矩陣的初等變換與初等方陣

1、第五節(jié) 矩陣的初等變換與初等方陣線性代數(shù)1引例一、消元法解線性方程組求解線性方程組分析：用消元法解下列方程組的過程2解3用“回代”的方法求出解：4于是解得（2）5小結(jié)：1上述解方程組的方法稱為消元法 2始終把方程組看作一個整體變形，用到如下三種變換（1）交換方程次序；（2）以不等于的數(shù)乘某個方程；（3）一個方程加上另一個方程的k倍（與相互替換）（以替換）（以替換）63上述三種變換都是可逆的由于三種變換都是可逆的，所以變換前的方程組與變換后的方程組是同解的故這三種變換是同解變換7因為在上述變換過程中，僅僅只對方程組的系數(shù)和常數(shù)進(jìn)行運算，未知量并未參與運算若記則對方程組的變換完全可以轉(zhuǎn)換為對矩陣B

2、(方程組（1）的增廣矩陣）的變換8定義1下面三種變換稱為矩陣的初等行變換:二、矩陣的初等變換9定義2 矩陣的初等列變換與初等行變換統(tǒng)稱為初等變換 同理可定義矩陣的初等列變換(所用記號是把“r”換成“c”)10等價關(guān)系的性質(zhì)：11定義由單位矩陣E經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣稱為初等方陣。我們對n階單位矩陣E施行三種初等變換得到以下三類n階初等方陣。12()交換E的第i,j兩行(列)(i j)，得到的初等方陣記為i行j行i列j列13()用非零常數(shù)k乘以E的第i行(列)，得到的初等方陣記為i行(k0).i列14()將E的第j行的k倍加到第i行上（或第i列的k倍加到第j列上）(ij)，得到的初等方陣記為

3、i行j行i列j列15將E的第i行的k倍加到第j行上（或第j列的k倍加到第i列上）(ij)，得到的初等方陣記為i行j行i列j列見書中例（P64）,注意P，D，T分別代表不同運算16定理： （1）Pij左（右）乘A就是互換A的第i行（列）和第j（列）。 （2）Di左（右）乘A就是用非零數(shù)k乘A的第行（列） 。 （3）Tij左乘A就是把A中第j行的k倍加到第i行。 （4）Tij右乘A就是把A中第i列的k倍加到第j列。（行左列右）見書中例1（P65）17定理： 任意一個mn的矩陣A，一定可以經(jīng)過有限次初等行變換和初等列變換化成如下形式的mn矩陣：這是一個分塊矩陣，其中Er為r階單位矩陣，而其余子塊都是

4、零塊矩陣。 稱 為A的等價標(biāo)準(zhǔn)形。注意：方法可以多種多樣，但等價標(biāo)準(zhǔn)形只有一個。見書中例2（P65）18定理： 任意一個mn的矩陣A，一定存在m階可逆矩陣P和n階可逆矩陣Q，使得證明見書（P66）19定理： n階方陣A是可逆矩陣的 存在可逆矩陣P,Q使得PAQ=En(即A等價于單位矩陣) A可以寫成若干個初等方陣的乘積。設(shè)A是n階可逆矩陣。構(gòu)造分塊矩陣（A,En），它是n 2n矩陣。則存在n階可逆矩陣P使PA=En，即P=A-1，而且有 P(A,En)=(PA,P)=(En,A-1).這就是用初等行變換求逆矩陣的公式。20具體方法： 用初等行變換把n 2n矩陣(A,En)化成(En,A-1)，

5、當(dāng)(A,En)的左半部分化為單位矩陣En時，右半部分就是A-1了。如果前n列不可能化為單位矩陣，則說明A不是可逆矩陣。注意，用初等行變換方法求逆矩陣時，不能同時用初等列變換！而且在求出A-1以后，最好驗證式子AA-1=En，以避免在計算中可能發(fā)生的錯誤。見書中例3（P67）212.5.5用矩陣的初等變換求解矩陣方程常見矩陣方程有以下兩類：(1)設(shè)A是n階可逆矩陣，B是mn矩陣，求出矩陣X滿足AX=B。原理：如果找到n階可逆矩陣P使PA=En，則P=A-1，而且有P(A,B)=(PA,PB)=(En,A-1B).上式右邊矩陣的最后m列組成的矩陣就是X，即X= A-1B.方法：用初等行變換把分塊矩陣(A,B)化成(En,A-1B)，即 (A,B) (En,A-1B)。見書中例4（P68）22(2)設(shè)A是n階可逆矩陣，B是mn矩陣，求出矩陣X滿足XA=B。方法：用初等行變換把 (AT,BT)化成(En, (BA-1) T)，可求出XT= (BA-1) T. 具體過程： (A T,B T) (En,X T)。見書中例5（P69）23三、小結(jié)1.初等行(列)變換初等變換的逆變換仍為初等變換, 且變換類型相同3.矩陣等價具有的性質(zhì)2.初等變換241. 單位矩陣 初等矩陣.一次