地下水污染源解析的貝葉斯監(jiān)測(cè)設(shè)計(jì)與參數(shù)反演方法

1、地下水污染源解析的貝葉斯監(jiān)測(cè)設(shè)計(jì)與參數(shù)反演方法由于具有水量穩(wěn)定,水質(zhì)好等優(yōu)點(diǎn),地下水是人類最為重要的飲用水源之一。水以及評(píng)價(jià)地下水污染的環(huán)境風(fēng)險(xiǎn),我們需要借助于數(shù)值模擬對(duì)污染物的去向進(jìn)行準(zhǔn)確預(yù)測(cè)。而地下水溶質(zhì)運(yùn)移模型的關(guān)鍵參數(shù),例如污染源位置、污染源釋放,往往難以直接獲得,需要基于監(jiān)測(cè)井獲取的觀測(cè)數(shù)據(jù),通過(guò)求解反問(wèn)題來(lái)獲得對(duì)它們的估計(jì)。如何進(jìn)行監(jiān)測(cè)井網(wǎng)的最優(yōu)設(shè)計(jì),為反問(wèn)題提供最有價(jià)值的觀測(cè)值,從而準(zhǔn)確地獲得對(duì)模型參數(shù)的估計(jì),監(jiān)測(cè)設(shè)計(jì)和參數(shù)反演往往需要進(jìn)行數(shù)以萬(wàn)計(jì)的模型調(diào)用,這在大尺度問(wèn)題中會(huì)造成極高的計(jì)算,本文以地下水污染物運(yùn)移中的源識(shí)別為研究目標(biāo),發(fā)展了基于替代系統(tǒng)的貝葉斯不確定性分析方法,

2、具體工作如下:(1)為了使觀測(cè)數(shù)據(jù)的價(jià)值最大化,我們以參數(shù)先驗(yàn)到后驗(yàn)相對(duì)熵的期望為目標(biāo)函數(shù)實(shí)施了監(jiān)測(cè)井網(wǎng)的最優(yōu)設(shè)計(jì),其中使目標(biāo)函數(shù)值最大的采樣位置即為最優(yōu)采樣方案。在利用最優(yōu)采樣方案獲得濃度觀測(cè)值之后,我們采用了馬爾科夫鏈蒙特卡洛(Markov chain Monte Carlo,MCMC)法來(lái)反演未知模型參數(shù)。為了提高計(jì)算效率,我們使用自適應(yīng)稀疏格子插值(adaptivesparsegridinterpolation)法在參數(shù)的先驗(yàn)空間上構(gòu)造了多項(xiàng)式替代系統(tǒng),并將它應(yīng)用到了監(jiān)測(cè)設(shè)計(jì)和參數(shù)反演中,避免了反復(fù)求解原始模型,即地下水流與溶質(zhì)運(yùn)移控制方程。為了消除替代系統(tǒng)帶來(lái)的誤差,我們采用了一種兩

3、階段 MCMC模擬來(lái)反演未知參數(shù),即先采用替代系統(tǒng)對(duì)參數(shù)的后驗(yàn)分布進(jìn)行充分探索,在滲透系數(shù)非均質(zhì)性條件下,我們提出的方法可以有效而準(zhǔn)確地識(shí)別出污染源參數(shù)和滲透系數(shù)參數(shù)。(2)在兩階段 MCMC模擬的第二階段里,我們?nèi)耘f需要多次求解原始模型,因而兩階段 MCMC模擬所需的計(jì)算量依然較高。為了進(jìn)一步降低計(jì)算代價(jià),我們提出了在參數(shù)后驗(yàn)空間上自適應(yīng)地構(gòu)造替代,我們使用了高斯過(guò)程(Gaussianprocess,GP)來(lái)構(gòu)造替代系統(tǒng),并在反演參數(shù)時(shí)將 MCMC模擬與替代系統(tǒng)構(gòu)造耦合起來(lái),通過(guò)自適應(yīng)地增加接近后驗(yàn)的基點(diǎn),來(lái)不斷提高替代系統(tǒng)在參數(shù)后驗(yàn)空間上的精度。此外,由于 GP的優(yōu)良特性,我們得以量化替代

4、系統(tǒng)的誤差并將之反映到參數(shù)的后驗(yàn)分布中。數(shù)值模擬的結(jié)果表明,基于后驗(yàn)替代系統(tǒng)的過(guò)程要比基于先驗(yàn)替代系統(tǒng)的過(guò)程更加高效和準(zhǔn)確。(3)在高維問(wèn)題里,替代系統(tǒng)構(gòu)造和 MCMC反演的效果都欠佳。為了解決高維問(wèn)題中的最優(yōu)監(jiān)測(cè)設(shè)計(jì)和參數(shù)反演問(wèn)題,我們提出了一種基于集合(ensemble)的方法。我們采用了數(shù)據(jù)價(jià)值分析(data-worth analysis)來(lái)尋找信息量最大的采樣方案,然后使用集合平滑器(ensemble smoother,ES)來(lái)對(duì)模型參數(shù)進(jìn)行反演。為了驗(yàn)證方法的效果,我們測(cè)試了一個(gè)高維的數(shù)值算例。在這個(gè)算例里,我們考慮了 8個(gè)未知污染源參數(shù)和 3321個(gè)未知滲透系數(shù)參數(shù)。經(jīng)過(guò) 12個(gè)監(jiān)

5、測(cè)時(shí)間步的設(shè)計(jì),我們獲得了 24個(gè)最優(yōu)采樣位置。利用這 24個(gè)最優(yōu)采樣位置上獲得的濃度和水頭觀測(cè)值,我們可以將 3329個(gè)未知參數(shù)準(zhǔn)確地反演出來(lái)。(4)雖然 ES算法適用于高維情況,但是它基于線性估計(jì)理論,無(wú)法解決參數(shù)分布為多峰的反演問(wèn)題。為了解決高維非高斯情況下的參數(shù)反演問(wèn)題,我們提出了一種名為迭代局部更新集合平滑(iterative local updating ensemble smoother,ILUES)的算法。在實(shí)施該算法的過(guò)程中,我們沒(méi)有直接對(duì)集合中的每個(gè)樣本進(jìn)行更新,而是對(duì)每個(gè)樣本的局部樣本集合進(jìn)行更新,在非線性問(wèn)題里,為了提高反演效果,我們?cè)?ILUES算法中采用了一種簡(jiǎn)單的

6、迭代過(guò)程。ILUES算法無(wú)需聚類分析,就可以準(zhǔn)確地將參數(shù)的多峰分布識(shí)別出來(lái)。為了驗(yàn)證 ILUES算法的效果,我們測(cè)試了五個(gè)數(shù)值算例,分別考慮了參數(shù)先驗(yàn)多峰,參數(shù)后驗(yàn)多峰和參數(shù)高維等不同的場(chǎng)景。這些算例都很好地展示了ILUES算法在復(fù)雜模型參數(shù)反演中的效果。與常用的 MCMC算法相比,ILUES算法具有計(jì)算量上的顯著優(yōu)勢(shì)。(5)由于替代系統(tǒng)構(gòu)造在高維問(wèn)題里效率很低,這極大地限制了替代系統(tǒng)的應(yīng)用范圍。為了解決這個(gè)問(wèn)題,我們提出了將降維和替代系統(tǒng)構(gòu)造結(jié)合的思想,并將它應(yīng)用到地下水污染風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估和分析中。在估計(jì)失效概率(即超過(guò)風(fēng)險(xiǎn)值的概率)的時(shí)候,采用直接的蒙特卡洛(MonteCarlo,MC)模擬通常

7、需要大量調(diào)用系統(tǒng)模型。為了減小失效概率分析的計(jì)算代價(jià),人們往往會(huì)在 MC,直接對(duì)高維地下水模型構(gòu)造替代系統(tǒng)非常困難。而且,我們提出了一種兩階段 MC模擬方法,來(lái)準(zhǔn)確而有效地開(kāi)展失效概率分析。在第一階段,我們結(jié)合 Karhunen-Loeve展開(kāi)和分段逆回歸(sliced inverseregression)法對(duì)空間非均質(zhì)的滲透系數(shù)參數(shù)進(jìn)行充分降維,并在此基礎(chǔ)上利用混沌多項(xiàng)式展開(kāi)(polynomial chaos expansion)構(gòu)造出較為準(zhǔn)確的替代系統(tǒng)。利用該替代系統(tǒng),我們可以有效地計(jì)算出大量樣本的關(guān)注量(quantity of interest,QoI);在第二階段,為了消除替代系統(tǒng)引入的誤差,我們用原始模型重新計(jì)算了失效邊界附近樣本的 QoI值。這樣,我們可以消除替代系