北京市西城區(qū)第十三中學(xué)2021-2022學(xué)年數(shù)學(xué)高二下期末綜合測試試題含解析

1、2021-2022高二下數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)1考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B 鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1在區(qū)間上隨機(jī)選取一個(gè)實(shí)數(shù)，則事件 的概率為（ ）ABCD2下列三句話按“三段論”模式排列順序正確的是（ ）是周期函數(shù)；三角函數(shù)是周期函數(shù)；是三角函數(shù)ABCD3若對任意的，不等式恒成立，則的取值范圍是（ ）ABCD4已定義在上的函數(shù)無極

2、值點(diǎn)，且對任意都有，若函數(shù)在上與具有相同的單調(diào)性，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）ABCD5已知橢圓 的兩個(gè)焦點(diǎn)為 ,且,弦過點(diǎn) ,則的周長為( )ABCD6若abc,ac0BbcacDb(a-c)07的展開式存在常數(shù)項(xiàng)，則正整數(shù)的最小值為（）A5B6C7D148已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，則（ ）A2B4C-2D-49設(shè)集合A=4，5，7，9，B=3，4，7，8，9，全集U=AB，則集合中的元素共有 （ ）A3個(gè)B4個(gè)C5個(gè)D6個(gè)10已知復(fù)數(shù)，.在復(fù)平面上，設(shè)復(fù)數(shù)，對應(yīng)的點(diǎn)分別為，若，其中是坐標(biāo)原點(diǎn)，則函數(shù)的最大值為（）ABCD11已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則（ ）A0.4B0.8C0

3、.6D0.312數(shù)列0，的一個(gè)通項(xiàng)公式是()ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13已知離散型隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則_.14某超市國慶大酬賓，購物滿100元可參加一次游戲抽獎(jiǎng)活動，游戲抽獎(jiǎng)規(guī)則如下：顧客將一個(gè)半徑適當(dāng)?shù)男∏蚍湃肴鐖D所示的容器正上方的入口處，小球自由落下過程中，將3次遇到黑色障礙物，最后落入A袋或B袋中，落入A袋得獎(jiǎng)金4元，落入B袋得獎(jiǎng)金8元，已知小球每次遇到黑色障礙物時(shí)，向左向右下落的概率都為.已知李女士當(dāng)天在該超市購物消費(fèi)128元，按照活動要求，李女士的活動獎(jiǎng)金期望值為_元.15某人從處向正東方向走千米，然后向南偏西的方向走3千米，此時(shí)他離點(diǎn)的距離為

4、千米，那么_千米.16已知實(shí)數(shù)滿足約束條件，則的最大值為_.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）如圖，三棱柱的底面是邊長為2的正三角形且側(cè)棱垂直于底面，側(cè)棱長是是的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求二面角的大?。?8（12分）已知函數(shù).（1）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求的取值范圍；（2）設(shè)函數(shù)，若存在，使不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19（12分）按照國家質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)：某種工業(yè)產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值落在內(nèi)，則為合格品，否則為不合格品某企業(yè)有甲乙兩套設(shè)備生產(chǎn)這種產(chǎn)品，為了檢測這兩套設(shè)備的生產(chǎn)質(zhì)量情況，隨機(jī)從兩套設(shè)備生產(chǎn)的大量產(chǎn)品中各抽取了50件產(chǎn)品作為樣本對規(guī)定的質(zhì)量指

5、標(biāo)值進(jìn)行檢測表1是甲套設(shè)備的樣本頻數(shù)分布表，圖1是乙套設(shè)備的樣本頻率分布直方圖表1：甲套設(shè)備的樣本頻數(shù)分布表（1）將頻率視為概率，若乙套設(shè)備生產(chǎn)了5000件產(chǎn)品，則其中合格品約有多少件？（2）填寫下面22列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有95%的把握認(rèn)為這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值與甲乙兩套設(shè)備的選擇有關(guān)：20（12分）北京市政府為做好會議接待服務(wù)工作，對可能遭受污染的某海產(chǎn)品在進(jìn)入餐飲區(qū)前必須進(jìn)行兩輪檢測，只有兩輪都合格才能進(jìn)行銷售，否則不能銷售.已知該海產(chǎn)品第一輪檢測不合格的概率為，第二輪檢測不合格的概率為，兩輪檢測是否合格相互沒有影響.（1）求該海產(chǎn)品不能銷售的概率.（2）如果該海產(chǎn)品可以銷售，則每

6、件產(chǎn)品可獲利40元；如果該海產(chǎn)品不能銷售，則每件產(chǎn)品虧損80元（即獲利-80元）.已知一箱中有該海產(chǎn)品4件，記一箱該海產(chǎn)品獲利元，求的分布列，并求出數(shù)學(xué)期望.21（12分）已知函數(shù)，為常數(shù)（）若時(shí)，已知在定義域內(nèi)有且只有一個(gè)極值點(diǎn)，求的取值范圍；（）若，已知，恒成立，求的取值范圍。22（10分）一個(gè)盒子里裝有個(gè)均勻的紅球和個(gè)均勻的白球，每個(gè)球被取到的概率相等，已知從盒子里一次隨機(jī)取出1個(gè)球，取到的球是紅球的概率為，從盒子里一次隨機(jī)取出2個(gè)球，取到的球至少有1個(gè)是白球的概率為.（1）求，的值；（2）若一次從盒子里隨機(jī)取出3個(gè)球，求取到的白球個(gè)數(shù)不小于紅球個(gè)數(shù)的概率.參考答案一、選擇題：本題共12

7、小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】 由題意得，事件“”，即， 所以事件“”滿足條件是， 由幾何概型的概率公式可得概率為，故選B.2、A【解析】根據(jù)“三段論”的排列模式：“大前提”“小前提”“結(jié)論”，分析即可得到正確的順序.【詳解】根據(jù)“三段論”的排列模式：“大前提”“小前提”“結(jié)論”，可知：是周期函數(shù)是“結(jié)論”；三角函數(shù)是周期函數(shù)是“大前提”；是三角函數(shù)是“小前提”；故“三段論”模式排列順序?yàn)?故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了演繹推理的模式，需理解演繹推理的概念，屬于基礎(chǔ)題.3、A【解析】由已知可得對任意的恒成立，設(shè) 則 當(dāng)時(shí)在上恒成立，在

8、上單調(diào)遞增，又 在上 不合題意；當(dāng)時(shí)，可知在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，要使 ，在上恒成立，只要，令 可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，故選A.4、A【解析】分析：易得函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，令，則 ，（為常數(shù)），求出的單調(diào)性，從而求出在的單調(diào)性，得到在恒成立，求出的范圍即可詳解：定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)無零點(diǎn)，函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，令，則， 在恒成立，故在遞增，結(jié)合題意在上遞增，故在恒成立，故 在恒成立，故 ，故選A點(diǎn)睛：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題5、D【解析】求得橢圓的a，b，c，由橢圓的定義可得ABF2的周長為|AB|+|AF2|+|BF2|=4a，計(jì)算即可得到所求值

9、【詳解】由題意可得橢圓+=1的b=5，c=4，a=，由橢圓的定義可得|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a，即有ABF2的周長為|AB|+|AF2|+|BF2|=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=4故選D【點(diǎn)睛】本題考查三角形的周長的求法，注意運(yùn)用橢圓的定義和方程，定義法解題是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題6、C【解析】取特殊值a=1,b=0,c=-1進(jìn)行驗(yàn)證即可?！驹斀狻咳=1,b=0,c=-1代入，排除A、B、D，故選：C?！军c(diǎn)睛】本題考查不等式的基本性質(zhì)，不等式的基本性質(zhì)、特殊值法是兩種常用方法，但在利用特殊值法時(shí)取特殊值時(shí)要全面。7、C【解析】化簡二項(xiàng)式展開式的通

10、項(xiàng)公式，令的指數(shù)為零，根據(jù)為正整數(shù)，求得的最小值.【詳解】，令，則，當(dāng)時(shí)，有最小值為7.故選C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，考查與正整數(shù)有關(guān)問題，屬于基礎(chǔ)題.8、C【解析】先求出的值，再由函數(shù)的奇偶性得出可得出結(jié)果【詳解】由題意可得，由于函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以，故選C.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的奇偶性求值，求函數(shù)值時(shí)要結(jié)合自變量的取值選擇合適的解析式來計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題9、A【解析】試題分析：,所以，即集合中共有3個(gè)元素，故選A考點(diǎn)：集合的運(yùn)算10、B【解析】根據(jù)向量垂直關(guān)系的坐標(biāo)運(yùn)算和三角函數(shù)的最值求解.【詳解】據(jù)條件，且，所以，化簡得，當(dāng)時(shí)，取得最大值為

11、.【點(diǎn)睛】本題考查向量的數(shù)量積運(yùn)算和三角函數(shù)的最值，屬于基礎(chǔ)題.11、C【解析】分析：根據(jù)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，得到正態(tài)曲線關(guān)于對稱，根據(jù)，得到對稱區(qū)間上的概率，從而可求詳解：由隨機(jī)變量服從正態(tài)分布可知正態(tài)密度曲線關(guān)于軸對稱，而，則故 ，故選：C點(diǎn)睛：本題主要考查正態(tài)分布的概率求法，結(jié)合正態(tài)曲線，加深對正態(tài)密度函數(shù)的理解12、A【解析】在四個(gè)選項(xiàng)中代n=2,選項(xiàng)B,D是正數(shù)，不符，A選項(xiàng)值為，符合,C選項(xiàng)值為，不符所以選A.【點(diǎn)睛】對于選擇題的選項(xiàng)是關(guān)于n的關(guān)系式，可以考慮通過賦特殊值檢驗(yàn)法，來減少運(yùn)算，或排除選項(xiàng)二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】隨機(jī)變量X服從正態(tài)

12、分布，=1，得對稱軸是x=1，P（13）=0.468，P（13）=0.468=故答案為點(diǎn)睛：關(guān)于正態(tài)曲線在某個(gè)區(qū)間內(nèi)取值的概率求法熟記P(X)，P(1X1)，P(3X3)的值充分利用正態(tài)曲線的對稱性和曲線與x軸之間面積為1.14、5【解析】先記“小球落入A袋中”為事件A，“小球落入B袋中”為事件B，分別求出其對應(yīng)概率，再由題意得到抽取活動獎(jiǎng)金的可能取值，進(jìn)而可求出結(jié)果.【詳解】記“小球落入A袋中”為事件A，“小球落入B袋中”為事件B，由題意可得，所以.因?yàn)槔钆慨?dāng)天在該超市購物消費(fèi)128元，按照活動要求，李女士可參加一次抽獎(jiǎng)，抽取活動獎(jiǎng)金的可能取值為，所以期望為.故答案為5【點(diǎn)睛】本題主要考查

13、離散型隨機(jī)變量的期望，熟記概念即可，屬于?？碱}型.15、6【解析】根據(jù)題意作出圖形，用正弦定理解出角，可得剛好構(gòu)成直角三角形，可得答案.【詳解】根據(jù)題意作出圖形，如圖.設(shè)向正東方向走千米到處，然后向南偏西的方向走3千米到處.即,由正弦定理得：.所以 又,所以.所以，則.所以.則.故答案為：6【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題16、1【解析】作出題中不等式組表示的平面區(qū)域，得如圖的ABC及其內(nèi)部，再將目標(biāo)函數(shù)zxy對應(yīng)的直線進(jìn)行平移并觀察z的變化，即可得到zxy的最大值【詳解】作出實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件表示的平面區(qū)域，得到如圖的ABC及其內(nèi)部，其中A（1，1），B（

14、3，1），C（1，1）將直線l：zxy進(jìn)行平移，當(dāng)l經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z達(dá)到最大值；z最大值1；故答案為1【點(diǎn)睛】本題給出二元一次不等式組，求目標(biāo)函數(shù)zxy的最大值，著重考查了二元一次不等式組表示的平面區(qū)域和簡單的線性規(guī)劃等知識，屬于中檔題三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）.【解析】分析：設(shè)與相交于點(diǎn)，連接，根據(jù)題意可得，利用線面平行的判定定理得到平面；建立空間直角坐標(biāo)系，求出法向量，然后運(yùn)用公式計(jì)算二面角的大小詳解：（1）設(shè)與相交于點(diǎn)P，連接PD，則P為中點(diǎn)，D為AC中點(diǎn)，PD/, 又PD平面D，/平面D.（2）如圖建立空間直角坐標(biāo)

15、系， 則D（0，0，0），A（1，0，0），（1，0，），B（0，0），（0，）=（-1，-），=（-1，0，-）設(shè)平面的法向量為n=（x，y，z）則nn則有，得n=（，0，1）由題意，知=（0，0，）是平面 ABD的一個(gè)法向量。設(shè)n與所成角為， 則， 二面角的大小是. 點(diǎn)睛：本題主要考查了線面平行的判定定理，要求二面角平面角的大小，可以采用建立空間直角坐標(biāo)系的方法，給出點(diǎn)坐標(biāo)，求出各面上的法向量，利用公式即可求出角的大小。18、 (1)；(2).【解析】試題分析：(1)由函數(shù)的解析式可得在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是；(2)原問題等價(jià)于存在，使不等式成立.構(gòu)造新函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)可得實(shí)數(shù)的取

16、值范圍為.試題解析：（1）由得，在上單調(diào)遞增，的取值范圍是.（2）存在，使不等式成立，存在，使不等式成立.令，從而，在上單調(diào)遞增， .實(shí)數(shù)的取值范圍為.19、（1）800件；（2）見解析；【解析】（1） 結(jié)合頻數(shù)分布表，求出滿足條件的概率,再乘以5000即可；（2）求出22列聯(lián)表，計(jì)算K2值，判斷即可【詳解】（1）由圖知，乙套設(shè)備生產(chǎn)的不合格品率約為；乙套設(shè)備生產(chǎn)的5000件產(chǎn)品中不合格品約為（件）；（2）由表1和圖得到列聯(lián)表：甲套設(shè)備乙套設(shè)備合計(jì)合格品484290不合格品2810合計(jì)5050100將列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計(jì)算得；有95%的把握認(rèn)為產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值與甲、乙兩套設(shè)備的選擇有關(guān)；【

17、點(diǎn)睛】本題考查了頻率分布直方圖與獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用問題，準(zhǔn)確計(jì)算是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題20、（1）；（2）分布列見解析，期望為1.【解析】（1）利用對立事件的概率計(jì)算該產(chǎn)品不能銷售的概率值；（2）由題意知的可能取值為，1，160；計(jì)算對應(yīng)的概率值，寫出分布列，計(jì)算數(shù)學(xué)期望【詳解】（1）記“該產(chǎn)品不能銷售”為事件，則（A），所以，該產(chǎn)品不能銷售的概率為； （2）由已知，的可能取值為，1，160計(jì)算，； 所以的分布列為1160；所以均值為1【點(diǎn)睛】本題主要考查了離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望的應(yīng)用問題，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平21、（1）（2）【解析】分析：將代入，求出的表達(dá)式，求導(dǎo)，然后綜

18、合只有一個(gè)極值點(diǎn)即可求出結(jié)果法一：將代入，求導(dǎo)后利用單調(diào)性來求解；法二：整體思想，采用放縮法進(jìn)行求解詳解：（）當(dāng)時(shí)， 因?yàn)樵诙x域內(nèi)有且只有一個(gè)極值點(diǎn)，所以在內(nèi)有且僅有一根，則有圖知，所以 （），法1： 因，恒成立，則內(nèi)，先必須遞增，即先必須，即先必須，因其對稱軸，有圖知（此時(shí)在 ），所以 法2： 因，所以，所以， 令，因， ，所以遞增，所以， 點(diǎn)睛：本題考查了含有參量的導(dǎo)數(shù)極值問題和恒成立問題，在解答此類題目時(shí)將參數(shù)代入，然后根據(jù)題意進(jìn)行轉(zhuǎn)化，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行證明，本題有一定難度。 22、（1），（2）【解析】（1）設(shè)該盒子里有紅球個(gè)，白球個(gè)，利用古典概型、對立事件概率計(jì)算公式列出方程組，能求出，（2） “一次從盒子里任取3個(gè)球，取到的白球個(gè)數(shù)不少于紅球個(gè)數(shù)”分為“一次從盒子里任取3個(gè)球，取到的白球個(gè)數(shù)為3個(gè)”和“一次從盒子里任取3個(gè)球，取到的白球個(gè)數(shù)為2個(gè)，