《高代解幾》專升本考綱

1、四川理工學(xué)院數(shù)學(xué)系專升本高等代數(shù)、解析幾何考試大綱第一部分 高等代數(shù)一、多項(xiàng)式1、知識范圍（1）數(shù)域、一元多項(xiàng)式、整除的概念（2）最大公因式，因式分解定理，重因式，多項(xiàng)式函數(shù)（3）復(fù)系數(shù)與實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的因式分解，有理系數(shù)多項(xiàng)式2、要求（1）理解數(shù)域的概念（2）理解并掌握一元多項(xiàng)式的定義、運(yùn)算及運(yùn)算性質(zhì)，多項(xiàng)式的整除、互素的概念及性質(zhì)， 最大公因式的概念掌握多項(xiàng)式的帶余除法和輾轉(zhuǎn)相除法（3）理解不可約多項(xiàng)式、本原多項(xiàng)式、重因式、多項(xiàng)式函數(shù)的概念掌握因式分解與數(shù)域的 關(guān)系，因式分解及唯一性定理，復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式與實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的因式分解定理及標(biāo)準(zhǔn)分 解式（4）有理系數(shù)多項(xiàng)式有理根的求法，有理系數(shù)多項(xiàng)式不

2、可約的判定（艾森斯坦判別法）二、行列式1、知識范圍（1）排列、n級行列式的定義.（ 2 ）行列式的性質(zhì)，行列式的計(jì)算（ 3 ） Cramer 法則.2、要求（1）理解排列、逆序、奇偶排列的概念，掌握對換與排列的關(guān)系.會計(jì)算一個(gè)n級排列的逆 序數(shù)，并判斷該排列的奇偶性.（2）理解 n 級行列式的定義、能確定出每項(xiàng)前帶的符號.熟練掌握行列式的基本性質(zhì)，能熟 練應(yīng)用基本性質(zhì)計(jì)算 n 級行列式.掌握計(jì)算的三種基本方法（化三角形、遞推、表為行 列式之和）.（3）理解并掌握行列式按行（列）展開，余子式與代數(shù)余子式的概念，范德蒙行列式.（ 4 ）克拉默法則及其應(yīng)用.三、線性方程組1、知識范圍（ 1 ）消元法

3、、n 維向量空間及向量的線性相關(guān)性矩陣的秩線性方程組有解判別定理及線性方程組解的結(jié)構(gòu)2、要求掌握線性方程組的消元法理解并掌握n維向量的定義、基本運(yùn)算和運(yùn)算的性質(zhì)，向量的線性組合、線性表示、線 性相關(guān)及線性無關(guān)的概念、性質(zhì)、判定及相關(guān)定理，兩個(gè)向量組等價(jià)的定義，向量組的 極大無關(guān)組、向量組的秩矩陣的秩的定義及計(jì)算，會利用矩陣的秩計(jì)算向量組的秩，會利用初等變換求矩陣的秩 和解線性方程組掌握線性方程組有解的判別定理、解的性質(zhì)，齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)和基礎(chǔ)解系，非 齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)及全部解的求法四、矩陣1、知識范圍矩陣的運(yùn)算，矩陣的逆及其秩矩陣的分塊，初等矩陣，分塊乘法的初等變換及應(yīng)用2、要求掌

4、握矩陣的概念、運(yùn)算和運(yùn)算規(guī)律，幾種特殊矩陣(單位矩陣、對角矩陣、對稱(反對 稱)矩陣、數(shù)量矩陣等)，矩陣乘積的行列式與秩理解并掌握可逆矩陣的定義及簡單性質(zhì)，伴隨矩陣及用伴隨矩陣求逆矩陣的方法理解并掌握初等矩陣的定義，矩陣的等價(jià)，初等矩陣與初等變換的關(guān)系，熟練掌握用初 等變換求逆矩陣的方法了解矩陣分塊的定義及其運(yùn)算，分塊乘法的初等變換及其應(yīng)用五、二次型1、知識范圍( 1)二次型及其矩陣表示二次型的標(biāo)準(zhǔn)形、規(guī)范形( 3)正定二次型2、要求掌握二次型的矩陣與秩，二次型與對稱矩陣的對應(yīng)關(guān)系，二次型的等價(jià)與矩陣的合同理解并掌握標(biāo)準(zhǔn)形的定義、化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型的配方法和合同變換法，二次型的規(guī)范形， 實(shí)二次型

5、的慣性定理理解并掌握正定二次型(正定矩陣)的概念，實(shí)二次型(實(shí)對稱矩陣)正定的充要條件了解負(fù)定、半正定、半負(fù)定、不定二次型(矩陣)的概念六、線性空間1、知識范圍線性空間的定義與簡單性質(zhì)線性空間的基與維數(shù)，向量的坐標(biāo)，基變換與坐標(biāo)變換（3）子空間、子空間的交與和、子空間直和（4）線性空間的同構(gòu)2、要求（1）理解并掌握線性空間的定義與簡單性質(zhì)，線性空間的維數(shù)、基與坐標(biāo)的概念，基變換與 坐標(biāo)變換，過渡矩陣的概念會求線性空間的基與維數(shù)，會求過渡矩陣、向量的坐標(biāo)（2）理解并掌握線性子空間的定義及其判定，擴(kuò)基定理，子空間的交與和運(yùn)算及其性質(zhì)，維 數(shù)公式，子空間的直和及是直和的充要條件（3）掌握線性空間同構(gòu)

6、的定義及充要條件七、線性變換1、知識范圍（1）線性變換的定義與運(yùn)算（2）線性變換的矩陣，特征值與特征向量，矩陣對角化問題（3）線性變換的值域與核，不變子空間2、要求（1）理解并掌握線性變換的定義、運(yùn)算及運(yùn)算性質(zhì)，線性變換的矩陣，坐標(biāo)變換公式，線性 變換在不同基下的矩陣，矩陣的相似關(guān)系（2）理解并掌握特征值、特征向量、特征多項(xiàng)式的定義，特征值與特征向量的求法，相似矩 陣有相同的特征多項(xiàng)式，哈密爾頓凱萊定理（3）掌握屬于不同特征值的特征向量之間的關(guān)系，特征子空間的維數(shù)與所屬特征根重?cái)?shù)的關(guān) 系，矩陣可對角化的條件（4）了解不變子空間的定義，不變子空間與矩陣可對角化的關(guān)系，線性變換的值域與核，線 性變

7、換的秩與零度的關(guān)系八、歐幾里得空間1、知識范圍 （1）歐氏空間的定義和基本性質(zhì)（2）標(biāo)準(zhǔn)正交基、正交變換（3）歐氏空間的同構(gòu)、子空間（4）實(shí)對稱矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形2、要求1）掌握歐氏空間的定義和簡單性質(zhì)，向量的長度、夾角、距離，度量矩陣的概念及性質(zhì)， 歐氏空間的同構(gòu)2）理解并掌握標(biāo)準(zhǔn)正交基的概念、性質(zhì)，施密特正交化方法，正交矩陣的概念及簡單性質(zhì)標(biāo) 準(zhǔn)正交基的過渡矩陣與正交矩陣的關(guān)系3）理解并掌握正交變換的定義和基本性質(zhì)，正交變換的等價(jià)命題，子空間的正交概念，實(shí) 對稱矩陣的性質(zhì)，用正交替換變二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的計(jì)算第二部分 解析幾何一、矢量與坐標(biāo)1、知識范圍（1）基本概念：矢量的定義、矢量的模、單位矢量

8、、矢量的線性關(guān)系、矢量的坐標(biāo)表示法、 矢量的方向余弦、矢量在坐標(biāo)軸上的射影（2）矢量的線性運(yùn)算：加法、減法、數(shù)乘（3）標(biāo)架與坐標(biāo)（4）兩矢量的數(shù)性積、矢性積（5）三矢量的混合積2、要求（1）理解矢量的概念，掌握矢量的坐標(biāo)表示法以及矢量線性相關(guān)與矢量共線、共面之間的關(guān) 系，會求滿足條件的單位矢量、方向余弦、矢量在軸上的射影（2）掌握笛卡爾直角坐標(biāo)系（3）掌握矢量的線性運(yùn)算、矢量的數(shù)性積、矢性積及混合積的計(jì)算（4）掌握兩矢量平行、垂直的充要條件會求兩矢量的夾角（5）掌握用矢量法證明幾何問題的基本環(huán)節(jié)（6）了解矢量運(yùn)算的模型、矢量的各種運(yùn)算與重要幾何性質(zhì)的關(guān)系二、軌跡與方程1、知識范圍（1）曲面的方

9、程（2）母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程（3）空間曲線方程2、要求 （1）掌握球面的方程、母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程（2）會求曲面與坐標(biāo)面的交線、曲線對坐標(biāo)面的射影及射影柱面，能說出所得圖形的名稱（3）了解曲面參數(shù)方程和曲線參數(shù)方程的一般理論三、平面與空間直線1、知識范圍（1）平面的方程（2）空間直線的方程（3）空間點(diǎn)、直線、平面三者自身以及相互間的相關(guān)位置2、要求（1）理解基本概念：平面的法矢量、平面的法式方程；直線的方向矢量、方向角、方向數(shù)（2）掌握平面的點(diǎn)位式、點(diǎn)法式方程，理解平面的一般方程、截距式方程、法式方程（3）掌握直線的對稱式方程、坐標(biāo)式參數(shù)方程，了解直線的一般方程，能將一般方程化為對

10、稱式方程（4）會判定空間點(diǎn)、直線、平面三者自身以及相互間的相關(guān)位置（5）會求空間點(diǎn)、直線、平面三者自身以及相互間的距離（6）會求以下交角：直線與直線、直線與平面、平面與平面（7）了解兩異面直線公垂線的方程會求平面束中的一個(gè)平面四、柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲面1、知識范圍（1）柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面（2）橢球面、雙曲面、拋物面（3）直紋面的直母線2、要求1）理解柱面的方向、準(zhǔn)線和母線會求柱面的方程2）理解錐面的頂點(diǎn)、準(zhǔn)線、母線的概念，掌握錐面方程的一般形式會求錐面的方程3）理解旋轉(zhuǎn)曲面的旋轉(zhuǎn)軸、母線、經(jīng)線、緯圓的概念，會求旋轉(zhuǎn)曲面的方程4）能通過橢球面、雙曲面、拋物面的標(biāo)準(zhǔn)方程認(rèn)識曲面的性質(zhì)及形狀5）了解直紋面的直母線、有關(guān)直母線的性質(zhì)附 1 參考教材：1 北京大學(xué)數(shù)學(xué)系高等代數(shù)（第三版）高等教育出版社2003 年2呂林根、許子道等.解析幾何（第三版）M.高等教育出版社.2001年.附2試卷結(jié)構(gòu)1、考試形式：閉卷筆試2、試卷總分：100 分3、 答題時(shí)間：120 分鐘4、 試卷題型及大致比例：（ 1 ）填充題（ 20%）（ 2）選擇題（ 20%）（ 3 ）計(jì)算、綜合題（ 40%）（ 4 ）證明題（ 20%）5、 試題難易大致比例（ 1 ）容易題約 30%（ 2）中等難度題