2021年中考數(shù)學(xué)專題訓(xùn)練最值問題

1、最值問題一單題1正方形 ABCD 中AB=4P 為角線 BD 上動點(diǎn)F 為射線 AD 一點(diǎn) ， 的積最大值為 )A B6 C D 2 2如圖，在 中， ， ， EF是 BC 的直平分線P 是線 上一點(diǎn) PA 的最小值是（ AC10BD3圖為邊長為 2 的形ABCD的對角線ABC ，點(diǎn) ， 分從點(diǎn) B， 同出發(fā)，以相同的速度沿 BC , 向點(diǎn)C 和 A 運(yùn)，連接AM和，求 面的最大是（ ）A C 1 B 4 3D 34如圖，正方形 ABCD 中，AB， 是 AD 上點(diǎn)且 AE，G 是 CD 上動點(diǎn)，且 ，接 EF 、FG、 ， + 的最小時CG 的為（ ）A BCD125二填題5如圖，P 是 的

2、平分線上一點(diǎn)， ON 于 A， 射線上一個動點(diǎn)，若 則 的小為_第 1 頁6如圖， AB 是的直徑是上半圓的中點(diǎn)， P 是半圓上一與 A B 重合AD 分 PAB 交 PC 于 D 則 的大值為 _7圖邊長為 的形 中 60，ABD 射線 BD 方平移 、 GC求 EC 的最小值_83圖 y x 與 軸交于點(diǎn) y 交于點(diǎn) ，4拋物線y x x 經(jīng)過 C 點(diǎn)點(diǎn) 是線 BC上方拋物線上的一動點(diǎn) E 作 y 軸的平行線交直線 BC 于 M 的大值為9如圖，在 Rt ABC 中 ， ， 繞點(diǎn) C 旋，得到 的應(yīng)點(diǎn)為 A，P 為 的中點(diǎn)連接 在旋轉(zhuǎn)的過程中線段 BP 長度的最大值10圖，在矩形 ABCD

3、 中， 是 eq oac(,O) eq oac(, )直， 是 BC 的點(diǎn)， P 是線 AE 上意一點(diǎn)，、PN 相切于點(diǎn) 、，當(dāng)MPN 最時PM 的為_第 2 頁三解題如拋線 yx+c 與 軸于點(diǎn) （0 軸于點(diǎn) 且 ，在 上有一動點(diǎn) m0點(diǎn) D 作 軸垂線交直線 AB 于 ，拋物 線于點(diǎn) ，（）拋物線的函數(shù)表達(dá)式（）點(diǎn) C 是 DE 中點(diǎn)時，求出 m 的.（條件下線 OD 繞點(diǎn) O 逆時針旋轉(zhuǎn)得到 OD轉(zhuǎn)角為 0a90連接 DA、B，直接寫出 ADB 的最小值第 3 頁12圖，已知二次函數(shù) bxc 的象經(jīng)過 A（，（，3 與 交于點(diǎn) C（）該二次函數(shù)表達(dá)式；（） ABC 的狀，并說明理由；（）

4、 為第一象限內(nèi)該二次函數(shù)圖象上一動點(diǎn)，過 P 作 AC 交直線 BC 于 ， PM 軸交 BC 于 eq oac(, )證 eq oac(, )線 PQ 的度的最大值第 4 頁2 2 參答1【分析】根據(jù) AP=PF 到點(diǎn) P 在 AF 的垂直平分線上 作 PG G 為足AG=GF ，設(shè) AG= 三形面積公式計算得到 S APF ，根據(jù)函數(shù)性質(zhì)即可得到答案【詳解】 eq oac(, )P 在 的直平分線上，過 作 PG G 垂足，則 AG=GF，設(shè) ，則 AG= ，GD=PG= ，1= ) 4 1 ， 2 4所 面最大值為 4 故選：【點(diǎn)睛】此題考查正方形的性質(zhì)線垂平分線的判定及性質(zhì)二次函數(shù)的最

5、值問題正引出輔 助線并設(shè)定未知數(shù)解決問題是解題的關(guān)鍵2【分析】根據(jù)題意，設(shè) 與 的點(diǎn)為點(diǎn) P，連接 BP，由垂直平分線的性質(zhì)，則 BP=CP，到PA PB AC 【詳解】，即可得到 PA PB 的小第 5 頁解：根據(jù)題意，設(shè) EF 與 AC 交點(diǎn)為點(diǎn) P，連接 BP如圖： EF 是的垂直平分線， PA PB PA PC AC ， PB 的小值為 8；故選：【點(diǎn)睛】本題考查了垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確找出點(diǎn) P 的置，使得 PA PB 有小 值3【分析】由題意易得BM ，易 BCN 則 BAM，進(jìn)而可得 可知點(diǎn) 的動軌跡是一個圓 為腰三角形時 eq oac(,，)ABP的面積最大，進(jìn)而問

6、題可求解 【詳解】解：由 M， 點(diǎn)的速度相同可知BM ， eq oac(, )邊 是形 ABC=60 AB=BC ABC=ACB=60 eq oac(, ) BAM（SAS， eq oac(, )NBC ABN 60， ABN APN 60， ， eq oac(, )AB 定長， ， eq oac(, ) 的運(yùn)動軌跡為一個圓弧，在APB上運(yùn)動，圓心 Q 位置為 AB 的直平分線的交點(diǎn)，點(diǎn) 在 Q 為心 QB 半徑的圓上，由優(yōu)弧 的周角為 可得劣 所第 6 頁對的圓心角度數(shù)為 120，點(diǎn) 作 交 AB 于 ， 所示：AB于點(diǎn) H，接 BQ，如圖 eq oac(, )點(diǎn) P 與 H 重時，此 AB

7、P 的積為最大，AB 2 ，APB=120 BE 3 BQE=60 60 tan ，EH=1 AB 邊的高為 1， 的面積大值為 ；故選 D【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的基本性質(zhì)及三角函數(shù)，熟練掌握圓的基本性質(zhì)及三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵 4【分析】由 ，得到 =FG而 是值，要使 BG 的最，只需 + 最即可設(shè) =可得 EFBG ( x 設(shè) 04，1 MQ+MP( x .通過構(gòu)造新圖形（圖 2問題轉(zhuǎn)化將軍飲馬問題，求解即可 【詳解】第 7 頁過 G 作 于 GH、BE 交于 IBE、 交于 O，圖 1 eq oac(, ) eq oac(, )， eq oac(,) eq oac(, ) eq oac(

8、,=)=90， eq oac(,) eq oac(, ) eq oac(,+) eq oac(, ) eq oac(, )IOG， eq oac(,) eq oac(, )OGI eq oac(,+) eq oac(,) eq oac(, )HIB eq oac(,=) eq oac(,) eq oac(, ) eq oac(,=) 是方形， eq oac(, )=BC eq oac(,A) eq oac(, )= eq oac(,=)=90 eq oac(,) eq oac(, )BHI， 是形， eq oac(, )，CG， eq oac(, )= eq oac(,A) =90，F(xiàn)HG=9

9、0， eq oac(,) eq oac(, ) eq oac(,=) eq oac(,) eq oac(, ) eq oac(,=)，= eq oac(,=)， eq oac(,) eq oac(, ) eq oac(,) eq oac(, )， eq oac(, )=，= eq oac(, )= 4 是定值， eq oac(, )使 +FG+BG 的值最小，只需 EF+BG 最即可第 8 頁設(shè) CGx， BH eq oac(, )=， eq oac(, )=41-x=3x， eq oac(, )=AF (3 )，HBHG ， eq oac(, )+= ( 2 x 2 設(shè) （，0（，（， =

10、( 如圖 ，作 （0，）關(guān)于 的對稱點(diǎn) ， （，4連結(jié) Q 交 x 軸于點(diǎn) ，連結(jié) ，則 +MP=MQ+MPQ 最小 過 Q 作 于 N則 QN=1，=4.x， eq oac(, )ON-=3- eq oac(,) eq oac(, )QNM eq oac(,=)OM=90，QMN eq oac(,=)MO， eq oac(,) eq oac(, )QNM eq oac(,) eq oac(, )OM， MN ， OM 3 x， eq oac(,x) eq oac(, )=125故選：【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)相似角形的判定與性質(zhì)原題轉(zhuǎn)化為將軍飲馬問”是解答第 9 頁本題的關(guān)鍵5【分析】根

11、據(jù)角平分線的性質(zhì)定理解答【詳解】解：當(dāng) PQOM 時PQ 最， 角分線上的一點(diǎn) PQPQ=PA=8故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的是角平分線的性質(zhì)角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵 6 2 【分析】由同弧所得的圓周角相等得到APC ，直徑所得的圓周角是 90到ACB ，繼而證明 APC ABC 45，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)解得BAD ，結(jié)合三角形外角的性質(zhì)可證 ADC，接著由線段的和差解得PD CP CP ，由此可知當(dāng) CP 為徑時 PD 值最大，然后證明 ACB 為腰直角三角形，最后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)及勾股定理解題 【詳解】解：點(diǎn) C 是半圓的中點(diǎn)， BCAPC ABC BC

12、AB是O的直徑， 90 CBA 45 ABC 45 AD 分 PAB第 10 頁 DAP BAPADC APC 45, CAD CAB BAD 45 ADC AD PD CP CD CP 要使 PD 最，即使得 最，當(dāng) CP 為徑時值最大，在 Rt 中， AC ACB為等腰直角三角形， 2 AC 最大值為 PD 最大值為 2 ，故答案為： 【點(diǎn)睛】本題考查同弧所得的圓周角相等、直徑所得的圓周角是 90、平分線的性質(zhì)、三角外角的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，是重要考點(diǎn)，難度一般，掌握相 關(guān)知識是解題關(guān)鍵7 【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)得到 根據(jù)平移的性質(zhì)得到 EG， eq oac(

13、, )，出四邊形 EGCD 是行四邊形，得到 ED，是得到 ECGC 的小值+GD 的小值，根據(jù)平移的性質(zhì)得到點(diǎn) E 在點(diǎn) 且行于 的直線上，作點(diǎn) D 關(guān)定直線的 對稱點(diǎn) M，接 CM 定直線于 AE，直角三角形即可得到結(jié)論【詳解】解 在邊長為 的形 ABCD 中ABC， eq oac(, )，第 11 eq oac(, ) 沿線 BD 的向移得 EGF， eq oac(, )， eq oac(, )， eq oac(, )邊 ABCD 是菱形， eq oac(, )， ， eq oac(,) eq oac(, )BAD120， eq oac(, )， eq oac(, )邊 EGCD 是平行

14、四邊形， eq oac(, )GC eq oac(, )GC 的最小值ECED 的小值， eq oac(, ) 在過點(diǎn) A 且行于 BD 定直線上， eq oac(, )圖作點(diǎn) D 于定直線的對稱點(diǎn) M連接 CM 交直線于 E 則 的度即為 EC+DE 的最小值， eq oac(,) eq oac(, )EADAD， eq oac(,) eq oac(, )60， AD 2， eq oac(, )， eq oac(, )， eq oac(,) eq oac(, ) eq oac(,+) eq oac(,) eq oac(, )M， eq oac(, ) CD= 3 故答案為： 3 【點(diǎn)睛】第

15、12 頁 m m m m 2 本題考查菱形的性質(zhì)圖形的對性線最短和平行四邊形的性質(zhì)與判定及直角三 角形，解題的關(guān)鍵是將兩條線段的和轉(zhuǎn)化為同一條線段求解8【分析】設(shè)出 的坐標(biāo)，表示出 M 坐標(biāo)，進(jìn)而表示出 EM，成頂點(diǎn)式即可求得 EM 的最大值 【詳解】解 點(diǎn) E 是直線 方拋物線上的一動點(diǎn)， eq oac(, ) 的坐標(biāo)是， m2 3 M 的坐標(biāo)是（， m 4 eq oac(, ) 3 3 3（ ） （2） （） 82+， eq oac(, )m 時EM 最大值為，故答案為【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征練握二次函 數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵911【分析】連接 ，

16、點(diǎn) B、 三點(diǎn)共線時， 最長，根據(jù)已知條件求出此時的 BP 的. 【詳解】 90 ， BC ，AB= 6 ，由旋轉(zhuǎn)得 A A中點(diǎn)為 P ，PC PA =5，第 13 頁連接 ，旋轉(zhuǎn)到點(diǎn) B、P 三共線時BP 最，BP=CB+PC=6+5=11故答案為 11【點(diǎn)睛】此題考查直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解題中首先確定解題思路，根據(jù)旋轉(zhuǎn)得 的 最大值即是 進(jìn)行求值，確定思路是解題的關(guān).10【分析】連接 ，根據(jù)切線長定理可知MPO ，為 OM DC 2，故當(dāng)OP 最（即 OP 垂 時sin OMOP最大，此時 最大，由此得到 P點(diǎn)，再求出 OP 長在 PMO 中出 PM 即可解答 【詳解】解：連接

17、OPOM， eq oac(, )、 相于點(diǎn) MNMPO ， 90，sin OMOP，在矩形 ABCD 中CD=4， 直，第 14 頁 ， CD eq oac(, )當(dāng) OP 最小（即 OP 垂 AC 時sin OMOP最大，延長 DC 交線 于 ， eq oac(,E) eq oac(, )是 的點(diǎn)BC， eq oac(, )=3, eq oac(, )矩 ABCD 中，ABC 90， AB ， eq oac(, )矩 ABCD 中，AB CD， ， sin eq oac(, )，=3 eq oac(, )OCCG=2+4=6，OP 垂 AC 時， MPN最大， OP OG sin G ，在

18、PMO 中 故答案為-OM 4 14 = 2 = ， 【點(diǎn)睛】本題主要考查了幾何的最值問題，綜合性強(qiáng)，涉及了圓的切線性質(zhì)，矩形性質(zhì)、解三角形、點(diǎn)到直線的距離垂線段最小等知識，解題關(guān)鍵是切線長定理可知MPO ，然最大后關(guān)鍵在 PMO 中 MPNsin OMOP最大，此時 最大，得出 OP 直 時）y x ）A+ BD的最小值為 17 2【分析】（）用待定系數(shù)法求出拋物線解析式即可；（）得 ，m 2 )，（-m+4示 的，根據(jù) EC=CD 可得出第 15 頁關(guān)于 m 的程，解方程求出 m 的即；（） y 軸上取一點(diǎn) M使得 OM，接 AM，在 上取一點(diǎn) D使 OD=OD明 M eq oac(,)O

19、B，可求解【詳解】解） ， eq oac(, )B 的標(biāo)為，4將點(diǎn) 、 的標(biāo)入拋物線 ， y x 2 ， 解得： c ， eq oac(, )物的函數(shù)表達(dá)式為y x ；（）直線 的解析式為y ，k ，解得： ， eq oac(, )線 AB 的析為y ； eq oac(, )點(diǎn) D（，4）作 x 軸垂線交直線 AB 于點(diǎn) C交拋物線于點(diǎn) E，E(mm 2 )，（，-EC= 1m = m 2， eq oac(, )C 是 DE 中點(diǎn)， m ，解得：，m=4（去m=2（）圖，由2）可知 D（ y 軸上 取點(diǎn) M使 OM=1，接 ，在 AM 上取一點(diǎn) D使 OD=OD第 16 頁OD，OM， OD， OM OB ， eq oac(,) MOD， eq oac(, )OD eq oac(,)，M OD 1 BD 2，M= BDA+ BD=DD，此時 D BD最?。▋牲c(diǎn)間線段最短，、D 共線時A+BD的最小值A(chǔ)M=2 【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題考了定系數(shù)法求出函數(shù)解析式矩形的判定相三角形的判定和性質(zhì)，最小值問題等