數(shù)學(xué)問題提出能力的測評模型及指標(biāo)賦權(quán)

1、數(shù)學(xué)問題提出能力的測評模型及指標(biāo)賦權(quán)摘要:數(shù)學(xué)問題提出能力的測量與評估成為數(shù)學(xué)教學(xué)研究的熱點(diǎn)議題，其測評模型及指標(biāo)賦權(quán)的合理性 與科學(xué)性是研究者關(guān)注的首要問題.該文在梳理數(shù)學(xué)問題的定義、已有的測評內(nèi)容和方式的基礎(chǔ)上，從問 題的本質(zhì)特征、數(shù)學(xué)特征和語言特征這3個維度構(gòu)建數(shù)學(xué)問題提出的測評模型，并對該模型中的指標(biāo)進(jìn) 行了 2級賦權(quán).研究結(jié)果表明:()驗(yàn)證性因素分析的各項(xiàng)指標(biāo)均較好，所提測評模型具有較好的結(jié)構(gòu)效 度，并且各維度的內(nèi)部信度也較高；(11)最大特征根計(jì)算的一致性指標(biāo)C,和一致性比例CR表明，基于矩 陣判別表的專家賦權(quán)具有較高的一致性，賦權(quán)具有較好的合理性和科學(xué)性.測評模型和指標(biāo)權(quán)重的確定

2、, 為如何測量及評估學(xué)生的問題提出能力提供了較為合理的思路.關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)問題提出能力;測評指標(biāo);測評工具;指標(biāo)賦權(quán)0問題提出阿爾伯特愛因斯坦E曾說過，提出問題要從 新的角度來看待舊的問題，需要一定的創(chuàng)造性和想 象力，往往比解決問題更重要.1989、1991和2000 年全美數(shù)學(xué)教師聯(lián)合會NCTM頒布的學(xué)校數(shù)學(xué)課 程與評價標(biāo)準(zhǔn)(數(shù)學(xué)教學(xué)的專業(yè)標(biāo)準(zhǔn)(和學(xué) 校數(shù)學(xué)的原則與標(biāo)準(zhǔn)血都明確強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)問題提出 的重要性在國際學(xué)生評價項(xiàng)目(Programmer for International Student Assessment，PISA)所界定的 8 項(xiàng) 數(shù)學(xué)素養(yǎng)中，問題提出能力位居第2.中國2011 年

3、全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)在原有分析 和解決問題的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步明確要求學(xué)生能從數(shù) 學(xué)角度提出問題、理解問題，注重培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意 識、創(chuàng)新意識和實(shí)踐能力.2017年普通高中數(shù)學(xué)課 程標(biāo)準(zhǔn)刃從數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的角度出發(fā)，再次 強(qiáng)調(diào)了發(fā)現(xiàn)和提出問題的重要性，要求學(xué)生能用數(shù) 學(xué)語言發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，把發(fā)現(xiàn)問題、提出問 題、分析問題和解決問題這“四能”作為學(xué)生應(yīng)掌握 的基本能力.可見，問題提出能力是數(shù)學(xué)學(xué)科核心能 力的重要組成部分,對于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思 維均起著重要的作用.在培育數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)背景下， 學(xué)生問題提出能力作為數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的一種體現(xiàn)逐 漸成為數(shù)學(xué)教育研究和實(shí)踐領(lǐng)域的主要關(guān)注點(diǎn)之

4、一囪，其中數(shù)學(xué)問題提出能力測評模型的構(gòu)建及指 標(biāo)賦權(quán)就是一個重要議題.縱觀數(shù)學(xué)問題提出能力測評的文獻(xiàn)，已有研究 的視角和側(cè)重點(diǎn)各不相同.有的研究是從問題的性 質(zhì)申和信息處理方式山等角度對測評指標(biāo)進(jìn)行 論述,但要么未體現(xiàn)問題該有的本質(zhì)特征，要么在具 體應(yīng)用中較煩瑣，例如要進(jìn)行質(zhì)性分析和編碼，沒有 可量化的指標(biāo)直接對其進(jìn)行判斷.此外，盡管少數(shù)學(xué) 者對測評指標(biāo)進(jìn)行了賦權(quán)的研究，但其思路是直接 利用教師賦權(quán)的數(shù)值作為各指標(biāo)的權(quán)重.若能利 用專家在判斷矩陣上的數(shù)值，充分發(fā)揮專家群決策 功能，通過統(tǒng)計(jì)方法計(jì)算出各級指標(biāo)的權(quán)重,并對賦 權(quán)結(jié)果進(jìn)行信度驗(yàn)證，則在一定程度上可以避免直 接賦權(quán)的主觀性和不一致性.

5、為此,本文擬在梳理 “問題”和“數(shù)學(xué)問題”的本質(zhì)特征、數(shù)學(xué)問題提出的 測評方式等相關(guān)文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上，構(gòu)建一個較為合理 的測評模型，對模型中的各級指標(biāo)進(jìn)行科學(xué)賦權(quán)，并 對2者的信效度進(jìn)行驗(yàn)證，以期為學(xué)生數(shù)學(xué)問題提 出能力的相關(guān)研究提供可直接量化的測評模型和指 標(biāo)權(quán)重.數(shù)學(xué)問題提出能力的量化與顯性化,對于教 材的編寫、學(xué)生問題提出的教學(xué)與培養(yǎng)、測評方式的 變革等均有一定的參考價值.1數(shù)學(xué)問題提出能力測評模型的構(gòu)建1.1關(guān)于“問題數(shù)學(xué)問題”的定義要研究數(shù)學(xué)問題提出，首先要清楚“問題”和 “數(shù)學(xué)問題”的本質(zhì)特征.從心理學(xué)的視角而言N, 問題應(yīng)包括事物的初始狀態(tài)、想要達(dá)到的目標(biāo)狀態(tài) 以及存在于2者之間的障

6、礙.從信息加工的角度來 說皿，數(shù)學(xué)問題對于學(xué)生而言，是一組尚未達(dá)到目 標(biāo)狀態(tài)的、有待加工處理的信息系統(tǒng)，由已知條件、 結(jié)果狀態(tài)和算法的數(shù)學(xué)表達(dá)構(gòu)成.義務(wù)教育數(shù)學(xué) 課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）兇中指出：問題提出能力是 創(chuàng)新意識的一種體現(xiàn)，它指的是學(xué)生根據(jù)所給問題 情境，基于自身數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)和對特定情境的理解，建構(gòu) 出包含已知條件、目標(biāo)信息（即應(yīng)達(dá)到的結(jié)果狀態(tài)） 以及運(yùn)算信息（即包括算法或策略在內(nèi)的數(shù)學(xué)問題 表達(dá),這種表達(dá)可以是文字、圖形或者符號）.1.2數(shù)學(xué)問題提出能力已有的測評方式已有關(guān)于數(shù)學(xué)問題提出能力的測評，多是基于 問題情境，讓學(xué)生提出不同難度水平的數(shù)學(xué)問 題，通過評價學(xué)生所提數(shù)學(xué)問題的質(zhì)量來評

7、估學(xué)生 的數(shù)學(xué)問題提出能力.早期的研究主要是要求學(xué)生在完全開放式的情 境中提出盡可能復(fù)雜的問題，測評方式主要是憑借 教師或研究者的經(jīng)驗(yàn)主觀地從難度（復(fù)雜度）、新奇 性等維度對學(xué)生問題提出能力進(jìn)行評定心刃，該測 評方式較為簡單粗糙、缺乏統(tǒng)一的量化標(biāo)準(zhǔn)，但為后 來的研究者提供了一些可參考的測評指標(biāo)要素.隨著研究的不斷深入，研究者們逐漸意識到早 期經(jīng)驗(yàn)性的測評框架的不嚴(yán)謹(jǐn)性，開始采用基于具 體的情境任務(wù)的評價方式.通過讓學(xué)生根據(jù)所給情 境提出問題,對學(xué)生提出的問題進(jìn)行分類，根據(jù)學(xué)生 所提問題的性質(zhì)申或信息處理方式皿對其所提 問題進(jìn)行分類，從而對其問題提出能力加以評價.但 這些測評方式均未從“問題”的

8、本質(zhì)特征進(jìn)行清楚 界定.如有研究采用具體的任務(wù)情境,要求學(xué)生在規(guī) 定時間內(nèi)根據(jù)給定的問題情境提出可解答的問題， 以是否為數(shù)學(xué)問題、問題是否可解以及問題的復(fù)雜 性3個指標(biāo)對學(xué)生提出的數(shù)學(xué)問題進(jìn)行編碼a，但 該測評方式并未從“問題”的本質(zhì)特征出發(fā)界定清 楚所提問題是否為數(shù)學(xué)問題.夏小剛等借鑒創(chuàng)造力的測評方式，通過問題 的數(shù)量來評價思維的流暢性，通過問題的種類來評 價思維的靈活性，通過問題的新穎性來評價思維的 獨(dú)創(chuàng)性，從而對學(xué)生的數(shù)學(xué)問題提出能力進(jìn)行評價， 但創(chuàng)造性這一 “質(zhì)”的標(biāo)準(zhǔn)的衡量仍是一個難點(diǎn)，以 流暢性、變通性、創(chuàng)新性為標(biāo)準(zhǔn)的評價體系，這3個 標(biāo)準(zhǔn)能否涵蓋學(xué)生提問能力的全部仍有待商榷.C.

9、 Osman等閥結(jié)合前人的研究，從問題的可 解性、合理性、數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)、問題情境以及語言5個1 級指標(biāo)對數(shù)學(xué)問題提出能力進(jìn)行評價.該研究較好 地體現(xiàn)了問題的多樣性，從多角度多層面綜合地對 數(shù)學(xué)問題提出能力進(jìn)行評價，但測評指標(biāo)是否在同 一層面以及各個指標(biāo)的權(quán)重是否一致值得進(jìn)一步思考.1.3數(shù)學(xué)問題提出能力測評模型的提出通過梳理文獻(xiàn)可以發(fā)現(xiàn)，已有研究其研究范式 是一致的，均是基于某一問題情境，讓學(xué)生盡可能多 地提出不同的數(shù)學(xué)問題，然后從多個角度對學(xué)生所 提問題進(jìn)行分析，從而判斷其數(shù)學(xué)問題提出能力，但 其“多個角度”各不相同，這就無法形成一個統(tǒng)一 的、完善的評價模型.綜合上述文獻(xiàn),要通過分析學(xué) 生所提問

10、題的質(zhì)量來推斷其問題提出能力，研究者 認(rèn)為:首先就要看所提問題是否符合“問題”和“數(shù) 學(xué)問題”的基本特征，若符合了 3個本質(zhì)特征，則至 少學(xué)生所提的是個問題;其次,則是看所提問題的廣 度和深度，這可以通過學(xué)生提出問題的數(shù)量、復(fù)雜 性、隱含信息等數(shù)學(xué)特征來分析;再次，還要看所提 問題的語言特征，相同的問題，語言表述的精確性與 簡潔性不一樣，其質(zhì)量也不一樣.由此，可以通過分 析學(xué)生在問題的本質(zhì)特征、數(shù)學(xué)特征和語言特征下 各級指標(biāo)的得分來評估學(xué)生的問題提出能力.1.3.1問題的本質(zhì)特征“問題”應(yīng)包含條件信 息、目標(biāo)信息和運(yùn)算信息13，從而學(xué)生所提的問題 首先要符合問題的本質(zhì)特征，即：（1）已知條件的

11、描 述是否清晰合理;（11）是否是在基于對所給問題情 境的理解下提出的;（111）根據(jù)已知條件問題的目標(biāo) 狀態(tài)能否求解.這既符合了 D. H. Jonassen關(guān)于 結(jié)構(gòu)良好問題的定義，也符合了問題提出活動的特 性一所提問題基于對所給情境的理解.情境理解 性是指學(xué)生理解所給的問題情境，提出的數(shù)學(xué)問題 符合題目給定的問題情境邸.此外，研究者發(fā)現(xiàn)理 解問題情境很有可能是問題提出的首要步驟,理解 問題情境直接影響提出問題質(zhì)量21.因此,將問題 的本質(zhì)特征歸納為:已知條件合理性、目標(biāo)狀態(tài)可解性 以及情境理解性.1.3.2問題的數(shù)學(xué)特征 已有研究22蕓將問題的 數(shù)量作為評價問題提出能力的要素之一，這是值

12、得 借鑒的，合理、可解的數(shù)學(xué)問題的數(shù)量在一定程度上 反映了學(xué)生思維的流暢性.問題類型在一定程度上體現(xiàn)了學(xué)生認(rèn)知水平， 心理學(xué)家將問題劃分為常規(guī)問題和非常規(guī)問題 解決常規(guī)問題的依據(jù)主要是從已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中提 取,更多體現(xiàn)的是復(fù)現(xiàn)性，給出了所有必要的已知條 件有確定的答案.解決非常規(guī)問題不能直接用已知 經(jīng)驗(yàn)來處理當(dāng)前情境，需要以原來的認(rèn)知結(jié)構(gòu)為基 礎(chǔ)，通過獨(dú)立思考形成新的認(rèn)知結(jié)構(gòu).非常規(guī)問題通 常是開放型的，沒有確定的答案，還缺乏很多有關(guān)信 息，解決非常規(guī)性問題的方式更多體現(xiàn)為創(chuàng)造性和 探索性25.從認(rèn)知的角度來看，情境是認(rèn)知活動的信息來 源.數(shù)學(xué)情境是包含相關(guān)數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)思想方法 的情境，激發(fā)數(shù)

13、學(xué)問題提出的同時也能為數(shù)學(xué)問題 的提出和解決提供相應(yīng)的信息和依據(jù).適宜的問題 表征可以促進(jìn)個體對問題的正確理解.學(xué)生需要根 據(jù)所給的問題情境，在已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上對問 題情境進(jìn)行理解和內(nèi)化，發(fā)現(xiàn)問題空間從而形成問 題圖式皿.因此，本文將學(xué)生通過數(shù)學(xué)語言、符號或 圖形進(jìn)行表達(dá)的問題表征作為評價學(xué)生的數(shù)學(xué)問題 提出能力的指標(biāo)之一.學(xué)生所提數(shù)學(xué)問題的復(fù)雜性可通過問題結(jié)構(gòu)的 完整性來體現(xiàn)，問題的復(fù)雜性本質(zhì)上是初始狀態(tài)到 目標(biāo)狀態(tài)的算子，算子不同，即從初始狀態(tài)到目標(biāo)狀 態(tài)所要克服的障礙不同W.有的算子只需要單步驟 便能實(shí)現(xiàn)起始狀態(tài)向目標(biāo)狀態(tài)的轉(zhuǎn)換，而有的算子 需要多步驟的操作才能完成任務(wù).這與紐威爾和

14、西 蒙所提出的問題空間理論相一致況.因此,本文通 過解答學(xué)生提出的問題所需步驟判斷該問題結(jié)構(gòu)的 完整程度，作為評價學(xué)生數(shù)學(xué)問題提出能力的要素 之一.問題的已知條件是否含有隱含信息，也會影響 問題的空間狀態(tài)，含有隱含信息的已知條件在認(rèn)知 加工過程中需要對信息進(jìn)一步挖掘才能達(dá)到目標(biāo)狀 態(tài).數(shù)學(xué)數(shù)量關(guān)系分為直述數(shù)量關(guān)系和隱含數(shù)量關(guān) 系，區(qū)別在于是否通過題目直接給出，隱含數(shù)量關(guān)系 指的是隱含的數(shù)值關(guān)系以及隱含的運(yùn)算關(guān)系散.因 此，本文將是否含有隱含條件作為評價學(xué)生數(shù)學(xué)問 題提出能力的要素之一.1.3.3問題的語言特征從問題的語言特征出發(fā)， 梳理出3個用于評價學(xué)生所提數(shù)學(xué)問題的評價指 標(biāo):語言的簡潔性、

15、精確性和邏輯性.有學(xué)者認(rèn)為一 個好的數(shù)學(xué)問題表述應(yīng)當(dāng)是清晰、準(zhǔn)確、簡潔易懂 的,且具有一定的邏輯性2,姬.可見,學(xué)生的語言表 征能力對于學(xué)生提出數(shù)學(xué)問題是有一定影響的，語 言表征包含學(xué)生的表達(dá)是否清晰易懂、是否清楚準(zhǔn) 確完整以及是否嚴(yán)謹(jǐn)有條理.由此，綜合對上述文獻(xiàn)的梳理和分析，研究構(gòu)建 出數(shù)學(xué)問題提出能力的測評模型(見圖1).I數(shù)學(xué)問題提出能力測評模型I2數(shù)學(xué)問題提出能力測評模型的信效 度驗(yàn)證圖1已經(jīng)明確了測評模型的各級關(guān)系，但模型 構(gòu)建是否合理，這需要通過收集相關(guān)數(shù)據(jù)來驗(yàn)證其 信效度，具體步驟為:(1)將11個指標(biāo)設(shè)計(jì)成數(shù)學(xué)問 題提出能力測評指標(biāo)的調(diào)查問卷,收集一線教師、教 研員等對于這些指

16、標(biāo)的認(rèn)同度數(shù)據(jù);(11)效度的驗(yàn) 證可直接通過驗(yàn)證性因素分析來進(jìn)行;(111)在驗(yàn)證 性因素分析確定了最終模型的基礎(chǔ)上，信度的驗(yàn)證 可通過分析總維度及各分維度的內(nèi)部一致性系數(shù)來 進(jìn)行.2.1研究對象中小學(xué)一線數(shù)學(xué)教師、教研員、數(shù)學(xué)專業(yè)的碩士 和博士，以及從事數(shù)學(xué)教育的高校教師.本次共收集 353份數(shù)據(jù).其中小學(xué)數(shù)學(xué)教師162名、初中數(shù)學(xué)教 師116名、高中數(shù)學(xué)教師41名、高校教師3名、數(shù)學(xué) 專業(yè)碩士和博士共31名.通過問卷星收集了福建、 浙江、安徽、河南、江西、四川等14個省的數(shù)據(jù).2.2研究工具將11個指標(biāo)設(shè)計(jì)成數(shù)學(xué)問題提出能力測評指 標(biāo)的調(diào)查問卷，要求參與調(diào)查者根據(jù)自己對數(shù)學(xué)問 題提出的理

17、解，判斷各個指標(biāo)用于評價學(xué)生所提數(shù) 學(xué)問題的重要性程度，各指標(biāo)均給出具體解釋以便 被試能夠更好地理解例如，已知條件合理性是指學(xué) 生提出的問題對已知條件的描述是否清楚合理，請 根據(jù)您的理解，判斷該指標(biāo)的重要性程度.問卷采用 李克特5點(diǎn)計(jì)分,1表示非常不重要,5表示非常 重要.2.3數(shù)據(jù)分析方法采用Amos24.0通過驗(yàn)證性因素分析對數(shù)學(xué)問 題提出能力測評模型進(jìn)行效度驗(yàn)證，采用SPSS23.0 軟件對數(shù)據(jù)進(jìn)行信度分析.2.4研究結(jié)果數(shù)學(xué)問題提出能力是一種綜合能力，其影響因 素之間具有密不可分的關(guān)系.因此，構(gòu)建的數(shù)學(xué)問題 提出能力模型應(yīng)該是多層次和多變量的.本文從多 角度綜合對數(shù)學(xué)問題提出能力進(jìn)行評

18、價，利用調(diào)查 數(shù)據(jù)進(jìn)行建構(gòu)效度檢驗(yàn)，驗(yàn)證數(shù)學(xué)問題提出能力測 評模型的有效性與科學(xué)性.驗(yàn)證性因素分析的結(jié)果如圖2和表1所示.從 圖2和表1可知，所有的觀測變量與潛在變量之間 的因素負(fù)荷量均高于0.6; Cmin/Df為3.214,小于5; 所有的擬合指數(shù)均高于0.9；殘差指標(biāo)均小于0.08,在 適當(dāng)范圍內(nèi).這些結(jié)果均達(dá)到測量學(xué)要求，這表明所構(gòu) 建的模型較為科學(xué)合理，具有良好的建構(gòu)效度四.在測評模型確定的基礎(chǔ)上，對總問卷及各分問 卷進(jìn)行信度分析,結(jié)果發(fā)現(xiàn)總問卷的克隆巴赫（系 數(shù)為0.871,問題的本質(zhì)特征、數(shù)學(xué)特征、語言特征 的克隆巴赫（系數(shù)分別為0.717、0.761、0.824，均 大于0.6

19、50，這表明該模型的總維度及各分維度均 具有較好的內(nèi)部一致性.表1模型擬合指數(shù)MODELGFICFIIFINFIACFIRMSEARMR20.9380. 9380. 9380.9130. 9000. 0800. 033圖2數(shù)學(xué)問題提出能力的測評模型3數(shù)學(xué)問題提出能力測評指標(biāo)的賦權(quán)驗(yàn)證性因素分析確定了測評模型，其中問題 的本質(zhì)特征、數(shù)學(xué)特征及語言特征為1級指標(biāo)，其 余均為2級指標(biāo)（見圖2）.雖然模型中各級指標(biāo)會 互相影響，但并非所有指標(biāo)對于評價數(shù)學(xué)問題提出 的影響程度都是一致的，因此需要對各指標(biāo)進(jìn)行 賦權(quán).為了降低研究者的主觀性，研究采用層次分析 法（The analytic hierarchy

20、 process，AHP）國對各級測 評指標(biāo)進(jìn)行賦權(quán).層次分析法將一個復(fù)雜決策系統(tǒng) 視為整體，首先將與決策有關(guān)的元素分解為目標(biāo)、準(zhǔn) 則、方案等層次,然后層層分解為若干層次目標(biāo)和影 響因素;其次，用量化的方式來體現(xiàn)各個因素之間關(guān) 于重要性的主觀判定,構(gòu)建判斷矩陣表;再次,通過 數(shù)學(xué)方法可以計(jì)算出各層次中所蘊(yùn)含的各個因素的 相對重要性的權(quán)重;最后，利用定性指標(biāo)模糊量化方 法算出各層次權(quán)向量的單排序和總排序，實(shí)現(xiàn)定性 問題的定量化研究，從而確保得出的指標(biāo)權(quán)重具有 較高的可信度，指標(biāo)權(quán)重能代表該項(xiàng)指標(biāo)在整個評 價體系中的重要性.3.1研究對象層次分析法（AHP）主要是以研究對象理解問 題的實(shí)質(zhì)和要素為

21、出發(fā)點(diǎn)，其中定性的成分占據(jù)了 主導(dǎo)地位,因此需要的定量數(shù)據(jù)較少即.本文的研 究對象均是教齡在10年以上的專家，其中包含4名 數(shù)學(xué)專家和1名測量學(xué)專家，專家的職稱結(jié)構(gòu)為 1名一級教師和4名高級教師.3.2研究思路根據(jù)層次分析法（AHP）的原理，結(jié)合驗(yàn)證性因 素分析所得出的測評指標(biāo)，將用于評價數(shù)學(xué)問題提 出能力的要素進(jìn)行分層.本研究的目標(biāo)就是數(shù)學(xué)問 題提出能力，目標(biāo)層為本研究的決策目標(biāo)一數(shù)學(xué) 問題提出能力，準(zhǔn)則層為3個評價學(xué)生所提問題質(zhì) 量的1級指標(biāo)一問題的本質(zhì)特征、問題的數(shù)學(xué)特 征和問題的語言特征，方案層為11個2級測評指 標(biāo).利用兩兩比較的分析方法，每次確定2個指標(biāo)之 間的相對重要性,編制各層

22、次的指標(biāo)權(quán)重判斷矩陣 表.利用Yaahp軟件中的專家群決策功能，采用判斷 矩陣加權(quán)幾何平均的方法集結(jié)專家的數(shù)據(jù)，計(jì)算各 個權(quán)重矩陣的特征值和特征向量、最大特征值，并算 出一致性比例進(jìn)行一致性檢驗(yàn)，最后得出在整個指 標(biāo)體系中各指標(biāo)所對應(yīng)的權(quán)重即（見圖3）.床通過i床通過i1何迷通過：I單層一蠢性檢計(jì)算組合權(quán)向量_但合一矗性檢驗(yàn)I_T構(gòu)建判斷矩陣|T計(jì)算單層權(quán)向量卜圖3層次分析法流程圖3.3數(shù)據(jù)分析Yaahp軟件是一種以層次分析法和模糊綜合評 價法為基礎(chǔ)的綜合評價軟件，為層次模型構(gòu)造、判斷 矩陣數(shù)據(jù)錄入、排序權(quán)重計(jì)算等提供幫助即.該軟 件是一種可視化建模與計(jì)算軟件，能夠簡便快捷地 進(jìn)行矩陣一致性判

23、斷，得到權(quán)重向量.并且能夠?qū)ε?斷矩陣進(jìn)行一定范圍的自主修改，節(jié)省大量的矩陣 計(jì)算步驟及時間.本文采用Yaaph軟件對數(shù)學(xué)問題 提出能力的各級指標(biāo)進(jìn)行賦權(quán).3.4研究結(jié)果3.4.1測評指標(biāo)的權(quán)重根據(jù)層次分析法設(shè)計(jì)權(quán) 重判斷矩陣表，專家根據(jù)自己對數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)及問 題提出能力的理解對各級指標(biāo)的相對重要程度進(jìn)行 量化評分,重要程度可用1、2、3、 、7、8、9及其倒數(shù) 來表示.1表示2個指標(biāo)的重要性一致;3表示前者 比后者稍微重要;5表示前者比后者明顯重要;7表 示前者比后者強(qiáng)烈重要;9表示前者比后者極端重 要.2、4、6、8表示上述相鄰判斷的中值.反之，若后 者比前者重要，則用1 9的倒數(shù)表示.如

24、問題解決 能力：問題提出能力，若您認(rèn)為問題解決比問題提出 極端重要，則用9來表示;若您認(rèn)為問題提出比問題 解決極端重要，則用1/9來表示.表3為Yaaph軟件所得各級指標(biāo)權(quán)重.結(jié)果如 下：( i) 1級指標(biāo)權(quán)重之和為1，即問題的本質(zhì)特征、 數(shù)學(xué)特征及語言特征的權(quán)重系數(shù)相加為1.此外，如 問題本質(zhì)特征下的3個2級指標(biāo)，即已知條件合理 性、目標(biāo)狀態(tài)可解性及情境理解性，這3個2級指標(biāo) 的權(quán)重系數(shù)相加也為1. ( ii)基于測評工具的1級指 標(biāo)、2級指標(biāo)及其權(quán)重系數(shù)能夠直接量化學(xué)生的數(shù) 學(xué)問題提出能力，不僅能夠得出學(xué)生數(shù)學(xué)問題提出 能力的分值,而且能夠得到學(xué)生在問題本質(zhì)特征、數(shù) 學(xué)特征及語言特征上的具

25、體表現(xiàn).(iii)在1級指標(biāo) 中，問題的本質(zhì)特征所占比例最大，進(jìn)一步驗(yàn)證了學(xué) 生要提出一個合理的數(shù)學(xué)問題，首先要判斷是否符 合問題的本質(zhì)特征.問題本質(zhì)特征對于評價學(xué)生數(shù) 學(xué)問題提出能力占據(jù)著至關(guān)重要的位置.指標(biāo)權(quán)重 的結(jié)果也驗(yàn)證了本文從問題的本質(zhì)特征出發(fā)提出的 測評模型是合理的,學(xué)生只有真正理解了 “問題”的 本質(zhì)才有可能提出問題.表3數(shù)學(xué)問題提出能力各級指標(biāo)的權(quán)重匯總表1級指標(biāo)權(quán)重系數(shù)2級指標(biāo)權(quán)重系數(shù)總權(quán)重系數(shù)已知條件合理性0. 425 60. 235 7本質(zhì)特征0.553 9目標(biāo)狀態(tài)可解性0. 445 80. 246 9情境理解性0. 128 60. 071 2問題數(shù)量0. 200 20.

26、 052 0問題類型0. 186 70. 048 5數(shù)學(xué)特征0.259 7問題表征0. 252 90. 065 7問題結(jié)構(gòu)0. 242 30. 062 9隱含條件0. 118 00. 030 6語言簡潔性0. 162 70. 030 3語言特征0.186 4語言精確性0. 367 90. 068 6語言邏輯性0. 469 40. 087 53.4.2 測評指標(biāo)權(quán)重的驗(yàn)證 本文使用了 Yaahp 軟件對權(quán)重的計(jì)算進(jìn)行簡單化處理，只需要在軟件 中輸入對應(yīng)的層級關(guān)系和權(quán)重判斷矩陣表的比較數(shù) 值即可自動計(jì)算出各準(zhǔn)則層的權(quán)重.以數(shù)學(xué)問題提 出能力的3個1級指標(biāo)的權(quán)重矩陣*為例,計(jì)算步 驟如下:(i)對權(quán)

27、重矩陣*的列向量進(jìn)行歸一化處 理，求出矩陣*的最大特征根九max； ( ii)通過一致性 指標(biāo)檢驗(yàn)C,來驗(yàn)證權(quán)重判斷矩陣中各個因素權(quán)重 之間是否合理;(iii)引入平均隨機(jī)一致性指標(biāo)To對 一致性指標(biāo)C進(jìn)行校正,To值可根據(jù)矩陣階數(shù)0 來確定(見表4).校正后得一致性比例Ct = C,/T,.判斷矩陣偏離一致性條件需要在容許的范圍之 內(nèi),通過一致性檢驗(yàn)指標(biāo)C和T,來衡量矩陣偏離 一致性程度.一般認(rèn)為，當(dāng)一致性比例Ct 0. 1時, 計(jì)算出的指標(biāo)權(quán)重未通過顯著性檢驗(yàn)，需要對判斷 矩陣做進(jìn)一步的調(diào)整；當(dāng)一致性比例Ct 0. 1時, 計(jì)算出的指標(biāo)權(quán)重通過顯著性檢驗(yàn)，即判斷矩陣的 一致性較高,計(jì)算的指

28、標(biāo)權(quán)重有效即矩陣階數(shù)0234567091000. 520. 901. 121.241.321. 411.451矩陣階數(shù)0234567091000. 520. 901. 121.241.321. 411.451.49表4隨機(jī)一致性指標(biāo)R,值表表5各級指標(biāo)的一致性比率匯總表指標(biāo)最大特征根% max一致性比例 c數(shù)學(xué)問題提出能力3. 001 60. 001 6問題的本質(zhì)特征3. 002 10. 002 1問題的數(shù)學(xué)特征5. 042 00. 009 4問題的語言特征3. 000 60. 000 54討論與結(jié)論4.1所提測評模型的合理性本文借鑒已有測評框架和評分規(guī)則912,18，從 “問題”本質(zhì)特征出發(fā)

29、提出假設(shè)模型：(1)評價學(xué)生 理解“數(shù)學(xué)問題”本身的能力是否理解到位，即所提 數(shù)學(xué)問題是否包含“問題”的3個成分;(11)從數(shù)學(xué) 的特征出發(fā)，評估學(xué)生對于數(shù)學(xué)信息的分析、整合以 及概括應(yīng)用能力是否到位，即提出數(shù)學(xué)問題的質(zhì)量 和復(fù)雜性;()11)從問題的語言表征出發(fā)評價學(xué)生的 數(shù)學(xué)問題表述能力.已有測評框架和測量指標(biāo)918盡管研究視角和 側(cè)重點(diǎn)不同，但幾乎未體現(xiàn)“問題”該有的本質(zhì)特 征.“問題”是數(shù)學(xué)問題提出能力的核心，只有從問 題本質(zhì)的特征出發(fā)，才能更好地體現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)問題 提出能力的表現(xiàn).驗(yàn)證性因素分析結(jié)果表明了假設(shè) 模型的成立，且該測評模型具有較好的信效度.通過 理論結(jié)合實(shí)際，本文從“問題”特征及已有研究中綜 述出數(shù)學(xué)問題提出能力的各級指標(biāo)，通過調(diào)查專家 對指標(biāo)的認(rèn)同度以及模型的驗(yàn)證結(jié)果均表明本文所 構(gòu)建測評模型是合理的、有意義的.4.2指標(biāo)賦權(quán)的合理性已有的關(guān)于問題提出能力的測評框架或測評指 標(biāo)關(guān)于賦分以及權(quán)重設(shè)置的研究是人為主觀判 斷皿，并未對其進(jìn)行科學(xué)系統(tǒng)地賦權(quán).基于多名專 家對各級指標(biāo)權(quán)重判定的內(nèi)部關(guān)系，本文采用層次 分析法對數(shù)學(xué)問題提出能力的