直線與圓經(jīng)典題型

1、題型一：對稱性求最值例題：已知點(diǎn)M(3,5),在直線l：x-2y+2=0和y軸上各找一點(diǎn)P和Q,使MPQ的周長最小.解：由點(diǎn)M(3,5)及直線1,可求得點(diǎn)M關(guān)于l的對稱點(diǎn)M1(5,1).同樣容易求得點(diǎn)M關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)M2(-3,5).據(jù)M1及M2兩點(diǎn)可得到直線M1M2的方程為x+2y-7=0.得交點(diǎn)P(生，).2令x=0,得到M1M2與y軸的交點(diǎn)Q(0,).解方程組x+2y-7=0,x-2y+2=0,故點(diǎn)P(,)、Q(0,)即為所求.CNMPQMp+|MQ|+|PQ|=|Mp+|M2Q|+|PQ|M2CNMPQ題型二：反射光線問題已知光線經(jīng)過已知直線11：3x-y+7=0和12：2x+y+3

2、=0的交點(diǎn)M,且射到x軸上一點(diǎn)N(1,0)后被x軸反射.(1)求點(diǎn)M關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)P的坐標(biāo)；(2)求反射光線所在的直線13的方程.(3)求與13距離為.15的直線方程.【分析】(1)聯(lián)立方程組，求出M的坐標(biāo)，從而求出P的坐標(biāo)即可；(2)法一：求出直線的斜率，從而求出直線方程即可；法二：求出直線PN的方程，根據(jù)對稱性求出直線方程即可；(3)設(shè)出與13平行的直線方程，根據(jù)平行線的距離公式求出即可.【解答】解：(1)由得，M(-2,1).所以點(diǎn)M關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)P的坐標(biāo)(-2,-1).(4分)(2)因為入射角等于反射角，所以N1=N2.直線MN的傾斜角為a,則直線13的斜斜角為180-a.，所以直

3、線13的斜率故反射光線所在的直線13的方程為：.即.(9分)解法二：因為入射角等于反射角，所以N1=N2.根據(jù)對稱性N1=N3,，N2=N3.所以反射光線所在的直線13的方程就是直線PN的方程.直線PN的方程為：，整理得：故反射光線所在的直線13的方程為.(9分)(3)設(shè)與13平行的直線為，根據(jù)兩平行線之間的距離公式得：，解得b=3,或，所以與1所以與13為：，或.(13分)題型三：直線恒過點(diǎn)問題已知直線方程為(2+m)x+(1-2m)y+4-3m=0.(I)證明：直線恒過定點(diǎn)M；(口)若直線分別與x軸、y軸的負(fù)半軸交于A,B兩點(diǎn)，求4AOB面積的最小值及此時直線的方程.【分析】(I)直線方程

4、按m集項，方程恒成立，得到方程組，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，即可證明：直線恒過定點(diǎn)M；(口)若直線分別與x軸、y軸的負(fù)半軸交于A,B兩點(diǎn)，說明直線的斜率小于0,設(shè)出斜率根據(jù)直線過的定點(diǎn)，寫出直線方程，求出4AOB面積的表達(dá)式，利用基本不等式求出面積的最小值，即可得到面積最小值的直線的方程.【解答】(I)證明：(2+m)x+(1-2m)y+4-3m=0化為(x-2y-3)m=-2x-y-4.(3分)由卬。得1-2/-y-4=0直線必過定點(diǎn)(-1,-2).(6分)(口)解：設(shè)直線的斜率為k(k0),則其方程為y+2=k(x+1),OA=|-1|,OB=|k-2|,(8分)S=OAOB=|(-1)(k-2)|=

5、|-|.(10分)AOBVk0,Sacr=-=4+(-)+(-k)三4.AOB當(dāng)且僅當(dāng)-=-k,即k=-2時取等號.(13分).AOB的面積最小值是4,(14分)直線的方程為y+2=-2(x+1),即y+2x+4=0.(15分)2.已知直線l的方程為2x+(1+m)y+2m=0,mR,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-1,0).(1)求證：直線l恒過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)；(2)求點(diǎn)P到直線l的距離的最大值.【分析】(1)把直線方程變形得，2x+y+m(y+2)=0,聯(lián)立方程組，求得方程組的解即為直線l恒過的定點(diǎn).(2)設(shè)點(diǎn)P在直線l上的射影為點(diǎn)M,由題意可得|PM|W|PQ|,再由兩點(diǎn)間的距離公式求得點(diǎn)P到直線

6、l的距離的最大值【解答】(1)證明：由2x+(1+m)y+2m=0，得2x+y+m(y+2)=0,，直線l恒過直線2x+y=0與直線y+2=0的交點(diǎn)Q,解方程組2耳+y,得Q(1,-2),冷。直線l恒過定點(diǎn)，且定點(diǎn)為Q(1,-2).(2)解：設(shè)點(diǎn)P在直線l上的射影為點(diǎn)M,則|PM|W|PQ|,當(dāng)且僅當(dāng)直線l與PQ垂直時，等號成立，點(diǎn)P到直線l的距離的最大值即為線段PQ的長度，等于=2.題型四：動直線問題已知點(diǎn)A（1,2）、B（5,-1）,（1）若A,B兩點(diǎn)到直線l的距離都為2,求直線l的方程；（2）若A,B兩點(diǎn)到直線l的距離都為m（m0）,試根據(jù)m的取值討論直線l存在的條數(shù)，不需寫出直線方程.

7、【分析】（1）要分為兩類來研究，一類是直線L與點(diǎn)A（1,2）和點(diǎn)B（5,-1）兩點(diǎn)的連線平行，一類是線L過兩點(diǎn)A（1,2）和點(diǎn)B（5,-1）中點(diǎn)，分類解出直線的方程即可；（2）根據(jù)A,B兩點(diǎn)與直線l的位置關(guān)系以及m與兩點(diǎn)間距離5的一半比較，得到滿足條件的直線.【解答】解：|ab|=鬲卞；五7=5,|AB|2,A與B可能在直線l的同側(cè)，也可能直線l過線段AB中點(diǎn)，當(dāng)直線l平行直線AB時：kAB=，可設(shè)直線l的方程為y=-x+b依題意得：=2,解得：b=或b=,故直線l的方程為：3x+4y-1=0或3+4y-21=0；當(dāng)直線l過線段AB中點(diǎn)時：AB的中點(diǎn)為（3,）,可設(shè)直線l的方程為y-=k（x-

8、3）依題意得：=2,解得：k=,故直線l的方程為：x-2y-=0；（2）A,B兩點(diǎn)到直線l的距離都為m（m0）,AB平行的直線，滿足題意得一定有2條，經(jīng)過AB中點(diǎn)的直線，若2m|AB|,則有0條，V|AB|=5,綜上：當(dāng)m2.5時，有2條直線符合題意.題型五：斜率取值范圍已知點(diǎn)A(1,1),B(-2,2),直線l過點(diǎn)P(-1,-1)且與線段AB始終有交點(diǎn)，則直線l的斜率k的取值范圍為kW-3,或kN1.【分析】由題意畫出圖形，數(shù)形結(jié)合得答案.【解答】解：如圖，VA(1,1),B(-2,2),直線l過點(diǎn)P(-1,-1),，直線l的斜率k的取值范圍為kW-3,或k1.故答案為：kW-3,或k1.題

9、型六：對稱問題已知直線l：y=3x+3求（1）點(diǎn)P（4,5）關(guān)于l的對稱點(diǎn)坐標(biāo);（2）直線y=x-2關(guān)于l對稱的直線的方程.【分析】（1）設(shè)點(diǎn)P（4,5）關(guān)于直線y=3x+3對稱點(diǎn)P的坐標(biāo)為（【分析】（1）設(shè)點(diǎn)P（4,5）關(guān)于直線y=3x+3對稱點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m,n）,得至1關(guān)于m,n的方程組求得m、n的值，可得P的坐標(biāo);（2）求出交點(diǎn)坐標(biāo)，在直線y=x-2上任取點(diǎn)（2,0）,得到對稱點(diǎn)坐標(biāo)，求出直線方程即可.【解答】解：（1）設(shè)點(diǎn)P（4,5）關(guān)于直線y=3x+3對稱點(diǎn)P的坐標(biāo)為（mn),則由n-5口-45+n3二一1.，求得m=-2,n=7,故P(-2,7).二百十3(2)由，解得：交點(diǎn)為在

10、直線y=x-2上任取點(diǎn)（2,0）,得到對稱點(diǎn)為所以得到對稱的直線方程為7x+y+22=0題型七：截線段長問題已知直線l經(jīng)過點(diǎn)P(3,1),且被兩平行直線11；x+y+1=0和12：x+y+6=0截得的線段之長為5,求直線1的方程.【分析】法一如圖，若直線1的斜率不存在，直線1的斜率存在，利用點(diǎn)斜式方程，分別與11、12聯(lián)立，求得兩交點(diǎn)A、B的坐標(biāo)(用k表示)，再利用|AB|=5可求出k的值，從而求得1的方程.法二：求出平行線之間的距離，結(jié)合|AB|=5,設(shè)直線1與直線11的夾角為0,求出直線1的傾斜角為0或90,然后得到直線方程.就是用11、12之間的距離及1與11夾角的關(guān)系求解.法三：設(shè)直線

11、11、12與1分別相交于A(x1,y1),B(x2,y2),則通過求出y1-y2,x1-x2的值確定直線1的斜率(或傾斜角)，從而求得直線1的方程.【解答】解：解法一：若直線1的斜率不存在，則直線1的方程為x=3,此時與11、12的交點(diǎn)分別為A(3,-4)或B(3,-9),截得的線段AB的長|AB|=|-4+9|=5,符合題意.若直線1的斜率存在，則設(shè)直線1的方程為y=k(x-3)+1.解方程組產(chǎn)3)+1得鼠+/1=0TOC o 1-5 h zA(,-).解方程組得B(,-).由|AB|=5.得(-)2+(-+)2=52.解之，得k=0,直線方程為y=1.綜上可知，所求1的方程為x=3或y=1.題型八：直線夾角問題已知直線l：5x+2y+3=0,直線1經(jīng)過點(diǎn)P（2,1）且與