高中數(shù)必修一知識(shí)點(diǎn)復(fù)習(xí)歸納總結(jié)

1、- 2022 2022 學(xué)年度高一數(shù)學(xué)必修 1 學(xué)問(wèn)點(diǎn)復(fù)習(xí)總結(jié) 第一章 集合與函數(shù)概念 一,集合 1,集合的中元素的三個(gè)特性： , , ； 2,集合的表示： , 如： 太平洋 ,大西洋 ,印度洋 , 北冰洋 （1）用大寫的拉丁字母表示集合： （2）用小寫的拉丁字母表示元素：如 3,集合的表示方法： （1）留意：常用數(shù)集及其記法： A= 我校的籃球隊(duì)員 ,B=1,2,3,4,5 M= , b, c, 非負(fù)整數(shù)集 （即自然數(shù)集） 記作： ；正整數(shù)集 記作 ； ；整數(shù)集 記 作 ； 有理數(shù)集 記作 ；實(shí)數(shù)集記作 （2）列舉法： a,b,c . （3）描述法：將集合中的元素的公共屬性描述出來(lái),寫在大括

2、號(hào)內(nèi)表示集合的方 法； x R| x-32 ,x| x-32 （4）語(yǔ)言描述法：例： （5）區(qū)間法： 不是直角三角形的三角形 4,集合的分類：按元素的種類來(lái)分可以分為數(shù)集,點(diǎn)集等；按元素的種類來(lái)分分 為： ：有限集 含有有限個(gè)元素的集合 例： x|x 2=5 ：無(wú)限集 含有無(wú)限個(gè)元素的集合 ：空集 不含任何元素的集合 5,集合間的基本關(guān)系 （1）“包含”關(guān)系子集 留意： A B 有三種可能（ 1）A 是 B 的一部分；（ 2） A 與B 是同一集合；（ 3）A ； 反之 : 集合 A 不包含于集合 B, 或集合 B 不包含集合 A,記作 A B 或 B A（2）“相等”關(guān)系：A=B 55,且

3、55,就 5=5 任何一個(gè)集合是它本身的子集； A A真子集 :假如 A B, 且 A B 那就說(shuō)集合 A A B,B C, 那么 A C 假如 A B 同時(shí) BA 那么 A=B 是集合 B 的真子集,記作 A B 或 B A 假如 （3）不含任何元素的集合叫做空集,記為 （4）規(guī)定 : 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集；n n 第-1- 頁(yè)共 12 頁(yè) 第 1 頁(yè),共 12 頁(yè)- - 6,集合的運(yùn)算 運(yùn) 算 交 集 并 集 補(bǔ) 集 類型 定 由全部屬于 A 且 由全部屬于集合 A 設(shè) S 是一個(gè)集合, A 是 S 的一個(gè) 屬于 B 的元素組 或?qū)儆诩?B 的元 子集,由

4、S 中全部不屬于 A 的元 成的集合 ,叫 A,B 素組成的集合, 叫 素組成的集合,叫做 S 中子集 A 的交集記作 A,B 的并集記作： 的補(bǔ)集（或余集） A B（讀作 A A B（讀作 A 并 記作 C s A ,即 義 交 B）,即 A B= B）,即 A B x|x A , 且 =x|xA , 或 Cs A= x | x S, 但 x A x B x B 韋 恩 A ABA ABS A 圖 圖 1 圖 2 示 CuA CuB= Cu A B A=A A=A 性 A = A =A CuA CuB= CuA B 質(zhì) A B=B A A B=B A A CuA=U A CuA= A B A

5、 A B A B A A B 學(xué)問(wèn)應(yīng)用： 1.,以下四組對(duì)象,能構(gòu)成集合的是 （ ） A 某班全部高個(gè)子的同學(xué) B 著名的藝術(shù)家 C 一切很大的書 D 倒數(shù)等于它自身的實(shí)數(shù) 2.,集合 a,b,c 的真子集共有 個(gè)； 3.,如集合 M=y|y=x 2-2x+1,x R,N=x|x 0,就 M 與 N 的關(guān)系是 ； 4.,設(shè)集合 A= x 1 x 2 , B= x x a,如 A B,就 a 的取值范疇是 5,50 名同學(xué)做的物理,化學(xué)兩種試驗(yàn),已知物理試驗(yàn)做得正確得 有 40 人,化學(xué)試驗(yàn)做得正確得有 31 人, 兩種試驗(yàn)都做錯(cuò)得有 4 人,就這兩種試驗(yàn)都做對(duì)的有 人； 6. 用描述法表示圖中

6、陰影部分的點(diǎn)（含邊界上的點(diǎn)）組成的集合 M= 2 2 2 2 7. 已知集合 A=x| x +2x-8=0, B=x| x-5x+6=0, C=x| x-mx+m -19=0, 如 BC, AC= ,求 m 的值 第-2- 頁(yè)共 12 頁(yè) 第 2 頁(yè),共 12 頁(yè)- - 二,函數(shù)的概念 1,函數(shù)的定義： 設(shè) A,B 是非空的數(shù)集,假如依據(jù)某個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系 f,使對(duì)于 集合 A 中的任意一個(gè)數(shù) x ,在集合 B 中都有唯獨(dú)確定的數(shù) fx 和它對(duì)應(yīng),那么就稱 f： A B 為從集合 A 到集合 B 的一個(gè)函數(shù)； 記作： y=fx , x A 其中, x 叫做自變量, x 的取值范疇 A 叫做函數(shù)

7、的定義域；與 x 的值相對(duì)應(yīng)的 y 值叫 做函數(shù)值,函數(shù)值的集合 fx| x A 叫做函數(shù)的值域 2,定義域：能使函數(shù)式有意義的實(shí)數(shù) x 的集合稱為函數(shù)的定義域； 求函數(shù)的定義域時(shí)列不等式組的主要依據(jù)是： 1 分式的分母不等于零； 2 偶次方根的被開方數(shù)不小于零； 3 對(duì)數(shù)式的真數(shù)必需大于零； 4 指數(shù),對(duì)數(shù)式的底必需大于零且不等于 1. 5 假如函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過(guò)四就運(yùn)算結(jié)合而成的 分都有意義的 x 的值組成的集合 . .那么,它的定義域是使各部 6 指數(shù)為零底不行以等于零；底數(shù)為 0 的指數(shù)不能為 0 和負(fù)數(shù)； ； 7 實(shí)際問(wèn)題中的函數(shù)的定義域仍要保證明際問(wèn)題有意義 .3,相同函數(shù)的

8、判定方法：表達(dá)式相同（與表示自變量和函數(shù)值的字母無(wú)關(guān)） 定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系一樣 兩點(diǎn)必需同時(shí)具備 4,值域 : 先考慮其定義域 1 觀看法 2配方法 3 代換法 5,函數(shù)圖象學(xué)問(wèn)歸納 1 定義：在平面直角坐標(biāo)系中,以函數(shù) y=fx , x A 中的 x 為橫坐標(biāo),函數(shù)值 y 為 縱坐標(biāo)的點(diǎn) Px ,y的集合 C,叫做函數(shù) y=fx,x A 的圖象 C 上每一點(diǎn)的坐 標(biāo) x, y均中意函數(shù)關(guān)系 y=fx ,反過(guò)來(lái),以中意 y=fx 的每一組有序?qū)崝?shù)對(duì) x, y 為 坐標(biāo)的點(diǎn) x, y,均在 C 上 . 常用變換方法有四種 平移變換 ； 伸縮變換 ； 對(duì)稱變換 ； 翻折變換 ； 6,映射 一般地,設(shè)

9、 A,B 是兩個(gè)非空的集合,假如按某一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)法就 f,使對(duì)于集 合 A 中的任意一個(gè)元素 x,在集合 B 中都有唯獨(dú)確定的元素 y 與之對(duì)應(yīng),那么就稱 對(duì)應(yīng) f：A 為從集合 到集合 的一個(gè)映射；記作“（對(duì)應(yīng)關(guān)系）： （原象）B A B f A B（象）” 對(duì)于映射 f：AB 來(lái)說(shuō),就應(yīng)中意： 1 集合 A 中的每一個(gè)元素,在集合 B 中都有象,并且象是唯獨(dú)的； 第-3- 頁(yè)共 12 頁(yè) 第 3 頁(yè),共 12 頁(yè)- - 2 集合 A 中不同的元素,在集合 B 中對(duì)應(yīng)的象可以是同一個(gè)； 3 不要求集合 B 中的每一個(gè)元素在集合 A 中都有原象； 7,分段函數(shù) 1 在定義域的不同部分上有不同

10、的解析表達(dá)式的函數(shù)； 2 留意各部分的自變量的取值情形 3 分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集,值域是各段值域的并集 4 要把各段連起來(lái)看單調(diào)性時(shí)要留意兩點(diǎn)：,在定義域的各個(gè)范疇內(nèi)的單調(diào) 性要保持一樣,在定義域的各個(gè)范疇端點(diǎn)的函數(shù)值也要中意單調(diào)性； 8,補(bǔ)充：復(fù)合函數(shù)：假如 y=fuu M,u=gxx A, 就 y=fgx=Fxx A 稱為 f,g 的復(fù)合函數(shù)； （1）復(fù)合函數(shù)求定義域內(nèi)外函數(shù)都要中意； （2）復(fù)合函數(shù)求值域時(shí)可以分解成基礎(chǔ)函數(shù)來(lái)求； （3）復(fù)合函數(shù)判定單調(diào)性可以用定義法和分解成基礎(chǔ)函數(shù)用“同增異減”的原就 來(lái)判定； （4）復(fù)合函數(shù)的奇偶性可用定義法；如內(nèi)函數(shù)為偶函數(shù)時(shí)該函數(shù)必

11、為偶函數(shù)； 9,函數(shù)的性質(zhì) , .函數(shù)的單調(diào)性 局部性質(zhì) （1）增函數(shù)：設(shè)函數(shù) y=fx 的定義域?yàn)?I,假如對(duì)定義域 I 內(nèi)的某個(gè)區(qū)間 D 內(nèi)的任意 兩個(gè)自變量 x 1,x2,當(dāng) x 1x2 時(shí),都有 fx 1 fx 2,那么就說(shuō) fx 在區(qū)間 D 上是增函數(shù) . 區(qū)間 D 稱為 y=fx 的單調(diào)增區(qū)間 . 假如對(duì)于區(qū)間 D 上的任意兩個(gè)自變量的值 x1,x2,當(dāng) x1x2 時(shí),都有 fx 1 fx 2 ,那 么就說(shuō) fx 在這個(gè)區(qū)間上是減函數(shù) .區(qū)間 D 稱為 y=fx 的單調(diào)減區(qū)間 . 留意：函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì)； （2） 圖象的特點(diǎn) 假如函數(shù) y=fx 在某個(gè)區(qū)間是增函數(shù)或減函

12、數(shù),那么說(shuō)函數(shù) y=fx 在這一區(qū)間上具 有 嚴(yán)格的 單調(diào)性,在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左到右是上升的,減函數(shù)的圖 象從左到右是下降的 . 3. 函數(shù)單調(diào)區(qū)間與單調(diào)性的判定方法 A 定義法： 1 2 3 4 5 任取 x1 ,x2D,且 x1 1,且 nN* 留意：（ 1）負(fù)數(shù)沒(méi)有偶次方根； 0 的任何次方根都是 0,記作 n00 ； 第-6- 頁(yè)共 12 頁(yè) 第 6 頁(yè),共 12 頁(yè)- - （ 2）當(dāng) n 是奇數(shù)時(shí), nan a,當(dāng) n 是偶數(shù)時(shí), n a n | a | a a 0 a a 0 2,分?jǐn)?shù)指數(shù)冪 （1）正數(shù)的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義,規(guī)定： m a m n1 m 1 a 0, m,n

13、 N * , n 1 a nna m a 0,m, n N * , n 1 , a n n am 0,0 的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒(méi)有意義 0 的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于 （2）實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì) （1） a ra r a r s a 0, r , s R ； ； （2） ar sa rs a a 0, r , s R （3） ab r0, r , s R a a rs3,指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì) （1）,指數(shù)函數(shù)的概念：一般地,函數(shù) ya x a 0,且 a 1 叫做指數(shù)函數(shù),其中 x 1 是自變量,函數(shù)的定義域?yàn)?R 留意：指數(shù)函數(shù)的底數(shù)的取值范疇,底數(shù)不能是負(fù)數(shù),零和 （2）,指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì) a1 定義域

14、 值 域 圖 象 對(duì)稱性 單調(diào)性 0 f x 1 1 f x 其 它 第-7- 頁(yè)共 12 頁(yè) 第 7 頁(yè),共 12 頁(yè)- - 留意：利用函數(shù)的單調(diào)性,結(jié)合圖象仍可以看出： （1）在 a, b 上, f x a x a 0 且 a 1 值域是 f a, f b 或 f b, f a ； （2）如 x 0 ,就 f x 1 ； f x 取遍全部正數(shù)當(dāng)且僅當(dāng) x R ； （3）對(duì)于指數(shù)函數(shù) 4,對(duì)數(shù) f x ax a 0 且 a 1 ,總有 f 1 a ； （1）數(shù)的概念：一般地,假如 a x N a 0, a 1 ,那么數(shù) x 叫做以 a 為底 N 的對(duì) 數(shù),記作： x log N a（ a 底

15、數(shù), N 真數(shù), log Na 對(duì)數(shù)式） 說(shuō)明：1 留意底數(shù)的限制 a 0 ,且 1； a 2 a x N logNx a ； 3 留意對(duì)數(shù)的書寫格式 log N 留意重要對(duì)數(shù)： 1 常用對(duì)數(shù)：以 10 為底的對(duì)數(shù) lg N ； 2 自然對(duì)數(shù)：以無(wú)理數(shù) e 為底的對(duì)數(shù)的對(duì)數(shù) ln N 指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化 log N ab N a b 對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì) 假如 a 0 ,且 a 1, M 0 , N 0 ,那么： log M log N 1 log a M N a a ； M log a2 N log a M log a N ； 3 log a M n n log Ma n R 留意：換底公式 l

16、og b log a b log c a（ a 0 ,且 a 1； c 0 ,且 c 1 ； b 0 ） 利用換底公式推導(dǎo)下面的結(jié)論 log m bn n log a b log a b 1 log b （1） a m ；（2） log a b （3）a a b 5,數(shù)函數(shù) 第-8- 頁(yè)共 12 頁(yè) 第 8 頁(yè),共 12 頁(yè)- - 1 ,對(duì)數(shù)函數(shù)的概念：函數(shù) ylog ax a 0 ,且 a 1 叫做對(duì)數(shù)函數(shù),其中 x 是自變 量,函數(shù)的定義域是（ 0,+） 留意： 1 對(duì)數(shù)函數(shù)的定義與指數(shù)函數(shù)類似,都是形式定義,留意辨別；如：x y log 5y 2log 2 x , 5 都不是對(duì)數(shù)函數(shù),而

17、只能稱其為對(duì)數(shù)型函數(shù) 2 對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)底數(shù)的限制： a 0 ,且 a 1 2,對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)： a1 定義域 值 域 圖 1 1象 0101對(duì)稱性 單調(diào)性 f x 0 f x 0 其 它 6,冪函數(shù) 1,冪函數(shù)定義：一般地,形如 y x a R 的函數(shù)稱為冪函數(shù),其中 為常數(shù) 2,冪函數(shù)性質(zhì)歸納 （1）全部的冪函數(shù)在（ 0, +）都有定義并且圖象都過(guò)點(diǎn)（ 1, 1）； （2） 0 時(shí),冪函數(shù)的圖象通過(guò)原點(diǎn),并且在區(qū)間 0, 上是增函數(shù)特別地, 當(dāng) 1 時(shí),冪函數(shù)的圖象下凸；當(dāng) 0 1 時(shí),冪函數(shù)的圖象上凸； （3） 0 時(shí),冪函數(shù)的圖象在區(qū)間 0, 上是減函數(shù)在第一象限內(nèi),當(dāng) x 從右 邊趨向原

18、點(diǎn)時(shí),圖象在 y 軸右方無(wú)限地靠近 y 軸正半軸,當(dāng) x 趨于 時(shí),圖象在 第-9- 頁(yè)共 12 頁(yè) 第 9 頁(yè),共 12 頁(yè)- - x 軸上方無(wú)限地靠近 x 軸正半軸 7,勾勾函數(shù)：形如 f x x a , a 0 的函數(shù) x 定義域 值 域 圖 象 奇偶性 f x 0 f x 0 單調(diào)性 公式應(yīng)用： 1. 已知 a0 , a 3 0,函數(shù) y=ax 與 y=loga-x 的圖象只能是 2 log 2 log 2. 運(yùn)算： 27 log 2 64 ; 24 log 3 2= 1 log 27 5 ; 5 1 7 0 23 4 16 0 .75 1 = 3 3 8 1 3. 函數(shù) y=log

19、2 2x2-3x+1 的遞減區(qū)間為 4.如函數(shù) f x log x0 a a 1 在區(qū)間 a, 2a 上的最大值是最小值的 3倍,就 a= 1 x 5 已f xlog a 1 x a 0 且 a 1 ,（ 1）求 f x 的定義域（ 2）求使 f x 0的 x 的取值范疇 知 第-10- 頁(yè)共 12 頁(yè) 第 10 頁(yè),共 12 頁(yè)- - 第三章 函數(shù)的應(yīng)用 1,函數(shù)零點(diǎn)的概念： 對(duì)于函數(shù) y f x x D ,把使 f x x 0 成立的實(shí)數(shù) x 叫做函 數(shù) y f x x D 的零點(diǎn)； 0 實(shí)數(shù)根,亦即函數(shù) 2,函數(shù)零點(diǎn)的意義：函數(shù) y f x 的零點(diǎn)就是方程 f x y f x 的圖象與 x 軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)； 軸有交點(diǎn) 函數(shù) y f x 即：方程 f x 0 有實(shí)數(shù)根 函數(shù) y f x 的圖象與 有零點(diǎn) 3,函數(shù)零點(diǎn)的求法： 1 （代數(shù)法）求方程 f x 0 的實(shí)數(shù)根； 2 （幾何法）對(duì)于不能用求根公式的方程,可以將它與函數(shù) y f x 的圖象聯(lián)系 起來(lái),并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點(diǎn) 4,二次函數(shù)的零點(diǎn)： 二次函數(shù) yax 2b