高等數學 殷錫鳴4.3 平面曲線的曲率(1-16)課件_第1頁
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文檔簡介

1、4.3 平面曲線的曲率問題: 如何定量化的刻畫曲線的彎曲程度及其計算10 曲率的概念 BA A B BA （1）（3）可以看出：(2) A B （a）對于等長的弧段，轉角大，則 彎曲程度也大 問題在于: S S , 即兩弧段不等長, 稱為 AB 的平均曲率稱為曲線在 A 點的曲率 （2）的弧段AB的彎曲程度 (1)的弧段AB 的彎曲程度（b）弧AB與AB 的轉角 相等，但AB的彎曲程度 AB的彎曲程度 所以刻畫一段弧的彎曲程度應考慮它的平均彎曲程度才是合理的 絕對值稱為曲線在 A 點的曲率即當 B 沿弧段趨于 A 點時，平均曲率的極限的下面考慮如何計算曲率 K 解 由于 = 曲率 求半徑為R

2、的圓的平均曲率與曲率例設則ABR每一點都相等）并且與半徑 R 呈倒數關系 即圓在任一點處的曲率都是相等的（即彎曲程度一般地，設平面曲線為并假定 x(t) , y(t) 在 , 上有連續(xù)的導數 在曲線 L上，取一定點 P，并選取曲線的一方向作為曲線的正向 對于曲線上的一點 A ,若 PA 與曲線的正向一致，反之取負值- PA.弧的概念：而且是 t 的單調函數 于是 s = s(t) , t 則 s 取正值PA，xy即若曲線的正向與 t 上升描繪圖形的方向一致時,s(t) 單調增加 , 反之 s(t) 單調減少 至此我們有下對應關系:xy 則 AB = s設 s 對應于點 A, s + s 對應于

3、B , 我們把切線上向著弧 s 增加的方向叫做切線的正方向 (正切向) 記切線 A與 x 軸正向的夾角為 (s), 切線 B 與x 軸正向的夾角為 (s+ s)下面考慮計算弧微分ds設 t A (x , y) , t+t B (x+x , y+ y) , 則xyx x+x可以證明:所以(1)所以 , 有 (b) 若曲線, 則有( 極坐標情形的弧微分公式 )(c) 若曲線則有( 直角坐標情形的弧微分公式 )設曲線由給出 , f (x) 在 a , b上有二階連續(xù)導數, 則所以曲率 (3) 求曲線 在點 例處的曲率 解曲率將 代入得曲線在 M 點的曲率將曲線表為參數方程:此時解 求極坐標方程為 例的曲線上任一點處的曲率 .下面考慮曲率半徑的計算:（直角坐標情形）定義如果一圓（2）與曲線在點 A 處有相同的凹凸性；（3）與曲線在點A處有相同的曲率 ,則稱這個圓為曲線在 A 點處的曲率圓，曲率圓的中 （1）與曲線相切于點 A心叫做曲率中心，曲率圓的半徑稱為曲率半徑 如果曲線在A點處的曲率為K，由于圓的曲率所以曲線在點 A處的曲率半徑就是它的半徑的倒數 ,曲線 y = f (x) 在原點處的曲率半徑為由于 y =f (x) 在原點與 x 軸相切 f (0) = 0設曲線 y

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