng)作于2022年6月1.簡單根式代換例 22求解為了去掉被積函數(shù)中的根號，則 dx = 2tdt ，于是有第三十一張，PPT共五十頁，創(chuàng)作于2022年6月回代變量，得第三十二張，PPT共五十頁，創(chuàng)作于2022年6月例 23求解被積函數(shù)含根式為了去掉根號，于是有則 dx = 4t3 dt，第三十三張，PPT共五十頁，創(chuàng)作于2022年6月回代變量，得第三十四張，PPT共五十頁，創(chuàng)作于2022年6月例 24求解為了去掉被積函數(shù)中的根號，于是有第三十五張，PPT共五十頁，創(chuàng)作于2022年6月第三十六張

7、，PPT共五十頁，創(chuàng)作于2022年6月2.三角代換例 25求于是有解則 dx = acost dt，第三十七張，PPT共五十頁，創(chuàng)作于2022年6月 把變量 t 換為 x . 為簡便起見， 畫一個直角三角形，稱它為輔助三角形，如圖.于是有xat第三十八張，PPT共五十頁，創(chuàng)作于2022年6月例 26求解則 dx = asec2 tdt ，于是有第三十九張，PPT共五十頁，創(chuàng)作于2022年6月作輔助三角形，得axt其中 C = C1 - lna .第四十張，PPT共五十頁，創(chuàng)作于2022年6月例 27求解令 x = a sec t，則 dx = a sec t tan t dt，于是有第四十一張

8、，PPT共五十頁，創(chuàng)作于2022年6月作輔助三角形，axt得其中 C = C1 lna .第四十二張，PPT共五十頁，創(chuàng)作于2022年6月作三角代換 x = a sin t 或 x = a cos t；作三角代換 x = a tan t 或 x = a cot t；作三角代換 x = a sec t 或 x = a csc t.第四十三張，PPT共五十頁，創(chuàng)作于2022年6月例 28求解法一三角代換法.令 x = tan t，于是得則 dx = sec2 tdt，第四十四張，PPT共五十頁，創(chuàng)作于2022年6月根據(jù) tan t = x，作輔助三角形，得1xt= ln |csc t cot t | + C第四十五張，PPT共五十頁，創(chuàng)作于2022年6月解法二湊微分法.于是有第四十六張，PPT共五十頁，創(chuàng)作于2022年6月解