解三角形的實際應(yīng)用問題

1、解三角形的實際應(yīng)用問題教學(xué)目標：1通過實際問題，鞏固正弦定理和余弦定理在解三角形中的應(yīng)用。 2培養(yǎng)學(xué)生運用所學(xué)的知識，建立數(shù)學(xué)模型，解決實際問題的能力。 3培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力和創(chuàng)造能力。教學(xué)重點：建立數(shù)學(xué)模型，解決實際問題。教學(xué)難點：如何將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題。教學(xué)內(nèi)容：一、復(fù)習(xí) 已知ABC的三個內(nèi)角A，B，C對應(yīng)的三邊長分別為a，b，c， 則正弦定理：（其中R為ABC外接圓的半徑） 余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA b2=a2+c2-2accosB c2=a2+b2-2abcosC二、引入 人們在日常生活中，有時候需要測量一個無法攀登的物體的高度，又不可能一直走到要測量的物體

2、的下面；或是要測量中間隔著障礙物的兩物體之間的距離；或是在航行過程中為達到某一目的要確定航向等等。很多的問題都要借助三角形來解決。因此，三角函數(shù)是在解決實際問題的過程中發(fā)展起來的，同時，它又大量應(yīng)用于實際問題之中。三、實際問題問題1：河的對岸有一建筑物AB，一人位于河的另一側(cè)，手中有一個測角器和一 個測量長度的皮尺，請你設(shè)計一種測量方案（不允許過河），并給出計算 建筑物AB高度的公式。準備工作：（1）我們可以通過構(gòu)造幾何圖形，測量其中的一些邊的長度和角的大 小，來計算我們需要的邊長。當然三角形是最簡單的構(gòu)圖。 （2）在設(shè)計時要注意實際測量的可行性和最簡性。 （3）在這里，我們忽略測量儀器本身的

3、高度。（分組討論，請同學(xué)上講臺講解設(shè)計的方案）BAC D 方案1：在河的一邊取兩點C、BAC D 底部的中心在同一直線上，側(cè)得CD=a， BCA=a，BDA=b，設(shè)AB=x，則AC與 AD都能用x表示，由AD-AC=a，可求得x 解：設(shè)AB=x，則在RtBAC中，AC=ABctg， AD=ABctg，AC-AD=(ctg-ctg)x=a， x=。（此方案學(xué)生最容易想到，計算也最方便，但要指出此方法在測量上有一定的難度，要保證A、C、D三點共線。如果在對岸任意方向上定一條線，測出它的長度，能否計算出AB的高度？）BACD 方案2：在河的一邊取兩點C、BACD 不過A點，測得CD=a，ACD=a，

4、ADC=b, ACB=g，先求出AC，再求AB。 解：在ACD中，由正弦定理得 ， 又在RtBAC中，AB=ACtg（由于C D邊方向的任意性，CD與A B不共面，因此構(gòu)成一個空間圖形，較簡單的空間圖形是三棱錐。對于底面三角形，只能測出一條邊和兩個角，因此要用正弦定理解此三角形。）AB DCAB DC 物的頂端的仰角為a，又測得建筑物在 河中的倒影的頂端的俯角為b。 解：設(shè)建筑物高為h，河面寬為b，則 btga=h-a，btgb=h+a，消去b得 AABDPO2O1C 方案4：在河的另一側(cè)P處有一可攀登的建筑物 （如樓房），則可在同一垂線上選兩個測 量點C、D，從C、D兩點分別測得建筑物 頂端

5、的仰角為a和b，PC=a，CD=b。 解：設(shè)AB=x，BO1=AB-PC=APtga， 即x-a=APtga, BO2=AB-CD-PC=APtgb， 即x-b-a=APtgb，消去AP得， ， (tg-tg)x=btg+atg-atg， （以上方案備用，具體情況視學(xué)生當時的情況而定。）問題2：隔河可看到兩目標A、B，但不能到達，設(shè)計求AB兩地間距離的方法。分析：如果在、B目標的對岸選定一個點，由于無法測量長度，將無法計算AB的 距離。因此至少要選定兩個點，構(gòu)造四邊形。方案：在岸邊選取C、D兩點，測得CD=a，ACB=a，BCD=b，ADC=g， BDA=q， A B D A B D C ，

6、即，得BC= 在ACD中，由正弦定理得， 得AC=， 在ACB中，由余弦定理得A BC D AB2=AC2+BC2-2ACBCcosA BC D 有學(xué)生這樣設(shè)計：在A、B目標的對岸選定兩點，使BDC=ACD=900，這樣就構(gòu)成矩形，CD的長度就是AB的長度。粗看覺得挺有道理，設(shè)計簡單，計算方便，但是沒有注意到這里已用到了CAB=DBA=900的條件，這在選定C、D時，是無法保證的。如圖所示。因此要注意方案的可行性。問題3：追擊走私船的最佳路線背景資料： 最近汕頭海關(guān)查獲了有關(guān)舊汽車切割件走私的案件。由于舊汽車的來源廣、成本低、利潤高、市場需求大，不法分子將走私進口的切割汽車重新焊接組裝、翻新后

7、，在國內(nèi)一些二手車市場倒賣牟取暴利。再者，制造進口汽車零配件的價格仍較高，國內(nèi)市場有一定的需求量，利欲熏心的人在維修汽車的過程中用從切割汽車中拆下的零配件以舊充新，以次充好，蒙騙消費者。 所以打擊走私是我國一項十分必要的任務(wù)，在與鄰國相接的海岸線上，活躍著一大批共和國衛(wèi)士，他們與走私犯罪分子斗智斗勇，為共和國的國門筑起一道鋼鐵長城。具體問題：巡邏艇在雷達屏幕上發(fā)現(xiàn)在南偏西200，5千米的洋面上有一條走私 船，它正以20千米/小時的速度向南偏東400的方向逃走，已知巡邏艇 的最大巡航速度為30千米/小時，并假設(shè)走私船在逃走時航速與航向均 不改變，試確定一個追擊走私船的最佳方案。分析：解決此問題的

8、關(guān)鍵是建立直角坐標系，以巡邏艇所在位置A為原點，走私 船在點B的位置，設(shè)巡邏艇在C處追上走私船，問題就是設(shè)計巡邏艇的航 向，使巡邏艇和走私船會合于C處。北東北東200B400A 200400 BA C解：在DABC中，AB=5，AC=30t，BC=20t, ABC=1800-200-400=1200， 由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2ABBCcosABC， 即 (30t)2=52+(20t)2-2520tcos1200， 即20t2-4t-1=0，得正數(shù)根, t0.345小時20.7分鐘。 由正弦定理得即 sinBAC=，BAC35.270， 35.270-200=15.27015015

9、。 巡邏艇沿南偏東15015的方向,大約經(jīng)過20分42秒能追上走私船。小結(jié)：要解決實際問題，需將它轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，建立數(shù)學(xué)模型。今天我們學(xué)的 是構(gòu)造三角形或四邊形，通過正弦定理或余弦定理，計算一些邊的長度或角 的大小，以解決實際問題。 在設(shè)計方案時，應(yīng)以簡便、合理為原則。MAMANB S1：如圖，AM、BN都表示正北方向，某船在海上 以每小時40海里的速度從A向B處航行，已知 MAB=148，且船在2小時后到達B處，S處 有一燈塔，當船A處測得MAS=103，在B 處測得NBS=73，求此時船與燈塔S的距 離BS（精確到0.1海里）2、一船在A處向北偏西30的方向以每小時30海里 的速度航行，

10、 一個燈塔原在船在北偏東15，經(jīng)過40分鐘后，船在B處，燈塔M在船的北 偏東45，求船和燈塔原來的距離（精確到0.01）。3、在與水平方向成角的 斜坡上有一建筑物AD，從B、C測得AD的張角依次為，g，又BC=1， 求此建筑物的高度。DA C B 4、觀測站C在城A的南20DA C B 有一條公路，走向是南偏東40。在C處測得距C 為31km的公路上B處有一人正沿著公路向A城走 去，走了20km后，到達D處，此時C，D間的距離 21km，問這人還需走多少距離到達A城。教學(xué)反思東格致中學(xué) 許穎整堂課，設(shè)計了三個例題。例一是請學(xué)生設(shè)計如何測量一個不能直接測量的某物體的高度的方案，例二是請學(xué)生設(shè)計如

11、何測量兩個不能直接測量的物體之間的距離，例三是是一道追擊走私船的問題，請同學(xué)們設(shè)計最佳追擊方案。三道例題都要應(yīng)用解三角形的基本定理，但由于是實際問題，首先要把這些問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，這是本節(jié)課的一個重點，同時，本課的三道例題都是采用開放性的方案設(shè)計形式，學(xué)生成了整節(jié)課的主體。我先請同學(xué)們分組討論，然后由學(xué)生上臺講解，從畫示意圖，到方案的設(shè)計，最后如何計算的出結(jié)論，都由學(xué)生自主完成，而我在一旁起到一個點撥的作用。整個課堂氣氛相當活躍，同學(xué)們的設(shè)計方案各不相同，在例一的解答過程中，有一個學(xué)生畫了一個示意圖： A 同學(xué)們開始都覺得很奇怪，為什么要在三角形下面多 一個矩形？我請大家思考一下，他這樣設(shè)計

12、在實際測 C 量中有什么意義？不久，很多學(xué)生都領(lǐng)悟到了他的設(shè) D B 計的合理性，原來他是考慮到了人的高度，我再進 一步指出其實測量儀本身也有高度，這些都是我們在實際測量過程中需要考慮的問題，但由于這個高度是固定的，其實我們只要在最后加上這個高度就可以了。同時我也表揚了這位愛動腦筋的同學(xué)。在例二的設(shè)計方案中，我發(fā)現(xiàn)有好幾組學(xué)生都采用了同樣的一個錯誤的設(shè)計方案，于是我就把這個設(shè)計方案演示給大家： A B 其中的一組設(shè)計的同學(xué)這樣解釋：我們要得到A、B之間的 距離，我們只要在河的對岸取C、D兩點，使ACCD， BDCD，這樣就得到一個矩形，于是AB之間的距離就是 C D CD間的距離。我沒有馬上否

13、定這種方案，而是請大家一起來驗證這種方案的可行性：問：“首先要成為矩形的條件是什么？”答：“有三個角是直角的四邊形?！眴枺骸澳芊裢ㄟ^測量工具使這些角成為直角？”于是我們一個一個來驗證，同學(xué)們都認為可以用測角器使C和D成為直角，但在使A或B成為直角的問題上出現(xiàn)了分歧，有學(xué)生說，“題目的條件告訴我們，隔河有A、B兩物體，因此根本不能保證A或B成為直角?！眴栴}終于解決了，為了更形象，我給出了一個反面的示意圖： A B 最后小結(jié)：我們在設(shè)計測量方案的過程中，一定要 注意方案的可行性。C D本課的設(shè)計力求為學(xué)生創(chuàng)設(shè)主動學(xué)習(xí)的教學(xué)環(huán)境，把課堂還給學(xué)生，讓學(xué)生自己探究，互相學(xué)習(xí)，獲取知識。在整個實施過程中，有下面幾點想法： 這是一堂關(guān)于三角函數(shù)的實際應(yīng)用問題，在課堂上雖然是實施了讓學(xué)生主動設(shè)計方案，自主探索的教學(xué)形式，但畢竟還只是紙上談兵。如果能帶領(lǐng)學(xué)生走出課堂，親身體驗實地測量的過程，應(yīng)該對學(xué)習(xí)是很