高中數(shù)學(xué)§4《反證法》教案

1、北師大版數(shù)學(xué)選修 1-2 第三章 推理與證明 4 反證法一、教學(xué)目標(biāo)：1. 學(xué)問與技能：1 明白間接證明的一種基本方法 反證法；2 明白反證法的摸索過程與特點(diǎn), 會(huì)用反證法證明數(shù)學(xué)問題. 2. 過程與方法 : 通過同學(xué)動(dòng)手及簡(jiǎn)潔實(shí)例, 讓同學(xué)充分體會(huì)反證法的數(shù)學(xué)思想, 并學(xué)會(huì)簡(jiǎn)潔應(yīng)用 . 3. 情感態(tài)度與價(jià)值觀 通過反證法的學(xué)習(xí) , 讓同學(xué)形成逆向思維的模式 , 體驗(yàn)數(shù)學(xué)方法的多 樣性；提高同學(xué)推導(dǎo)、推理才能及摸索問題和解決問題的才能,并在合作探究中找到一種解決生活生產(chǎn)實(shí)際問題的新方法；二. 教學(xué)重點(diǎn)：明白反證法的摸索過程與特點(diǎn) . 三. 教學(xué)難點(diǎn)：正確懂得、運(yùn)用反證法 . 四. 教學(xué)方法：.

2、 多媒體幫助教學(xué)；小組合作探究,多元活動(dòng) 教學(xué)過程：一、課前復(fù)習(xí)與摸索：（1）請(qǐng)同學(xué)復(fù)習(xí)舊知,為本節(jié)課夯實(shí)基礎(chǔ)：直接證明：是從命題的條件或結(jié)論動(dòng)身,依據(jù)已知的定義、公理、定理,直接推理證明結(jié)論的真實(shí)性；常用的直接證明方法：綜合法與分析法；綜合法的思路是由因?qū)Ч?；分析法的思路是?zhí)果索因；（2）讓同學(xué)摸索間接證明是什么？它有哪些方法？（中學(xué)所學(xué)）間接證明：不是從正面證明命題的真實(shí)性,而是證明命題的反面為 假,或改證它的等價(jià)命題為真,間接地達(dá)到證明的目的；反證法就是一種常用的間接證明方法；二、探究新知【新課導(dǎo)引】多媒體課件顯示9 個(gè)白色球 . 上課時(shí)要求同學(xué)將9 個(gè)球分別染成紅色或綠色 . 讓同學(xué)留

3、意觀看現(xiàn)象 . 提問同學(xué),讓同學(xué)由感性熟悉上升到理性熟悉：同學(xué)們請(qǐng)看,這9 個(gè)球無論如何染色,至少有5 個(gè)球是同色的 . 你能用數(shù)學(xué)中的什么方法來證明這個(gè)結(jié)論嗎？【同學(xué)自主合作探究】同學(xué)閱讀完教材后,小組合作探究以下問題：1、什么是反證法？2、反證法的證題步驟有哪幾步？3、什么樣的命題適合用反證法來證明？4、反證法的應(yīng)用關(guān)鍵在于什么？【同學(xué)展現(xiàn)、溝通】（1）反證法概念反證法：假設(shè)命題結(jié)論不成立（即命題結(jié)論的反面成立）,經(jīng)過正確 的推理 , 引出沖突,因此說明假設(shè)錯(cuò)誤 , 從而證明原命題成立 , 這樣的的證 明方法叫反證法；（2）反證法的一般步驟：a、反設(shè)：假設(shè)命題結(jié)論不成立（即假設(shè)結(jié)論的反面成

4、立）；b、歸繆：從假設(shè)動(dòng)身,經(jīng)過推理論證,得出沖突；c、下結(jié)論：由沖突判定假設(shè)不成立,從而確定命題成立；（3）應(yīng)用反證法的情形：直接證明困難 ; 需分成許多類進(jìn)行爭(zhēng)論結(jié)論為“ 至少” 、“ 至多” 、“ 有無窮多個(gè)” -類命題；結(jié)論為“ 唯獨(dú)” 類命題；（4）關(guān)鍵在于歸繆沖突：a、與已知條件沖突； b、與公理、定理、定義沖突；c、自相沖突；【老師歸納評(píng)判并強(qiáng)調(diào)】 ：同學(xué)們對(duì)反證法的學(xué)習(xí)已經(jīng)有了一些熟悉,而反證法引出沖突沒有 固定的模式,需要仔細(xì)觀看、分析,洞悉沖突；三、老師點(diǎn)撥【老師引導(dǎo)同學(xué)完成】 ：例 1、已知 a 是整數(shù), 2 能整除a ,求證： 2 能整除 a. 證明：假設(shè)命題的結(jié)論不成

5、立,即“2 不能整除 a” ；由于 a 是整數(shù),故 a 是奇數(shù), a 可表示為 2m+1（m為整數(shù)）,就2 2 2 2a 2 m 1 4 m 4 m 1 2 2 m 2 m 1,即 a 是奇數(shù)；所以, 2 不能整除 a ；這與已知“2 能整除 a ” 相沖突；于是,“ 2不能整除 a” 這個(gè)假設(shè)錯(cuò)誤,故 2 能整除 a. 例 2、在同一平面內(nèi),兩條直線 直；求證： a 與 b 平行；a,b 都和直線 c 垂證明：假設(shè)命題的結(jié)論不成立, 即“ 直線 a 與 b 相交” ；設(shè)直線 a,b 的交點(diǎn)為 M,a,c 的交點(diǎn)為 P,b,c 的交點(diǎn)為 Q,如下列圖,就PMQ00；PQMMPQ這樣MPQ的內(nèi)角

6、和PMQPMQ9009001800；這與定理“ 三角形的內(nèi)角和等于180 ” 相沖突,這說明假設(shè)是錯(cuò)誤的；所以直線 a 與 b 不相交,即 a 與 b 平行；例 3、求證：2 是無理數(shù)；證明：2 不是無理數(shù),即 2 是有理數(shù),那么它就可以表示成兩個(gè)整數(shù)2 p,p 0 2 2之比,設(shè) q,且 p,q 互素,就 p 2 q；所以 2 p q . 故 q 是偶數(shù), q 也必定為偶數(shù)；設(shè) q=2k,代入式,就有 2 p 4 k,即 2 22 2p 2k,所以 p 也為偶數(shù)； P和 q 都是偶數(shù),它們有公約數(shù) 2,這與 p,q 互素相沖突；因此,假設(shè)不成立,即“2 是無理數(shù)” ；【老師從例題分析中小結(jié)反

7、證法相關(guān)學(xué)問,提高同學(xué)的解題才能】：反證法的方法實(shí)質(zhì)：反證法是利用互為逆否的命題具有等價(jià)性來進(jìn) 行證明的,即由一個(gè)命題與其逆否命題同真假,通過證明一個(gè)命題的逆 否命題的正確,從而確定原命題真實(shí) . 四、同學(xué)練習(xí)及檢測(cè) , 老師評(píng)判1、證明：在ABC中,如C是直角,就B肯定是銳角；2、求證： 3 是無理數(shù)；【課堂回憶】同學(xué)們,本節(jié)課前有關(guān)小球染色的問題應(yīng)當(dāng)可以找到答案了,. 那就是用反證法來證明 . 你能證明白嗎？請(qǐng)同學(xué)們課后積極摸索與實(shí)踐五、課后摸索 : A、B、C三個(gè)人, A說 B撒謊, B 說 C撒謊, C說 A、B 都撒謊 . 就 C必定是在撒謊,為什么？分析: 假設(shè) C沒有撒謊 , 就 C話為真那么 A話為假且 B話為假 ; 由 A話為假 , 知 B話為真 . 這與 B話