高等數(shù)學(xué)課件：2-8導(dǎo)數(shù)的概念

1、第八節(jié) 第二章 一、實(shí)例分析二、導(dǎo)數(shù)的概念四、導(dǎo)數(shù)的幾何意義五、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系三、利用定義求導(dǎo)數(shù)舉例導(dǎo)數(shù)的概念 一、 實(shí)例分析1. 變速直線運(yùn)動(dòng)中某時(shí)刻的瞬時(shí)速度問(wèn)題設(shè)描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)位置的函數(shù)為則 到 的平均速度為而在 時(shí)刻的瞬時(shí)速度為2. 曲線的切線問(wèn)題曲線在 M 點(diǎn)處的切線割線 M N 的極限位置 M T(當(dāng) 時(shí))割線 M N 的斜率切線 MT 的斜率兩個(gè)問(wèn)題的共性 :瞬時(shí)速度切線斜率所求量為函數(shù)增量與自變量增量之比的極限 .類似問(wèn)題還有:加速度角速度線密度電流強(qiáng)度是速度增量與時(shí)間增量之比的極限是轉(zhuǎn)角增量與時(shí)間增量之比的極限是質(zhì)量增量與長(zhǎng)度增量之比的極限是電量增量與時(shí)間增量之比的極限變化率

2、問(wèn)題二、導(dǎo)數(shù)的概念1. 定義2.1 設(shè)函數(shù)y = f (x) 在 x0 的某鄰域 U(x0)內(nèi)有定義.若(1)存在,則稱函數(shù)在點(diǎn) x0 處可導(dǎo), 并稱此極限值為 y = f (x)在點(diǎn) x0 處的導(dǎo)數(shù)，記作也可記作:注1 若極限(1)不存在，此時(shí)，導(dǎo)數(shù)不存在；曲線上對(duì)應(yīng)點(diǎn)有垂直于x 軸的切線.則稱 f (x)在點(diǎn) x0 處不可導(dǎo). 特別地，在點(diǎn) x0 處的導(dǎo)數(shù)為無(wú)窮大 .2導(dǎo)數(shù)的其它形式3運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的位置函數(shù)在 時(shí)刻的瞬時(shí)速度曲線在 M 點(diǎn)處的此外在經(jīng)濟(jì)學(xué)中,邊際成本率, 邊際勞動(dòng)生產(chǎn)率和邊際稅率等，從數(shù)學(xué)角度看就是導(dǎo)數(shù).切線斜率例1(1)解(2)解2. 單側(cè)導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)右 鄰域內(nèi)有定義,(左

3、)設(shè)函數(shù)若極限 則稱此極限為存在,在點(diǎn) x0 處的右導(dǎo)數(shù).(左)3. 可導(dǎo)的充要條件定理 證因?yàn)?定理成立.解例24. 區(qū)間上可導(dǎo)若函數(shù) f (x) 在開(kāi)區(qū)間 I 內(nèi)每點(diǎn)都可導(dǎo),則稱函數(shù) f (x)在 I 內(nèi)可導(dǎo). 此時(shí)，對(duì)于任 一 xI ,都對(duì)應(yīng)著 f (x)的 一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù)值，所構(gòu)成的新函數(shù)稱為導(dǎo)函數(shù).記作若 f (x) 在開(kāi)區(qū)間 (a, b)內(nèi)可導(dǎo)，且及都存在，則稱 f (x) 在閉區(qū)間a, b上可導(dǎo).注一般地，如：xyO三、利用定義求導(dǎo)數(shù)舉例(C 為常數(shù)) 的導(dǎo)數(shù). 解即例3 求函數(shù)步驟:例4求函數(shù)解注一般地，對(duì)冪函數(shù)( 為常數(shù)) （以后將證明）例如，例5 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù). 解則即類似

4、可證得解則 當(dāng) h 0 時(shí),例6例7 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù). 解即四、導(dǎo)數(shù)的幾何意義曲線在點(diǎn)的切線斜率.若切線與 x 軸平行,稱為駐點(diǎn);若切線與 x 軸垂直 .曲線在點(diǎn)處的切線方程:法線方程:解例8一求切點(diǎn)二求斜率五、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系定理 證 設(shè)在點(diǎn) x 0處可導(dǎo),即其中從而故可導(dǎo)連續(xù)例9解xyO注1 問(wèn)：對(duì)于例9下面推導(dǎo)是否正確？為什么？答：不正確.錯(cuò)誤原因：2 討論分段函數(shù)在分段點(diǎn)的可導(dǎo)之步驟：(1) 先查分段點(diǎn)處的連續(xù)性. 若不連續(xù)，必不可導(dǎo). 若在分段點(diǎn)處連續(xù)，則需從導(dǎo)數(shù)定義出發(fā)，討 論分段點(diǎn)處的可導(dǎo)性.例10解例11解內(nèi)容小結(jié)1. 導(dǎo)數(shù)的實(shí)質(zhì):3. 導(dǎo)數(shù)的幾何意義:4. 可導(dǎo)必連續(xù), 但連續(xù)

5、不一定可導(dǎo);5. 已學(xué)求導(dǎo)公式 :6. 判斷可導(dǎo)性不連續(xù), 一定不可導(dǎo).直接用導(dǎo)數(shù)定義;看左右導(dǎo)數(shù)是否存在且相等.2. 增量之比的極限;切線的斜率;？思考題1.解()下述方法是否正確？反例見(jiàn)例2:()答：不一定.反例見(jiàn)例2.2.3. 函數(shù) f (x) 在某點(diǎn) x0 處的導(dǎo)數(shù) f (x)區(qū)別:是函數(shù) ,是數(shù)值;聯(lián)系:注意:有什么區(qū)別與聯(lián)系 ?？與導(dǎo)函數(shù)若時(shí), 恒有問(wèn)是否在點(diǎn)處可導(dǎo)?解由題設(shè)由夾逼準(zhǔn)則故在點(diǎn)處可導(dǎo), 且4.備用題例1-1解解 因?yàn)樵O(shè)存在, 且求所以例1-2例1-3解例8-1 問(wèn)曲線上哪一點(diǎn)處的切線與直線平行 ? 寫(xiě)出其切線方程.解令得對(duì)應(yīng)平行.即其方程分別為例9-1解不存在例9-2解鉛直漸近線例9-3解解例9-4解例10-1分段點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)用定義求例10-2 設(shè), 問(wèn) a 取何值時(shí),處處存在