自動控制原理電子教學案

1、.第一章 自動控制原理的基本概念主要內容： 自動控制的基本知識開環(huán)控制與閉環(huán)控制自動控制系統(tǒng)的分類及組成自動控制理論的發(fā)展1.1 引言控制觀念生產(chǎn)和科學實踐中,要求設備或裝置或生產(chǎn)過程按照人們所期望的規(guī)律運行或工作。同時,干擾使實際工作狀態(tài)偏離所期望的狀態(tài)。例如：衛(wèi)星運行軌道,導彈飛行軌道,加熱爐出口溫度,電機轉速等控制控制：為了滿足預期要求所進行的操作或調整的過程。 控制任務可由人工控制和自動控制來完成。 1.2 自動控制的基本知識自動控制問題的提出一個簡單的水箱液面,因生產(chǎn)和生活需要,希望液面高度h維持恒定。當水的流入量與流出量平衡時,水箱的液面高度維持在預定的高度上。當水的流出量增大或流

2、入量減小,平衡則被破壞,液面的高度不能自然地維持恒定。所謂控制就是強制性地改變某些物理量,而使另外某些特定的物理量如液面高度h維持在某種特定的標準上。人工控制的例子。這種人為地強制性地改變進水量,而使液面高度維持恒定的過程,即是人工控制過程。自動控制的定義及基本職能元件1. 自動控制的定義自動控制就是在沒有人直接參與的情況下,利用控制器使被控對象的某些物理量自動地按預先給定的規(guī)律去運行。當出水與進水的平衡被破壞時,水箱水位下降,出現(xiàn)偏差。這偏差由浮子檢測出來,自動控制器在偏差的作用下,控制閥門開大,對偏差進行修正,從而保持液面高度不變。2. 自動控制的基本職能元件自動控制的實現(xiàn),實際上是由自動

3、控制裝置來代替人的基本功能,從而實現(xiàn)自動控制的。畫出以上人工控制與動控制的功能方框圖進行對照。比較兩圖可以看出,自動控制實現(xiàn)人工控制的功能,存在必不可少的三種代替人的職能的基本元件：測量元件與變送器代替眼睛 自動控制器代替大腦 執(zhí)行元件代替肌肉、手這些基本元件與被控對象相連接,一起構成一個自動控制系統(tǒng)。下圖是典型控制系統(tǒng)方框圖。自動控制中的一些術語及方框圖1.常用術語控制對象 控制器 系統(tǒng) 系統(tǒng)輸出 操作量 參考輸入 擾動 特性2.系統(tǒng)方框圖將系統(tǒng)中各個部分都用一個方框來表示,并注上文字或代號,根據(jù)各方框之間的信息傳遞關系,用有向線段把它們依次連接起來,并標明相應的信息。1.3 自動控制系統(tǒng)的

4、基本控制方式控制方式：開環(huán)控制和閉環(huán)控制開環(huán)控制定義:控制量與被控量之間只有順向作用而沒有反向聯(lián)系。開環(huán)控制系統(tǒng)的典型方框圖如圖所示。例如：交通指揮紅綠燈,自動洗衣機,自動售貨機1.按給定控制下圖是一個直流電動機轉速控制系統(tǒng)。 工作原理： 以上的控制過程,用方框圖簡單直觀地表示出來。2.按擾動控制圖示是一個按擾動控制的直流電動機轉速控制系統(tǒng)?？刂七^程可用方框圖表示成如圖示的形式。把負載變化視為外部擾動輸入,對輸出轉速產(chǎn)生的影響及控制補償作用,分別沿箭頭的方向從輸入端傳送到輸出端,作用的路徑也是單向的,不閉合的。有時我們稱按擾動控制為順饋控制。開環(huán)控制的特點：結構簡單、調整方便、成本低。 給定一

5、個輸入,有相應的一個輸出。 作用信號是單方向傳遞的,形成開環(huán)。 輸出不影響輸入。 若系統(tǒng)有外界擾動時,系統(tǒng)輸出量不可能有準確的數(shù)值,即開環(huán)控制精度不高,或抗干擾能力差閉環(huán)控制定義：凡是系統(tǒng)輸出信號對控制作用有直接影響的系統(tǒng),都叫做閉環(huán)控制系統(tǒng)。常用術語：反饋控制系統(tǒng) 閉合 閉環(huán)控制系統(tǒng)反饋控制原理：被控變量作為反饋信號,與希望值比較得到偏差輸入；根據(jù)輸入偏差大小,調整控制信號；控制信號通過執(zhí)行器的操作消除偏差,實現(xiàn)控制目標。反饋：輸出量經(jīng)測量后的信號回送到輸入端。反饋連接方式有負反饋和正反饋。負反饋：反饋信號的極性與輸入信號相反,使被控對象的輸出趨向希望值。直流電動機轉速閉環(huán)控制的例子。閉環(huán)控

6、制的特點： 由負反饋構成閉環(huán),利用偏差信號進行控制；抗干擾能力強,精度高；存在穩(wěn)定性問題。系統(tǒng)元件參數(shù)配合不當,容易產(chǎn)生振蕩,使系統(tǒng)不能正常工作；自動控制理論主要研究閉環(huán)系統(tǒng)。閉環(huán)控制系統(tǒng)的典型方框圖如圖所示。 一、開環(huán)與閉環(huán)控制系統(tǒng)的比較 二、復合控制方法 常見的方式有以下兩種： 1.附加給定輸入補償 2. 附加擾動輸入補償1-4 自動控制系統(tǒng)的分類基本組成按給定信號的特征劃分1. 恒值控制系統(tǒng)：系統(tǒng)任務：c=r r常數(shù)分析設計重點:研究干擾對被控對象的影響,克服擾動液位控制系統(tǒng),直流電動機調速系統(tǒng)等等。2. 隨動控制系統(tǒng)：系統(tǒng)任務：c=r r隨機變化分析設計重點:系統(tǒng)跟蹤的快速性,準確性跟

7、蹤衛(wèi)星的雷達天線系統(tǒng)3. 程序控制系統(tǒng)：系統(tǒng)任務：c=r r按預先規(guī)定時間函數(shù)變化分析設計重點:輸出按一定的規(guī)律變化機械加工中的程序控制機床等等。按系統(tǒng)的數(shù)學描述劃分 1.線性系統(tǒng)當系統(tǒng)各元件輸入輸出特性是線性特性,系統(tǒng)的狀態(tài)和性能可以用線性微分或差分方程來描述時,則稱這種系統(tǒng)為線性系統(tǒng)。 2.非線性系統(tǒng)系統(tǒng)中只要存在一個非線性特性的元件,系統(tǒng)就由非線性方程來描述,這種系統(tǒng)稱為非線性系統(tǒng)。按信號傳遞的連續(xù)性劃分 1.連續(xù)系統(tǒng) 連續(xù)系統(tǒng)的特點是系統(tǒng)中各元件的輸入信號和輸出信號都是時間的連續(xù)函數(shù)。這類系統(tǒng)的運動狀態(tài)是用微分方程來描述的。連續(xù)系統(tǒng)中各元件傳輸?shù)男畔⒃诠こ躺戏Q為模擬量,其輸入輸出一般用

8、r和c表示。2.離散系統(tǒng) 控制系統(tǒng)中只要有一處的信號是脈沖序列或數(shù)碼時,該系統(tǒng)即為離散系統(tǒng)。這種系統(tǒng)的狀態(tài)和性能一般用差分方程來描述。按系統(tǒng)的輸入與輸出信號的數(shù)量劃分1.單變量系統(tǒng)SISO 2.多變量系統(tǒng)MIMO自動控制系統(tǒng)的基本組成 在形形色色的自動控制系統(tǒng)中,反饋控制是最基本的控制方式之一。一個典型的反饋控制系統(tǒng)總是由控制對象和各種結構不同的職能元件組成的。除控制對象外,其他各部分可統(tǒng)稱為控制裝置。每一部分各司其職,共同完成控制任務。 下面給出這些職能元件的種類和各自的職能。給定元件：其職能是給出與期望的輸出相對應的系統(tǒng)輸入量,是一類產(chǎn)生系統(tǒng)控制指令的裝置。 測量元件：其職能是檢測被控量,

9、如果測出的物理量屬于非電量,大多情況下要把它轉換成電量,以便利用電的手段加以處理。 比較元件：其職能是把測量元件檢測到的實際輸出值與給定元件給出的輸入值進行比較,求出它們之間的偏差。 放大元件：其職能是將過于微弱的偏差信號加以放大,以足夠的功率來推動執(zhí)行機構或被控對象。 執(zhí)行元件：其職能是直接推動被控對象,使其被控量發(fā)生變化。 校正元件：為改善或提高系統(tǒng)的性能,在系統(tǒng)基本結構基礎上附加參數(shù)可靈活調整的元件。工程上稱為調節(jié)器。常用串聯(lián)或反饋的方式連接在系統(tǒng)中。 1.5 對控制系統(tǒng)的要求和分析設計對系統(tǒng)的要求各類控制系統(tǒng)為達到理想的控制目的,必須具備以下兩個方面的性能 ： 1.使系統(tǒng)的輸出快速準確

10、地按輸入信號要求的期望輸出值變化。 2.使系統(tǒng)的輸出盡量不受任何擾動的影響。對自控系統(tǒng)性能的要求一般可歸納為三大性能指標： 穩(wěn)定性：要求系統(tǒng)絕對穩(wěn)定且有一定的穩(wěn)定裕量。 瞬態(tài)質量：要求系統(tǒng)瞬態(tài)響應過程具有一定的快速性和變化的平穩(wěn)性。 穩(wěn)態(tài)誤差：要求系統(tǒng)最終的響應準確度,限制在工程允許的范圍之內,是系統(tǒng)控制精度的恒量?？刂葡到y(tǒng)的分析和設計 1.系統(tǒng)分析系統(tǒng)給定,在規(guī)定的工作條件下,對它進行分析研究,其中包括穩(wěn)態(tài)性能和動態(tài)性能分析,看是否滿足要求,以及分析某個參數(shù)變化時對上述性能指標的影響,決定如何合理地選取等。 2.系統(tǒng)的設計系統(tǒng)設計的目的,是要尋找一個能夠實現(xiàn)所要求性能的自動控制系統(tǒng)。因此,在

11、系統(tǒng)應完成的任務和應具備的性能已知的條件下,根據(jù)被控對象的特點,構造出適合的控制器是設計的主要任務。應進行的步驟如下：1熟悉對系統(tǒng)性能的要求。2根據(jù)要求的性能指標綜合確定系統(tǒng)的數(shù)學模型。3若控制對象是已知的,根據(jù)確定的系統(tǒng)數(shù)學模型和已知部分的數(shù)學模型,求得控制器的數(shù)模和控制規(guī)律。4按綜合確定的數(shù)模進行系統(tǒng)分析,驗證它在各種信號作用下是否滿足要求。若不滿足,及時修正。5樣機設計制造和試驗,驗證設計結果。 1-6 自動控制理論的發(fā)展概況三個時期： 早期的自動控制工作經(jīng)典控制理論現(xiàn)代控制理論作業(yè)：1.2 1.3學習指導與小結 通過示例介紹了控制系統(tǒng)的基本概念 1.反饋控制原理 2.控制系統(tǒng)的基本組成

12、 3.控制系統(tǒng)的基本類型給出控制系統(tǒng)的基本要求 1.穩(wěn) 2.準 3.快第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型 主要內容： 數(shù)學模型的概念、建模原則線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)系統(tǒng)的結構圖信號流圖及梅遜公式 2-1 引言 什么是數(shù)學模型？ 所謂的數(shù)學模型,是描述系統(tǒng)內部各物理量之間關系的數(shù)學表達式。數(shù)學模型的特點 1.相似性 2.簡化性和準確性 3.動態(tài)模型 4.靜態(tài)模型靜態(tài)模型和動態(tài)模型一、靜態(tài)模型 1.不含時間變量t的代數(shù)方程 2.平衡狀態(tài)下各變量間對應關系 3.變化量不隨時間而變化二、動態(tài)模型 1.表達式是含時間變量t的微分方程 2.描述了系統(tǒng)的非平衡過程 3.變量隨時間而變化 4.靜態(tài)模型包含在靜態(tài)模型中數(shù)學

13、模型的類型 1.微分方程 2.傳遞函數(shù)3.狀態(tài)空間表達式數(shù)學模型的建模原則數(shù)學模型的建立方法： 1. 分析法 2.實驗法數(shù)學模型的建模原則：1.建模之前,要全面了解系統(tǒng)的自然特征和運動機理,明確研究目的和準確性要求,選擇合適的分析方法。2.按照所選分析法,確定相應的數(shù)學模型的形式。3.根據(jù)允許的誤差范圍,進行準確性考慮然后建立盡量簡化的、合理的數(shù)學模型。2.2 系統(tǒng)微分方程的建立列寫微分方程式的一般步驟1.分析系統(tǒng)運動的因果關系,確定系統(tǒng)的輸入量、輸出量及內部中間變量,搞清各變量之間的關系。 2.做出合乎實際的假設,以便忽略一些次要因素,使問題簡化。3.根據(jù)支配系統(tǒng)動態(tài)特性的基本定律,列出各部

14、分的原始方程式。4.列寫各中間變量與其他變量的因果式。 5.聯(lián)立上述方程,消去中間變量。6.將方程式化成標準形。機械系統(tǒng)舉例例2-1 彈簧-質量-阻尼器串聯(lián)系統(tǒng)。試列出以外力F為輸入量,以質量的位移y為輸出量的運動方程式。解：遵照列寫微分方程的一般步驟有： 1.確定輸入量為F,輸出量為y,作用于質量m的力還有彈性阻力Fk和粘滯阻力Ff,均作為中間變量。 2.設系統(tǒng)按線性集中參數(shù)考慮,且無外力作用時,系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)。 3.按牛頓第二定律列寫原始方程,即4.寫中間變量與輸出量的關系式5.將以上輔助方程式代入原始方程,消去中間變量,得6.整理方程得標準形令Tm2 = m/k,Tf = f/k ,則

15、方程化為電路系統(tǒng)舉例 例2-2 電阻電感電容串聯(lián)系統(tǒng)。R-L-C串聯(lián)電路,試列出以ur為輸入量,uc為輸出量的網(wǎng)絡微分方程式。L-R-C網(wǎng)絡 2階線性定常微分方程實際物理系統(tǒng)線性微分方程的一般特征 觀察實際物理系統(tǒng)的運動方程,若用線性定常特性來描述,則方程一般具有以下形式：式中,c是系統(tǒng)的輸出變量,r是系統(tǒng)的輸入變量。列寫微分方程式時,一般按以下幾點來寫：1.輸出量及其各階導數(shù)項寫在方程左端,輸入量寫在右端；2.左端的階次比右端的高。這是因為實際物理系統(tǒng)均有慣性或儲能元件；3.方程式兩端的各項的量綱應一致。利用這點,可以檢查微分方程式的正確與否。4.方程的系數(shù)均為實常數(shù),是由物理系統(tǒng)自身參數(shù)決

16、定的。2.3 非線性數(shù)學模型線性化線性化意義和常用方法為什么要線性化？ 1.實際對象總存在一定的非線性 2.線性系統(tǒng)具有較完整的理論線性化條件 1.實際工作情況在某平衡點附近 2.變量變化是小范圍的 3.函數(shù)值與各階導數(shù)連續(xù),至少在運行范圍內如此。滿足上述條件,則工作點附近小范圍內各變量關系近似線性線性化方法 1.泰勒級數(shù)展開 2.取線性部分線性化定義：是指將非線性函數(shù)在工作點附近展開成泰勒級數(shù),忽略掉高階無窮小量及余項,得到近似的線性化方程,來替代原來的非線性函數(shù)。假如元件的輸出與輸入之間關系x2=f的曲線如圖,元件的工作點為。將非線性函數(shù)x2= f在工作點附近展開成泰勒級數(shù)：當為微小增量時

17、,可略去二階以上各項,寫成：其中為工作點處的斜率,即此時以工作點處的切線代替曲線,得到變量在工作點的增量方程,經(jīng)上述處理后,輸出與輸入之間就成為線性關系。例已知某裝置的輸入輸出特性如下,求小擾動線性化方程。解：在工作點處展開泰勒級數(shù)取一次近似,且令既有 2-4 線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)一.復習拉氏變換及其性質1.定義記X = Lx 2.進行拉氏變換的條件 t 0,x=0；當t 0,x是分段連續(xù)； 當t充分大后滿足不等式xMect,M,c是常數(shù)。 3.性質和定理 線性性質L ax1 + bx2 = aX1 + bX2微分定理若 , 則：積分定律若x1= x2 = = 0,x各重積分在t=0的值為0時,

18、終值定理若x及其一階導數(shù)都是可拉氏變換的,lim x存在,并且sX除原點為單極點外,在j軸上及其右半平面內應沒有其它極點,則函數(shù)x的終值為：初值定理如果x及其一階導數(shù)是可拉氏變換的,并且 存在,則延遲定理L x1 = esXLeatx = X尺度變換卷積定理4.舉例 例2-3求單位階躍函數(shù)x=1的拉氏變換。解：例2-4求單位斜坡函數(shù)x=t的拉氏變換。 解：例2-5求正弦函數(shù)x = sint 的拉氏變換。 解：例2-6求函數(shù)x的拉氏變換。解：x = x1 + x2 =A1 A1 例2-7求e at的拉氏變換。解:例2-8求e0.2 t的拉氏變換。解：例2-9 求x,x。 解：二.復習拉氏反變換

19、1.定義由象函數(shù)X求原函數(shù)x 2.求拉氏反變換的方法根據(jù)定義,用留數(shù)定理計算上式的積分值查表法 部分分式法一般,象函數(shù)X是復變量s的有理代數(shù)公式,即通常m n,a1 , , an；b0 , , bm均為實數(shù)。首先將X的分母因式分解,則有式中s1 , , sn是 A = 0的根,稱為X的極點。分兩種情況討論： A = 0無重根。式中ci 是待定常數(shù),稱為X在極點si 處的留數(shù)。 A = 0有重根。設有r個重根s1,則j = 0,1, , r-1i = r+1, , n3. 舉例例2-10 ,求原函數(shù)x。解：s2 + 4s + 3 = 例2-11求 的原函數(shù)x。解：s2+ 2s + 2 = 2 +

20、 1 = 例2-12求 的原函數(shù)x。. 線性常系數(shù)微分方程的求解用拉氏變換求解微分方程的一般步驟： 1.對微分方程兩邊進行拉氏變換。 2.求解代數(shù)方程,得到微分方程在s 域的解。 3.求s 域解的拉氏反變換,即得微分方程的解。例2-13求解方程：初始條件：y= 1, y =2解：兩邊取拉氏變換 s2Y sy y + 3sY 3y +2Y=5/sy = 5/2 5 e t +3/2 e2t例2-14圖2-5所示的RC電路,當開關K突然接通后,試求出電容電壓uc的變化規(guī)律。解：設輸入量為ur ,輸出量為uc。寫出電路運動方程電容初始電壓為uc,對方程兩端取拉氏變換當輸入為階躍電壓ur = u0 1

21、時,得式中右端第一項是由輸入電壓ur決定的分量,是當電容初始狀態(tài)uc =0 時的響應,故稱零狀態(tài)響應；第二項是由電容初始電壓uc決定的分量,是當輸入電壓ur =0時的響應,故稱零輸入響應。根據(jù)線性系統(tǒng)的疊加原理,將初始電壓uc視為一個輸入作用,則可在復數(shù)域內分別研究RC電路的零狀態(tài)響應及零輸入響應。若令uc = 0,則有當輸入電壓ur給定時,其拉氏變換Ur亦是確定的。于是,輸出電壓便完全由1/所確定。這時,上式也可寫成上式表明,輸出電壓Uc與輸入電壓Ur之比,是s的一個有理分式函數(shù),它只與電路的結構形式及其參數(shù)有關,故可以作為在復數(shù)域內描述RC電路輸入-輸出關系的數(shù)學模型,稱為傳遞函數(shù),記作G

22、。Uc = G U傳遞函數(shù)的定義定義：在線性或線性化定常系統(tǒng)中,初始條件為零時,系統(tǒng)輸出的拉氏變換與輸入的拉氏變換之比,稱為系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。 設線性定常系統(tǒng)的微分方程式為 式中,r是輸入量,c是輸出量。在零初始條件下,對上式兩端進行拉氏變換得 C=R求出傳遞函數(shù)為傳遞函數(shù)的實際意義零初始條件有兩方面的含義：一是輸入在t =0以后才作用于系統(tǒng),即輸入及其各階導數(shù)在t =0的值為零；二是系統(tǒng)在輸入作用前是相對靜止的,即輸出量及其各階導數(shù)在t =0的值為零。傳遞函數(shù)是在零初始條件下定義的,因而它不能反映在非零初始條件下系統(tǒng)的運動情況。零狀態(tài)解對于非零初始條件的響應,可用疊加原理進行處理。 2-5 典

23、型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)典型環(huán)節(jié)有6種,分述如下：1.比例環(huán)節(jié)運動方程式c = Kr傳遞函數(shù)G = K單位階躍響應C = G R = K/s c = K1可見,當輸入量r=1時,輸出量c成比例變化。2.慣性環(huán)節(jié) 微分方程式： 傳遞函數(shù)：式中,T是慣性環(huán)節(jié)時間常數(shù)。慣性環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)有一個負實極點p = 1/T,無零點。單位階躍響應:階躍響應曲線是按指數(shù)上升的曲線。3.積分環(huán)節(jié)微分方程式：傳遞函數(shù)：單位階躍響應：當輸入階躍函數(shù)時,該環(huán)節(jié)的輸出隨時間直線增長,增長速度由1/T決定。當輸入突然除去,積分停止,輸出維持不變,故有記憶功能。4.微分環(huán)節(jié)微分方程式為：傳遞函數(shù)為：G=Ts單位階躍響應： c =

24、T由于階躍信號在時刻t =0有一躍變,其他時刻均不變化,所以微分環(huán)節(jié)對階躍輸入的響應只在t =0時刻產(chǎn)生一個響應脈沖。5.振蕩環(huán)節(jié)微分方程式為：傳遞函數(shù)為：或 式中,T 0,0 1,n = 1/T,T 稱為振蕩環(huán)節(jié)的時間常數(shù),為阻尼比,n為無阻尼振蕩頻率。振蕩環(huán)節(jié)有一對位于s左半平面的共軛極點：單位階躍響應：式中,=cos1。響應曲線是按指數(shù)衰減振蕩的,故稱振蕩環(huán)節(jié)。6.延遲環(huán)節(jié)微分方程式為：c = r傳遞函數(shù)為：G =e s單位階躍響應： c = 1 2-6 系統(tǒng)的結構圖結構圖的定義及基本組成1.結構圖的定義定義: 由具有一定函數(shù)關系的環(huán)節(jié)組成的,并標明信號流向的系統(tǒng)的方框圖,稱為系統(tǒng)的結構

25、圖。例如討論過的直流電動機轉速控制系統(tǒng),用方框圖來描述其結構和作用原理,見圖。把各元件的傳遞函數(shù)代入方框中去,并標明兩端對應的變量,就得到了系統(tǒng)的動態(tài)結構圖。2.結構圖的基本組成畫圖的4種基本元素如下：信號傳遞線是帶有箭頭的直線,箭頭表示信號的傳遞方向,傳遞線上標明被傳遞的信號。分支點表示信號引出或測量的位置,從同一位置引出的信號在數(shù)值和性質方面完全相同。相加點對兩個以上的信號進行代數(shù)運算, + 號表示相加,可省略不寫, 號表示相減。 方框表示對信號進行的數(shù)學運算。方框中寫入元部件的傳遞函數(shù)。結構圖的繪制步驟 列寫每個元件的原始方程,要考慮相互間負載效應。 設初始條件為零,對這些方程進行拉氏變

26、換,并將每個變換后的方程,分別以一個方框的形式將因果關系表示出來,而且這些方框中的傳遞函數(shù)都應具有典型環(huán)節(jié)的形式。 將這些方框單元按信號流向連接起來,就組成完整的結構圖。例2-15畫出下圖所示RC網(wǎng)絡的結構圖。解： 列寫各元件的原始方程式 取拉氏變換,在零初始條件下,表示成方框形式將這些方框依次連接起來得圖。結構圖的基本連接形式 1.三種基本連接形式 串聯(lián)。相互間無負載效應的環(huán)節(jié)相串聯(lián),即前一個環(huán)節(jié)的輸出是后一個環(huán)節(jié)的輸入,依次按順序連接。 由圖可知：U=G1R C=G2U消去變量U 得C= G1G2R = GR故環(huán)節(jié)串聯(lián)后等效的傳遞函數(shù)等于各串聯(lián)環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的乘積。 并聯(lián)。并聯(lián)各環(huán)節(jié)有相同的

27、輸入量,而輸出量等于各環(huán)節(jié)輸出量之代數(shù)和。由圖有 C1 = G1R C2 = G2R C = C1 C2消去G1 和G2,得 C = G1 G2R 故環(huán)節(jié)并聯(lián)后等效的傳遞函數(shù)等于各并聯(lián)環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的代數(shù)和。 反饋連接。連接形式是兩個方框反向并接,如圖所示。相加點處做加法時為正反饋,做減法時為負反饋。由圖有 C = GE B = HCE = R B消去B 和E,得 C = G R HC上式稱為閉環(huán)傳遞函數(shù),是反饋連接的等效傳遞函數(shù)。G:前向通道傳遞函數(shù)H:反饋通道傳遞函數(shù)H=1 單位反饋系統(tǒng)GH:開環(huán)傳遞函數(shù)2.閉環(huán)系統(tǒng)的常用傳遞函數(shù) 考察帶有擾動作用下的閉環(huán)系統(tǒng)如圖所示。它代表了常見的閉環(huán)控制

28、系統(tǒng)的一般形式。 控制輸入下的閉環(huán)傳遞函數(shù)令N = 0有 擾動輸入下的閉環(huán)傳遞函數(shù)令R = 0有至此,可以給出求單回路閉環(huán)傳遞函數(shù)的一般公式為 式中負反饋時取+號,正反饋時取號。 兩個輸入量同時作用于系統(tǒng)的響應 控制輸入下的誤差傳遞函數(shù) D=0擾動輸入下的誤差傳遞函數(shù)R=0兩個輸入量同時作用于系統(tǒng)時的誤差結構圖的等效變換 變換的原則：變換前后應保持信號等效。1 . 分支點后移2 . 分支點前移3 . 比較點后移4 .比較點前移5 .比較點互換或合并結構圖的簡化對于復雜系統(tǒng)的結構圖一般都有相互交叉的回環(huán),當需要確定系統(tǒng)的傳函時,就要根據(jù)結構圖的等效變換先解除回環(huán)的交叉,然后按方框的連接形式等效,

29、依次化簡。例2-16用結構圖化簡的方法求下圖所示系統(tǒng)傳遞函數(shù)。解：方法1方法2例2-17 用結構圖化簡的方法求下圖所示系統(tǒng)傳遞函數(shù)。解： 2-7 信號流圖及梅遜公式信號流圖的基本概念 1.定義：信號流圖是表示一組聯(lián)立線性代數(shù)方程的圖。先看最簡單的例子。有一線性系統(tǒng),它由下述方程式描述：x2=a12x1式中,為輸入信號；x2為輸出信號；a12為兩信號之間的傳輸。即輸出變量等于輸入變量乘上傳輸值。若從因果關系上來看,x1為因,x2為果。這種因果關系,可用下圖表示。下面通過一個例子,說明信號流圖是如何構成的。 設有一系統(tǒng),它由下列方程組描述：x2 = a12 x1 + a32x3x3 = a23 x

30、2 + a43 x4x4 = a24 x2 + a34 x3 + a44 x4x5 = a25 x2 + a45 x42.信號流圖的基本元素 節(jié)點：用來表示變量,用符號 O 表示,并在近旁標出所代表的變量。 支路：連接兩節(jié)點的定向線段,用符號表示。支路具有兩個特征：有向性限定了信號傳遞方向。支路方向就是信號傳遞的方向,用箭頭表示。有權性限定了輸入與輸出兩個變量之間的關系。支路的權用它近旁標出的傳輸值表示。 3.信號流圖的幾個術語輸入節(jié)點 只有輸出支路的節(jié)點,它代表系統(tǒng)的輸入變量。如圖中x1。 輸出節(jié)點 只有輸入支路的節(jié)點,它代表系統(tǒng)的輸出變量。如圖中x4。 混合節(jié)點既有輸入支路,又有輸出支路的

31、節(jié)點,如圖中x2、x3。通道從某一節(jié)點開始,沿著支路的箭頭方向連續(xù)經(jīng)過一些支路而終止在另一節(jié)點的路徑。用經(jīng)過的支路傳輸?shù)某朔e來表示。 開通道如果通道從某一節(jié)點開始,終止在另一節(jié)點上,而且通道中的每個節(jié)點只經(jīng)過一次。如a12a23閉通道 如果通道的終點就是起點的開通道。如a23 a32,a33 前向通道從源節(jié)點到匯節(jié)點的開通道。不接觸回路回路之間沒有公共的節(jié)點和支路。4.信號流圖的基本性質 信號流圖只能代表線性代數(shù)方程組。 節(jié)點標志系統(tǒng)的變量,表示所有流向該節(jié)點的信號之和；而從該節(jié)點流向各支路的信號,均用該節(jié)點變量表示。 信號在支路上沿箭頭單向傳遞,后一節(jié)點變量依賴于前一節(jié)點變量,即只有前因后果

32、的因果關系。 支路相當于乘法器,信號流經(jīng)支路時,被乘以支路增益而變換為另一信號。 對于給定的系統(tǒng),信號流圖不唯一。信號流圖的繪制方法1.直接法例2-18RLC電路如圖2-28所示,試畫出信號流圖解：列寫原始方程取拉氏變換,考慮初始條件：i,uc整理成因果關系畫出信號流圖如圖所示。2.翻譯法 例2-19 畫出下圖所示系統(tǒng)的信號流圖。 解：按照翻譯法可直接作出系統(tǒng)結構圖所對應的信號流圖。梅遜增益公式1.梅遜增益公式輸入輸出節(jié)點間總傳輸?shù)囊话闶綖槭街?P 總傳輸 ；n 從源節(jié)點至匯節(jié)點前向通道總數(shù)； Pk 第K條前向通路的傳輸； 信號流圖的特征式；k 余因子式例2-20 求圖所示系統(tǒng)的信號流圖輸入x

33、0至輸出x8的總傳輸G。解：信號流圖的組成：4個單回環(huán),一條前向通道 =1 + bidjfk P1 = abcdefgh 1 = 1 0 = 1例2-21已知系統(tǒng)的信號流圖如下,求輸入x1至輸出x2和x3的傳輸。解：單回路： ac,abd,gi,ghj, aegh兩兩互不接觸回路： ac與gi,ghj; abd與gi,ghjx1到x2的傳輸： P1 = 2ab 1 = 1 P2 = 3gfab 2 = 1 x1到x3的傳輸： P1 = 3 1 = 1 P2 = 2ae 2 = 1例2-22試求信號流圖中的傳遞函數(shù)C/R 。解：單回路：G1,G2,G3,G1G兩兩互不接觸回路: G1和G2,G1

34、和G3,G2和G3,G1G2和G三個互不接觸回路:G1,G2和G3前向通道：P1 = G1 G2G3 K P2 = G2G3 K 2 = 1 + GP3 = G3K 3 = 1 + G2 P4 = G2 G3 K 4 = 1 學習指導與小結1.基本要求通過本章學習,應該達到 正確理解數(shù)學模型的概念。 了解動態(tài)微分方程建立的一般方法。 掌握運用拉氏變換法解微分方程的方法,并理解解的結構、零輸入響應、零狀態(tài)響應等概念。 正確理解傳遞函數(shù)的定義、性質和意義。 正確理解系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)、閉環(huán)傳遞函數(shù)、前向通道傳遞函數(shù),并對重要傳遞函數(shù)如：控制輸入下閉環(huán)傳遞函數(shù)、擾動輸入下閉環(huán)傳遞函數(shù)、誤差傳遞函數(shù)、

35、典型環(huán)節(jié)傳遞函數(shù),能夠熟練掌握。 掌握系統(tǒng)結構圖的定義和組成方法,熟練掌握等效變換代數(shù)法則,簡化結構圖,并能用梅遜公式求系統(tǒng)傳遞函數(shù)。 2. 內容提要本章介紹了數(shù)學模型的建立方法。線性定常系統(tǒng)數(shù)學模型的形式,介紹了兩種解析式微分方程和傳遞函數(shù)和兩種圖解法結構圖和信號流圖,對于每一種形式的基本概念、基本建立方法及運算,用以下提要方式表示出來。微分方程式基本概念：物理、化學及專業(yè)上的基本定律中間變量的作用簡化性與準確性要求基本方法1.直接列寫法：原始方程組線性化消中間變量化標準形2轉換法：由傳遞函數(shù)微分方程式由結構圖傳遞函數(shù)微分方程由信號流圖傳遞函數(shù)微分方程傳遞函數(shù)基本概念1定義：線性定常系統(tǒng)零初

36、始條件一對確定的輸入輸出2典型環(huán)節(jié)：傳遞函數(shù)零極點分布圖單位階躍響應特性基本方法1定義法由微分方程傳遞函數(shù)2圖解法： 由結構圖化簡傳遞函數(shù)由信號流圖梅遜公式傳遞函數(shù)結構圖基本概念 數(shù)學模型結構的圖形表示可用代數(shù)法則進行等效變換結構圖基本元素方框、相加點、分支點、支路 基本方法 由原始方程組畫結構圖用代數(shù)法則簡化結構圖由梅遜公式直接求傳遞函數(shù)第三章 線性系統(tǒng)的時域分析法主要內容： 典型信號及其性能指標一節(jié)系統(tǒng)分析二階系統(tǒng)分析穩(wěn)定性分析穩(wěn)定性誤差分析 3.1典型輸入信號和時域指標分析和設計控制系統(tǒng)的首要工作是確定系統(tǒng)的數(shù)模,一旦獲得系統(tǒng)的數(shù)學模型,就可以采用幾種不同的方法去分析系統(tǒng)的性能。線性系統(tǒng)

37、：時序分析法,根軌跡法,頻域法非線性系統(tǒng)：描述函數(shù)法,相平面法采樣系統(tǒng)：z變換法多輸入多輸出系統(tǒng)：狀態(tài)空間法對線性系統(tǒng),時域分析法的要點是：建立數(shù)模微分方程式,傳遞函數(shù)選擇合適的輸入函數(shù)典型信號。取決于系統(tǒng)常見工作狀態(tài),同時,在所有的可能的輸入信號中,選取最不利的信號作為系統(tǒng)的典型輸入信號。求出系統(tǒng)輸出隨時間變化的關系C = GR c = L1C根據(jù)時間響應確定系統(tǒng)的性能,包括穩(wěn)定性快速性和準確性等方面指標,看這些指標是否符合生產(chǎn)工藝的要求。目前,常用的典型外作用有以下幾種：單位階躍函數(shù) ,其數(shù)學表達式為單位斜坡函數(shù) ,其數(shù)學表達式為單位脈沖函數(shù) ,其數(shù)學表達式為單位勻加速函數(shù)其數(shù)學表達式為正

38、弦函數(shù)其數(shù)學表達式為f = Asint 任何一個實際控制系統(tǒng)的時間響應,都由過渡過程和穩(wěn)態(tài)過程兩部分組成:過渡過程：系統(tǒng)從剛加入輸入信號后,到系統(tǒng)輸出量達到穩(wěn)態(tài)值前的響應過程,稱為過渡過程或動態(tài)過程。穩(wěn)態(tài)過程：時間 t 趨于無窮大時的響應過程,穩(wěn)態(tài)過程表征輸出量最復現(xiàn)輸入量的程度,用穩(wěn)態(tài)性能描述。衰減 發(fā)散 等幅振蕩 3.2 一階系統(tǒng)的時域分析凡是可用一階微分方程描述的系統(tǒng),稱為一階系統(tǒng)。TRC,時間常數(shù)。其典型結構圖及傳遞函數(shù)為：單位階躍響應當輸入信號r=1時,系統(tǒng)的響應c稱作其單位階躍響應。響應曲線在0,的時間區(qū)間中始終不會超過其穩(wěn)態(tài)值,把這樣的響應稱為非周期響應。一階系統(tǒng)響應具備兩個重要

39、的特點：可以用時間常數(shù)T去度量系統(tǒng)輸出量的數(shù)值。響應曲線的初始斜率等于1/T。一階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應指標調整時間ts定義：c 1 = 單位斜坡響應 r = t 穩(wěn)態(tài)響應是一個與輸入斜坡函數(shù)斜率相同但在時間上遲后了一個時間常數(shù)T的斜坡函數(shù)。表明過渡過程結束后,其穩(wěn)態(tài)輸出與單位斜坡輸入之間,在位置上仍有誤差,一般叫做跟蹤誤差。比較階躍響應曲線和斜坡響應曲線： 在階躍響應中,輸出量與輸入量之間的位置誤差隨時間而減小,最終趨于0,而在初始狀態(tài)下,位置誤差最大,響應曲線的斜率也最大； 在斜坡響應中,輸出量與輸入量之間的位置誤差隨時間而增大,最終趨于常值T,在初始狀態(tài)下,位置誤差和響應曲線的斜率均等于0。單位

40、脈沖響應 R=1它恰是系統(tǒng)的閉環(huán)傳函,這時輸出稱為脈沖響應函數(shù),以h標志。求系統(tǒng)閉環(huán)傳函提供了實驗方法,以單位脈沖輸入信號作用于系統(tǒng),測定出系統(tǒng)的單位脈沖響應,可以得到閉環(huán)傳函。對應線性定常系統(tǒng)的重要性質 1.當系統(tǒng)輸入信號為原來輸入信號的導數(shù)時,這時系統(tǒng)的輸出則為原來輸出的導數(shù)。 2. 在零初始條件下,當系統(tǒng)輸入信號為原來輸入信號時間的積分時,系統(tǒng)的輸出則為原來輸出對時間的積分,積分常數(shù)由零初始條件決定。3.3 二階系統(tǒng)的時域分析二階系統(tǒng)單位階躍響應1. 二階系統(tǒng)的數(shù)學模型標準化二階系統(tǒng)的結構圖為： 閉環(huán)傳遞函數(shù)為二階系統(tǒng)有兩個結構參數(shù) 和n。二階系統(tǒng)的性能分析和描述,都是用這兩個參數(shù)表示的

41、。例如RLC電路對于不同的二階系統(tǒng),阻尼比和無阻尼振蕩頻率的含義是不同的。2.二階系統(tǒng)的閉環(huán)極點二階系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程,即s 2 + 2n s + n2 = 0其兩個特征根為： 上述二階系統(tǒng)的特征根表達式中,隨著阻尼比的不同取值,特征根有不同類型的值,或者說在s平面上有不同的分布規(guī)律。分述如下： 1 時,特征根為一對不等值的負實根,位于s 平面的負實軸上,使得系統(tǒng)的響應表現(xiàn)為過阻尼的。 =1時,特征根為一對等值的負實根,位于s 平面的負實軸上,使得系統(tǒng)的響應表現(xiàn)為臨界阻尼的。 0 1 時,特征根為一對具有負實部的共軛復根,位于s平面的左半平面上,使得系統(tǒng)的響應表現(xiàn)為欠阻尼的。 = 0 時,特征

42、根為一對幅值相等的虛根,位于s平面的虛軸上,使得系統(tǒng)的響應表現(xiàn)為無阻尼的等幅振蕩過程。 0 時,特征根位于s平面的右半平面,使得系統(tǒng)的響應表現(xiàn)為幅值隨時間增加而發(fā)散。阻尼比取不同值時,二階系統(tǒng)根的分布3. 單位階躍響應由式,其輸出的拉氏變換為式中s1,s2是系統(tǒng)的兩個閉環(huán)特征根。對上式兩端取拉氏反變換,可以求出系統(tǒng)的單位階躍響應表達式。阻尼比在不同的范圍內取值時,二階系統(tǒng)的特征根在s 平面上的位置不同,二階系統(tǒng)的時間響應對應有不同的運動規(guī)律。下面分別加以討論。欠阻尼情況欠阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應由兩部分組成：穩(wěn)態(tài)分量為1,表明系統(tǒng)在1作用下不存在穩(wěn)態(tài)位置誤差；瞬態(tài)響應是阻尼正弦項,其振蕩頻率

43、為阻尼振蕩頻率,而其幅值則按指數(shù)曲線衰減,兩者均由參數(shù)和n決定。無阻尼情況c = 1 cosnt 0 臨界阻尼情況 s1,2= n此時響應是穩(wěn)態(tài)值為1 的非周期上升過程,其變化率t = 0,變化率為0；t 0變化率為正,c 單調上升；t ,變化率趨于0。整個過程不出現(xiàn)振蕩。過阻尼情況響應特性包含兩個單調衰減的指數(shù)項,且它們的代數(shù)和不會超過1,因而響應是非振蕩的。不同于一階系統(tǒng)欠阻尼二階系統(tǒng)的動態(tài)性能指標用tr , tp , p , ts四個性能指標來衡量瞬態(tài)響應的好壞。 上升時間tr：從零上升至第一次到達穩(wěn)態(tài)值所需的時間,是系統(tǒng)響應速度的一種度量。tr越小,響應越快。 峰值時間tp：響應超過穩(wěn)

44、態(tài)值,到達第一個峰值所需的時間。 超調量p：響應曲線偏離階躍曲線最大值,用百分比表示。p只是的函數(shù),其大小與自然頻率n無關。 = 0.2 p = 52.7% = 0.4 p = 25.4% = 0.6p = 9.5% = 0.707 p = 4.3% p 調節(jié)時間ts：響應曲線衰減到與穩(wěn)態(tài)值之差不超過5%所需要的時間。c c c 工程上,當0.1 0.9 時,通常用下列二式近似計算調節(jié)時間。 = 5% = 2% 例3-1單位負反饋隨動系統(tǒng)如圖所示 確定系統(tǒng)特征參數(shù)與實際參數(shù)的關系。 若K = 16、T = 0.25,試計算系統(tǒng)的動態(tài)性能指標。解: 系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為與典型二階系統(tǒng)比較可得：K

45、/T= n2 1/T = 2n K = 16,T = 0.25時例3-2 已知單位負反饋系統(tǒng)的單位階躍響應曲線如圖所示,試求系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)。解：由系統(tǒng)的單位階躍響應曲線,直接求出超調量和峰值時間。p= 30% tp= 0.1求解上述二式,得到 = 0.357,n= 33.6 。于是二階系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為二階系統(tǒng)性能的改善1. 誤差的比例微分控制具有誤差比例微分控制的二階系統(tǒng)如圖所示系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為閉環(huán)傳遞函數(shù)為式中d為系統(tǒng)的有效阻尼比。 上式表明,比例微分控制的二階系統(tǒng)不改變系統(tǒng)的自然頻率,但是可以增大系統(tǒng)的有效阻尼比以抑制振蕩。此時,相當于為系統(tǒng)增加了一個閉環(huán)零點。若令Z=1/Td

46、,上式可以表示為比例微分控制的二階系統(tǒng)有時稱為有零點的二階系統(tǒng)。與沒有零點的二階系統(tǒng)相比,超調量會增大一些。c1 有零點的二階系統(tǒng)。 c 沒有零點的二階系統(tǒng)。2.輸出量的速度反饋控制系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：式中 為系統(tǒng)的有效阻尼比。 顯然,輸出量的速度反饋控制也可以在不改變系統(tǒng)的自然頻率基礎上,增大系統(tǒng)的有效阻尼比,減小超調量。與比例微分控制不同的是,輸出量的速度反饋控制沒有附加零點的影響,兩者對系統(tǒng)動態(tài)性能的改善程度是不同的。3.兩種控制方案的比較都為系統(tǒng)提供了一個參數(shù)選擇的自由度,兼顧了系統(tǒng)響應的快速性和平穩(wěn)性。但是,二者改善系統(tǒng)性能的機理及其應用場合是不同的。簡述如下：微分控制的附加阻尼作

47、用產(chǎn)生于系統(tǒng)輸入端誤差信號的變化率,而速度反饋控制的附加阻尼作用來源于系統(tǒng)輸出量的變化率。微分控制為系統(tǒng)提供了一個實零點,可以縮短系統(tǒng)的初始響應時間,但在相同阻尼程度下,將比速度反饋控制產(chǎn)生更大的階躍響應超調量。 比例控制位于系統(tǒng)的輸入端,微分作用對輸入噪聲有明顯的放大作用。當輸入端噪聲嚴重時,不宜選用比例微分控制。同時,由于微分器的輸入信號是低能量的誤差信號,要求比例微分控制具有足夠的放大作用,為了不明顯惡化信噪比,需選用高質量的前置放大器。輸出速度反饋控制,是從高能量的輸出端向低能量的輸入端傳遞信號,無需增設放大器,并對輸入端噪聲有濾波作用,適合于任何輸出可測的控制場合。 3.4高階系統(tǒng)的

48、時域分析高階系統(tǒng)的階躍響應控制系統(tǒng)的基本結構如圖所示。其閉環(huán)傳遞函數(shù)為G,H 一般是復變量s 的多項式之比,故上式可記為根據(jù)能量的有限性,分子多項式的階次m不高于分母多項式的階次n。對上式進行因式分解,可以表示為式中0 k 1 。即系統(tǒng)有q 個實極點和r 對共軛復數(shù)極點。取拉氏變換,并設全部初始條件為零,得到系統(tǒng)單位階躍響應的時間表達式：式中；k =arccos k ；Ak、Bk是與C在對應閉環(huán)極點上的留數(shù)有關的常數(shù)。上式表明,如果系統(tǒng)的所有閉環(huán)極點都具有負實部,系統(tǒng)時間響應的各暫態(tài)分量都將隨時間的增長而趨近于零,這時稱高階系統(tǒng)是穩(wěn)定的。閉環(huán)主導極點 1高階系統(tǒng)瞬態(tài)響應各分量的衰減快慢由pi

49、,kn決定,也即閉環(huán)極點負實部的絕對值越大,相應的分量衰減越快。 2各分量所對應的系數(shù)由系統(tǒng)的零極點分布決定。當某一極點越靠近零點,而遠離其他極點和原點,則相應系數(shù)越小,該瞬態(tài)分量的影響就越??；當某一極點遠離零點,越靠近其他極點和原點,則相應系數(shù)越大,該瞬態(tài)分量的影響就越大；一個零點和一個極點距離非常近,把這一對零極點稱為偶極子。3系統(tǒng)的零極點共同決定了系統(tǒng)瞬態(tài)響應曲線的形狀。根據(jù)上述,把系數(shù)很小的分量,遠離虛軸衰減很快的分量常常忽略,高階系統(tǒng)就可用低階系統(tǒng)來近似估計。4對系統(tǒng)瞬態(tài)響應起主導作用的極點,稱為主導極點。應用閉環(huán)主導極點的概念,可以把一些高階系統(tǒng)近似為一階或二階系統(tǒng),以實現(xiàn)對高階系

50、統(tǒng)動態(tài)性能的近似評估。 一般情況,高階系統(tǒng)具有振蕩性,所以主導極點常常是一對共軛復數(shù)極點。找到了一對共軛復數(shù)極點,高階系統(tǒng)的動態(tài)性能就可以應用二階系統(tǒng)的性能指標來近似估計。例3-3 已知閉環(huán)傳遞函數(shù)為 ,試求階躍響應。解：c = 1 1.1et + 0.11e10t1 1.1et主導極點是s = 1 ,這時系統(tǒng)傳遞函數(shù)近似為例3-4 已知閉環(huán)傳遞函數(shù)為 ,試求階躍響應。解：c = 1 0.22et 0.78e10t1零點不影響系統(tǒng)動態(tài)響應分量的個數(shù),也不影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性；2零點改變了系統(tǒng)動態(tài)響應的形狀；3過渡過程要快。零點起微分加快作用。零極點分布對系統(tǒng)動態(tài)響應的影響: 1極點決定系統(tǒng)固有運動

51、屬性。2零點決定運動模態(tài)的比重。 3若閉環(huán)零、極點離虛軸較遠,則對系統(tǒng)的動態(tài)性能影響不大。反之,則影響較大。 4增加閉環(huán)零點,將會提高系統(tǒng)的響應速度。閉環(huán)零點越靠近虛軸,這種作用將會越顯著。 5增加閉環(huán)極點,將會延緩系統(tǒng)的動態(tài)響應,也即響應速度變慢。且離虛軸愈近,其作用愈顯著。 3.5 線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析穩(wěn)定的概念和線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件如果系統(tǒng)受到有界擾動,不論擾動引起的初始偏差有多大,當擾動取消后,系統(tǒng)都能以足夠的準確度恢復到初始平衡狀態(tài),則這種系統(tǒng)稱為大范圍穩(wěn)定的系統(tǒng)；如果系統(tǒng)受到有界擾動,只有當擾動引起的初始偏差小于某一范圍時,系統(tǒng)才能在取消擾動后恢復到初始平衡狀態(tài),否則就不能恢復到

52、初始平衡狀態(tài),則稱為小范圍穩(wěn)定的系統(tǒng)。對于穩(wěn)定的線性系統(tǒng),它必然在大范圍內和小范圍內都能穩(wěn)定,只有非線性系統(tǒng)才可能有小范圍穩(wěn)定而大范圍不穩(wěn)定的情況。 線性控制系統(tǒng)穩(wěn)定性的定義如下：若線性控制系統(tǒng)在初始擾動的影響下,其過渡過程隨著時間的推移逐漸衰減并趨向于零,則稱系統(tǒng)為穩(wěn)定。反之,則為不穩(wěn)定。 線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性只取決于系統(tǒng)自身固有特性,而與輸入信號無關。 根據(jù)定義輸入,其輸出為脈沖過渡函數(shù)g。如果當t時,g收斂到原來的平衡點,即有那么,線性系統(tǒng)是穩(wěn)定的。不失一般性,設n 階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的所有根都具有負實部,或者說,閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點均位于s左半平

53、面不包括虛軸。 根據(jù)穩(wěn)定的充要條件決定系統(tǒng)的穩(wěn)定性,必須知道系統(tǒng)特征根的全部符號。如果能解出全部根,則立即可判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。然而對于高階系統(tǒng),求根的工作量很大,常常希望使用一種直接判斷根是否全在s左半平面的代替方法,下面就介紹勞斯代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)。線性系統(tǒng)的代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)首先給出系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件：設線性系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為式中,a0 0 , sii =1,2 , , n是系統(tǒng)的n個閉環(huán)極點。根據(jù)代數(shù)方程的基本理論,下列關系式成立：從上式可以導出,系統(tǒng)特征根都具有負實部的必要條件為： ai aj 0 即閉環(huán)特征方程各項同號且不缺項。如果特征方程不滿足上式的條件,系統(tǒng)必然非漸近穩(wěn)定。但滿足上式,還不

54、能確定一定是穩(wěn)定的,因為上式僅是必要條件。下面給現(xiàn)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件。 1. 勞斯判據(jù)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：該方程式的全部系數(shù)為正,且由該方程式作出的勞斯表中第一列全部元素都要是正的；勞斯表中第一列元素符號改變的次數(shù),等于相應特征方程式位于右半s平面上根的個數(shù)。勞斯表見PPT。表中: 最左一列元素按s 的冪次排列,由高到低,只起標識作用,不參與計算。第一,二行元素,直接用特征方程式的元素填入。從第三行起各元素,是根據(jù)前二行的元素計算得到。2.勞斯判據(jù)的應用判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性例3-5 設有下列特征方程D = s4+2s3 +3s2 + 4s + 5 = 0試用勞斯判據(jù)判別該特征方程的正實部根的

55、數(shù)目。解：勞斯表見PPT第一列元素符號改變了2次,系統(tǒng)不穩(wěn)定,且s 右半平面有2個根。例3-6 系統(tǒng)的特征方程為 D = s3 3s + 2 = 0試用勞斯判據(jù)確定正實數(shù)根的個數(shù)。解：系統(tǒng)的勞斯表為見PPT第一種特殊情況：勞斯表中某行的第一列元素為零,而其余各項不為零,或不全為零。對此情況,可作如下處理： 用一個很小的正數(shù)來代替第一列為零的項,從而使勞斯表繼續(xù)下去。 可用因子s+a乘以原特征方程,其中a可為任意正數(shù),再對新的特征方程應用勞斯判據(jù)。0+時,b1 0,勞斯表中第一列元素符號改變了兩次系統(tǒng)有兩個正根,不穩(wěn)定。 s+3乘以原特征方程,得新的特征方程為：D1= D = s4+ 3s3 3s2 7s + 6 = 0例