基本不等式課時(shí)

1、基本不等式課時(shí)第1頁(yè)，共42頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)22分，星期二問題提出 1.不等式有許多基本性質(zhì)，同時(shí)還有一些顯而易見的結(jié)論，如a20，|a|0，|a|a等，這些性質(zhì)都是研究不等式問題的理論依據(jù).在實(shí)際應(yīng)用中，我們還需要有相應(yīng)的不等式原理.第2頁(yè)，共42頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)22分，星期二 2.如圖是在北京召開的第24界國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)，它是根據(jù)中國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計(jì)的，顏色的明暗使它看上去象一個(gè)風(fēng)車，代表中國(guó)人民熱情好客.在這個(gè)圖案中既有一些相等關(guān)系，也有一些不等關(guān)系， 對(duì)這些等與不等的關(guān)系， 我們作些相應(yīng)研究.第3頁(yè)，共42頁(yè)，2022年，5月20日，1

2、2點(diǎn)22分，星期二基本不等式原理及其變通第4頁(yè)，共42頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)22分，星期二探究（一）:基本不等式的原理 |ab | 思考1：將圖中的“風(fēng)車”抽象成如圖，在正方形ABCD中有4個(gè)全等的直角三角形.設(shè)直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)為a，b那么正方形ABCD和EFGH的邊長(zhǎng)分別為多少？ABCDEFGH第5頁(yè)，共42頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)22分，星期二思考2：圖中正方形ABCD的面積與4個(gè)直角三角形的面積之和有什么不等關(guān)系？由此可得到一個(gè)什么不等式？a2b22ab 思考3：從圖形分析,上述不等式在什么情況下取等號(hào)？ 當(dāng)直角三角形為等腰直角三角形，即 ab時(shí)， a2b2

3、2ab. ABCDEFGH第6頁(yè)，共42頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)22分，星期二思考4：在上面的圖形背景中，a,b都是正數(shù)，那么當(dāng)a，bR時(shí)，不等式a2b22ab成立嗎？為什么？ 一般地，對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，b，有:a2b22ab，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)等號(hào)成立.ABCDEFGH第7頁(yè)，共42頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)22分，星期二思考5：特別地，如果a0，b0，我們用 、 分別代替a、b ，可得什么不等式? 當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)等號(hào)成立.第8頁(yè)，共42頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)22分，星期二思考6：不等式稱為基本不等式，它溝通了兩個(gè)正數(shù)的和與積的不等關(guān)系，在實(shí)際問題中有廣泛的應(yīng)用，你能

4、用分析法證明嗎？ 第9頁(yè)，共42頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)22分，星期二思考7：我們稱 和 分別為a，b的算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)，如何用文字語(yǔ)言表述基本不等式？ 兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù). 第10頁(yè)，共42頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)22分，星期二思考8：如圖，在直角三角形ABC中，CD為斜邊上的高， CO為斜邊上中線，你能利用這個(gè)圖形對(duì)基本不等式作出幾何解釋嗎？AB CDO第11頁(yè)，共42頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)22分，星期二探究（二）：基本不等式的變通 思考1：將基本不等式兩邊平方可得什么結(jié)論？它與不等式a2b22ab有什么內(nèi)在聯(lián)系？ 第12頁(yè)，共

5、42頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)22分，星期二思考2：在不等式a2b22ab兩邊同加上a2b2可得什么結(jié)論？所得不等式有什么特色？ 它反映了兩個(gè)實(shí)數(shù)的平方和與它們的和的平方的不等關(guān)系，稱為平方平均不等式，其數(shù)學(xué)意義是：兩個(gè)實(shí)數(shù)的平方的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的算術(shù)平均數(shù)的平方. 第13頁(yè)，共42頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)22分，星期二思考3:將不等式 兩邊同乘以 ，可變通出一些什么結(jié)論？ 第14頁(yè)，共42頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)22分，星期二理論遷移 例1 已知x、y都是正數(shù)，求證： (xy)(x2y2)(x3y3)x3y3 例2 已知 a2b2c21， 求證：(abc)3

6、3.第15頁(yè)，共42頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)22分，星期二小結(jié)作業(yè)2.基本不等式有多種形式，應(yīng)用時(shí)具有很大的靈活性，既可直接應(yīng)用也可變式應(yīng)用.一般地，遇到和與積，平方和與積，平方和與和的平方等不等式問題時(shí)，常利用基本不等式處理 1.不等式a2b22ab與 都是基本不等式，它們成立的條件不同，前者a、b可為任意實(shí)數(shù)，后者要求a、b都是正數(shù)，但二者等號(hào)成立的條件相同. 第16頁(yè)，共42頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)22分，星期二3.當(dāng)a、b都是正數(shù)時(shí)，有不等式鏈 作業(yè)： P100習(xí)題3.4 A組：1，2.第17頁(yè)，共42頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)22分，星期二第二課時(shí) 3.4

7、 基本不等式 第18頁(yè)，共42頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)22分，星期二問題提出1.基本不等式有哪幾種基本形式？ （1） a2b22ab（a，bR），當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)等號(hào)成立； （2） (a0，b0)，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)等號(hào)成立；（3） (a0，b0)，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)等號(hào)成立；第19頁(yè)，共42頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)22分，星期二 2.函數(shù)的最大值和最小值的含義分別是什么？ 3.在一定條件下，利用基本不等式可以求出變量的極端值，因此，利用基本不等式求最值就成為一種重要的數(shù)學(xué)方法. 最大值:f(x)M，且等號(hào)成立;最小值:f(x)m，且等號(hào)成立.第20頁(yè)，共42頁(yè)，2022年，5月20

8、日，12點(diǎn)22分，星期二基本不等式與最值第21頁(yè)，共42頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)22分，星期二探究（一）：基本不等式與最值原理 思考1：在基本不等式 (a0，b0)中，如果abP為定值，能得到什么原理？原理一：若兩個(gè)正數(shù)的積為定值，則當(dāng)這兩個(gè)正數(shù)相等時(shí)它們的和取最小值. 第22頁(yè)，共42頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)22分，星期二思考2：在基本不等式 (a0，b0)中，如果abS為定值，又能得到什么原理？ 原理二：若兩個(gè)正數(shù)的和為定值，則當(dāng)這兩個(gè)正數(shù)相等時(shí)它們的積取最大值 . 第23頁(yè)，共42頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)22分，星期二思考3：能否由 得函數(shù) 的最小值是2嗎？

9、思考4：當(dāng)x4時(shí),能否由 得函數(shù) 的最小值是4嗎？ 第24頁(yè)，共42頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)22分，星期二思考6：利用基本不等式求兩個(gè)變量的和的最小值(或積的最大值)，應(yīng)具備哪些基本條件？ 一正二定三相等思考5：當(dāng)x(0，)時(shí)，能否由 ，得函數(shù) 的最小值是 嗎？ 第25頁(yè)，共42頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)22分，星期二探究（二）基本不等式求最值的實(shí)際應(yīng)用 【背景材料】在農(nóng)村，為防止家畜家禽對(duì)菜地的破壞，常用籬笆圍成一個(gè)菜園.如果菜園的面積一定，為節(jié)省材料，就應(yīng)考慮所用籬笆最短的問題；如果所用籬笆的長(zhǎng)度一定，為了充分利用材料，就用考慮所圍菜園面積最大的問題 第26頁(yè)，共42頁(yè)，

10、2022年，5月20日，12點(diǎn)22分，星期二思考1：如果用籬笆圍成一個(gè)面積為100m2的矩形菜園，所用籬笆的總長(zhǎng)度是定值？還是變量？ 思考2：如何設(shè)計(jì)這個(gè)矩形菜園的長(zhǎng)和寬，才能使所用籬笆最短，最短的籬笆是多少？矩形的長(zhǎng)、寬都為10m時(shí)，所用籬笆最短，最短的籬笆是40m.第27頁(yè)，共42頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)22分，星期二思考3：用一段長(zhǎng)為36m的籬笆圍成一個(gè)矩形菜園，所圍成的矩形菜園的面積是定值？還是變量？ 思考4:如何設(shè)計(jì)這個(gè)矩形菜園的長(zhǎng)和寬，才能使菜園的面積最大，最大面積是多少?矩形的長(zhǎng)、寬都為9m時(shí)，菜園的面積最大，最大面積是81m2.第28頁(yè)，共42頁(yè)，2022年，5月20

11、日，12點(diǎn)22分，星期二思考5：若矩形菜園的一邊靠墻，另外三邊用一段長(zhǎng)為36m的籬笆圍成，如何設(shè)計(jì)這個(gè)矩形菜園的長(zhǎng)和寬，才能使菜園的面積最大，最大面積是多少? .矩形的長(zhǎng)為18m，寬為9m時(shí)，菜園的面積最大，最大面積是162m2.第29頁(yè)，共42頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)22分，星期二理論遷移 例1 某工廠要建造一個(gè)長(zhǎng)方體無蓋貯水池，其容積為4800m3，深為3m.如果池底每平方米的造價(jià)為150元，池壁每平方米的造價(jià)為120元，問怎樣設(shè)計(jì)水池能使總造價(jià)最低，最低總造價(jià)是多少元？當(dāng)水池底面是邊長(zhǎng)為40m的正方形時(shí)，水池的總造價(jià)最低，最低總造價(jià)是297600元.第30頁(yè)，共42頁(yè)，2022

12、年，5月20日，12點(diǎn)22分，星期二 例2 某食品廠定期購(gòu)買面粉，已知該廠每天需要購(gòu)買面粉6噸，每噸面粉的價(jià)格為1800元，面粉的保管費(fèi)等其他費(fèi)用為平均每噸每天3元，購(gòu)買面粉每次需支付運(yùn)輸費(fèi)900元.問該廠每隔多少天購(gòu)買一次面粉，才能使平均每天所支付的費(fèi)用最少？最少費(fèi)用是多少？ 每隔10天購(gòu)買一次面粉，能使平均每天所支付的費(fèi)用最少，最少費(fèi)用是10989元.第31頁(yè)，共42頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)22分，星期二1.用基本不等式求函數(shù)的最值，是一種很重要的方法，應(yīng)用時(shí)要注意下列三個(gè)條件：(1)函數(shù)解析式中各變量均為正數(shù)；(2)含變量的兩項(xiàng)的和或積為定值；(3)含變量的兩項(xiàng)可以相等，即“一

13、正二定三相等”.小結(jié)作業(yè)第32頁(yè)，共42頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)22分，星期二2.在實(shí)際問題中求最值時(shí)，一般先要設(shè)定字母表示相關(guān)變量，再建立變量之間的函數(shù)關(guān)系，然后求最值.對(duì)形如：xy，xy，x2y2, 等結(jié)構(gòu)的最值問題，常用基本不等式求解. 第33頁(yè)，共42頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)22分，星期二作業(yè)：P100練習(xí)：3，4.P101習(xí)題3.4 A組：3，4.第34頁(yè)，共42頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)22分，星期二第三課時(shí) 3.4 基本不等式 第35頁(yè)，共42頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)22分，星期二1.基本不等式：（1） a2b22ab（a，bR），當(dāng)且僅當(dāng)a

14、b時(shí)等號(hào)成立； 一般形式：（2） (a 0，b0)，當(dāng)且僅當(dāng)a b時(shí)等號(hào)成立；（3） (a 0，b0)，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)等號(hào)成立知識(shí)整理第36頁(yè)，共42頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)22分，星期二2.最值原理： （1）若兩個(gè)正數(shù)的積為定值，則當(dāng)這兩個(gè)正數(shù)相等時(shí)它們的和取最小值.（2）若兩個(gè)正數(shù)的和為定值，則當(dāng)這兩個(gè)正數(shù)相等時(shí)它們的積取最大值.（3）環(huán)境條件：一正二定三相等.第37頁(yè)，共42頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)22分，星期二利用基本不等式求最值第38頁(yè)，共42頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)22分，星期二應(yīng)用舉例 例1求函數(shù) 的最小值. 當(dāng)x4時(shí)，y取最小值5.例2 求函數(shù) 的最小值. 當(dāng)x4時(shí)，y取最小值8.已知第39頁(yè)，共42頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)22分，星期二 例3 已知 ，求函數(shù) 的最大值. ，求函數(shù)當(dāng) 時(shí)，y取最大值 .第40頁(yè)，共42頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)22