2021-2022學(xué)年安徽省六校教育研究會(huì)高三(上)第一次素質(zhì)測(cè)試數(shù)學(xué)試卷(理科)(解析版)

1、2021-2022 學(xué)年安徽省六校教育研究會(huì)高三（上）第一次素質(zhì)測(cè)試數(shù)學(xué)試卷（理科）一、選擇題（共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分）.21設(shè)集合AxN|x28x+120，Bx|log（x1）2，則AB（）2Ax|3x5 2復(fù)數(shù)Bx|2x5，則|z|（）C3，4D3，4，5AB4CDn1n一個(gè)至少有3 項(xiàng)的數(shù)an中前n 項(xiàng)和S +a 是數(shù)a n1nC充要條件下列說(shuō)法正確的是（）經(jīng)過(guò)三點(diǎn)確定一個(gè)平面必要不充分條件 DB各個(gè)面都是三角形的多面體一定是三棱錐C各側(cè)面都是正方形的棱柱一定是正棱柱D一個(gè)三棱錐四個(gè)面可以都為直角三角形二項(xiàng)式（x+1）n（nN*）的展開(kāi)式中x3 的系數(shù)為20，則n（

2、）A7B6C5D4A（ ， ）繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)B得到點(diǎn)B，則點(diǎn)B 的橫坐標(biāo)為（）CD已知拋物線y22px（p0），A和B 分別為拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若為坐標(biāo)原點(diǎn)），弦AB恒過(guò)定點(diǎn)則拋物線方程為（）Ay22xBy24xCy28xDy216x角形、一塊正方形和一塊平行四邊形共七塊板組成的，如圖是一個(gè)用七巧板拼成的正方 形，若在此正方形中任取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自白色部分的概率為（ ）BCD把 、34、7 后增，則這樣的數(shù)列共有（ ）A20個(gè)B62個(gè)C63個(gè)D64個(gè)我國(guó)的洛書(shū)中記載著世界上最古老的一個(gè)幻方：將1，2，9 填入 33 內(nèi)，使三行、三列、對(duì)角線的三個(gè)數(shù)之和都等于1，2，3，n2 n n 階幻方

3、的對(duì)角線上的數(shù)的和為NnN315N11 的值為（ ）A670已知雙曲 線B671C672D6752F1F （M21 21 在第一象限），若F 與NF F 3：1 21 （）A設(shè)，B2，C，則（）D2AcabBbcaCacbDcba二、填空題（4520分）。13已知向量， 滿足2， +則在棱長(zhǎng)為2的正四面體ABCD 中，AE 是ABC 的高線，則異面直線AE 和CD 夾角的正弦值為首先引入sec，csc 這兩個(gè)符號(hào)是荷蘭數(shù)學(xué)家基拉德在三角學(xué)中首先使用，后經(jīng)歐拉采用得以通行在三角中，定義正割sec，余割csc已知t0，且sec2x+tcsc2x16 對(duì)任意的實(shí)數(shù)x（x均成立，則t 的最小值為已知函

4、數(shù)f（x），設(shè)，且函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)四個(gè)象限，則實(shí)數(shù)k 的取值范圍為三、解答題（共70 分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）。n log a nnnn2 nna 和 nn求數(shù)列的前n項(xiàng)和T nABC A，B，C a，b，ca3+c3b2a+b2cB；b ，求ABC 的面積最大值2020 9 12 年，我國(guó)兒童青少年總體近視率為 52.7%為掌握某校學(xué)生近視情況，從該校高三7 4 3 7 3 人做進(jìn)一步醫(yī)學(xué)檢查X 3 X 的分布列與數(shù)學(xué)期望；設(shè)A 為事件“抽取的3 A 的概率如圖在多面體ABCEFM 中底面ABC 是等腰直角三角形四邊形ABFEABC，AECM，AEAC2CM6，N AB E

5、MN BC 于GCG長(zhǎng)； 的余弦值已知橢圓C：（ab0）的離心率為F2是橢圓C 的左、右焦點(diǎn)，P為橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且面積的最大值為3C 的方程；CF2xl1M MF2xk2，探索k 是否為定值，若是求出；若不是說(shuō)明理由設(shè)p，q1，滿足證明：對(duì)任意正數(shù)x，有；對(duì)任意正數(shù)a，b，有參考答案一、選擇題（共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分）.21設(shè)集合AxN|x28x+120，Bx|log（x1）2，則AB（） Ax|3x5Bx|2x5C3，4解：因?yàn)榧螦xN|x28x+120 x|2x6，xN3，4，5，22Bx|log （x1）2x|1x5， AB3，42故選：C2復(fù)數(shù)A，則|z|（

6、B4）CD解：，故選：Bnn1n一個(gè)至少有3 項(xiàng)的數(shù) 中前n 項(xiàng)和S +a 是數(shù)a nn1n充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件+21解：若S n（aa ），則當(dāng)n 時(shí)，S （n ）（aa+21n1nn11n12+1兩式相減得， a n（aa ）（n ）（aa2+1n1n1n11+即（n ）aa（n ）a 1+n11n32+當(dāng)n 時(shí)，（n ）aa（n ）a32+n21n1222得， （n ）a（n ）（aa222n1nn22 aaa2n1nn2n數(shù)列a 為等差數(shù)列，充分性成立，nnn1若數(shù)列S n（a +nn1n Sn n（a1+an）an為等差數(shù)列的充要條件，故選：

7、C下列說(shuō)法正確的是（） A經(jīng)過(guò)三點(diǎn)確定一個(gè)平面 B各個(gè)面都是三角形的多面體一定是三棱C各側(cè)面都是正方形的棱柱一定是正棱柱D一個(gè)三棱錐四個(gè)面可以都為直角三角形解：對(duì)于 A：經(jīng)過(guò)不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面，故A 錯(cuò)誤；對(duì)于 B：由多個(gè)三角形構(gòu)成的多面體不一定是三棱錐，故B 錯(cuò)誤；對(duì)于 C：各側(cè)面都是正方形的棱柱，底面為菱形的四棱柱不是正棱柱，故C 錯(cuò)誤； 對(duì)于 D：一個(gè)三棱錐四個(gè)面可以都為直角三角形，如圖所示：二項(xiàng)式（x+1）n（nN*）的展開(kāi)式中x3 的系數(shù)為20，則n（）A7B6C5D4解：二項(xiàng)式（x+1）n（nN*）的展開(kāi)式中 x3 的系數(shù)為故選：B20，則 n6，A（ ， ）繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)

8、B得到點(diǎn)B，則點(diǎn)B 的橫坐標(biāo)為（）CD解：設(shè)直線OA的傾斜角為，則sin ，cos ，則cos（+）coscossinsin（ ）則點(diǎn)B 的橫坐標(biāo)為故選已知拋物線y22px（p0），A和B 分別為拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），弦AB恒過(guò)定點(diǎn)則拋物線方程為（） Ay22xBy24xCy28x解：設(shè)l：xmy+4，代入y22px，得y22pmx8p0，1設(shè)點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），則y +y22pm，y1y28p， 則x1x2161AOB（O 為坐標(biāo)原點(diǎn)），1 21 x x +y y 0，即 168p0，解得 1 21 拋物線的方程為 y24x；故選：B角形、一塊正方形和一塊

9、平行四邊形共七塊板組成的，如圖是一個(gè)用七巧板拼成的正方 形，若在此正方形中任取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自白色部分的概率為（ ）BC2，GF1，EF DE d ，白色部分的面積為：S221 ，S白在此正方形中任取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自白色部分的概率為：P把 、34、7 這七個(gè)數(shù)隨機(jī)地排成一列組成一個(gè)數(shù)列，要求該數(shù)列恰好先后增，則這樣的數(shù)列共有（）A20個(gè)B62個(gè)C63個(gè)D64個(gè)解：從中選出1個(gè)數(shù)排在7的右側(cè)，其余排在7的左側(cè)，得到先增減的數(shù)列有個(gè)，從中選出2個(gè)數(shù)排在7的右側(cè)，其余排在7的左側(cè)，得到先增后減數(shù)列有個(gè)，故滿足條件的總個(gè)數(shù)為個(gè)故選：B我國(guó)的洛書(shū)中記載著世界上最古老的一個(gè)幻方：將1，2，9 填入 33

10、內(nèi)，使三行、三列、對(duì)角線的三個(gè)數(shù)之和都等于1，2，3，n2 n n 階幻方的對(duì)角線上的數(shù)的和為NnN315N11 的值為（ ）A670B671C672D675解：根據(jù)題意，幻方的每行，每列和兩條對(duì)角線上的數(shù)字之和都相等，Nn 1+2+3+（n21）+n2 ，故N11故選：B已知雙曲 線671F F F （M1223在第一象限），若MF F 與NF F 的內(nèi)切圓半徑之比為 ： ，則直線 MN 31 21 2（）B2CD2解：設(shè)MF F 的內(nèi)切圓為圓 O ，與三邊的切點(diǎn)分別為 A，B，C，1 21如圖所示，設(shè) MAMCm，AF BF n，BF CF t，1122由雙曲線的定義可得，所以 na+c，

11、由此可知，在MF F 中，O Bx 軸于點(diǎn) B，同理可得 O Bx 軸于點(diǎn) B，1 212所以 O O x 軸，12過(guò)圓心 O 作 CO 的垂線，垂足為 D，212122因?yàn)镺 O D+BF C180，BF C+CF x1802122所以O(shè) O D 與直線 l 的傾斜角相等，21設(shè)MF F 與NF F 的內(nèi)切圓半徑 r 、r之比為 3：2，1 21 2123因?yàn)?，不妨設(shè)r ，r 31221則 O O 3+25，O D32121Rt2在 O O D 中 ，O Rt22122tanO O D2l 2，12設(shè)，則（）AcabBbcaCacbDcba解：設(shè)，則，bf（2），因?yàn)?，所以?dāng)1xe 時(shí)，f

12、（x）0；當(dāng)xe 時(shí)，f（x）0 所以f（x）在（1，e）單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增因?yàn)?f（2）f（4），且所以，abc故選：D二、填空題（4520分）。13已知向量 ， 滿足2， +（1，3），則 2解：由+（1，3），可得|+|，那么+|）10，即，2，；故答案為：在棱長(zhǎng)為2的正四面體ABCD 中，AE 是ABC 的高線，則異面直線AE 和CD 夾角的正弦值為2 ABCD 中，AE 是ABC AD，EC AC N，G，F(xiàn)NG，GF，NF， NGCD，GFAE，異面直線 AE 和 CD 夾角的平面角為FGN，作正四面體的高DO，且DO，O 落在AE 的三等分點(diǎn)上，作NM 垂直AE，可得NMDO；

13、且NM，NMABC，在EMF 中，可得EM，EF ，MEF90，MF；NMABC，NMF 是直角三角形，NF ；在GNF 中，NF 余弦定理可得cosFGN；那么異面直線AE 和CD 夾角的正弦值為故答案為首先引入sec，csc 這兩個(gè)符號(hào)是荷蘭數(shù)學(xué)家基拉德在三角學(xué)中首先使用，后經(jīng)歐拉采用得以通行在三角中，定義正割sec，余割csc已知t0，且sec2x+tcsc2x16對(duì)任意的實(shí)數(shù)x（x，kZ）均成立，則t的最小值為9解：sec2x+tcsc2x（sec2x+tcsc2x）（sin2x+cos2x），當(dāng)且僅當(dāng)t 時(shí)，取等號(hào)，sec2x+tcsc2x16解得：t9 t25（舍已知函數(shù)f（x），

14、設(shè)，且函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)四個(gè)象限，則實(shí)數(shù)k 的取值范圍為（ ， ） 解：當(dāng)x0 時(shí)，f（x）2x36x+3，f（x）6x266（x21）6（x+1）（x1），若 x（0，1），f（x）0，f（x）單調(diào)遞減；若 x（1，+），f（x）0，f（x）單調(diào)遞增，且 f（0）3，f（1）1，則畫(huà)出 f（x）的大致圖像，如圖所示：，函數(shù)g（x）kx+恒過(guò)點(diǎn) ），要使函數(shù) yf（x）g（x）的圖像經(jīng)過(guò)四個(gè)象限，由圖可知只需f（x）與 g（x）在（，0）和（0，+）上分別有交點(diǎn)即可，且交點(diǎn)不可為（3，0）和切點(diǎn)，當(dāng) k0 時(shí)，若g（x）kx+過(guò)點(diǎn)（3，0），則k ，0k ，當(dāng) k0 時(shí)，符合題意，當(dāng) k0 時(shí)，在

15、內(nèi)，只需要求出過(guò)定點(diǎn)， ）即可，x設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（ ， x00解得，切線的斜率為 ， k0，k 的取值范圍為（ ， ），故答案為：（ ， ）三、解答題（共 70 分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）。n log a nnnn2 nan和bn的通項(xiàng)公式；n求數(shù)列的前n 項(xiàng)和T nn1nnn 解：（1）S 當(dāng)n1時(shí)，可得a 由a S S（n1nnn n可得a （4n1）（4n11）n24n1，當(dāng)n1 時(shí)，2，滿足；數(shù)列an的通項(xiàng)公式 an24n1；n2 又b n2 nb 2n1；nn故得數(shù)列b 的通項(xiàng)公式 b 2n1nn（2）由（1）可知 b 2n1，n設(shè)數(shù)列那么 數(shù)列cn，的前 n項(xiàng)和 T

16、n ABCA，B，Ca，b，ca3+c3b2a+b2cB；若b，求ABC的面積最大值解：（1）因?yàn)閍3+c3b2a+b2c，所以（a+c）（a2ac+c2）b2（a+c）， 所以 a2ac+c2b2，即 a2+c2b2ac，由余弦定理知因 為 B（0，）， 所以B ，因?yàn)閎，所以 a2+c23ac，所以 a2+c23+ac2ac，即 ac3，所以S acsinB故ABC的面積最大值為2020912年，我國(guó)兒童青少年總體近視率為 52.7%為掌握某校學(xué)生近視情況，從該校高三74373人做進(jìn)一步醫(yī)學(xué)檢查X 3 X 的分布列與數(shù)學(xué)期望；設(shè)A 為事件“抽取的3 A 的概率解：（1）由題意可知，X 的可

17、能取值為 0，1，2，3，又所以 X 的分布列為：，X0123PXE（X）0+1+2+3；（2）B 3 2 1 C 3 1 2 人”，則 ABC，且 B 與 C 互斥，所以P（A）P（BC）P（X2）+P（X1）+ 故事件A發(fā)生的概率為 如圖在多面體ABCEFM 中底面ABC 是等腰直角三角形四邊形ABFEABC，AECM，AEAC2CM6，N AB EMN BC 于GCG長(zhǎng)； 的余弦值解：（1）如圖，延長(zhǎng) EM、AC，設(shè) EMACH，連接 BH，AECMAE2CM，C AH BC 為ABH 的中線，N AB 的中點(diǎn)，HN 為為ABH HNBCG，G 為ABH 的重心，故 BG：GC2：1， BC6（2）CCA、CBCM、yz系，則 B（0，6，0），G（0，2，0），E（6，0，6），N（3，3，0），設(shè)平面GBE 的法向量為，由，取z1，得設(shè)平面GNE 的一個(gè)法向量為，由，取得cos由圖可知，二面角 BEGN 為銳角，二面角 的余弦值為已知橢圓C：（ab0）的離心率為F2是橢圓C的左、右焦點(diǎn)，P為橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且面積的最大值為3C的方程；C F2x l1 M MF2x k2，探索是否為定值，若是求出；若不是說(shuō)明理由解：（1）橢圓的離心率為，PF1F2面積的最大值為3，解得a3，b，故橢圓的方程為（2）設(shè) A（x1，y1），B（x2，y2），MF2x 軸，設(shè)直線 l設(shè)直線