高中數(shù)學必修+選修全部知識點精華歸納總結

1、精選文檔高中數(shù)學必修 + 選修學問點歸納新課標人教 A 版復習寄語：引言1.課程內容：必修課程 由 5 個模塊組成：必修 1：集合、函數(shù)概念與基本初等函數(shù)（指、. 精選文檔對、冪函數(shù)）必修 2：立體幾何初步、平面解析幾何初步；必修 3：算法初步、統(tǒng)計、概率；必修 4：基本初等函數(shù)（三角函數(shù)） 、平面對量、三角恒等變換；必修 5：解三角形、數(shù)列、不等式；以上是每一個高中同學所必需學習的；上述內容掩蓋了高中階段傳統(tǒng)的數(shù)學基礎學問和基本技能的主要部分,其中包括集合、函數(shù)、數(shù)列、不等式、解三角形、立體幾何初步、平面解析幾何初步等；不同的是在保證打 好基礎的同時, 進一步強調了這些學問的發(fā)生、進展過程和

2、實際應用,而不在技巧與難度上做過高的要求；此外,基礎內容仍增加了向量、算法、概率、統(tǒng)計等內容；選修課程 有 4 個系列：系列 1：由 2 個模塊組成；選修 11：常用規(guī)律用語、圓錐曲線與方程、導數(shù)及其應用；選修 12：統(tǒng)計案例、推理與證明、數(shù)系的擴 充與復數(shù)、框圖系列 2：由 3 個模塊組成；選修 21：常用規(guī)律用語、圓錐曲線與方程、空間向量與立體幾何；選修 22：導數(shù)及其應用,推理與證明、數(shù)系 的擴充與復數(shù)選修 23：計數(shù)原理、隨機變量及其分布列,統(tǒng)計案例；系列 3：由 6 個專題組成；選修 31：數(shù)學史選講；選修 32：信息安全與密碼；選修 33：球面上的幾何；選修 34：對稱與群；選修

3、35：歐拉公式與閉曲面分類；選修 36：三等分角與數(shù)域擴充；系列 4：由 10個專題組成；選修 41：幾何證明選講；選修 42：矩陣與變換；選修 43：數(shù)列與差分；. 精選文檔概率與統(tǒng)計：概率、分布列、期望、方差、抽樣、正態(tài)分布 導數(shù)：導數(shù)的概念、求導、導數(shù)的應用 復數(shù)：復數(shù)的概念與運算必修 1 數(shù)學學問點第一章：集合與函數(shù)概念 1.1.1、集合 1、 把爭論的對象統(tǒng)稱為元素,把一些元素組成的總體叫做集合；集合三要素：確定性、互異性、無 序性；2、 只要構成兩個集合的元素是一樣的,就稱這兩個集合相等；全一樣,就稱這兩個函數(shù)相等. 1.2.2、函數(shù)的表示法1、 函數(shù)的三種表示方法：解析法、圖象法

4、、列表法. 1.3.1、單調性與最大（?。┲?1、留意函數(shù)單調性的證明方法：1定義法： 設x 、x 2a,b ,x 1x2那么fx1fx 20fx 在a,b 上是增函數(shù)；fx1fx 20fx在 a ,b 上是減函數(shù) .步驟：取值作差變形定號判定格 式 ： 解 ： 設x 1,x2a,b且x1x 2, 就 ：fx1fx2= 2導數(shù)法： 設函數(shù)yfx在某個區(qū)間內可導,如fx0,就fx為增函數(shù)；3、 常見集合：正整數(shù)集合：N*或 N,整數(shù)集合：如fx0,就fx為減函數(shù) .Z ,有理數(shù)集合：Q ,實數(shù)集合：R . 1.3.2、奇偶性1、 一般地,假如對于函數(shù)fx的定義域內任意一個4、集合的表示方法：列舉

5、法、描述法. 1.1.2、集合間的基本關系x ,都有fxfx,那么就稱函數(shù)fx為1、 一般地,對于兩個集合A、B,假如集合 A 中任意偶函數(shù) .偶函數(shù)圖象關于y 軸對稱 .一個元素都是集合B 中的元素,就稱集合A 是集合 B 的子集；記作AB.2、 假如集合AB,但存在元素xB,且xA,2、 一般地,假如對于函數(shù)fx的定義域內任意一個就稱集合 A 是集合 B 的真子集 .記作： AB.3、 把不含任何元素的集合叫做空集.記作：.并規(guī)定：x ,都有fxfx,那么就稱函數(shù)fx為空集合是任何集合的子集.奇函數(shù) .奇函數(shù)圖象關于原點對稱.4、 假如集合 A 中含有 n 個元素, 就集合 A 有n 2

6、個子學問鏈接：函數(shù)與導數(shù)集, 2n1個真子集 .1、函數(shù)yfx在點0 x 處的導數(shù)的幾何意義： 1.1.3、集合間的基本運算函數(shù)yfx在點x 處的導數(shù)是曲線yfx在1、 一般地,由全部屬于集合A 或集合 B 的元素組成Px0,fx0處的切線的斜率fx0,相應的切線方的集合,稱為集合A 與 B 的并集 .記作：AB.程是yy0fx0 xx0.2、 一般地,由屬于集合A 且屬于集合B 的全部元素2、幾種常見函數(shù)的導數(shù)組成的集合,稱為A 與 B 的交集 .記作：AB.C0 ；xnnxn1；3、全集、補集？C Ax xU,且xU 1.2.1、函數(shù)的概念 1、 設 A、B 是非空的數(shù)集, 假如依據某種確

7、定的對應sinxcosx； cosxsinx；axaxlna；exex；關系 f ,使對于集合A 中的任意一個數(shù)x ,在集合 B 中都有惟一確定的數(shù)fx和它對應, 那么就logaxx1a；lnx1稱f :AB為集合 A 到集合 B 的一個函數(shù), 記lnx作：yfx,xA.3、導數(shù)的運算法就2、 一個函數(shù)的構成要素為：定義域、對應關系、值 域 .假如兩個函數(shù)的定義域相同,并且對應關系完（1）uvu v . （2）uv u v uv . . 精選文檔（3）u v u vv2uvv0.3、 我們規(guī)定：；.1anmanm4、復合函數(shù)求導法就復合函數(shù)yf g x 的導數(shù)和函數(shù)a0,m ,nN* m1y

8、f u u g x 的導數(shù)間的關系為 y x y u u x,即 y 對 x 的導數(shù)等于 y 對 u 的導數(shù)與 u 對 x 的導數(shù)的an1n0；anQ；乘積 .解題步驟 :分層層層求導作積仍原.4、 運算性質：5、函數(shù)的極值arasarsa0,r,s1極值定義：極值是在x 鄰近全部的點,都有 0fxfx0,arsarsa,0r,sQ；就fx 0是函數(shù)fx的極大值；0,rQabrarbra0,b極值是在x 鄰近全部的點,都有fxfx0,a 2.1.2、指數(shù)函數(shù)及其性質11、記住圖象：yaxa,0 a就fx 0是函數(shù)fx的微小值 .yy=ax2判別方法：0a1x0假如在x 鄰近的左側f x0,右側

9、f x0,1a1o那么fx 0是極大值；假如在x 鄰近的左側f x0,右側f x0,圖象那么fx 0是微小值 .；性;6、求函數(shù)的最值1定義域： R1求yf x 在 , a b 內的極值（極大或者微小值）（2）值域：（0, + ）2將yf x 的各極值點與f a ,f b 比較,其中質（3）過定點（ 0, 1）,即 x=0 時, y=1（4）在R 上是增函數(shù)（4）在 R 上是減函數(shù)最大的一個為最大值,最小的一個為微小值；5x0,ax1 x a;15x0,0 xax1x0, 0 x0,a1注：極值是在局部對函數(shù)值進行比較（局部性質）最值是在整體區(qū)間上對函數(shù)值進行比較整體性質 ；其次章：基本初等函

10、數(shù)（） 2.1.1、指數(shù)與指數(shù)冪的運算2、性質： 2.2.1、對數(shù)與對數(shù)運算1、 一般地,假如xna,那么 x 叫做 a的 n 次方根；1、指數(shù)與對數(shù)互化式：,axNax1.logaN ；2、對數(shù)恒等式：alog a NN .其中n,1nN.3、基本性質：log a10,loga2、 當 n 為奇數(shù)時,nana；當 n 為偶數(shù)時,n4、運算性質：當a0a1 ,M0 ,N0時：ana. 精選文檔logaMNlogaMlogaN；,1b0 ,b1.第三章：函數(shù)的應用logaMlogaMlogaN；NlogaMnnlogaM. 3.1.1、方程的根與函數(shù)的零點5、換底公式：logablogcb1、方

11、程fx0有實根logcaa函數(shù)yfx的圖象與 x 軸有交點a0,a,1c0,c,1b0.函數(shù)yfx有零點 .6、重要公式：loganbmmlogab2、 零點存在性定理：n7、倒數(shù)關系：logab1aa0 ,假如函數(shù)yfx在區(qū)間a,b上的圖象是連續(xù)不斷l(xiāng)ogb 2.2.2、對數(shù)函數(shù)及其性質1的一條曲線,并且有fafb0,那么函數(shù)yfx在區(qū)間a,b內有零點,即存在ca,b,1、記住圖象：ylogaxa0 ,ay2、性質：1oy=log axx0a1使得fc0,這個 c 也就是方程fx0的根 .0a1 3.2.1、幾類不同增長的函數(shù)模型 3.2.2、函數(shù)模型的應用舉例a1、解決問題的常規(guī)方法：先畫

12、散點圖,再用適當?shù)暮瘮?shù)擬合,最終檢驗.圖1111必修 2 數(shù)學學問點00象性1定義域：（0,+）第一章：空間幾何體1、空間幾何體的結構（2）值域： R常見的多面體有：棱柱、棱錐、棱臺；常見的旋轉體有：質（3）過定點（ 1,0）,即 x=1 時, y=0圓柱、圓錐、圓臺、球；（4）在 （0, +）上是增函數(shù)（4）在（ 0,+）上是減函數(shù)5x 0,1 xlog ,1a xloga0 x；5xx,1 log a,1 logxx0；棱柱： 有兩個面相互平行,其余各面都是四邊形,并且000每相鄰兩個四邊形的公共邊都相互平行,由這些面所圍a 2.3、冪函數(shù) 1、幾種冪函數(shù)的圖象：. 精選文檔 判定： 一個

13、平面內的兩條相交直線與另一個平面平行,就這兩個平面平行（簡稱線面平行,就面面平行）；性質： 假如兩個平行平面同時和第三個平面相交,那么圓柱側面積；S 側面2rl它們的交線平行（簡稱面面平行,就線線平行）；11、線面垂直：定義： 假如一條直線垂直于一個平面內的任意一條直線,那么就說這條直線和這個平面垂直；判定： 一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直,就該直線與此平面垂直（簡稱線線垂直,就線面垂直）；性質： 垂直于同一個平面的兩條直線平行；圓錐側面積：S側面rl12、面面垂直：定義： 兩個平面相交,假如它們所成的二面角是直二面角,就說這兩個平面相互垂直；判定： 一個平面經過另一個平面的一條垂線

14、,就這兩個 平面垂直（簡稱線面垂直,就面面垂直）；性質： 兩個平面相互垂直,就一個平面內垂直于交線的圓臺側面積：S側面rlRl直線垂直于另一個平面； （簡稱面面垂直, 就線面垂直）；第三章：直線與方程體積公式：V柱體Sh；V 錐體1Sh；1、傾斜角與斜率：ktany2y13x2x 1V 臺體1S 上S 上S 下S 下h32、直線方程：球的表面積和體積：點斜式：yy0kxx 0S球4R2,V球4R3.3斜截式：ykxb其次章：點、直線、平面之間的位置關系 1、公理 1：假如一條直線上兩點在一個平面內,那么這條 直線在此平面內；兩點式：yy 1y 2y 1xx 1x 2x 12、公理 2：過不在一

15、條直線上的三點,有且只有一個平面；3、公理 3：假如兩個不重合的平面有一個公共點,那么它 們有且只有一條過該點的公共直線；截距式：xy1ab4、公理 4：平行于同一條直線的兩條直線平行.一般式：AxByC05、定理： 空間中假如兩個角的兩邊分別對應平行,那么這兩個角相等或互補；6、線線位置關系：平行、相交、異面；3、對于直線：b 1,l2:yk2xb 2有：7、線面位置關系：直線在平面內、直線和平面平行、直l1:yk1x線和平面相交；8、面面位置關系：平行、相交；l1/l2k 1k 2b 2；9、線面平行：b 1判定： 平面外一條直線與此平面內的一條直線平行,就1l 和2l 相交該直線與此平面

16、平行（簡稱線線平行,就線面平行）；k 1k ；性質： 一條直線與一個平面平行,就過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行（簡稱線面平行,就k 1k21l 和2l 重合線線平行）；b 1b 210、面面平行：. 精選文檔l1l2k 1k21.dr相切0;4x x 2z 124、對于直線：dr相交0. 弦長公式：l2r2d2l1:A 1xB 1yC 12,0有：l2:A 2xB 2yC01k2x 1x 22l1/l2A 1B 2A 2B 1；3、兩圓位置關系：dO 1O 2B 1 C2B 2C 1外離：dRr；y 12z21l 和2l 相交A 1B2A2B 1；外切：dRr；相交：RrdRr

17、；1l 和2l 重合A 1B 2A 2B 1；內切：dRr；內含：dRr.B 1C2B 2C 13、空間中兩點間距離公式：l1l2A 1A 2B 1B20.P 1P 2x2x12y25、兩點間距離公式：P 1P 2x2x 12y2y 12必修 3 數(shù)學學問點6、點到直線距離公式：第一章：算法dAx 0A2By02C1、算法三種語言：自然語言、流程圖、程序語言；B2、流程圖中的圖框：7、兩平行線間的距離公式：起止框、輸入輸出框、處理框、判定框、流程線等1l ：AxByC10與2l ：AxByC20平行,規(guī)范表示方法；當型循環(huán)結構3、算法的三種基本結構：就dC 12C22次序結構、條件結構、循環(huán)結

18、構AB直到型循環(huán)結構第四章：圓與方程次序結構示意圖：1、圓的方程：標準方程：xa2yb22r20.bE24F . 語句 n 否其中 圓心為 , a b ,半徑為 r .F語句 n+1 一般方程：x2y2DxEyD2（圖 1）其中 圓心為 D,E,半徑為r12222、直線與圓的位置關系直線AxByC0與圓xay2r2條件結構示意圖：IF-THEN-ELSE格式：的位置關系有三種:;dr相離0滿意條件？是語句 1 語句 2 精選文檔 輸出語句的一般格式：PRINT “ 提示內容” ；表達式賦值語句的一般格式：變量表達式（“ =” 有時也用“ ”）.條件語句的一般格式有兩種：IF THEN ELSE

19、 語句的一般格式為：（圖 2）IF 條件THENIF-THEN格式：語句 1 ELSE 語句 2 是 滿意條件？END IF （圖 2）否語句IF THEN 語句的一般格式為：（圖 3）循環(huán)結構示意圖：當型 （WHILE 型）循環(huán)結構示意圖：IF 條件 THEN語句END IF （圖 3）循環(huán)語句的一般格式是兩種：滿意條件？循環(huán)體當型循環(huán)（ WHILE ）語句的一般格式：是WHILE 條件循環(huán)體 WEND （圖 4）否直到型循環(huán)（ UNTIL ）語句的一般格式：（圖 4）直到型 （UNTIL型）循環(huán)結構示意圖：DO 循環(huán)體循環(huán)體否LOOP UNTIL 條件（圖 5）滿意條件？算法案例：輾轉相除

20、法結果是以相除余數(shù)為0 而得到是利用輾轉相除法求最大公約數(shù)的步驟如下：（圖 5）4、基本算法語句：）：用較大的數(shù) m 除以較小的數(shù) n 得到一個商 S 和一個余數(shù) R ；）：如 R 0,就 n 為 m,n 的最大公約數(shù)；如 R 0 0,就用除數(shù) n 除以余數(shù) R 得到一個商 S 和一個余數(shù) R ；輸入語句的一般格式：INPUT “ 提示內容”；變量）：如R 0,就R 為 m,n 的最大公約數(shù)；如R 1. 精選文檔 0,就用除數(shù)R 除以余數(shù)R 得到一個商S 和一個余標準差：s1inxix2數(shù)R ； 1n依次運算直至R 0,此時所得到的R n1即為所求的最大公約數(shù)；注：方差與標準差越小,說明樣本數(shù)

21、據越穩(wěn)固；平均數(shù)反映數(shù)據總體水平；方差與標準差反映數(shù)據的穩(wěn)固水平；更相減損術結果是以減數(shù)與差相等而得到利用更相減損術求最大公約數(shù)的步驟如下：）：任意給出兩個正數(shù)；判定它們是否都是偶數(shù)；如是,用 2 約簡；如不是,執(zhí)行其次步；）：以較大的數(shù)減去較小的數(shù),接著把較小的數(shù)與 所得的差比較,并以大數(shù)減小數(shù)；連續(xù)這個操作,直線性回來方程 變量之間的兩類關系：函數(shù)關系與相關關系；制作散點圖,判定線性相關關系到所得的數(shù)相等為止,就這個數(shù)（等數(shù)）就是所求的線性回來方程：ybxa（最小二乘法）最大公約數(shù)；nx ,y ；進位制x y inx y十進制數(shù)化為k 進制數(shù) 除 k 取余法bi1x2nx2nk 進制數(shù)化為

22、十進制數(shù)i其次章：統(tǒng)計i11、抽樣方法：aybx簡潔隨機抽樣（總體個數(shù)較少）留意：線性回來直線經過定點系統(tǒng)抽樣（總體個數(shù)較多）分層抽樣（總體中差異明顯）留意：在 N 個個體的總體中抽取出 每個個體被抽到的機會（概率）均為n 個個體組成樣本,n ；N2、總體分布的估量：一表二圖：頻率分布表數(shù)據詳實 頻率分布直方圖分布直觀 頻率分布折線圖便于觀看總體分布趨勢 注：總體分布的密度曲線與橫軸圍成的面積為 1；莖葉圖：莖葉圖適用于數(shù)據較少的情形,從中便于看出數(shù)據 的分布,以及中位數(shù)、眾位數(shù)等；個位數(shù)為葉,十位數(shù)為莖,右側數(shù)據依據從小到大 書寫,相同的數(shù)據重復寫；3、總體特點數(shù)的估量：平均數(shù)：xx 1x2

23、x3xn；n第三章：概率 1、隨機大事及其概率：大事：試驗的每一種可能的結果,用大寫英文字母 表示；必定大事、不行能大事、隨機大事的特點；隨機大事A 的概率：P A m, 0PA 1.n2、古典概型：基本領件： 一次試驗中可能顯現(xiàn)的每一個基本結果；古典概型的特點：全部的基本領件只有有限個；每個基本領件都是等可能發(fā)生；古典概型概率運算公式：一次試驗的等可能基本領件共有 n 個,大事 A 包含了其中的m 個基本領件,就大事 A 發(fā)生的概率P A m.n3、幾何概型：幾何概型的特點：取值為x 1,x2,xn的頻率分別為p 1,p 2,pn,就其全部的基本領件是無限個；每個基本領件都是等可能發(fā)生；平均

24、數(shù)為x 1p1x2p2xnp n；留意：頻率分布表運算平均數(shù)要取組中值；幾何概型概率運算公式：PA d 的測度；D 的測度其中測度依據題目確定,一般為線段、角度、面積、方差與標準差：一組樣本數(shù)據x 1,x 2,xn體積等；就稱方差：s21inxix2；4、互斥大事：不行能同時發(fā)生的兩個大事稱為互斥大事；n1假如大事A 1,A 2,A n任意兩個都是互斥大事,. 精選文檔大事A 1,A 2,A n彼此互斥；3、sin,cos, tan在四個象限的符號和三角函數(shù)線的畫法 .y假如大事A,B 互斥,那么大事A+B 發(fā)生的概率,PT等于大事 A,B 發(fā)生的概率的和,正弦線： MP; 即：P AB P

25、A P B余弦線： OM; OMAx正切線： AT5、 特殊角 0 , 30 , 45 , 60 ,假如大事A 1,A 2,A n彼此互斥,就有：P A 1A 2A nP A 1PA 2PA n對立大事：兩個互斥大事中必有一個要發(fā)生,就稱 這兩個大事為對立大事；90 , 180 , 270 等的三角函數(shù)值.064322 33 432大事 A 的對立大事記作A2sin costanPAPA,1PA1PA對立大事肯定是互斥大事,互斥大事未必是對立事 1.2.2、同角三角函數(shù)的基本關系式件；1、 平方關系：sin2cos21.ZkZ）必修 4 數(shù)學學問點2、 商數(shù)關系：tansin.第一章：三角函數(shù)

26、cos 1.1.1、任意角3、 倒數(shù)關系： tan1cot1、 正角、負角、零角、象限角的概念. 1.3、三角函數(shù)的誘導公式2、 與角終邊相同的角的集合：（概括為 “ 奇變偶不變,符號看象限”2 k ,kZ.1、 誘導公式一：）sin2 ksin, 1.1.2、弧度制cos2 kcos,（其中：k1、 把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1 弧度的角 .tan2ktan.2、l.2、 誘導公式二：rsinsin,3、弧長公式：lnRR.coscos,180tantan.4、扇形面積公式：SnR21lR.3、誘導公式三：3602 1.2.1、任意角的三角函數(shù)sinsin,coscos,1、 設是

27、一個任意角,它的終邊與單位圓交于點Px ,y,那么：siny,cosx,tanytantan.x4、誘導公式四：2、 設點A x,y為角終邊上任意一點, 那么：（設sinsin,rx22 y ）coscos,tantan.siny,cosx,tany,cotx5、誘導公式五：rrxy. 精選文檔sin2cos,5374xy=cosxyxcos2sin.-4-7-3-5-2-3-212325374222o-16、誘導公式六：222sin2cos,2、能夠對比圖象講出正弦、余弦函數(shù)的相關性質：定義域、值域、最大最小值、對稱軸、對稱中心、奇偶性、單調性、周期性.cos2sin.3、會用五點法作圖.

28、1.4.1、正弦、余弦函數(shù)的圖象和性質ysinx 在x0, 2 上的五個關鍵點為：1、記住正弦、余弦函數(shù)圖象：（ ,）（, ,）（, ,）（,32 2,）（,2,）.y=sinxy-4-7-3-5-2-3-21 o-1232222222 1.4.3、正切函數(shù)的圖象與性質1、記住正切函數(shù)的圖象：2、記住余切函數(shù)的圖象：-3y=tanxyo23x-yo232xy=cotx- 2- 22223、能夠對比圖象講出正切函數(shù)的相關性質：定義域、值域、對稱中心、奇偶性、單調性、周期性 .周期函數(shù)定義：對于函數(shù)fxf,假如存在一個非零常數(shù)T,使得當 x 取定義域內的每一個值時,都有fxTfx,那么函數(shù)x就叫做

29、周期函數(shù),非零常數(shù)T 叫做這個函數(shù)的周期 .圖表歸納：正弦、余弦、正切函數(shù)的圖像及其性質ysinxycosxytanx圖象定義域RRx|x2k,kZ. 精選文檔值域-1,1-1,1,TR最值x2k2,kZ 時,ymax1x2k,kZ時,y max1無x2k2,kZ 時,ymin1x2k,kZ時,y min1周期性T2T2奇偶性奇偶k奇在 2k2,2k2上單調遞增在 2k,2k上單調遞增單調性2上單調遞增在 2k,2k上單調遞減在 k2kZ在2k2,2k3上單調遞減2對稱性對稱軸方程：xk2對稱軸方程：xk無對稱軸k, 0對稱中心 k2, 0對稱中心kZ對稱中心 k,02 1.5、函數(shù)yAsin

30、x的圖象ysinx橫坐標不變yAsinx1、對于函數(shù)：縱坐標變?yōu)樵鹊腁 倍yAsinxB A0,0有：振幅 A,周縱坐標不變yAsinx期T2,初相,相位x,頻率f1 T2.橫坐標變?yōu)樵鹊膢1| 倍2、能夠講出函數(shù)ysinx的圖象與平移個單位yAsinxyAsinxB 的圖象之間的平移伸縮變（左加右減）換關系 .平移 |B|個單位yAsinxB先平移后伸縮：ysinx平移 | 個單位ysinx（上加下減）3、三角函數(shù)的周期,對稱軸和對稱中心（左加右減）函數(shù)ysinx,xR 及函數(shù)ycosx,橫坐標不變yAsinxxRA,為常數(shù),且A 0的周期T2|；函數(shù)|縱坐標變?yōu)樵鹊腁 倍ytanx,

31、xk2,kZ A,為常數(shù),縱坐標不變yAsinx橫坐標變?yōu)樵鹊膢1| 倍且 A 0的周期T|.對 于yAsinx和yAcosx來平移 |B|個單位yAsinxB說, 對稱中心與零點相聯(lián)系,對稱軸與最值點聯(lián)系.（上加下減）求函數(shù)yAsinx圖像的對稱軸與對稱中心,先伸縮后平移：只需令xk2kZ與xkkZ解出 x 即可 .余弦函數(shù)可與正弦函數(shù)類比可得. 精選文檔4、由圖像確定三角函數(shù)的解析式2ymin.3、tan212tan.cos2利用圖像特點：Ay max2ymin,Bymaxtan2要依據周期來求,要用圖像的關鍵點來求.4、tan1sin 21cos2.sin 2 1.6、三角函數(shù)模型的簡

32、潔應用 3.2、簡潔的三角恒等變換1、 要求熟識課本例題.1、 留意正切化弦、平方降次2、幫助角公式第三章、三角恒等變換yasinxbcosxa2b2sinx 3.1.1、兩角差的余弦公式記住 15 的三角函數(shù)值：（ 其 中 輔 助 角所 在 象 限 由 點 , 的 象 限 決12sin2cos2tan362644 3.1.2、兩角和與差的正弦、余弦、正切公式定, tan b.a其次章：平面對量 2.1.1、向量的物理背景與概念1、sinsincoscossin1、 明白四種常見向量：力、位移、速度、加速度.2、2、 既有大小又有方向的量叫做向量.sinsincoscossin 2.1.2、向

33、量的幾何表示1、 帶有方向的線段叫做有向線段,有向線段包含三3、coscoscossinsin個要素：起點、方向、長度.4、coscoscossinsin2、向量 AB 的大小,也就是向量AB 的長度（或稱模）,uuur 記作 AB；長度為零的向量叫做零向量；長度等5、tantan 1 tantan tan.于 1 個單位的向量叫做單位向量.6、tantan 1 tantan tan.3、 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共線向量） .規(guī)定：零向量與任意向量平行. 3.1.3、二倍角的正弦、余弦、正切公式 2.1.3、相等向量與共線向量1、sin22sincos,1、 長度相等且方向相

34、同的向量叫做相等向量.變形 ：sincos1 2sin 2. 2.2.1、向量加法運算及其幾何意義1、 三角形加法法就和平行四邊形加法法就.2、cos2cos2sin22cos2112sin2.變形如下：升冪公式：1cos21 22cos22、abab.a 的相反向量 .1cos22sin2 2.2.2、向量減法運算及其幾何意義1、 與 a 長度相等方向相反的向量叫做2 cos1cos2 降冪公式：2、 三角形減法法就和平行四邊形減法法就.sin21cos2 1 2. 精選文檔 2.2.3、向量數(shù)乘運算及其幾何意義1、設Ax 1,y1,Bx2,y2,Cx 3,y3,就線段 AB 中點坐標為x

35、1x2,y 12y 2,21、 規(guī)定：實數(shù)與向量 a 的積是一個向量,這種運 ABC 的重心坐標為x 1x 2x 3,y 1y 2y 3.33算叫做向量的數(shù)乘.記作：a ,它的長度和方向 2.4.1、平面對量數(shù)量積的物理背景及其含義1、ababcos.規(guī)定如下：aa,2、a 在 b 方向上的投影為：acos.當0 時, a 的方向與a 的方向相同；當3、a2a2.4、aa2.0時, a 的方向與 a 的方向相反 .2、 平面對量共線定理：向量aa0與 b共線,當5、abab0.且僅當有唯獨一個實數(shù),使ba. 2.4.2、平面對量數(shù)量積的坐標表示、模、夾角 2.3.1、平面對量基本定理1、 設a

36、x 1,y 1,bx2,y2,就：1、 平面對量基本定理：假如e 1,e 2是同一平面內的兩abx 1x2y 1y2個不共線向量, 那么對于這一平面內任一向量a ,a2 x 12 y 1有且只有一對實數(shù)1,2,使a1e 12e 2.r ar br r a b0 x x 2y y 20 2.3.2、平面對量的正交分解及坐標表示r a/ /r br ar bx y 1 2x y 2 101、aixyjx ,y.2、 設Ax1,y 1,Bx2,y2,就： 2.3.3、平面對量的坐標運算1、 設ax 1,y 1,bx2,y2,就：ABx2x 12y2y12.abx 1x 2,y 1y 2,3、 兩向量

37、的夾角公式 r r a b cos r r a bx 12x x 2y y2y22abx 1x2,y 1y 2,2 y 1x 22ax 1, y 1,4、點的平移公式平移前的點為P x y （原坐標）,平移后的對應點a/bx 1y2x 2y 1.為P x y（新坐標） ,平移向量為uuur PP , ,2、 設Ax 1,y 1,Bx2,y2,就：就xxh.ABx 2x 1,y 2y 1.yyk 2.3.4、平面對量共線的坐標表示函數(shù)yf x 的圖像按向量r a , 平移后的. 精選文檔r r圖像的解析式為 y k f x h . 設直線 l 1 , l 的方向向量分別是 a、 ,就要證明 1l

38、 2.5.1、平面幾何中的向量方法 r r r r 2.5.2、向量在物理中的應用舉例 2l ,只需證明 a b,即 a kb k R .即：兩直線平行或重合 兩直線的方向向量共線；學問鏈接：空間向量空間向量的很多學問可由平面對量的學問類比而得 . 線面平行下面對空間向量在立體幾何中證明,求值的應用進行 r總結歸納 . （法一） 設直線 l 的方向向量是 a,平面 的法向r r r r r1、直線的方向向量和平面的法向量 量是 u,就要證明 l ,只需證明 a u,即 a u 0 .直線的方向向量：即：直線與平面平行 直線的方向向量與該平面uuur如 A、B 是直線 l 上的任意兩點, 就 A

39、B 為直線 l 的 的法向量垂直且直線在平面外uuur （法二）要證明一條直線和一個平面平行,也可一個方向向量； 與 AB 平行的任意非零向量也是直線 l 以在平面內找一個向量與已知直線的方向向量是共線的方向向量 . 向量即可 .平面的法向量：面面平行r r r如向量 n 所在直線垂直于平面,就稱這個向量 如平面 的法向量為 u,平面 的法向量為 v,要r r r r r r r垂直于平面,記作 n,假如 n,那么向量 n 證,只需證 u v,即證 u v .叫做平面 的法向量 . 即：兩平面平行或重合 兩平面的法向量共線；平面的法向量的求法（待定系數(shù)法）：建立適當?shù)淖鴺讼?、用向量方法判定空

40、間的垂直關系設平面的法向量為r n , , 0.線線垂直.設直線l1,l 的方向向量分別是r ar、 ,就要證明求出平面內兩個不共線向量的坐標r aa a 1 2,a 3,ur bb b b 1 2 3l1r l ,只需證明 ar b,即r r a b0.依據法向量定義建立方程組r r n a r r n b即：兩直線垂直兩直線的方向向量垂直；0線面垂直解方程組, 取其中一組解, 即得平面的法向量 . （法一） 設直線 l 的方向向量是r a,平面的法向（如圖）r 量是 u,就要證明 lr,只需證明 ar ur,即 ar u2、 用向量方法判定空間中的平行關系（法二） 設直線 l 的方向向量是

41、r a,平面內的兩個相交向量分別為ur uur m、 ,如r ur a m r r a n0,就l.0即：直線與平面垂直直線的方向向量與平面的線線平行法向量共線直線的方向向量與平面內兩條不共線. 精選文檔直線的方向向量都垂直；面面垂直ur 分 別 為 mr ur、 , 再 設 mr、 的 夾 角 為, 二 面 角如平面r 的法向量為 u,平面r 的法向量為 v,要l的平面角為,就二面角ur 為 mr、 的夾角證r,只需證 ur v,即證r ru v0.或其補角.依據詳細圖形確定是銳角或是鈍角：即：兩平面垂直兩平面的法向量垂直；4、利用向量求空間角 求異面直線所成的角 假如是銳角,就 cosco

42、sur r m n ur r ,m n已知a b 為兩異面直線, A,C 與 B,D 分別是a b 上即arccosur r m n ur r m n；的任意兩點,a b 所成的角為,就 cosuuur uuur AC BD uuur uuur AC BD.假如是鈍角,就 coscosur r m n ur r ,m n求直線和平面所成的角 定義： 平面的一條斜線和它在平面上的射影所成 的銳角叫做這條斜線和這個平面所成的角即arccosur r m n ur r m n.求法： 設直線 l 的方向向量為r a,平面的法向量5、利用法向量求空間距離點 Q 到直線 l 距離如 Q 為直線 l 外的

43、一點 , P 在直線 l 上, ar為直線 l 的r uuur方向向量, b = PQ,就點 Q 到直線 l 距離為h| a 1r | | a r | b r| 2 a b r r 2r 為 u,直線與平面所成的角為r, ar 與 u的夾角為,就為的余角或的補角的余角 .即有：r r a ur a u.s incos點 A 到平面的距離如點 P 為平面外一點,點M 為平面內任一點,求二面角 定義： 平面內的一條直線把平面分為兩個部分,其中的每一部分叫做半平面；從一條直線動身的兩個 半平面所組成的圖形叫做二面角,這條直線叫做二面平面的法向量為r n,就P 到平面的距離就等于uuur MPr 在法

44、向量 n方向上的投影的確定值. 角的棱,每個半平面叫做二面角的面二面角的平面角是指在二面角 l 的棱上任 取 一 點 O , 分 別 在 兩 個 半 平 面 內 作 射 線AO l , BO l,就 AOB為二面角 l 的平面角 .如圖：A B l 求法：設二面角O O lB 的兩個半平面的法向量 A . 精選文檔為求直線上任一點到平面的距離,即轉化為點面距離；所成的角為1, AD與 AC 所成的角為2, AB 與即dr uuur n MPr n.AC 所成的角為就coscos1cos2.兩平行平面,之間的距離8、 面積射影定理利用兩平行平面間的距離到處相等,可將兩平行平 面間的距離轉化為求點

45、面距離；r uuur n MP 即 d r .n異面直線間的距離已知平面內一個多邊形的面積為S S原,它在平面內的射影圖形的面積為S S射,平面與平面所成的二面角的大小為銳二面角,就cos S=S 射.r 設向量 n與兩異面直線a b 都垂直,Ma Pb ,S 原S9、一個結論 長度為 l 的線段在三條兩兩相互垂直的直線上的射就兩異面直線uuur a b 間的距離 d 就是 MPr 在向量 n方向影長分別為l1、 、2l3,夾角分別為1、2、3,就有上投影的確定值；r uuur n MP即 d r n.l2l2l2l22 cos12 cos22 cos311232 sin12 sin22 si

46、n32 .（立體幾何中長方體對角線長的公式是其特例）.6、三垂線定理及其逆定理三垂線定理：在平面內的一條直線,假如它和這個平面的一條斜線的射影垂直,那么它也和這條斜線垂直推理模式：PPO , OPA I A a PA Oa , a OA A a概括為：垂直于射影就垂直于斜線 .三垂線定理的逆定理：在平面內的一條直線,假如和這個平面的一條斜線垂直,那么它也和這條斜線的射影垂直推理模式：POI,OaAOPAaAaAP必修 5 數(shù)學 學問點第一章：解三角形 1、正弦定理：abc2 R .B sin CABC 外接圓的半徑）2RsinC;sin A sin（其中 R為a2RsinA b2RsinB c

47、sinAa,sinBb,sinCc 2 R;2R2Ra b csinA:sinB:sinC.用途：已知三角形兩角和任一邊,求其它元素；已知三角形兩邊和其中一邊的對角,求其它 元素；概括為：垂直于斜線就垂直于射影.2、余弦定理：2 bccos ,a22 bc27、三余弦定理2 ba2c22 accos ,設 AC 是平面內的任一條直線, AD 是的一c2a22 b2 abcos .條斜線 AB 在內的射影,且BD AD ,垂足為 D.設AB 與BAD. A1D2C精選文檔cosAb2c2a2,S nna 1n n1dn a 12an2bc2cosBa2c2b2,常用性質：2ac如mnpqm ,n

48、,p,qN,就cosCa22 bc2.2abamanapaq；用途：已知三角形兩邊及其夾角,求其它元素；已知三角形三邊,求其它元素；做題中兩個定理常常結合使用 .3、三角形面積公式：下標為等差數(shù)列的項ak,akm,ak2m,仍組成等差數(shù)列；數(shù)列a nb（,b為常數(shù)）仍為等差數(shù)列；S ABC1absinC1bcsinA1acsinB如 an、b n是等差數(shù)列,就 ka n、ka npbn222 k 、 p 是非零常數(shù) 、a p nqp q* N、, 也成等4、三角形內角和定理：在 ABC 中,有差數(shù)列；ABCCAB單調性：an的公差為 d ,就：C2A2B2C22AB .2）d0an為遞增數(shù)列；

49、5、一個常用結論：）d0an為遞減數(shù)列；在ABC 中,absinAsinBAB ;如 sin 2Asin 2 ,就AB 或AB. 特殊留意,2B 不成立；）d0an為常數(shù)列；數(shù)列 a 為等差數(shù)列a npnq （p,q 是常數(shù)）在三角函數(shù)中,sinAsinBA如等差數(shù)列an的前 n 項和S ,就S 、S2kS k、其次章：數(shù)列1、數(shù)列中a 與S 之間的關系：S 3 kS 2k是等差數(shù)列；3、等比數(shù)列a nS 1S n, n1留意通項能否合并；定義：假如一個數(shù)列從第2 項起,每一項與它的前S n1,n2.一項的比等于同一個常數(shù),那么這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列；2、等差數(shù)列：等比中項：如三數(shù)a、G、 成

50、等比數(shù)列G2ab,定義：假如一個數(shù)列從第2 項起,每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù),即a a n1=d ,（n（ ab同號）；反之不肯定成立；2, nN）,通項公式：ana qn1a qn m那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列；前 n 項和公式：S na 11qna 1a q n等差中項：如三數(shù)a、 、b成等差數(shù)列1q1qAa2b常用性質如mnpqm ,n,p,qN,就通項公式：ana 1n1 damnm damanapa ；或anpnqp、 是常數(shù)） .ak,akm,ak2m,為等比數(shù)列,公比為qk下標成前 n 項和公式：等差數(shù)列 ,就對應的項成等比數(shù)列. 精選文檔數(shù)列a n（為不等于零的常數(shù)）

51、 仍是公比為 q 的a na n1f n1于 n 的函數(shù)）可 構造：a n1a n2f n2等比數(shù)列；正項等比數(shù)列a n；就 lga n是公差為. .lg q 的 等差 數(shù)列；a 2a 1f1 如an是等比數(shù)列,就ca n,a n2,1,將上述n1個式子兩邊分別相加,可得：a nanf n1f n2. 2f1a 1,n2a nrrZ是等比數(shù)列, 公比依次是q,q2 1, ,qqr.如f n 是關于 n 的一次函數(shù), 累加后可轉化為等差數(shù)列求和 ;單調性： 如f n 是關于 n 的指數(shù)函數(shù),累加后可轉化為等a 10,q1 或a 10,0q1a n為遞增數(shù)列；比數(shù)列求和 ;a 10,0q1 或 a

52、 10,q1a n為遞減數(shù)列；如f n 是關于 n 的二次函數(shù),累加后可分組求和; q1a n為常數(shù)列；如f n 是關于 n 的分式函數(shù),累加后可裂項求和. q0a n為搖擺數(shù)列；類型累乘法：形如a n1anf n a n1f n 型的遞推數(shù)列 （其既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列的數(shù)列是常數(shù)列；a n如等比數(shù)列an的前 n 項和S ,就S 、S2kS k、an1f n1S 3kS 2k是等比數(shù)列 .a n4、非等差、等比數(shù)列通項公式的求法中fn是關于 n 的函數(shù)） 可構造：an1f n2a n2類型觀看法： 已知數(shù)列前如干項,求該數(shù)列. .的通項時,一般對所給的項觀看分析,查找規(guī)律,從 而依據規(guī)律寫

53、出此數(shù)列的一個通項；a 2f1 a 1類型公式法：如已知數(shù)列的前n 項和S 與an將上述n1個式子兩邊分別相乘,可得：的關系,求數(shù)列an的通項a 可用公式a nS 1S n, n1構造兩式作差求解；anf n1f n2 .f2f1a 1,n2S n1,n2有時如不能直接用,可變形成這種形式,然后用這 種方法求解；用此公式時要留意結論有兩種可能,一種是“ 一分為二” ,即分段式； 另一種是 “ 合二為一”,即a 和an類型構造數(shù)列法：合為一個表達,（要先分n1和n2兩種情形分別進形如an 1panq（其中p q 均為常數(shù)且p0）行運算,然后驗證能否統(tǒng)一）；類型累加法：型的遞推式：形如an1anf

54、n型的遞推數(shù)列 （其中fn是關（1）如p1時,數(shù)列 a 為等差數(shù)列 ; （2）如q0時,數(shù)列 a 為等比數(shù)列 ;. 精選文檔（3）如p1且q0時,數(shù)列 a 為線性遞推數(shù)列,an1panf n ,a npan1f n1兩式相減其通項可通過待定系數(shù)法構造等比數(shù)列來求.方法有如得：an1anp ana n1d ,令b na n1a 得：下兩種：法一： 設a n1p an,綻開移項整理得b npb n1d 轉化為 類型 求出nb ,再用 類型an1panp1,與題設an1panq 比較系（累加法） 便可求出na.數(shù)（待定系數(shù)法）得當f n 為指數(shù)函數(shù)類型（即等比數(shù)列）時：q1,p0an1q1p a n

55、pq1法一：設a nf n p a n1f n1,通過ppanq1p a n1pq 1,即anq1構成待定系數(shù)法確定的值, 轉化成以a 1f1為首項,pp以 p 為公比的等比數(shù)列a nf n ,再利用等比數(shù)以a 1pq1為首項,以p 為公比的等比數(shù)列.再利用列的通項公式求出a nf n 的通項整理可得a n.法二： 當f n 的公比為 q 時,由遞推式得：等比數(shù)列的通項公式求出anpq1的通項整理可an1panf n ,anpan1f n1,兩得an.邊同時乘以 q 得a qpqan1qf n1 ,由法二：由a n 1panq得a npan1q n2兩式相減并整理得an1anp,即a n1a

56、n構成以兩式相減得an1a qp anqan1,即ana n1a2a 為首項,以p 為公比的等比數(shù)列.求出an1qanp,在轉化為 類型 便可求出an.a n1a n的通項再轉化為類型（累加法）便可求n1aqan出an.法三：遞推公式為a n1panqn（其中 p,q 均形如a n1panf n p1型的遞推式：當f n 為一次函數(shù)類型（即等差數(shù)列）時：為常數(shù)） 或a n1pann rq （其中 p,q, r 均為常數(shù)）法一：設a nAnBp a n1A n1B ,時,要先在原遞推公式兩邊同時除以qn1,得：an1p.an1,引入幫助數(shù)列b n（其中通過待定系數(shù)法確定A、 的值,轉化成以1aA

57、Bqn1qqnq為首項, 以 p 為公比的等比數(shù)列a nAnB ,再利bnan）,得：b n1pb n1再應用 類型 的方用等比數(shù)列的通項公式求出a nAnB 的通項整qnqq法解決；理可得na.當f n 為任意數(shù)列時,可用通法：法二：當f n 的公差為 d 時,由遞推式得：在an1panf n 兩邊同時除以pn1可得到. 精選文檔a n1anf n ,令anb n,就b n1b nnf n ,an 1panq型；pn1pnpn1pnpn1總之,求數(shù)列通項公式可依據數(shù)列特點采納以上在轉化為 類型 （累加法）,求出b 之后得an p b .不同方法求解,對不能轉化為以上方法求解的數(shù)列,類型對數(shù)變

58、換法：可用歸納、猜想、證明方法求出數(shù)列通項公式an.形如a n1paqp0,a n0型的遞推式：5、非等差、等比數(shù)列前n 項和公式的求法錯位相減法在原遞推式a n1q pa 兩邊取對數(shù)得型,求出nb如數(shù)列a n為等差數(shù)列,數(shù)列b n為等比數(shù)列,lgan1qlga nlgp ,令b nlga 得：就數(shù)列a nb n的求和就要采納此法.b n1qbnlgp ,化歸為an 1panq之后得nab 10 .（留意：底數(shù)不肯定要取10,可依據將數(shù)列a nb n的每一項分別乘以b n的公比,題意挑選）；0）的遞推然后在錯位相減,進而可得到數(shù)列a nb n的前 n 項和.類型倒數(shù)變換法：此法是在推導等比數(shù)列

59、的前n 項和公式時所用的方形如a n1a npan1a （ p 為常數(shù)且p法.裂項相消法式： 兩邊同除于an1 a ,轉化為1a11p形式,一般地,當數(shù)列的通項a nanb 1canb2ann化歸為a n 1panq型求出1的表達式,再求a ；an , a b b c為常數(shù)） 時,往往可將a 變成兩項的差,仍有形如a n1manq的遞推式, 也可采納取倒數(shù)方pa n采納裂項相消法求和.法轉化成a11m1m形式,化歸為an 1panq可用待定系數(shù)法進行裂項：nq anp設ananb 1anb 2,通分整理后與原式相型求出1的表達式,再求a .a n類型形如an2pan1qan型的遞推式：比較,依

60、據對應項系數(shù)相等得b2cb 1,從而可得用待定系數(shù)法,化為特殊數(shù)列anan1的形式anb 1cb2=b 2cb 1an1b 1an1b2.求解； 方法為： 設an2kan1h an1ka n,比較an系數(shù)得hkp,hkq,可解得 h、 ,于是常見的拆項公式有：111n11；a n1ka n是公比為 h 的等比數(shù)列,這樣就化歸為n nn. 精選文檔2n1n11 2 211211;（異向正數(shù) 可除性）ab0,0cdabcd12nna1ba1bab;（平方法就）ab0anbnnN,且n1（開方法就）ab0nanb nN,且n1Cm1Cm1Cm;（倒數(shù)法就）ab011;ab011nnnababn n.