2021-2022學(xué)年湖北省荊州市西門中學(xué)高二數(shù)學(xué)理測試題含解析

1、2021-2022學(xué)年湖北省荊州市西門中學(xué)高二數(shù)學(xué)理測試題含解析一、 選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1. 從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中隨機(jī)抽取10件，測量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)，其頻率分布表如下：質(zhì)量指標(biāo)分組10,30)30,50)50,70)頻率0.10.60.3則可估計(jì)這批產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)的眾數(shù)、中位數(shù)為（ ）A. 30，B. 40，43C. 40，D.30，43 參考答案：C【分析】根據(jù)頻率分布表可知頻率最大的分組為，利用中點(diǎn)值來代表本組數(shù)據(jù)可知眾數(shù)為40；根據(jù)中位數(shù)將總頻率分為的兩部分，可構(gòu)造方程求得中位數(shù).【詳解】根據(jù)頻率

2、分布表可知，頻率最大的分組為 眾數(shù)為：40設(shè)中位數(shù)為則，解得：，即中位數(shù)為：本題正確選項(xiàng)：C【點(diǎn)睛】本題考查利用樣本的數(shù)據(jù)特征估計(jì)眾數(shù)和中位數(shù)的問題，關(guān)鍵是明確眾數(shù)和中位數(shù)的概念，掌握用樣本估計(jì)總體的方法.2. 直線y=3x與曲線y=x2圍成圖形的面積為A. B. 9 C. D. 參考答案：D3. 設(shè)（，），（，），（，）是變量和的個樣本點(diǎn)，直線是由這些樣本點(diǎn)通過最小二乘法得到的線性回歸直線（如圖），以下結(jié)論中正確的是 A和的相關(guān)系數(shù)為直線的斜率B和的相關(guān)系數(shù)在0到1之間C當(dāng)為偶數(shù)時，分布在兩側(cè)的樣本點(diǎn)的個數(shù)一定相同D直線過點(diǎn)參考答案：D略4. 設(shè)xR，則“x=1”是“x3=x”的（）條件A充

3、分不必要B必要不充C充要D既不充分也不必要參考答案：A【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷【分析】利用充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷【解答】解：由x3=x，解得x=0或x=1或x=1，所以“x=1”是“x3=x”的充分不必要條件故選A5. 圖書館的書架有三層，第一層有3本不同的數(shù)學(xué)書，第二場有4本不同的語文書，第三層有5本不同的英語書，現(xiàn)從中任取一本書，共有（）種不同的取法A120B16C12D60參考答案：C【考點(diǎn)】D8：排列、組合的實(shí)際應(yīng)用【分析】根據(jù)題意，利用分類加法原理，計(jì)算即可得出答案【解答】解：根據(jù)題意，由于書架上有3+4+5=12本書，則從中任取一本書，共有C121=12

4、種不同的取法，故選：C6. 在二項(xiàng)式的展開式中，x2項(xiàng)的系數(shù)為（）A8B4C6D12參考答案：A【考點(diǎn)】二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)【分析】利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，即可求得二項(xiàng)式式的展開式中x2的系數(shù)【解答】解：由Tr+1=C4rx4r?（）r=2rC4rx42r，令r=1，可得二項(xiàng)式的展開式中的x2系數(shù)為：2C41=8故選：A7. 過點(diǎn)作直線與雙曲線交于A、B兩點(diǎn),使點(diǎn)P為AB中點(diǎn),則這樣的直線（ ）A存在一條,且方程為B存在無數(shù)條 C存在兩條,方程為 D不存在參考答案：D8. 若方程x33x+m=0在0，2上只有一個解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A2，2B（0，2C2，0）2D（，2）（2，+）參考答

5、案：C【考點(diǎn)】二分法求方程的近似解【專題】計(jì)算題；函數(shù)思想；定義法；平面向量及應(yīng)用【分析】令f（x）=x33x+m，則由題意可得函數(shù)f（x）在0，2只有一個零點(diǎn)，故有f（0）?f（2）0，并驗(yàn)證其結(jié)論，問題得以解決【解答】解：設(shè)f（x）=x33x+m，f（x）=3x23=0，可得x=1或x=1是函數(shù)的極值點(diǎn)，故函數(shù)的減區(qū)間為0，1，增區(qū)間為（1，2，根據(jù)f（x）在區(qū)間0，2上只有一個解，f（0）=m，f（1）=m2，f（2）=2m，當(dāng)f（1）=m2=0時滿足條件，即m=2，滿足條件，當(dāng)f（0）f（2）0時，解得2m0時，當(dāng)m=0時，方程x33x=0解得x=0，x=1，不滿足條件，故要求的m的取

6、值范圍為2，0）2故選：C【點(diǎn)評】本題主要考查方程根的存在性以及個數(shù)判斷，函數(shù)零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題9. 若定義在R上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時，則滿足的a的取值范圍是（ ）A. (2,+)B. C. (3,+)D. 參考答案：D【分析】根據(jù)可知函數(shù)關(guān)于直線對稱；利用導(dǎo)數(shù)可判斷出函數(shù)在上單調(diào)遞增；利用對稱性知函數(shù)在上單調(diào)遞減；利用函數(shù)值的大小關(guān)系可得與自變量有關(guān)的不等式，解不等式求得結(jié)果.【詳解】 關(guān)于直線對稱當(dāng)時，則在上單調(diào)遞增由對稱性可知：函數(shù)在上單調(diào)遞減若，則：解得：，即本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)單調(diào)性、對稱性的綜合應(yīng)用問題，關(guān)鍵是能夠根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)將函數(shù)值之間的比較轉(zhuǎn)變?yōu)楹瘮?shù)

7、自變量的關(guān)系，從而得到與參數(shù)有關(guān)的不等式.10. 已知集合，則（ ）A B(1，3) C(1，) D(3，)參考答案：D二、 填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11. 某單位在國慶節(jié)7天假期里安排甲、乙、丙三人值班，每天1人，每人至少值2天，則不同的安排方法共有 種參考答案：630【考點(diǎn)】D3：計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用【分析】先把7天進(jìn)行分組，可以分為（3，2，2），然后再分配給甲、乙、丙三人，問題得以解決【解答】解：每天1人，每人至少值2天，把7天進(jìn)行分組，可以分為（3，2，2），然后再分配給甲、乙、丙三人，故有=630種故答案為：630【點(diǎn)評】本題考查分組分配的問題，避免重復(fù)和遺漏，屬于基

8、礎(chǔ)題12. 在推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的過程中，我們使用了倒序相加的方法，類比可以求得 參考答案：令，則：，兩式相加可得：,故：，即.13. 甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行排球決賽，現(xiàn)在的情形是甲隊(duì)只要再贏一局就獲冠軍，乙隊(duì)需要再贏兩局才能得冠軍，若兩隊(duì)勝每局的概率相同，則甲隊(duì)獲得冠軍的概率為_參考答案：略14. (本小題14分) 一圓與y軸相切，圓心在直線x3y=0上，且直線y=x截圓所得弦長為2，求此圓的方程.參考答案：解：因圓與y軸相切，且圓心在直線x3y=0上，故設(shè)圓方程為 4分又因?yàn)橹本€y=x截圓得弦長為2，則有+=9b2， 8分解得b=1故所求圓方程為 12分或 14分略15. 若有極值，則的取值范圍

9、是.參考答案：a2 略16. 在ABC中，A、B、C所對的邊分別為a、b、c，如果a=8，B=60，C=75，那么b等于參考答案：4【考點(diǎn)】正弦定理【分析】依題意可求得A，利用正弦定理即可求得b【解答】解：在ABC中，B=60，C=75，A=180BC=1806075=45，又a=8，由正弦定理=得：b=4故答案為：417. 已知數(shù)列中，若，則= 參考答案：670數(shù)列為等差數(shù)列，其首項(xiàng)為，公差為，則通項(xiàng)公式。由得：=670考點(diǎn)：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式點(diǎn)評：解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握等差數(shù)列的定義以及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，并且結(jié)合正確的計(jì)算三、 解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，

10、證明過程或演算步驟18. 已知函數(shù)f（x）=lnxax2bx（a，bR），g（x）=lnx（1）當(dāng)a=1時，f（x）與g（x）在定義域上的單調(diào)性相反，求b的取值范圍；（2）當(dāng)a，b都為0時，斜率為k的直線與曲線y=f（x）交A（x1，y1），B（x2，y2）（x1x2）于兩點(diǎn)，求證：x1參考答案：【考點(diǎn)】6B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性【分析】（1）化簡函數(shù)f（x）=lnx+x2bx，求出f（x）與g（x）的定義域都為（0，+）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷g（x）在（0，+）上單調(diào)遞減，利用f（x）與g（x）在定義域上的單調(diào)性相反，推出對x（0，+）恒成立，即對x（0，+）恒成立利用基本不等式求解最值，

11、即可（2）要證，等價于證，令，等價于證lntt1tlnt（t1），設(shè)m（t）=t1lnt（t1），則，通過函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化求解即可【解答】解：（1）a=1f（x）=lnx+x2bx，由題意可知，f（x）與g（x）的定義域都為（0，+）=g（x）在（0，+）上單調(diào)遞減又a=1時，f（x）與g（x）在定義域上的單調(diào)性相反，f（x）=lnx+x2bx在（0，+）上單調(diào)遞增對x（0，+）恒成立，即對x（0，+）恒成立，只需，x0，（當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立），b的取值范圍為（2）證明：要證，即證，等價于證，令，則只要證，由t1，知lnt0，故等價于證lntt1tlnt（t1），（*）?設(shè)m（t）=t1ln

12、t（t1），則，故m（t）在（1，+）上是增函數(shù)，當(dāng)t1時，m（t）=t1lntm（1）=0，即t1lnt?設(shè)h（t）=tlnt（t1）（t1），則h（t）=lnt0（t1），故h（t）在（1，+）上是增函數(shù)當(dāng)t1時，h（t）=tlnt（t1）h（1）=0，即t1tlnt（t1）由?可知（*）成立，故19. （1）在的展開式中，若第項(xiàng)與第項(xiàng)系數(shù)相等，且等于多少？（2）的展開式奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為，則求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)。參考答案：解：（1）由已知得（2）由已知得，而展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)是。略20. （1）求的展開式的常數(shù)項(xiàng)；（2）若的展開的第6項(xiàng)與第7項(xiàng)的系數(shù)互為相反數(shù)，求展開式

13、的各項(xiàng)系數(shù)的絕對值之和.參考答案：(1)84 (2)2048【分析】（1）利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，令x的次數(shù)為0，即可求出常數(shù)項(xiàng)（2）通過第6項(xiàng)與第7項(xiàng)的系數(shù)互為相反數(shù)，可得，的各項(xiàng)系數(shù)絕對值之和與的各系數(shù)之和相等，令x=1,即可得到答案.【詳解】解：（1）因?yàn)榈耐?xiàng)是，當(dāng)r=6時可得展開式的常數(shù)項(xiàng)，即常數(shù)項(xiàng)是.（2）的通項(xiàng)為，則第6項(xiàng)與第7項(xiàng)分別為和，它們的系數(shù)分別為和.因?yàn)榈?項(xiàng)與第7項(xiàng)的系數(shù)互為相反數(shù)，所以，則，因?yàn)榈母黜?xiàng)系數(shù)絕對值之和與的各系數(shù)之和相等，令，得的各項(xiàng)系數(shù)的絕對值之和為.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，考查二項(xiàng)式展開式通項(xiàng)公式和二項(xiàng)式系數(shù)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.21. 設(shè)

14、f（x）=2x2+bx+c，已知不等式f（x）0的解集是（1,5）.（1）求f（x）的解析式；（2）若對于任意x1,3，不等式f（x）2+t有解，求實(shí)數(shù)t的取值范圍。參考答案：（1）；（2）試題分析：（1）由不等式解集與方程關(guān)系可知，1和5是方程2x2+bx+c=0的兩個根,由根與系數(shù)關(guān)系可求得b,c.(2)由（1）得，所以分離參數(shù)得2x2-12x+8t在1，3有解，即t，x 。試題解析：（1）f（x）=2x2+bx+c，且不等式f（x）0的解集是（1，5）， 2x2+bx+c0的解集是（1，5），1和5是方程2x2+bx+c=0的兩個根，由根與系數(shù)的關(guān)系知， 解得b=-12，c=10， （2）不等式f（x）2+t在1，3有解，等價于2x2-12x+8t在1，3有解，只要t即可， 不妨設(shè)g（x）=2x2-12x+8，x1，3， 則g（x）在1，3上單調(diào)遞減g（x）g（3）=-10，t-10，t的取值范圍為-10，+）【點(diǎn)睛】不等式存在性問題與恒成立問題一般都是轉(zhuǎn)化函數(shù)最值問題，特別是能參變分離時，且運(yùn)算不復(fù)雜，優(yōu)先考慮參變分離，進(jìn)而求不帶參數(shù)的函數(shù)在區(qū)間上的最值問題。22. (本小題滿分12分)如圖所示,四棱錐的底面為等腰梯形, ,對角線與交于點(diǎn),底面.