十重積分(解題方法歸納)

1、 / 1110.38 TOC o 1-5 h z 222( , , z) zR22,0R,022則f (x ,y z, d)v f ( c o s , szi nd ,d )dz22 RR2 2d 2 df ( cos , sin ,z) dz在球面坐標(biāo)系下，將轉(zhuǎn)化為球面坐標(biāo)系下的積分區(qū)域，即（r, , ） 0 r R,0,024則f （ x, y, z） d v f（ rs i n c o s r, s i n s irn 2 , cro s ）d sdi n d2R20 d04 sin d 0 f （rsin cos , r sin sin , r cos ）r dr方法技巧有些三重積分既

2、可用直角坐標(biāo)計(jì)算，也可用柱面坐標(biāo)和球面坐標(biāo)計(jì)算，甚至直角坐標(biāo)可以用投影法計(jì)算，還可用截痕法計(jì)算，但計(jì)算的難易程度還是有區(qū)別的，需要同學(xué)加強(qiáng)這方面的練習(xí)，以便在考試中，以最快的速度找出最簡單的計(jì)算方法.三、交換積分次序交換積分次序的題目，在考試中選擇題和填空題居多，且大多數(shù)為二重積分，題型可分為以下幾類：（ 1）給出一種次序的二次積分，要求交換成另一種次序的二次積分；（ 2）給出一種次序的二次積分，要求計(jì)算此積分（一般按給定次序不能進(jìn)行計(jì)算） ；（ 3）計(jì)算一個(gè)二重積分（只有一種次序的二次積分可以計(jì)算）；（ 4）直角坐標(biāo)系下的二次積分與極坐標(biāo)系下的二次積分互相轉(zhuǎn)化.（ 5）證明一個(gè)二次積分等于一

3、個(gè)定積分時(shí)，需要先交換二次積分的積分次序.例8計(jì)算 I sin x dxdy例8y x2 圍成的閉區(qū)域.解 積分區(qū)域D 如圖 y x2 圍成的閉區(qū)域.解 積分區(qū)域D 如圖 10.38所示 .積分區(qū)域既是X 型又是 Y 型區(qū)域，但被積D 是由直線y x 及拋物線函數(shù)為 y sin x，若對(duì) x積分時(shí)，不能得到原函數(shù)，故化為二次積分時(shí)，只能先 x對(duì) y 后對(duì) x 積分，故I DsinxI Dsinxxdxdy dx 2 dy (1 x)sin xdx 1 sin1但并不代表用任何次序的二次積分都可以求出結(jié)果，因此， 做題時(shí)， 若一種次序的二次積分計(jì)算x非常繁瑣，就需要考慮換一種積分次序試一試，尤其

4、當(dāng)被積函數(shù)中含有sin x 、 ex2x等函數(shù)時(shí)，要特別注意.1y12例 9 證明 dy ey f （ x）dx （e ex ）dx證 在左邊的二次積分中，由于被積函數(shù)含有未知函數(shù)f （x），而積分變量又是x，因此不能按給定次序求出定積分，需要交換積分次序. 首先還原成二重積分的積分區(qū)域D ，如圖 10.39所示 .1y左邊 = 0 1y左邊 = 0 dy 0eyf(x)dx 0dx x2eyf(x)dy 0 f (x)dx x2eydy112f (x)(ey) x2 dx (e ex )f (x)dx=右邊證畢 .四、重積分的幾何應(yīng)用和物理應(yīng)用在幾何上，二重積分可以求平面圖形的面積、曲頂柱體

5、的體積及空間曲面的面積等，三重積分可以求空間區(qū)域的體積.在物理上，重積分可以求物體的質(zhì)量、質(zhì)心（形心）坐標(biāo)及轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等.在具體計(jì)算時(shí)，常用到如下一些結(jié)論：dA（D的面積）Df（x,y）d V （以D為底，f（x,y）為頂?shù)那斨w的體積）Ddv V （的體積）1 fx2 fy2dxdy A （ 的面積 ）D其中 D 為曲面: z f（x,y）在 xOy面的投影區(qū)域.(x, y)d M (占 xOy平面上區(qū)域D的物體的質(zhì)量)D(x, y,z)dv M (占空間區(qū)域的物體的質(zhì)量)質(zhì)心坐標(biāo)平面物體的質(zhì)心坐標(biāo)：x (x ,y d) xD(x ,y d)平面物體的質(zhì)心坐標(biāo)：x (x ,y d) xD(x

6、 ,y d)Dy x( y,d )Dyx( y, d )D空間物體的質(zhì)心坐標(biāo)：空間物體的質(zhì)心坐標(biāo)：x (x,y,z)dvx(x, y, z)dvx (x,y,z)dvx(x, y, z)dvy (x, y,z)dvy(x, y, z)dvz (x, y, z)dvz(x, y, z)dv77) 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量平面物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：Iy平面物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：Iy2 (x, y)d , IDx2 (x, y)dD空間物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：Ix(ydv 4 R3 z2) (x, y, z)dv , Iy(z2dv 4 R3Iz (x2 y2) (x,y,z)dv在(5)(7)中，(x, y)和 (x,y,z) 分別

7、表示物體的面密度和體密度.例 10 設(shè) (x, y, z) (x a)2 ( y b)2 (z c)2 R2 ，則(x y z)dv=解 利用球的形心坐標(biāo)公式(a,b,c) (x,y, z)xdv, ydv, zdv(a,b,c) (x,y, z)xdv, ydv, zdvxdvydv,dvdvzdv1因此xdv 4 aR ,ydv 4 bR 3, zdv 4 cR 3333故(x y z) d v x d v y d v4z d v(a)3 b c R3例 11 設(shè) D (x, y) x2 y2 2y ，計(jì)算(4 x y)d .D解 由于積分區(qū)域D 是圓域，關(guān)于y軸對(duì)稱，且形心(圓心)為(0,1) ，半徑為 1，因此 TOC o 1-5 h z xd 0 , yd 1 dDDD故(4 x y)d 4