陜西省靖邊縣第四中學(xué)2022年數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末達(dá)標(biāo)測(cè)試試題含解析

1、2021-2022高二下數(shù)學(xué)模擬試卷請(qǐng)考生注意：1請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用05毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的注意事項(xiàng)，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1設(shè)復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位），則（ ）AiBCD2己知變量x，y的取值如下表：x3456y2.5344.5由散點(diǎn)圖分析可知y與x線性相關(guān)，且求得回歸方程為，據(jù)此預(yù)測(cè)：當(dāng)時(shí)，y的值約為A5.95B6.65C7.35D73已知函數(shù) 在上單調(diào)遞減，則的取

2、值范圍是（ ）ABCD4雙曲線x2A23B2C3D5下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后在生產(chǎn)產(chǎn)品過(guò)程中記錄的產(chǎn)量（噸）與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗（噸）的幾組對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)：根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，求出關(guān)于的線性回歸方程為，那么表中的值為（ ）ABCD6 “”是“復(fù)數(shù)為純虛數(shù)”的（ ）A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件7已知a，bR，則“”是“”的（ ）A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件8隨機(jī)變量的分布列如下表，其中，成等差數(shù)列，且，246則（ ）ABCD9已知為正整數(shù)用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，假設(shè)時(shí)命題為真，即成立，則當(dāng)時(shí)，需要用到的與之間的關(guān)系式是( )ABC

3、D10如圖，在棱長(zhǎng)為的正方體中，為的中點(diǎn)，為上任意一點(diǎn)，、為上兩點(diǎn)，且的長(zhǎng)為定值，則下面四個(gè)值中不是定值的是（ ）A點(diǎn)到平面的距離B直線與平面所成的角C三棱錐的體積D的面積11如圖，在中， 是的外心， 于， 于， 于，則 等于 （ ）ABCD12已知，若包含于，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13中，則的最大值為_.14已知直線與橢圓相切于第一象限的點(diǎn)，且直線與軸、軸分別交于點(diǎn)、，當(dāng)(為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積最小時(shí)，(、是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn))，若此時(shí)在中，的平分線的長(zhǎng)度為，則實(shí)數(shù)的值是_15已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)，在拋物線上，且，過(guò)弦的中點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂

4、足為，則的最小值為_16已知橢圓，斜率為的直線與相交于兩點(diǎn)，若直線平分線段，則的離心率等于_三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17（12分）如圖，三棱柱中，（1）證明：；（2）若平面平面，求點(diǎn)到平面的距離18（12分）已知橢圓的離心率為，分別是其左、右焦點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn).（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若在直線上任取一點(diǎn)，從點(diǎn)向的外接圓引一條切線，切點(diǎn)為.問(wèn)是否存在點(diǎn)，恒有？請(qǐng)說(shuō)明理由.19（12分） (A)在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù))，是曲線上的動(dòng)點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線.(1)求的坐標(biāo)方程；(2)若

5、射線與曲線異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為，與曲線異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為，求.(B)設(shè)函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；(2)對(duì)任意，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.20（12分）某單位共有員工45人，其中男員工27人，女員工18人.上級(jí)部門為了對(duì)該單位員工的工作業(yè)績(jī)進(jìn)行評(píng)估，采用按性別分層抽樣的方法抽取5名員工進(jìn)行考核.（1）求抽取的5人中男、女員工的人數(shù)分別是多少；（2）考核前，評(píng)估小組從抽取的5名員工中，隨機(jī)選出3人進(jìn)行訪談.求選出的3人中有1位男員工的概率；（3）考核分筆試和答辯兩項(xiàng).5名員工的筆試成績(jī)分別為78，85，89，92，96；結(jié)合答辯情況，他們的考核成績(jī)分別為95，88，102，106，99.這

6、5名員工筆試成績(jī)與考核成績(jī)的方差分別記為，試比較與的大小.（只需寫出結(jié)論）21（12分）若函數(shù)（1）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若在上只有一個(gè)極值，且該極值小于，求的取值范圍.22（10分）已知甲、乙、丙、丁、戊、己6人.（以下問(wèn)題用數(shù)字作答）（1）邀請(qǐng)這6人去參加一項(xiàng)活動(dòng)，必須有人去，去幾人自行決定，共有多少種不同的安排方法？（2）將這6人作為輔導(dǎo)員全部安排到3項(xiàng)不同的活動(dòng)中，求每項(xiàng)活動(dòng)至少安排1名輔導(dǎo)員的方法總數(shù)是多少？參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】先化簡(jiǎn)，結(jié)合二項(xiàng)式定理化簡(jiǎn)可求.【詳解】，

7、故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算和二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，逆用二項(xiàng)式定理要注意配湊出定理的結(jié)構(gòu)形式.2、B【解析】先計(jì)算數(shù)據(jù)的中心點(diǎn)，代入回歸方程得到，再代入計(jì)算對(duì)應(yīng)值.【詳解】 數(shù)據(jù)中心點(diǎn)為代入回歸方程當(dāng)時(shí)，y的值為 故答案選B【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)據(jù)的回歸方程，計(jì)算數(shù)據(jù)中心點(diǎn)代入方程是解題的關(guān)鍵，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.3、A【解析】等價(jià)于在上恒成立，即在上恒成立，再構(gòu)造函數(shù)并求g(x)的最大值得解.【詳解】在上恒成立，則在上恒成立，令，所以在單調(diào)遞增，故g(x)的最大值為g(3)=.故.故選A【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題.4、

8、A【解析】試題分析：雙曲線焦點(diǎn)到漸近線的距離為b，所以距離為b=23考點(diǎn)：雙曲線與漸近線5、A【解析】先求出這組數(shù)據(jù)的樣本中心點(diǎn)，樣本中心點(diǎn)是用含有t的代數(shù)式表示的，把樣本中心點(diǎn)代入變形的線性回歸方程，得到關(guān)于t的一次方程，解方程，得到結(jié)果【詳解】由回歸方程知=，解得t=3，故選A【點(diǎn)睛】本題考查回歸分析的初步應(yīng)用，考查樣本中心點(diǎn)的性質(zhì)，考查方程思想的應(yīng)用，是一個(gè)基礎(chǔ)題，解題時(shí)注意數(shù)字計(jì)算不要出錯(cuò)6、C【解析】分析：首先求得復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)時(shí)x是值，然后確定充分性和必要性即可.詳解：復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則：，即：，據(jù)此可知，則“”是“復(fù)數(shù)為純虛數(shù)”的充要條件本題選擇C選項(xiàng).點(diǎn)睛：本題主要考查充分必要條

9、件的判斷，已知復(fù)數(shù)類型求參數(shù)的方法，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.7、A【解析】根據(jù)復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算，結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可【詳解】解：因?yàn)?，若，則等式成立，即充分性成立，若成立，即，所以解得或即必要性不成立，則“”是“”的充分不必要條件，故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，結(jié)合復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算是解決本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題8、A【解析】根據(jù)a,b,c成等差數(shù)列，a+b+c=1，可解得a,b,c，進(jìn)而求出.【詳解】由，得.則，故選A.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)隨機(jī)變量X的分布列求概率，分析題目條件易求出9、C【解析】分析：先根據(jù)條件確定式子，再與相減得結(jié)果.詳解

10、：因?yàn)?，所以，所?選C.點(diǎn)睛：本題考查數(shù)學(xué)歸納法，考查數(shù)列遞推關(guān)系.10、B【解析】試題分析：將平面延展到平面如下圖所示，由圖可知，到平面的距離為定值.由于四邊形為矩形，故三角形的面積為定值，進(jìn)而三棱錐的體積為定值.故A，C，D選項(xiàng)為真命題，B為假命題. 考點(diǎn)：空間點(diǎn)線面位置關(guān)系.11、D【解析】由正弦定理有 , 為三角形外接圓半徑,所以,在中, ,同理,所以 ,選D.12、B【解析】解一元二次不等式求得集合，根據(jù)是的子集列不等式，由此求得的取值范圍.【詳解】由解得，所以，由于且包含于，所以，故的取值范圍是.故選：B【點(diǎn)睛】本小題主要考查一元二次不等式的解法，考查根據(jù)包含關(guān)系求參數(shù)的取值范圍

11、，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】分析：先求出，再利用正弦定理求出，再利用三角變換和 基本不等式求其最大值.詳解：由題得,由正弦定理得所以的最大值為.故答案為：點(diǎn)睛：（1）本題主要考查平面向量的數(shù)量積，考查正弦定理和三角變換，考查基本不等式，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.(2)本題的解題關(guān)鍵有兩點(diǎn)，其一是求出，其二是化簡(jiǎn)得到，再利用基本不等式求最大值.14、【解析】分析：求出切線方程，可得三角形面積，利用基本不等式求出最小值時(shí)切點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)，利用余弦定理結(jié)合橢圓的定義，由三角形面積公式可得，根據(jù)與橢圓的定義即可的結(jié)果.詳解：由題意，切線

12、方程為，直線與軸分別相交于點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積最小，設(shè)，由余弦定理可得，的內(nèi)角平分線長(zhǎng)度為，故答案為.點(diǎn)睛：本題考查橢圓的切線方程、橢圓的定義、橢圓幾何性質(zhì)以及利用基本不等式求最值、三角形面積公式定義域、余弦定理的應(yīng)用，意在考查學(xué)生綜合利用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力，屬于難題.在解答與橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)有關(guān)的三角形問(wèn)題時(shí)，往往綜合利用橢圓的定義與余弦定理解答.15、.【解析】分析：過(guò)P、Q分別作準(zhǔn)線的垂線PA、QB，垂足分別是A、B，設(shè)，可得，由余弦定理得：，進(jìn)而根據(jù)基本不等式，求得的取值范圍，從而得到本題答案.詳解：如圖：過(guò)P、Q分別作準(zhǔn)線的垂線PA、QB，垂足分別是A、B，設(shè)，由拋物線

13、定義，得，在梯形中，由余弦定理得：，則的最小值為.故答案為：.點(diǎn)睛：本題考查拋物線的定義、簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，基本不等式求最值，余弦定理的應(yīng)用等知識(shí)，屬于中檔題.16、【解析】利用點(diǎn)差法求出的值后可得離心率的值【詳解】設(shè)，則，故即，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，故即，所以即，故，填【點(diǎn)睛】圓錐曲線中的離心率的計(jì)算，關(guān)鍵是利用題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于的一個(gè)等式關(guān)系而離心率的取值范圍，則需要利用坐標(biāo)的范圍、幾何量的范圍或點(diǎn)的位置關(guān)系構(gòu)建關(guān)于的不等式或不等式組另外，與弦的中點(diǎn)有關(guān)的問(wèn)題，可用點(diǎn)差法求解三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）見解析（2）【解析】試題分析：(1)利用題意首先證得，然

14、后利用線面垂直的定義即可證得題中的結(jié)論；(2)建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合平面的法向量和直線的方向向量可得直線與平面所成角的正弦值是.試題解析：（1）證明：如圖所示，取的中點(diǎn)，連接，.因?yàn)椋?由于，故為等邊三角形，所以.因?yàn)?，所?又，故（2）由（1）知，又，交線為，所以，故兩兩相互垂直.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S的正方向，為單位長(zhǎng)，建立如圖（2）所示的空間直角坐標(biāo)系.由題設(shè)知，則，.設(shè)是平面的法向量，則即可取故. 所以與平面所成角的正弦值為 18、 (1) (2) ，或【解析】（1）求出后可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）先求出的外接圓的方程，設(shè)點(diǎn)為點(diǎn)為，則由可得對(duì)任意的恒成立，故可得關(guān)于的方程，從而

15、求得的坐標(biāo).【詳解】解：（1）因?yàn)闄E圓的離心率為，所以. 又橢圓過(guò)點(diǎn)，所以代入得. 又. 由，解得.所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由（1）得，的坐標(biāo)分別是.因?yàn)榈耐饨訄A的圓心一定在邊的垂直平分線上，即的外接圓的圓心一定在軸上，所以可設(shè)的外接圓的圓心為，半徑為，圓心的坐標(biāo)為，則由及兩點(diǎn)間的距離公式，得，解得.所以圓心的坐標(biāo)為，半徑，所以的外接圓的方程為，即.設(shè)點(diǎn)為點(diǎn)為，因?yàn)椋?，化?jiǎn)，得，所以，消去，得，解得或.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以存在點(diǎn)，或滿足條件.【點(diǎn)睛】求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，關(guān)鍵是基本量的確定，方法有待定系數(shù)法、定義法等.直線與圓的位置關(guān)系，一般通過(guò)圓心到直線的距離與半徑的關(guān)系來(lái)判斷.解析幾何

16、中的幾何關(guān)系的恒成立問(wèn)題，應(yīng)該通過(guò)等價(jià)轉(zhuǎn)化變?yōu)榇鷶?shù)式的恒成立問(wèn)題.19、 (A) (1)(為參數(shù))，(2)(B) (1)；(2).【解析】試題分析：A(1)結(jié)合題意可得的極坐標(biāo)方程是(為參數(shù))，(2)聯(lián)立極坐標(biāo)方程與參數(shù)方程，結(jié)合極徑的定義可得B(1)由題意零點(diǎn)分段可得不等式的解集是；(2)由恒成立的條件得到關(guān)于實(shí)數(shù)a的不等式組，求解不等式可得實(shí)數(shù)的取值范圍是.試題解析：(A)解：(1)設(shè)，則由條件知，由于點(diǎn)在曲線上，所以，即，從而的參數(shù)方程為(為參數(shù))，化為普通方程即，將，所以曲線后得到極坐標(biāo)方程為.(2)曲線的極坐標(biāo)方程為，當(dāng)時(shí)，代入曲線的極坐標(biāo)方程，得，即，解得或，所以射線與的交點(diǎn)的極徑

17、為，曲線的極坐標(biāo)方程為.同理可得射線與的交點(diǎn)的極徑為.所以.(B)解：(1)當(dāng)時(shí)，由解得.(2)因?yàn)榍?所以只需，解得.20、（1）男員工3人，女員工2人（2）（3）【解析】（1）根據(jù)分層抽樣等比例抽取的性質(zhì)，列式計(jì)算即可；（2）分別計(jì)算5人中選出3人的全部可能性和3人中有1人為男員工的可能性，用古典概型概率計(jì)算公式即可求得；（3）根據(jù)方差的性質(zhì)，即可判斷.【詳解】（1）抽取的5人中男員工的人數(shù)為，女員工的人數(shù)為.（2）由（1）可知，抽取的5名員工中，有男員工3人，女員工2人.所以，根據(jù)題意，從人中抽取3人，共有種可能；其中恰有1位是男員工共有種可能，故滿足題意的概率為：，所以，選出的3人中有

18、1為男員工的概率是.（3）筆試成績(jī)?yōu)?8，85，89，92，96；考核成績(jī)可以理解為這5個(gè)數(shù)據(jù)每個(gè)數(shù)據(jù)加10得到，根據(jù)方差的性質(zhì)，則兩組數(shù)據(jù)的方差保持不變.故.【點(diǎn)睛】本題考查分層抽樣的特點(diǎn)，古典概率的概率計(jì)算，方差的性質(zhì)，屬綜合基礎(chǔ)題.21、（1）（2）【解析】（1）求導(dǎo)得到，得到切線方程.（2），討論，三種情況，得到函數(shù)單調(diào)區(qū)間，判斷是否有極值，計(jì)算極值解不等式得到答案.【詳解】(1)當(dāng)時(shí)，則，所以切線方程為.(2) ，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，無(wú)極值；當(dāng)時(shí)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)取得極小值，所以；當(dāng)時(shí)，令或，設(shè)，當(dāng)，當(dāng)，當(dāng)時(shí)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在時(shí)取得極大值，設(shè)，從而，所以在上單調(diào)遞減，所以不符合題意.當(dāng)時(shí)在上單調(diào)遞增，此時(shí)在上無(wú)極值，不合題意.綜上：取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的切線方程，極值問(wèn)題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.22、（1）63種不同的去法（2）種【解析】（1）邀請(qǐng)這6人去參加一項(xiàng)活動(dòng)，必須有人去，去1，2，3，4，5，6個(gè)人，利用組合數(shù)求解即可（2）第一類：6人中恰有4人分配到其中一項(xiàng)活動(dòng)中，另外兩項(xiàng)活動(dòng)各分一人，第二類：6人中恰有3人分配到其中一項(xiàng)活動(dòng)中