高等數(shù)學課件：2-8導數(shù)的概念

1、第八節(jié) 第二章 一、實例分析二、導數(shù)的概念四、導數(shù)的幾何意義五、可導與連續(xù)的關系三、利用定義求導數(shù)舉例導數(shù)的概念 一、 實例分析1. 變速直線運動中某時刻的瞬時速度問題設描述質(zhì)點運動位置的函數(shù)為則 到 的平均速度為而在 時刻的瞬時速度為2. 曲線的切線問題曲線在 M 點處的切線割線 M N 的極限位置 M T(當 時)割線 M N 的斜率切線 MT 的斜率兩個問題的共性 :瞬時速度切線斜率所求量為函數(shù)增量與自變量增量之比的極限 .類似問題還有:加速度角速度線密度電流強度是速度增量與時間增量之比的極限是轉(zhuǎn)角增量與時間增量之比的極限是質(zhì)量增量與長度增量之比的極限是電量增量與時間增量之比的極限變化率

2、問題二、導數(shù)的概念1. 定義2.1 設函數(shù)y = f (x) 在 x0 的某鄰域 U(x0)內(nèi)有定義.若(1)存在,則稱函數(shù)在點 x0 處可導, 并稱此極限值為 y = f (x)在點 x0 處的導數(shù)，記作也可記作:注1 若極限(1)不存在，此時，導數(shù)不存在；曲線上對應點有垂直于x 軸的切線.則稱 f (x)在點 x0 處不可導. 特別地，在點 x0 處的導數(shù)為無窮大 .2導數(shù)的其它形式3運動質(zhì)點的位置函數(shù)在 時刻的瞬時速度曲線在 M 點處的此外在經(jīng)濟學中,邊際成本率, 邊際勞動生產(chǎn)率和邊際稅率等，從數(shù)學角度看就是導數(shù).切線斜率例1(1)解(2)解2. 單側(cè)導數(shù)在點的某個右 鄰域內(nèi)有定義,(左

3、)設函數(shù)若極限 則稱此極限為存在,在點 x0 處的右導數(shù).(左)3. 可導的充要條件定理 證因為 定理成立.解例24. 區(qū)間上可導若函數(shù) f (x) 在開區(qū)間 I 內(nèi)每點都可導,則稱函數(shù) f (x)在 I 內(nèi)可導. 此時，對于任 一 xI ,都對應著 f (x)的 一個確定的導數(shù)值，所構(gòu)成的新函數(shù)稱為導函數(shù).記作若 f (x) 在開區(qū)間 (a, b)內(nèi)可導，且及都存在，則稱 f (x) 在閉區(qū)間a, b上可導.注一般地，如：xyO三、利用定義求導數(shù)舉例(C 為常數(shù)) 的導數(shù). 解即例3 求函數(shù)步驟:例4求函數(shù)解注一般地，對冪函數(shù)( 為常數(shù)) （以后將證明）例如，例5 求函數(shù)的導數(shù). 解則即類似

4、可證得解則 當 h 0 時,例6例7 求函數(shù)的導數(shù). 解即四、導數(shù)的幾何意義曲線在點的切線斜率.若切線與 x 軸平行,稱為駐點;若切線與 x 軸垂直 .曲線在點處的切線方程:法線方程:解例8一求切點二求斜率五、可導與連續(xù)的關系定理 證 設在點 x 0處可導,即其中從而故可導連續(xù)例9解xyO注1 問：對于例9下面推導是否正確？為什么？答：不正確.錯誤原因：2 討論分段函數(shù)在分段點的可導之步驟：(1) 先查分段點處的連續(xù)性. 若不連續(xù)，必不可導. 若在分段點處連續(xù)，則需從導數(shù)定義出發(fā)，討 論分段點處的可導性.例10解例11解內(nèi)容小結(jié)1. 導數(shù)的實質(zhì):3. 導數(shù)的幾何意義:4. 可導必連續(xù), 但連續(xù)

5、不一定可導;5. 已學求導公式 :6. 判斷可導性不連續(xù), 一定不可導.直接用導數(shù)定義;看左右導數(shù)是否存在且相等.2. 增量之比的極限;切線的斜率;？思考題1.解()下述方法是否正確？反例見例2:()答：不一定.反例見例2.2.3. 函數(shù) f (x) 在某點 x0 處的導數(shù) f (x)區(qū)別:是函數(shù) ,是數(shù)值;聯(lián)系:注意:有什么區(qū)別與聯(lián)系 ?？與導函數(shù)若時, 恒有問是否在點處可導?解由題設由夾逼準則故在點處可導, 且4.備用題例1-1解解 因為設存在, 且求所以例1-2例1-3解例8-1 問曲線上哪一點處的切線與直線平行 ? 寫出其切線方程.解令得對應平行.即其方程分別為例9-1解不存在例9-2解鉛直漸近線例9-3解解例9-4解例10-1分段點的導數(shù)用定義求例10-2 設, 問 a 取何值時,處處存在