版高中數(shù)列常見解法

1、數(shù)列解方法一、基知：數(shù)列的定數(shù)列的有關觀點數(shù)數(shù)列數(shù)列的統(tǒng)統(tǒng)數(shù)列與函數(shù)的關系等差數(shù)列的定等比數(shù)列的定等差數(shù)列的通等比數(shù)列的通等比數(shù)列等差數(shù)列等差數(shù)列的性等比數(shù)列的性等差數(shù)列的前n等比數(shù)列的前n數(shù)列：1數(shù)列、的觀點：按必定序次擺列的一列數(shù)，叫做數(shù)列，此中的每一個數(shù)叫做數(shù)列的2數(shù)列的的性：有序性；確立性；可重復性3數(shù)列的表示：往常用字母加右下角表示數(shù)列的，此中右下角表示的地點序號，所以數(shù)列的一般形式能夠寫成a1，a2，a3，an，（），作an此中an是數(shù)列的第n，列表法、象法、符號法、列法、分析法、公式法（通公式、推公式、乞降公式）都是表示數(shù)列的方法4數(shù)列的一般性：性；周期性5數(shù)列的分：按的數(shù)目分：

2、有數(shù)列、無數(shù)列；按相的大小關系分：增數(shù)列、減數(shù)列、常數(shù)列、數(shù)列、其余；按的化律分：等差數(shù)列、等比數(shù)列、其余；按的化范分：有界數(shù)列、無界數(shù)列6數(shù)列的通公式：假如數(shù)列an的第nan與它的序號n之的函數(shù)關系能夠用一個公式an=f（n）（nN或其有限子集1，2，3，n）來表示，那么個公式叫+做個數(shù)列的通公式數(shù)列的是指數(shù)列中一個確立的數(shù)，是函數(shù)，而序號是指數(shù)列中的地點，是自量的由通公式可知數(shù)列的象是散點，點的橫坐是的序號，坐是各的不是全部的數(shù)列都有通公式，數(shù)列的通公式在形式上未必獨一7數(shù)列的推公式：假如已知數(shù)列an的第一（或前幾），且任一an與它的前一an-1（或前幾a，an-2，）關系能夠用一個公式a

3、=f（an1）（n=2，3，）n-1n（或an=f（an1,an2）(n=3，4，5，)，）來表示，那么個公式叫做個數(shù)列的推公式n8數(shù)列的乞降公式：Sn表示數(shù)列an和前n和，即Sn=ai=a1+a2+an，假如Sn與數(shù)n之的函數(shù)關系能夠用一個公式i1S=f（n）（n=1，2，3，）來表示，那么n個公式叫做個數(shù)列的乞降公式9通公式與乞降公式的關系：通公式an與乞降公式Sn的關系可表示：anS1(n1)SnSn1(n2)等差數(shù)列與等比數(shù)列：等差數(shù)列等比數(shù)列文一般地，假如一個數(shù)列從第二起，每一與一般地，假如一個數(shù)列從第二起，每一字與它的前一的比是同一個常數(shù)，那么個它的前一的差是同一個常數(shù)，那么個數(shù)列

4、定數(shù)列就叫等比數(shù)列，個常數(shù)叫等比數(shù)列的就叫等差數(shù)列，個常數(shù)叫等差數(shù)列的公差。公比。符an1andan1q(q0)號an定增數(shù)列：分減數(shù)列：常數(shù)數(shù)列：增數(shù)列：a10，q1或a10，0q1d0d減數(shù)列：a10，q1或a10，0q10d數(shù)列：q00常數(shù)數(shù)列：q1通ana1(n1)dpnqam(nm)dana1qn1amqnm此中d（q0）pd,qa1前Sn(a1an)nan(n1)dpn2qnn212n項d,qa1d和此中p22中a,b,c成等差的充要條件:2bac項等和性：等差數(shù)列an若mnpq則amanapaq主推論：若mn2p則aman2ap要性ankank2an質a1ana2an1a3an2

5、即：首尾顛倒相加，則和相等1、等差數(shù)列中連續(xù)m項的和，構成的新數(shù)列是等差數(shù)列。即：sm,s2msm,s3ms2m,等差，公差為m2d則有s3m3(s2msm)其2、從等差數(shù)列中抽取等距離的項構成的數(shù)列是一個等差數(shù)列。如：a1,a4,a7,a10,（下標成等差數(shù)列）3、an,bn等差，則a2n，a2n1，kanb，panqbn也等差。4、等差數(shù)列an的通項公式是n的一次函數(shù)，即：andnc(d0)等差數(shù)列a的前n項和公式是一個沒有常n數(shù)項的n的二次函數(shù)，即：SnAn2Bn(d0)5、項數(shù)為奇數(shù)2n1的等差數(shù)列有：Sna1(1qn)(q1)1qna1(q1)a,b,c成等比的必需不充分條件：b2a

6、c等積性：等比數(shù)列an若mnpq則amanapaq推論：若mn2p則aman(ap)2akank(an)2na1ana2an1a3an2即：首尾顛倒相乘，則積相等1、等比數(shù)列中連續(xù)項的和，構成的新數(shù)列是等比數(shù)列。即：sm,s2msm,s3ms2m,等比，公比為qm。、從等比數(shù)列中抽取等距離的項構成的數(shù)列是一個等比數(shù)列。如：a1,a4,a7,a10,（下標成等差數(shù)列）3、an,bn等比，則a2n，a2n1，kan也等比。此中k04、等比數(shù)列的通項公式近似于n的指數(shù)函數(shù)，na1即：ancq，此中cq等比數(shù)列的前n項和公式是一個平移加振幅的n的指數(shù)函數(shù)，即：sncqnc(q1)5、等比數(shù)列中連續(xù)同樣

7、項數(shù)的積構成的新數(shù)列是等比數(shù)列。s奇ns奇s偶ana中s偶n1性s2n1(2n1)an項數(shù)為偶數(shù)2n的等差數(shù)列有：s奇an，ssnds偶an偶奇1s2nn(anan1)質m,amn則amn06、ansnsm則smn0(nm)snm,smn則smn(mn)證明一個數(shù)列為等差數(shù)列的方法：證明1、定義法：an1and(常數(shù))方法2、中項法：an1an12an(n2)設三數(shù)等差：ad,a,ad元技四數(shù)等差：a3d,ad,ad,a3d巧證明一個數(shù)列為等比數(shù)列的方法：1、定義法：an1q(常數(shù))an2、中項法：20)an1an1（an）(n2,an三數(shù)等比：a,a,aq或a,aq,aq2q四數(shù)等比：a,a

8、q,aq2,aq31、若數(shù)列an是等差數(shù)列，則數(shù)列Can是等比數(shù)列，公比為Cd，此中C是常數(shù)，d是an的公差。聯(lián)系是等比數(shù)列，且an0，則數(shù)列l(wèi)ogalogaq，此中2、若數(shù)列aa是等差數(shù)列，公差為nna是常數(shù)且a0,a1，q是an的公比。數(shù)列的項an與前n項和Sn的關系：ans1(n1)snsn1(n2)數(shù)列乞降的常用方法：1、拆項分組法：即把每一項拆成幾項，從頭組合分紅幾組，轉變?yōu)樘貏e數(shù)列乞降。2、錯項相減法：合用于差比數(shù)列（假如an等差，bn等比，那么anbn叫做差比數(shù)列）即把每一項都乘以bn的公比q，向后錯一項，再對應同次項相減，轉變?yōu)榈缺葦?shù)列乞降。3、裂項相消法：即把每一項都拆成正負

9、兩項，使其正負抵消，只余有限幾項，可乞降。合用于數(shù)列1和1（此中an等差）anan1anan1可裂項為：11(11)，an11(an1an)anan1danan1an1d等差數(shù)列前n項和的最值問題：1、若等差數(shù)列an的首項a10，公差d0，則前n項和Sn有最大值。（）若已知通項an，則Sn最大an0；an01（）若已知Snpn2qn，則當n取最湊近q的非零自然數(shù)時Sn最大；2p2、若等差數(shù)列an的首項a10，公差d0，則前n項和Sn有最小值（）若已知通項an，則Sn最小an0；an01（）若已知Snpn2qn，則當n取最湊近q的非零自然數(shù)時Sn最??；2p數(shù)列通項的求法：公式法：等差數(shù)列通項公式

10、；等比數(shù)列通項公式。已知Sn（即a1a2Lanf(n)）求an，用作差法：anS1,(n1)。SnSn1,(n2)f(1),(n1)已知a1ga2gLganf(n)求an，用作商法：af(n)。nf(n1),(n2)已知條件中既有Sn還有an，有時先求Sn，再求an；有時也可直接求an。若an1anf(n)求an用累加法：an(anan1)(an1an2)L(a2a1)a1(n2)。已知an1f(n)求an，用累乘法：ananan1La2a1(n2)。anan1an2a1已知遞推關系求an，用結構法（結構等差、等比數(shù)列）。特別地，（1）形如ankan1b、ankan1bn（k,b為常數(shù)）的遞推

11、數(shù)列都能夠用待定系數(shù)法轉變?yōu)楣葹閗的等比數(shù)列后，再求an；形如ankan1kn的遞推數(shù)列都能夠除以kn獲得一個等差數(shù)列后，再求an。（2）形如anan1的遞推數(shù)列都能夠用倒數(shù)法求通項。kan1b（3）形如an1ank的遞推數(shù)列都能夠用對數(shù)法求通項。（8）碰到an1an1d或an1q時，分奇數(shù)項偶數(shù)項議論，結果可能是分段形式an1數(shù)列乞降的常用方法：1）公式法：等差數(shù)列乞降公式；等比數(shù)列乞降公式。2）分組乞降法：在直接運用公式法乞降有困難時，常將“和式”中“同類項”先歸并在一同，再運用公式法乞降。3）倒序相加法：若和式中到首尾距離相等的兩項和有其共性或數(shù)列的通項與組合數(shù)有關系，則?？煽紤]采用倒

12、序相加法，發(fā)揮其共性的作用乞降（這也是等差數(shù)列前n和公式的推導方法）.（4）錯位相減法：假如數(shù)列的通項是由一個等差數(shù)列的通項與一個等比數(shù)列的通項相乘構成，那么常采用錯位相減法（這也是等比數(shù)列前n和公式的推導方法）.5）裂項相消法：假如數(shù)列的通項可“分裂成兩項差”的形式，且相鄰項分裂后有關系，那么常采用裂項相消法乞降.常用裂項形式有：11)11；11(1n1)；n(nnn1n(nk)knk111(11)，1111111；k2k212k1k1kk1(k1)kk2(k1)kk1k1111；n11；n(n2)1)2)(n1)!n!(n1)(n2n(n(n1)(n1)!2(n1n)2122(nn1)nn

13、1nnn1二、解題方法：求數(shù)列通項公式的常用方法：1、公式法2、由Sn求an（n，a1S，n2，anSnSn1）113、求差（商）法如：an足1a11a21an2n512222n解：n1，1a1215，a1142n，1a11a21an12n15222222n112得：1nan22an2n1an14(n1)2n1(n2)練習數(shù)列an足SnSn15an1，a14，求an3、疊乘法比如：數(shù)列a中，a，an1n，求ann13n1an解：a2a3an12n1，an1a1a2an123na1n又a13，an3n5、等差型遞推公式由anan1f(n)，a1a0，求an，用迭加法n2，a2a1f(2)a3a2

14、f(3)兩相加，得：anan1f(n)ana1f(2)f(3)f(n)ana0f(2)f(3)f(n)練習數(shù)列an，a11，an3n1an1n2，求an6、等比型遞推公式ancan1dc、d常數(shù)，c0，c1，d0可化等比數(shù)列，anxcan1xancan1c1x令(c1)xd，xdc1and是首a1d，c公比的等比數(shù)列cc11anda1dcn1c1c1ana1cdcn1d11c練習數(shù)列an足a19，aan4，求an3n17、倒數(shù)法比如：a1，a2an，求an1n12an由已知得：1an211an12an2an111an1an21為等差數(shù)列，1，公差為1ana1211n111n1an22an2n1數(shù)列前n項和的常用方法：1、公式法：等差、等比前n項和公式2、裂項法：把數(shù)列各項拆成兩項或多項之和，使之出現(xiàn)成對互為相反數(shù)的項。an是公差d的等差數(shù)列，求n1如：k1akak1解：由11111akak1akakddakd0ak1n1n11akak11dkk11da111da111akak111111a2a2a3anan11an1練習111乞降：1123123n12、錯位相減法：若an等差數(shù)列，bn等比數(shù)列，求數(shù)