動量定理文理

1、動量定理文理第1頁，共33頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)36分，星期一10 1 動量與沖量一. 質(zhì)點(diǎn)系的動量由重心坐標(biāo)公式(見p99式 (3 29 )定義式:可寫成一矢量表達(dá)式:(參見p99式 (3 27 )2第2頁，共33頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)36分，星期一此式為質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心的位矢表達(dá)式兩邊同時對時間t求導(dǎo)可得:或質(zhì)點(diǎn)系的動量還可以用質(zhì)心的速度與總質(zhì)量的乘積來度量.3第3頁，共33頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)36分，星期一l例1.圖示均質(zhì)物體, 質(zhì)量皆為m, 試問各物體的動量大小為多少?例2. 求系統(tǒng)的動量. 已知 OA = l , AB = L, 輪子的半徑為R ,

2、且作純滾動. 三者都為均質(zhì)且質(zhì)量皆為 m . 在圖示瞬時, OA 桿的角速度為 .解: 首先求出各物體質(zhì)心的速度.動量方向水平向左三個物體的質(zhì)心速度的方向相同.動量的矢量和轉(zhuǎn)化為代數(shù)和.OAB4第4頁，共33頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)36分，星期一ACBOC1例3. 圖示橢圓規(guī)尺AB的質(zhì)量為2m1 ,曲柄OC的質(zhì)量為m1, 而滑塊A和B的質(zhì)量皆為m2. 已知: OC = AC = CB = l ; 曲柄和尺的質(zhì)心分別在其中點(diǎn)上; 曲柄繞O軸以勻角速轉(zhuǎn)動.開始時曲柄水平向右,求此時系統(tǒng)的動量.解1. 建立坐標(biāo)如圖xy圖示位置, AB規(guī)尺的動量曲柄OC的動量滑塊A的動量滑塊B的動量5第5頁

3、，共33頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)36分，星期一ACBOC1xy圖示位置, AB規(guī)尺的動量曲柄OC的動量滑塊A的動量滑塊B的動量系統(tǒng)的動量:6第6頁，共33頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)36分，星期一解2. 建立坐標(biāo)系求質(zhì)心.ACBOC1xy7第7頁，共33頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)36分，星期一xyACBOC18第8頁，共33頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)36分，星期一ACBOC1解3. C 點(diǎn)不僅是AB 桿的質(zhì)心, 同時也是AB 桿和A 、 B 物塊組成的系統(tǒng)的質(zhì)心. 而C1 是OC桿的質(zhì)心. 它們的方向是相同的, 都垂直于OC桿(方向與VC的方向相同).系統(tǒng)的動量

4、大小為9第9頁，共33頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)36分，星期一二. 沖量沖量是力的時間積累, 一般表示為:沖量是矢量, 可沿直角坐標(biāo)軸分解為三個分量對于常力矢 ,中學(xué)我們已知, 沖量是物體動量改變的度量.判斷下述說法是否正確?在某段時間內(nèi), 沖量為零, 則物體所受的力為零?在某段時間內(nèi), 物體所受的力為零, 則沖量為零.沖量可沿自然坐標(biāo)軸分解嗎? 即可以有的積分式?10第10頁，共33頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)36分，星期一10 2 動量定理設(shè)有一質(zhì)點(diǎn)系mi i = 1、2、3、4 n對于系統(tǒng)內(nèi)任意一質(zhì)點(diǎn)mi ,動量定理可寫成:對于整個質(zhì)點(diǎn)系, 動量定理可寫成:微分號和求和號交

5、換后可有:11第11頁，共33頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)36分，星期一此五式均是動量定理的不同的導(dǎo)數(shù)形式亦稱質(zhì)心運(yùn)動定理任何系統(tǒng)的內(nèi)力之和恒為零, 所以有:對于封閉的質(zhì)量系統(tǒng), (1)式可寫成:將動量用總質(zhì)量與質(zhì)心速度的乘積表示, 則(1)式變?yōu)?還可以寫成最一般的形式:12第12頁，共33頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)36分，星期一 1. 公式 (1) (2) (3) (4) (5) 的力學(xué)意義是等價的, 適用于不同形式的力學(xué)系統(tǒng). 其中( 3) (4) 兩式也稱為質(zhì)心運(yùn)動定理.此五個公式是動量定理的導(dǎo)數(shù)形式, 在本課程中最常用. 還有相應(yīng)的積分形式. ( 見書上P248 )幾點(diǎn)

6、說明:4. 動量定理是矢量定理, 在具體用到相應(yīng)的公式時一般用的是其投影形式. 最常用的是直角坐標(biāo)系下的投影.( 見書上P248)2. 稱為外力系的主矢量, 前面的五個公式說明力學(xué)系統(tǒng)動量的變化只與外力系的主矢量有關(guān). 兩個主矢相同的力學(xué)并不一定是等效力系,但是它們對同一力學(xué)系統(tǒng)動量的影響卻是相同的. 13第13頁，共33頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)36分，星期一例4.電動機(jī)的外殼固定在水平基礎(chǔ)上 , 定子的質(zhì)量為m1 , 轉(zhuǎn)子的質(zhì)量為m2 .設(shè)定子的質(zhì)心位于轉(zhuǎn)軸的中心O1 , 而轉(zhuǎn)子的質(zhì)心O2 由于制造的誤差到O1 的距離為e . 已知轉(zhuǎn)子以勻角速度 轉(zhuǎn)動 , 求基礎(chǔ)的支座反力 . 解

7、: 取系統(tǒng)分析其受力與運(yùn)動如圖示 , 建立O1 xy 坐標(biāo)系( 與靜系固連 ) . : (1) 本題求出的 Fx 和 Fy 只是地腳螺栓和地面對基礎(chǔ)底座作用力的等 效力. (2) 即使有未知的約束力偶, 本題不可能求得. 動量定理的式子里不會 出現(xiàn)力偶或力矩.O1O2xy14第14頁，共33頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)36分，星期一建立坐標(biāo)系O1 xy 如圖示 O1O2xy用質(zhì)心運(yùn)動定理求解: 由質(zhì)心坐標(biāo)公式:由質(zhì)心運(yùn)動定理:15第15頁，共33頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)36分，星期一例5. 重為P1 的物塊A 沿傾角為 重量為W 的斜面下滑, 通過滑輪及繩索帶動重為P2 的物塊

8、B 運(yùn)動. 略去各處摩擦, 不計(jì)滑輪和繩索的重量 求: 物塊運(yùn)動時, 臺階和地面對斜面的約束反力.解a2 a1 P1WP2由動力學(xué)基本方程聯(lián)立(1) 、(2)由 隔離法 可求得:分別取A、B 物塊16第16頁，共33頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)36分，星期一a2 a1 P1WP2xya2 a1 P1WP2在x 方向投影得:再取系統(tǒng)分析系統(tǒng)的受力及運(yùn)動情況如圖示在y 方向投影得:17第17頁，共33頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)36分，星期一例6. 均質(zhì)桿OA = 2l , 重P , 繞過O 端的水平軸在豎直面內(nèi)轉(zhuǎn)動. 設(shè)轉(zhuǎn)動到 與水平成 角時其角速度與角加速度分別為 與 .求: 此時

9、OA 桿在O 端的約束反力.COA解: 取桿分析其運(yùn)動和受力. OAC將O 點(diǎn)的未知力沿質(zhì)心運(yùn)動的切向和法向分解. 由已知條件可知, 質(zhì)心加速度為 法向投影為:由質(zhì)心運(yùn)動定理 切向投影為:18第18頁，共33頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)36分，星期一103 質(zhì)點(diǎn)系動量守恒 , 質(zhì)心運(yùn)動守恒.如果一質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)的外力系的主矢等于零, (不可說外力系為零)則系統(tǒng)的動量保持為一常矢量.或系統(tǒng)的質(zhì)心的速度為一常矢.如果一質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)的外力系的主矢在某一方向上的投影為零 , 則系統(tǒng)的動量在此方向上的投影保持為一常量.或系統(tǒng)的質(zhì)心的速度在此方向上的投影不變 .: 在什么情況下用動量定理? (1)求剛體尤其剛

10、體系統(tǒng)或質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)的約束反力及線加速度問題. (2) 守恒條件下的速度 、位移和運(yùn)動軌跡問題. 質(zhì)心運(yùn)動守恒是系統(tǒng)的動量守恒的另一種描述. 在動量守恒的質(zhì)量系統(tǒng)中,系統(tǒng)內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的動量可以有變化, 但系統(tǒng)的總動量是不變的, 或者說, 系統(tǒng)的質(zhì)量中心的速度是不變的.19第19頁，共33頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)36分，星期一例7. (書上例10 3) 物塊A 的質(zhì)量為 mA , 可沿光滑水平面自由滑動. 小球B的質(zhì)量為mB , 以不計(jì)質(zhì)量的細(xì)桿與之固連, 細(xì)桿的另一頭鉸接在物塊A上, 桿長為L . 初始時系統(tǒng)靜止并有初始角0 . 釋放后, 細(xì)桿以 = 0 cost 的規(guī)律擺動 ( 是常數(shù))求:

11、 物塊A的最大速度.解: 水平方向上系統(tǒng)的動量守恒. LBA 任何時候在水平方向上都有:又由(1) 、(2)20第20頁，共33頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)36分，星期一例8. (書上 習(xí) 10 4 ) 均質(zhì)桿AB = L , 直立于光滑的水平面上. 求它從鉛直位置無 初速地倒下時 , 端點(diǎn)A的運(yùn)動軌跡.OCxy從鉛垂位置倒下后, 任意時刻都有:任意時刻, A點(diǎn)的坐標(biāo)可表示成:二式聯(lián)立消去后可得:A點(diǎn)的運(yùn)動軌跡是橢圓曲線.AB21第21頁，共33頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)36分，星期一例9. 一質(zhì)量為210 kg 的小船靜止地靠在岸邊附近. 船頭站立一人, 質(zhì)量70 kg . 此

12、人目測自己離岸邊的距離為0.8m, 于是便采取了如下的方法上岸: 先將身體的重心前傾 0.4m, 然后邁腿前跨0.4m. 結(jié)果他卻踏入水中. 假如他目測的距離是正確的. 船在 水中的阻力忽略不計(jì). 求他跨入水中時, 腳離岸邊的距離.解:人船系統(tǒng)質(zhì)心在水平方向守恒xy答: 此人跨人水中, 腳離岸邊有0.1m. 質(zhì)心水平坐標(biāo)值在系統(tǒng)變化中是一常數(shù).建立坐標(biāo)如圖示22第22頁，共33頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)36分，星期一例10. (習(xí) 10 11 ) 均質(zhì)桿AG與BG由相同的材料制成, 在G點(diǎn)鉸接, 二桿位于同一鉛垂面內(nèi), 如圖示. AG = 250mm, BG = 400mm. 若GG1

13、 = 240mm時, 系統(tǒng)由靜止釋放. 求當(dāng)A、B、G在同一直線上時, A與B兩端點(diǎn)各自移動的距離.解: 建立坐標(biāo)系如圖示由已知條件, 相關(guān)尺寸如圖由均質(zhì), 不妨設(shè)mAG = 250 個單位 mGB= 400個單位 由水平方向質(zhì)心坐標(biāo)守恒可得:設(shè)A點(diǎn)向左移動 x 距離B點(diǎn)的位移為:23第23頁，共33頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)36分，星期一又解: 建立過質(zhì)心的坐標(biāo)系如圖示設(shè)質(zhì)心橫坐標(biāo)為零, 運(yùn)動過程中系統(tǒng)的質(zhì)心橫坐標(biāo)守恒由系統(tǒng)為均質(zhì)桿系 , 在成水平狀態(tài)時或24第24頁，共33頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)36分，星期一例11. (書上例10 5 ) 均質(zhì)曲柄AB = r , 質(zhì)量

14、為m1 , 設(shè)受某力偶作用以不變的角速度轉(zhuǎn)動, 并帶動滑槽連桿以及與它固連的活塞D. 已知滑槽連桿及活塞組合體總質(zhì)量為m2 , 質(zhì)心為C , 且C點(diǎn)到滑槽中心線距離為b. 不計(jì)摩擦及滑塊B的質(zhì)量, 求作用在曲柄軸A處的最大水平約束力Fx .xyDCAB解: 建立坐標(biāo)如圖示 , 考察質(zhì)心的運(yùn)動 由質(zhì)心坐標(biāo)公式由質(zhì)心運(yùn)動定理在x 方向的投影:25第25頁，共33頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)36分，星期一xyDCAB另解: 先求系統(tǒng)各部件的質(zhì)心加速度例11. (書上例10 5 ) 均質(zhì)曲柄AB = r , 質(zhì)量為m1 , 設(shè)受某力偶作用以不變的角速度轉(zhuǎn)動, 并帶動滑槽連桿以及與它固連的活塞D.

15、 已知滑槽連桿及活塞組合體總質(zhì)量為m2 , 質(zhì)心為C , 且C點(diǎn)到滑槽中心線距離為b. 不計(jì)摩擦及滑塊B的質(zhì)量, 求作用在曲柄軸A處的最大水平約束力Fx .滑槽連桿及活塞組合體質(zhì)心運(yùn)動方程為由系統(tǒng)的動量定理:沿水平方向投影26第26頁，共33頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)36分，星期一質(zhì)心運(yùn)動定理和某些常見的力學(xué)現(xiàn)象: 高射炮打飛機(jī), 炮彈是在空中爆炸的. 炮彈出膛后應(yīng)是一拋物線的運(yùn)動軌跡, 原因是外力只有重力, 爆炸后, 彈片的飛行方向是四面八方的, 但是只要沒有彈片落地或擊中其他物體, 炮彈的質(zhì)心運(yùn)動軌跡仍然是既定的拋物線. 爆破山石時, 土石碎塊向各處飛落, 在尚無碎石落地之前, 其

16、質(zhì)心的運(yùn)動軌跡是與拋射質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動軌跡是一樣的, 定向爆破時, 可以 根據(jù)質(zhì)心的運(yùn)動軌跡, 預(yù)先估計(jì)出大部分土石塊堆落的地方.質(zhì)心運(yùn)動定理和動力學(xué)基本定律: 質(zhì)心運(yùn)動定理和動力學(xué)基本方程的數(shù)學(xué)表達(dá)式很相似, 但是它們描述的物理現(xiàn)象并不相同.動力學(xué)基本方程是描述一個質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的,表示是質(zhì)點(diǎn)所受到的合力;表示是質(zhì)點(diǎn)系所受到的外力系的矢量和(主矢)是描述質(zhì)點(diǎn)系或剛體的質(zhì)心運(yùn)動運(yùn)動的,質(zhì)心運(yùn)動定理27第27頁，共33頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)36分，星期一定常流動的, 不可壓縮流體上的動約束力問題. 我們可以想象: 一段管中的流體如果進(jìn)口速度與出口速度不相等, ( 即使進(jìn)出口的速率相等但是管道是彎

17、曲的, 則二者的速度仍不等. ) 表明這一段流體內(nèi)產(chǎn)生了加速度. 有加速度必有力作用在流體上. 這力就是管壁作用在流體上的附加動約束力. 如果流體是不可壓縮的且定常流動的, 我們便可通過動量定理 得到相應(yīng)的計(jì)算公式 : 其中, qv為流體單位時間流過的體積, 即是流量. 是流體的密度. 的附加動約束力或是附加動約束力的主矢量.分別為進(jìn)出口的速度, 是作用在流體上引起流體速度變化28第28頁，共33頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)36分，星期一取一段液體分析, 如圖所示:設(shè)t時刻此段液體的動量為t + t 時刻的動量為在t 時間內(nèi)動量的改變量為:由定常流動可知:的動量不改變所以有:29第29頁，共33頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)36分，星期一所以有:由于不可壓縮, 則有:于是應(yīng)有由動量定理可得:由于靜力系統(tǒng)的平衡, 所以, 最后可得:30第30頁，共33頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)36分，星期一例12. (習(xí)10 15) 垂直于薄板的水柱流經(jīng)薄板時被薄板截為兩部分, 如圖示.一部分的流量為qv1 = 7L/s (