常微分方程的歐拉方法

1、常微分方程的歐拉方法第1頁(yè)，共16頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)22分，星期三第8章 常微分方法的數(shù)值解法教學(xué)目的 1. 掌握解常微分方程的單步法：Euler方法、Taylor方法和Runge-Kutta方法；2. 掌握解常微分方程的多步法：Adams步法、Simpson方法和Milne方法等；3. 了解單步法的收斂性、相容性與穩(wěn)定性；多步法的穩(wěn)定性。教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn) 重點(diǎn)是解常微分方程的單步法：Euler方法、Taylor方法和Runge-Kutta方法和解常微分方程的多步法：Adams步法、Simpson方法和Milne方法等；難點(diǎn)是理解單步法的收斂性、相容性與穩(wěn)定性及多步法的穩(wěn)定性。第2

2、頁(yè)，共16頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)22分，星期三第8章 常微分方法的數(shù)值解法科學(xué)技術(shù)與工程問(wèn)題常常需要建立微分方程形式的數(shù)學(xué)模型，下面是這類(lèi)問(wèn)題的例子。設(shè)N（t）為某物種的數(shù)量， 為該物種的的出生率與死亡率之差， 為生物的食物供給及它們所占空間的限制，描述該物種增長(zhǎng)率的數(shù)學(xué)模型是設(shè)Q是電容器上的帶電量，C為電容，R為電阻，E為電源的電動(dòng)勢(shì)，描述該電容器充電過(guò)程的數(shù)學(xué)模型是第3頁(yè)，共16頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)22分，星期三以上兩個(gè)例子是常微分方程初值問(wèn)題，下面是一個(gè)兩點(diǎn)邊值問(wèn)題的例子。 設(shè)一跟長(zhǎng)為L(zhǎng)的矩形截面的梁，兩端固定。E是彈性模量，S是端點(diǎn)作用力，I（x）是慣性矩，q是均

3、勻荷載強(qiáng)度，梁的橈度y（x）滿(mǎn)足如下方程針對(duì)實(shí)際問(wèn)題建立的數(shù)學(xué)模型，要找出模型解的解析表達(dá)式往往是困難的，甚至是不可能的。因此，需要研究和掌握微分方程的數(shù)值解法，即計(jì)算解域內(nèi)離散點(diǎn)上的近似值的方法。本章討論常微分方程數(shù)值解的基本方法和理論。第4頁(yè)，共16頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)22分，星期三8.1 Euler 方法8.1.1 Euler 方法及其有關(guān)的方法考慮一階常微分方程初值的問(wèn)題：設(shè)f（x,y）是連續(xù)函數(shù)，對(duì)y滿(mǎn)足Lipschitz條件，這樣初值問(wèn)題的解是存在唯一的，而且連續(xù)依賴(lài)于初始條件。 為了求得離散點(diǎn)上的函數(shù)值，將微分方程的連續(xù)問(wèn)題（8.1.1）進(jìn)行離散化。一般是引入點(diǎn)列 ，

4、這里為步長(zhǎng)，經(jīng)?？紤]定長(zhǎng)的情形，即 。記 為初始問(wèn)題（8.1.1）的問(wèn)題準(zhǔn)確解 在 處的值，用均差近似代替（8.1.1）的導(dǎo)數(shù)得 第5頁(yè)，共16頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)22分，星期三令 為 的近似值，將上面兩個(gè)近似寫(xiě)成等式，整理后得（8.1.2）（8.1.3）從 處的初值 開(kāi)始，按（8.1.2）可逐步計(jì)算以后各點(diǎn)上的值。稱(chēng)（8.1.2）式為顯式Euler。由于（8.1.3）式的右端隱含有待求函數(shù)值 ，不能逐步顯式計(jì)算，稱(chēng)（8.1.3 ）式為隱式Euler公式或后退Euler公式。如果將（8.1.2）和（8.1.3）兩式作算術(shù)平均，就得梯形公式。第6頁(yè)，共16頁(yè)，2022年，5月20日，

5、5點(diǎn)22分，星期三梯形公式也是隱式公式。以上公式都是由 去計(jì)算 ，故稱(chēng)它們?yōu)閱尾椒ā?例8.1 取h=0.1，用Euler方法、隱式Euler方法和梯形方法解 解 本題有 如果用Euler方法，由（8.1.2）并代入h=0.1得 同理，用隱式Euler方法有（8.1.4）第7頁(yè)，共16頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)22分，星期三用梯形公式有三種方法及準(zhǔn)確解 的數(shù)值結(jié)果如表8-1所示。從表中看 到，在 處，Euler方法和隱式Euler方法的誤差 分別是 和 ，而梯形方法的誤差卻是 。 在例8.1中，由于f（x，y）對(duì)y是線性的，所以對(duì)隱式公式也可以方便地計(jì)算 。但是，當(dāng)f（x，y）是y的非線

6、性函數(shù)時(shí)，如 ，其隱式Euler公式為 。顯然，它是 的非線性方程，可以選擇非線性方程求根的迭代求解 。以梯形公式為例，可用顯式Euler公式提供迭代初值 ，用公式第8頁(yè)，共16頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)22分，星期三表8-1 Euler方法 隱式Euler方法 梯形法 準(zhǔn)確解 0 1 1 1 10.1 1.000000 1.009091 1.004762 1.0048370.2 1.010000 1.026446 1.018549 1.018731 0.3 1.029000 1.051315 1.040633 1.040818 0.4 1.056100 1.083013 1.07009

7、6 1.070320 0.5 1.090490 1.120921 1.106278 1.106531 第9頁(yè)，共16頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)22分，星期三反復(fù)迭式，直到其中，步長(zhǎng)h成為迭代參數(shù)，它需要滿(mǎn)足一定的條件，才能收斂。若將（8.1.4）式減去該迭代公式，得假設(shè)f（x，y）關(guān)于y滿(mǎn)足Lipschiz條件，則有第10頁(yè)，共16頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)22分，星期三這里，L是Lipschiz常數(shù)。當(dāng)hL/21即h2/L時(shí)，迭代序列 收斂 。 對(duì)于隱式公式，通常采用估計(jì)-校正技術(shù)，即先用顯式公式計(jì)算，得到預(yù)估值，然后以預(yù)估值作為隱式公式的迭代初值，用隱式公式迭代一次得到校正值，

8、稱(chēng)為預(yù)估-校正技術(shù)。例如，用顯式Euler公式作預(yù)估，用梯形公式作校正，即稱(chēng)該公式為改進(jìn)的Euler公式。它顯然等價(jià)于顯式公式為， （8.1.6）第11頁(yè)，共16頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)22分，星期三也可以表示為下列平均化的形式例8.2 取h=0.1，用改進(jìn)的Euler方法解解 按（8.1.5），改進(jìn)的Euler方法解第12頁(yè)，共16頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)22分，星期三由 得計(jì)算結(jié)果如表8-2。該初值問(wèn)題的準(zhǔn)確解為 。表 8-2 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 1.0959 1.1841 1.2662 1.3434 1.4164 1.4860

9、1.5525 1.6153 1.0954 1.1832 1.2649 1.3416 1.4142 1.4832 1.5492 1.6165 第13頁(yè)，共16頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)22分，星期三8.1.2 局部誤差和方法的階 初值問(wèn)題（）的單步法可以寫(xiě)成如下統(tǒng)一形式（8.1.7）其中 與 有關(guān)。若 中不含 ，則方法是顯式的，否則是隱式的，所以一般顯式單步法表示為（8.1.8）例如，Euler方法中，有 對(duì)于不同的方法，計(jì)算值 與準(zhǔn)確解 的誤差各不相同。所以有必要討論方法的截?cái)嗾`差。我們稱(chēng) 為某一方法在 點(diǎn)的整體截?cái)嗾`差。顯然， 不單與 這步的計(jì)算有關(guān)，它與以前各步的計(jì)算也有關(guān)，所以誤差

10、被稱(chēng)為整體的。分析和估計(jì)整體截?cái)嗾`差 是復(fù)雜的。為此，我們假設(shè) 處的 沒(méi)有誤差，即 ，考慮從 到 這一步的誤差，這就是如下的局部誤差的概念。第14頁(yè)，共16頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)22分，星期三定義8.1 設(shè) 是初值問(wèn)題（8.1.1）的準(zhǔn)確解，則稱(chēng)為單步法（8.1.7）的局部截?cái)嗾`差。 定義8.2 如果給定方法的 局部截?cái)嗾`差 ，其中 為整數(shù)，則稱(chēng)該方法是p階的，或具有p階精度。若一個(gè)p階單步法的局部截?cái)嗾`差為則稱(chēng)其第一個(gè)非零項(xiàng) 為該方法的局部截?cái)嗾`差的主項(xiàng)。 對(duì)于Euler方法，有Taylor展開(kāi)有第15頁(yè)，共16頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)22分，星期三對(duì)于隱式Euler方法，其局部截?cái)嗾`差為所以Eul