初中數(shù)學北師大版八年級下冊第一章三角形的證明本章復習與測試-整合提升密碼

1、專訓1.構(gòu)造全等三角形的六種常用方法名師點金：在進行幾何題的證明或計算時，需要在圖形中添加一些輔助線，輔助線能使題目中的條件比較集中，能比較容易找到一些量之間的關(guān)系，使數(shù)學問題較輕松地解決常見的輔助線作法有：構(gòu)造法、平移法、旋轉(zhuǎn)法、翻折法、倍長中線法和截長補短法，目的都是構(gòu)造全等三角形 翻折法1如圖，在ABC中，BE是ABC的平分線，ADBE，垂足為D.求證：21C.(第1題) 構(gòu)造基礎(chǔ)三角形法2如圖，在RtABC中，ACB90，ACBC，點D為BC的中點，CEAD于點E，其延長線交AB于點F，連接DF.求證：ADCBDF.(第2題) 旋轉(zhuǎn)法3如圖，在正方形ABCD中，E為BC上的一點，F(xiàn)為C

2、D上的一點，BEDFEF，求EAF的度數(shù)(第3題) 平移法4在ABC中，BAC60，C40，AP平分BAC交BC于點P，BQ平分ABC交AC于點Q，且AP與BQ相交于點O.求證：ABBPBQAQ.(第4題) 倍長中線法5如圖，在ABC中，D為BC的中點(1)求證：ABAC2AD；(2)若AB5，AC3，求AD的取值范圍(第5題) 截長補短法6如圖，ABCD，CE，BE分別平分BCD和CBA，點E在AD上求證：BCABCD.(第6題)專訓2.三角形中的五種常見證明類型名師點金：學習了全等三角形及等腰三角形的性質(zhì)和判定后，與此相關(guān)的幾何證明題的類型非常豐富，常見的類型有：證明數(shù)量關(guān)系，位置關(guān)系，線

3、段的和差關(guān)系，倍分關(guān)系，不等關(guān)系等 證明數(shù)量關(guān)系題型1證明線段相等1如圖，在ABC中，ABAC，D是BC的中點，E，F(xiàn)分別是AB，AC上的點，且AEAF，求證：DEDF.(第1題)題型2證明角相等2如圖，在ABC中，ABAC，AD平分BAC.求證：DBCDCB.(第2題) 證明位置關(guān)系題型1證明平行關(guān)系3已知ABC為等邊三角形，點P在AB上，以CP為邊長作等邊三角形PCE.求證：AEBC.(第3題)題型2證明垂直關(guān)系4如圖，在ABC中，ABAC，點D，E，F(xiàn)分別在邊BC，AB，AC上，且BDCF，BECD，G是EF的中點，求證：DGEF.(第4題) 證明倍分關(guān)系5如圖，在ABC中，ABAC，A

4、D，BE是ABC的高，AD，BE相交于點H，且AEBE，求證：AH2BD.(第5題) 證明和、差關(guān)系6如圖，在ABC中，ABC2C，AD平分BAC，求證：ABBDAC.(第6題) 證明不等關(guān)系7如圖，AD是ABC中BAC的平分線，P是AD上的任意一點，且ABAC，求證：ABACPBPC.(第7題) 證明面積關(guān)系6如圖，已知RtABC中，ABCA，ACB90，D為AB邊的中點，EDF90，EDF繞D點旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AC，CB(或它們的延長線)于點E，F(xiàn).(第8題)當EDF繞D點旋轉(zhuǎn)到DEAC于點E時(如圖)，易證SDEFSCEFeq f(1,2)SABC.當EDF繞D點旋轉(zhuǎn)到DE和AC不垂

5、直時，在圖和圖這兩種情況下，上述結(jié)論是否仍成立？若成立，請給予證明；若不成立，SDEF、SCEF、SABC又有怎樣的關(guān)系？請寫出你的猜想，不需證明專訓3.全章熱門考點整合應(yīng)用名師點金：三角形的證明是中考的必考點，考查方式以填空題、選擇題和中檔解答題為主主要考查等腰三角形、直角三角形中角度、邊長的計算或證明角、線段相等或推導角之間的關(guān)系及線段之間的關(guān)系，利用線段的垂直平分線、角的平分線的性質(zhì)作圖也是常見的題型本章考點可概括為：三個概念，六個性質(zhì)，四個判定，四個技巧，一個應(yīng)用 三個概念概念1反證法1用反證法證明命題“在直角三角形中，至少有一個銳角不大于45”時，應(yīng)先假設(shè)()A有一個銳角小于45B每

6、一個銳角都小于45C有一個銳角大于45 D每一個銳角都大于452求證：在一個三角形中，如果兩個角不相等，那么它們所對的邊也不相等概念2互逆命題3有下列這些命題：直角都相等；內(nèi)錯角相等，兩直線平行；如果ab0，那么a0，b0；相等的角都是直角；如果a0，b0，那么ab0；兩直線平行，內(nèi)錯角相等(1)和是互逆命題嗎？(2)你能說明和的逆命題各是什么嗎？(3)請指出哪幾個命題是互逆命題概念3互逆定理4下列三個定理中，存在逆定理的有()個(1)有兩個角相等的三角形是等腰三角形；(2)全等三角形的周長相等；(3)同位角相等，兩直線平行A0B1C2D35寫出下列各命題的逆命題，并判斷是不是互逆定理(1)全

7、等三角形的對應(yīng)邊相等；(2)同角的補角相等 六個性質(zhì)性質(zhì)1全等三角形的性質(zhì)6如圖，已知ABCADE，BC的延長線交DE于點F.若D25，AED105，DAC10，求DFB的度數(shù)(第6題)性質(zhì)2等腰三角形的性質(zhì)7如圖，已知ABAC，ADAE，求證：BDCE.(第7題)性質(zhì)3等邊三角形的性質(zhì)8如圖，已知ABC和BDE均為等邊三角形，求證：BDCDAD.(第8題)性質(zhì)4直角三角形的性質(zhì)9如圖，在ABC中，AD是BC邊上的高線，BE是一條角平分線，AD，BE相交于點P，已知EPD125，求BAD的度數(shù)(第9題)性質(zhì)5線段垂直平分線的性質(zhì)10如圖，在ABC中，ABAC，A120，AB的垂直平分線MN分別

8、交BC，AB于點M，N.求證：CM2BM.(第10題)性質(zhì)6角平分線的性質(zhì)11如圖，已知在RtABC中，A90，BD是ABC的平分線，DE是BC的垂直平分線試說明BC2AB.(第11題) 四個判定判定1三角形全等的判定12(2023南充)如圖，在ABC中，ABAC，ADBC，CEAB，AECE.求證：(1)AEFCEB；(2)AF2CD.(第12題)判定2等腰(邊)三角形的判定13如圖，在四邊形ABCD中，ABBCCDDA，BD60，連接AC.點E，F(xiàn)分別在BC，CD上，BECF.求證：(1)ABEACF；(2)AEF是等邊三角形(第13題)判定3直角三角形的判定14如圖，P是等邊三角形ABC

9、內(nèi)的一點，連接PA，PB，PC，以BP為邊作PBQ60，且BQBP，連接CQ，PQ.(1)觀察并猜想AP與CQ之間的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(2)若PAPBPC345，試判斷PQC的形狀，并說明理由(第14題)判定4線段的垂直平分線與角平分線的判定15(2023株洲)如圖，在RtABC中，C90，BD是RtABC的一條角平分線，點O，E，F(xiàn)分別在BD，BC，AC上，且四邊形OECF是正方形(1)求證：點O在BAC的平分線上；(2)若AC5，BC12，求OE的長(第15題) 四個技巧技巧1構(gòu)造全等三角形16如圖，E是BC的中點，點A在DE上，且BAECDE.求證：ABCD.(第16題)技巧2構(gòu)

10、造等腰三角形的“三線合一”17如圖，已知ADAE，BDCE，試探究AB和AC的大小關(guān)系，并說明理由(第17題)技巧3構(gòu)造線段垂直平分線上的點到線段兩端的線段18如圖，在ABC中，B，AB的垂直平分線交AB于點Q，交BC于點P，PEAC于E，ADBC于D，AD，PE交于F，求證DFDC.(第18題)技巧4構(gòu)造角平分線上的點到角兩邊的垂線段19如圖，ABBC，DCBC，E是BC的中點，AE平分BAD.求證：DE平分ADC.(第19題) 一個應(yīng)用最短路線的應(yīng)用20如圖，A，B兩點在直線l的兩側(cè)，在直線l上找一點C，使點C到點A，B的距離之差最大(第20題)答案專訓11證明：如圖，延長AD交BC于點F

11、.(相當于將AB邊向下翻折，與BC邊重合，A點落在F點處，折痕為BE)BE平分ABC，ABECBE.BDAD，ADBBDF90.在ABD和FBD中，eq blc(avs4alco1(ABDFBD，,BDBD，,ADBFDB90，)ABDFBD(ASA)2DFB.又DFB1C，21C.(第1題)2證明：如圖，過點B作BGBC交CF的延長線于點G.ACB90，2ACF90.CEAD，AEC90.1ACF180AEC1809090.12.在ACD和CBG中，eq blc(avs4alco1(12，,ACCB，,ACDCBG90，)ACDCBG(ASA)ADCG，CDBG.點D為BC的中點，CDBD.

12、BDBG.又DBG90，DBFBAC45，GBFDBGDBF904545.DBFGBF.在BDF和BGF中，eq blc(avs4alco1(BDBG，,DBFGBF，,BFBF，)BDFBGF(SAS)BDFG.ADCBDF.(第2題)點撥：本題運用了構(gòu)造法，通過作輔助線構(gòu)造CBG，BGF是解題的關(guān)鍵3解：如圖，延長CB到點H，使得BHDF，連接AH.ABE90，D90，DABH90.在ABH和ADF中，eq blc(avs4alco1(ABAD，,ABHADF90，,BHDF，)ABHADF.AHAF，BAHDAF.BAHBAFDAFBAF.即HAFBAD90.BEDFEF，BEBHEF，

13、即HEEF.在AEH和AEF中，eq blc(avs4alco1(AHAF，,AEAE，,EHEF，)AEHAEF.EAHEAF.EAFeq f(1,2)HAF45.(第3題)點撥：圖中所作輔助線，相當于將ADF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90，使AD邊與AB邊重合，得到ABH.(第4題)4證明：如圖，過點O作ODBC交AB于點D，ADOABC.BAC60，C40，ABC80.ADO80.BQ平分ABC，QBC40.AQOCQBC80.ADOAQB.易知DAOQAO，OAOA，ADOAQO.ODOQ，ADAQ.又ODBP，PBODOB.又PBODBO，DBODOB.DOB是等腰三角形BDOD.BDOQ.B

14、AC60，ABC80，BQ平分ABC，AP平分BAC，BAP30，ABQ40，BOP70.BAP30，ABC80，APB70.BOPAPB，BOP是等腰三角形，BOBP.ABBPADDBBPAQOQBOBQAQ.(第5題)5(1)證明：如圖，延長AD至點E，使DEAD，連接BE.D為BC的中點，CDBD.又ADED，ADCEDB，ADCEDB.ACEB.ABBEAE，ABAC2AD.(2)解：ABBEAEABBE，ABAC2ADABAC.AB5，AC3，22AD8.1AD0，而的結(jié)論是ab0，故不是由交換命題的題設(shè)和結(jié)論得到的，所以和不是互逆命題(2)的逆命題是如果a0，b0，那么ab0.的逆

15、命題是如果ab0，那么a0，b0.(3)與、與分別是互逆命題4C5解：(1)逆命題：三條邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等原命題與其逆命題都是真命題，所以它們是互逆定理(2)逆命題：如果兩個角相等，那么這兩個角是同一個角的補角，原命題是真命題，但其逆命題是假命題，所以它們不是互逆定理6解：D25，AED105，DAE50.又ABCADE，BD25，ACBAED105，BACDAE50.DAC10，BAD60，AMFBADB602585，DFBAMFD852560.7證明：(方法1：等邊對等角)ABAC，ADAE，BC，ADEAED，BADADEBAEDCCAE.在ABD和ACE中，eq blc(avs

16、4alco1(BC，,ABAC，,BADCAE，)ABDACE，BDCE.(第7題)(方法2：三線合一)如圖，過點A作AFBC于點F.ABAC，BFCF.又ADAE，DFEF，BFDFCFEF，即BDCE.8證明：ABC，BDE均為等邊三角形，BEBDDE，ABBC，ABCEBD60.ABEEBCDBCEBC.ABEDBC.在ABE與CBD中，eq blc(avs4alco1(ABCB，,ABECBD，,BEBD，)ABECBD(SAS)，AECD.又ADAEED，EDBD，BDCDAD.點撥：利用等邊三角形的性質(zhì)證明線段間的和差關(guān)系問題時，往往結(jié)合具體問題選擇三角形全等的判定方法，再運用全等

17、三角形的性質(zhì)進行線段之間關(guān)系的論證9解：AD是BC邊上的高線，EPD125，CBEEPDADB1259035.BE是一條角平分線， ABD2CBE23570.在RtABD中，BAD90ABD907020.10證明：如圖，連接AM，(第10題)MN是AB的垂直平分線，AMBM，MABB.又ABAC，BAC120，BC30，MAB30，MAC90.C30，CM2AM，CM2BM.11解：因為DE是BC的垂直平分線，所以BEEC，DEBC.因為A90，所以DAAB.又BD是ABC的平分線，所以DADE.又BDBD，所以RtABDRtEBD，所以ABBE，所以BC2AB.12證明：(1)ADBC，BB

18、AD90. CEAB，BBCE90.EAFECB.在AEF和CEB中，eq blc(avs4alco1(AEFCEB90，,AECE，,EAFECB，)AEFCEB.(2)AEFCEB，AFBC.ABAC，ADBC，CDBD，BC2CD.AF2CD.13證明：(1)ABBC，B60，ABC是等邊三角形ABAC.同理可得ACD為等邊三角形，ACD60.在ABE和ACF中，ABAC，BACF60，BECF，ABEACF.(2)ABEACF，AEAF，BAECAF.BAEEAC60，CAFEAC60，即EAF60.AEF是等邊三角形14解：(1)APCQ.證明：ABC是等邊三角形，ABCB.ABCP

19、BQ60，ABPABCPBCPBQPBCCBQ.又BPBQ，ABPCBQ.APCQ.(2)PQC是直角三角形理由如下：由PAPBPC345.可設(shè)PA3a，PB4a，PC5a(a0)在PBQ中，由于PBBQ4a，PBQ60，PBQ是等邊三角形，PQ4a.又由(1)知APCQ，PQ2QC2PQ2AP216a29a225a2PC2.PQC是直角三角形15(1)證明：如圖，過點O作OMAB于點M.四邊形OECF是正方形，OEECCFOF，OEBC于點E，OFAC于點F.BD平分ABC，OMOEOF.OMAB于點M，OFAC于點F，點O在BAC的平分線上(第15題)(2)解：AC5，BC12，AB13.

20、設(shè)OEx.則AFAM5x，BEBM12x.BMAMAB13，12x5x13，解得x2.OE2.16思路導引：觀察本題中要證明的兩條線段，它們不在同一個三角形中，且它們分別所在的兩個三角形也不全等，因此，要證ABCD，必須添加適當?shù)妮o助線，構(gòu)造全等三角形或等腰三角形，進行證明證明：(方法1)如圖，延長DE至點F，使EFDE，連接BF.BECE，BEFCED，EFDE，BEFCED(SAS)，BFCD，F(xiàn)CDE.又BAECDE，F(xiàn)BAE，BFAB，ABCD.(第16題)(方法2)如圖，分別過點B，C作BFAE，交AE的延長線于點F，CGAE，交AE于點G.BEFCEG，BFECGE90，BECE，

21、BEFCEG(AAS)，BFCG.又AFBDGC90，BAFCDG，ABFDCG(AAS)，ABCD.(方法3)如圖，過點C作CFAB，交DE的延長線于點F，則BAEF.BEACEF，BECE，BEACEF(AAS)，ABFC.又DBAE，F(xiàn)D，CFCD，ABCD.點撥：添加輔助線構(gòu)造全等三角形的方法：(1)如果兩條線段分別在兩個三角形中，并且這兩個三角形明顯不全等，無法直接證明這兩條線段相等，此時需要尋找一條與這兩條線段都相等的線段；(2)當題目中有線段的中點時，往往要尋找或構(gòu)建中心對稱型的全等三角形17解：ABAC.理由：因為ADAE，所以ADE是等腰三角形，取線段DE的中點F，連接AF，則AF既是ADE的中線，又是底邊上