牛吃草問題分析

1、第13講：牛吃草問題分析偉大的科學(xué)家牛頓著的普通算術(shù)一書中有這樣一道題：“12頭牛4周吃牧草31格爾，同樣的牧草，21頭牛9周吃10格爾。問24格爾牧草多少牛吃18 3周吃完?！保ǜ駹栆灰荒翀雒娣e單位），以后人們稱這類問題為“牛頓問題”的牛 吃草問題。非和題題1牧場上有一片牧草,可以供27頭牛吃6周，供23頭牛吃9周,如果每天牧草生長的 速度相同,那么這片牧草可以供21頭牛吃幾周？【思路導(dǎo)航】這片牧場上的牧草的數(shù)量每天在變化。解題的關(guān)鍵應(yīng)找到不變量 即原來的牧草數(shù)量。因?yàn)榭偛萘靠梢苑殖蓛刹糠郑涸械牟菖c新長出 的草。新長出的草雖然在變，但應(yīng)注意到它是勻速生長的，因而這片 牧場每天新長出飛草的數(shù)

2、量也是不變的。【詳細(xì)解答】設(shè)每頭牛每星期的吃草量為1.27頭牛6個(gè)星期的吃草量為27X 6=162,這既包括牧場上原有的草,也包括6個(gè)星期長的草.23頭牛9個(gè)星期的吃草量為23X9= 207,這既包括牧場上原有的草,也包括9個(gè)星期長的草.因?yàn)槟翀錾显械牟萘恳欢?，所以上面兩式的?07-162=45正好是9個(gè)星期生長的草量與6個(gè)星期生長的草量的差.由此可以求出每星期草的生長量是45-C9-6） =15.牧場上原有的草量是162-15 X 6=72,或207-15X9= 72.前面已假定每頭牛每星期的吃草量為1,而每星期新長的草量為15,因此新長出的草可供15頭牛吃.今要放牧21頭牛,還余下21

3、-15=6頭牛要吃牧場上原有的草，這牧場上原有的草量夠6頭牛吃幾個(gè)星期，就是21頭牛吃完牧場上草的時(shí)間.726二12 （星期）.也就是說，放牧21頭牛,12個(gè)星期可以把牧場上的草吃光?！绢}后反思】“牛吃草”題目特征：題目表述為以一定的速度勻速增長，同時(shí)又以 另一速度被均勻消耗?！芭３圆荨眴栴}因?yàn)槲粗獢?shù)很多，但是各個(gè)量存在比例關(guān)系，我們可 以設(shè)牛每天吃草的數(shù)量為1份，巧妙地解決了未知數(shù)煩多的問題，這種方法也叫做設(shè)“1” 法。非常練習(xí)1：-片草地，每天都勻速長出青草，如果可供24頭牛吃6天，或20頭牛吃10天， 那么可供18頭牛吃幾天？一塊草地上的草以均勻的速度生長，如果20只羊5天可以將草地上的

4、草和新長 出的草全部吃光，而14只羊則要10天吃光。那么想用4天的時(shí)間，把這塊草地 的草吃光，需要多少只羊。畫展9時(shí)開門，但早有人來排隊(duì)等候入場。從第一個(gè)觀眾來到時(shí)起，每分鐘來 的觀眾人數(shù)一樣多。如果開3個(gè)入場口，9點(diǎn)9分就不再有人排隊(duì)了，那么第一 個(gè)觀眾到達(dá)的時(shí)間是8點(diǎn)幾分？非常感悟1我們要能夠?qū)Ρ葪l件，把問題轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的“牛吃草”問題,進(jìn)而選擇適當(dāng)?shù)牧吭O(shè)為1份。非常例題2一艘船出現(xiàn)了一個(gè)漏洞，水以均勻的速度進(jìn)入船艙，當(dāng)船員發(fā)現(xiàn)的時(shí)候，艙內(nèi)已經(jīng) 灌進(jìn)了一些水.如果用12人來舀水，3小時(shí)可以舀完；如果用5人來舀水，10小 時(shí)可以舀完.現(xiàn)在要求2小時(shí)把水舀完，需要多少人來舀？【思路導(dǎo)航】在這道題

5、中，“總的草量”變成了 “已經(jīng)灌進(jìn)了一些水的總量”，“草” 變成了 “漏進(jìn)的水”，“牛”變成了 “舀出的水”，所以也可以看成 是“牛吃草”問題來解答?！驹敿?xì)解答】假設(shè)每人每小時(shí)可以舀1份水，則船每小時(shí)漏水：(5X10-12X3)(10-3) =147=2 (份)；船艙里原有的水有：5 X 10-2 X 10=50-20=30 (份)；現(xiàn)在要求2小時(shí)把水舀完，需要：(30+2X2)2=17 (人)；答：現(xiàn)在要求2小時(shí)把水舀完，需要17人來舀.也就是說，放牧21頭牛,12個(gè)星期可以把牧場上的草吃光?！绢}后反思】典型的“牛吃草”問題，找出“?！焙汀安荨笔墙忸}的關(guān)鍵。非常練習(xí)2：一水池中原有一些水，裝

6、有一根進(jìn)水管，若干根抽水管。進(jìn)水管不斷進(jìn)水，若 用24根抽水管抽水，6小時(shí)可以把池中的水抽干，那么用16根抽水管，多少小 時(shí)可將可將水池中的水抽干？經(jīng)測算，地球上的資源可供100億人生活100年，或可供80億人生活300年。 假設(shè)地球新生成的資源增長速度是一樣的。那么，為了滿足人類不斷發(fā)展的要求, 地球最多只能養(yǎng)活多少億人。某碼頭剖不斷有貨輪卸下貨物，又不斷用汽車把貨物運(yùn)走，如用9輛汽車，12 小時(shí)可以把它們運(yùn)完，如果用8輛汽車，16小時(shí)可以把它們運(yùn)完。如果開始只 用3輛汽車，10小時(shí)后增加若干輛，再過4小時(shí)也能運(yùn)完，那么后來增加的汽 車是多少輛？非常感悟2： “牛吃草”問題的特點(diǎn)是隨時(shí)間的增

7、長，所研究的量也等量地增加。解答時(shí), 要抓住這個(gè)關(guān)鍵問題，也就是要求出原來的量和每天增加的量各是多少。非常例題3：有三塊草地，面積分別為5,6,和8公頃.草地上的草一樣厚，而且長得一樣快.第一 塊草薦地可供11頭牛吃10天，第二塊草地可供12頭牛吃14天.問第三塊草地可供 19頭牛吃多少天?第三塊草地吃14天可供多少頭牛？【思路導(dǎo)航】由題目可知，這是三塊面積不同的草地，為了解決這個(gè)問題，首先要 將這三塊草地的面積統(tǒng)一起來?！驹敿?xì)解答】由題意5公頃草可供11頭牛吃10天， 我們可以推出30公頃草可以供66頭牛吃10天. 同樣第二塊6公頃可供12頭牛吃14天， 即可以認(rèn)為30公頃可供60頭吃14天

8、.我們假設(shè)1頭牛1周吃一個(gè)單位的草，所以在(14-10)天內(nèi)草場上的增長量是60 x14-66x10=180個(gè)單位， 所以1天草場的增長量為180-4=45個(gè)單位.由此我們可以計(jì)算出30公頃的草場上原來有66x10-10 x45=210個(gè)單 位的草.從而有8公頃的草場上原來有210 x (8-30) =56個(gè)單位的草， 8公頃的草場1天草地增量為45x (8-30) =12個(gè)單位.綜上所述，在8公頃的草場上可供19頭牛吃：56-(19-12) =8天 最后一問8公頃的草場1天草地增量為12單位， 14天共14x12=168單位；加上原來56單位，共224個(gè)單位，除以14天，等于16頭牛 【題后反思】有時(shí)候注意整體與局部量之間的關(guān)系，可以使得思考更加簡便。非常練習(xí)31. 一片牧草，每天生長速度相同.現(xiàn)在這片牧草可供16頭牛吃20天,或者供80只羊 吃12天.如果一頭牛的吃草量相當(dāng)于4只羊的吃草量，那么10頭牛和60只羊一 起吃多少天？2. 一個(gè)牧場，草每天勻速生長，1頭牛1天