中考教育數(shù)學(xué)壓軸題專題直角三角形邊角關(guān)系經(jīng)典綜合題

1、中考數(shù)學(xué)壓軸題專題直角三角形的邊角關(guān)系的經(jīng)典綜合題及答案一、直角三角形的邊角關(guān)系1如圖（9）所示（左圖為實(shí)景側(cè)視圖，右圖為安裝表示圖），在屋頂?shù)男逼旅嫔习惭b太陽能熱水器：先安裝支架AB和CD（均與水平面垂直），再將集熱板安裝在AD上.為使集熱板吸熱率更高，企業(yè)規(guī)定：AD與水平面夾角為1，且在水平線上的射影AF為1.4m.現(xiàn)已丈量出屋頂斜面與水平面夾角為2，并已知tan11.082，tan20.412假如安裝工人確立支架AB高為25cm，求支架CD的高（結(jié)果精準(zhǔn)到1cm）？【答案】【分析】過A作AFCD于F，依據(jù)銳角三角函數(shù)的定義用、表示出DF、EF的值，又可證四邊形ABCE為平行四邊形，故有E

2、C=AB=25cm，再再依據(jù)DC=DE+EC進(jìn)行解答即可2在矩形ABCD中，ADAB，點(diǎn)P是CD邊上的隨意一點(diǎn)（不含C，D兩頭點(diǎn)），過點(diǎn)P作PFBC，交對角線BD于點(diǎn)F1）如圖1，將PDF沿對角線BD翻折獲得QDF，QF交AD于點(diǎn)E求證：DEF是等腰三角形；（2）如圖2，將PDF繞點(diǎn)D逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)獲得PDF，連結(jié)PC，F(xiàn)B設(shè)旋轉(zhuǎn)角為（0180）若0BDC，即DF在BDC的內(nèi)部時(shí)，求證：DPCDFB如圖3，若點(diǎn)P是CD的中點(diǎn)，DFB可否為直角三角形？假如能，試求出此時(shí)tanDBF的值，假如不可以，請說明原由【答案】（1）證明看法析；（2）證明看法析；1或3.23【分析】【剖析】（1）依據(jù)翻折的

3、性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)可知DFQ=ADF，因此DEF是等腰三角形；（2）因?yàn)镻FBC，因此DPFDCB，從而易證DPFDCB；因?yàn)镈FB是直角三角形，但不知道哪個(gè)的角是直角，故需要對該三角形的內(nèi)角進(jìn)行分類議論【詳解】（1）由翻折可知：DFP=DFQ，PFBC，DFP=ADF，DFQ=ADF，DEF是等腰三角形；（2）若0BDC，即DF在BDC的內(nèi)部時(shí)，PDF=PDF，PDFFDC=PDFF，DCPDC=FDB，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：DPFDPF，PFBC，DPFDCB，DPFDCBDCDP，DBDFDPCDFB；當(dāng)FDB=90時(shí)，以下圖，1DF=DF=BD，2DF1，BD2DF1tanDBF=；BD

4、2當(dāng)DBF=90，此時(shí)DF是斜邊，即DFDB，不切合題意；當(dāng)DFB=90時(shí)，以下圖，1DF=DF=BD，2DBF=30，3tanDBF=.3【點(diǎn)睛】本題考察了相像三角形的綜合問題，波及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義，相像三角形的性質(zhì)以及判斷等知識，綜合性較強(qiáng)，有必定的難度，嫻熟掌握有關(guān)的性質(zhì)與定理、運(yùn)用分類思想進(jìn)行議論是解題的重點(diǎn).3已知RtABC中，ACB=90，點(diǎn)D、E分別在BC、AC邊上，連結(jié)BE、AD交于點(diǎn)P，設(shè)AC=kBD，CD=kAE，k為常數(shù)，嘗試究APE的度數(shù)：（1）如圖1，若k=1，則APE的度數(shù)為；2）如圖2，若k=3，試問（1）中的結(jié)論能否建立？若建立，請說明原由；若不建

5、立，求出APE的度數(shù)3）如圖3，若k=3，且D、E分別在CB、CA的延伸線上，（2）中的結(jié)論能否建立，請說明原由【答案】（1）45；（2）（1）中結(jié)論不建立，原由看法析；（3）（2）中結(jié)論建立，理由看法析.【分析】剖析：（1）先判斷出四邊形ADBF是平行四邊形，得出BD=AF，BF=AD，從而判斷出FAEACD，得出EF=AD=BF，再判斷出EFB=90即可得出結(jié)論；，（2）先判斷出四邊形ADBF是平行四邊形，得出BD=AF，BF=AD，從而判斷出FAEACD，再判斷出EFB=90，即可得出結(jié)論；（3）先判斷出四邊形ADBF是平行四邊形，得出BD=AF，BF=AD，從而判斷出ACDHEA，再判

6、斷出EFB=90，即可得出結(jié)論；詳解：（1）如圖1，過點(diǎn)A作AFCB，過點(diǎn)B作BFAD訂交于F，連結(jié)EF，F(xiàn)BE=APE，F(xiàn)AC=C=90，四邊形ADBF是平行四邊形，BD=AF，BF=ADAC=BD，CD=AE，AF=ACFAC=C=90，F(xiàn)AEACD，EF=AD=BF，F(xiàn)EA=ADCADC+CAD=90，F(xiàn)EA+CAD=90=EHDADBF，EFB=90EF=BF，F(xiàn)BE=45，APE=45（2）（1）中結(jié)論不建立，原由以下：如圖2，過點(diǎn)A作AFCB，過點(diǎn)B作BFAD訂交于F，連結(jié)EF，F(xiàn)BE=APE，F(xiàn)AC=C=90，四邊形ADBF是平行四邊形，BD=AF，BF=ADAC=3BD，CD=

7、3AE，ACCD3BDAEBD=AF，ACCD3AFAEFAC=C=90，F(xiàn)AEACD，ACADBFEFEFFEA=ADCAFADC+CAD=90，F(xiàn)EA+CAD=90=EMDADBF，EFB=90在RtEFB中，tanFBE=EFBFFBE=30，APE=30，（3）（2）中結(jié)論建立，如圖，33，作EHCD，DHBE，EH，DH訂交于H，連結(jié)AH，APE=ADH，HEC=C=90，四邊形EBDH是平行四邊形，BE=DH，EH=BDAC=3BD，CD=3AE，ACCD3BDAEHEA=C=90，ACDHEA，ADAC3，ADC=HAEAHEHCAD+ADC=90，HAE+CAD=90，HAD=

8、90在RtDAH中，tanADH=AH3，ADADH=30，APE=30點(diǎn)睛：本題是三角形綜合題，主要考察了全等三角形的判斷和性質(zhì)，相像三角形的判斷和性質(zhì)，平行四邊形的判斷和性質(zhì)，結(jié)構(gòu)全等三角形和相像三角形的判斷和性質(zhì)4已知：如圖，在RtABC中，ACB=90，點(diǎn)M是斜邊AB的中點(diǎn)，MDBC，且MD=CM，DEAB于點(diǎn)E，連結(jié)AD、CD1）求證：MEDBCA；2）求證：AMDCMD；（3）設(shè)MDE的面積為S1，四邊形22171BCMD的面積為S，當(dāng)S=5S時(shí)，求cosABC的值5【答案】（1）證明看法析；（2）證明看法析；（3）cosABC=.【分析】【剖析】1）易證DME=CBA，ACB=M

9、ED=90，從而可證明MEDBCA；2）由ACB=90，點(diǎn)M是斜邊AB的中點(diǎn)，可知MB=MC=AM，從而可證明AMD=CMD，從而可利用全等三角形的判斷證明AMDCMD；2（3）易證MD=2AB，由（1）可知：MEDBCA，因此S1MD1，因此SVACBAB4MCB=1ACB=2S1EBD=S2MCBS1=21S1ME，從而可S2S，從而可求出SS5S，因?yàn)镾VEBDEB知ME5ME=5xEB=2xAB=14xBC=7，最后依據(jù)銳角三角函數(shù)的EB22定義即可求出答案【詳解】1）MDBC，DME=CBA，ACB=MED=90，MEDBCA；（2）ACB=90，點(diǎn)M是斜邊AB的中點(diǎn)，MB=MC=A

10、M，MCB=MBC，DMB=MBC，MCB=DMB=MBC，AMD=180DMB，CMD=180MCBMBC+DMB=180MBC，AMD=CMD，在AMD與CMD中，MDMDAMDCMD，AMCMAMDCMD（SAS）；3）MD=CM，AM=MC=MD=MB，MD=2AB，由（1）可知：MEDBCA，2S1MD1，SVACBAB4SACB=4S1，CM是ACB的中線，SMCB=1SACB=2S1，22SEBD=S2SMCBS1=S1，5S1MESVEBD，EBS1ME2EB，5S1ME5，EB2設(shè)ME=5x，EB=2x，MB=7x，AB=2MB=14x，MDME1，ABBC2BC=10 x，

11、BC10 x5cosABC=.AB14x7【點(diǎn)睛】本題考察相像三角形的綜合問題，波及直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判斷，相像三角形的判斷與性質(zhì)，三角形面積的面積比，銳角三角函數(shù)的定義等知識，綜合程度較高，嫻熟掌握和靈巧運(yùn)用有關(guān)的性質(zhì)及定理進(jìn)行解題是重點(diǎn).5如圖，在O的內(nèi)接三角形ABC中，ACB90，AC2BC，過C作AB的垂線l交O于另一點(diǎn)D，垂足為E.設(shè)P是上異于A，C的一個(gè)動點(diǎn)，射線AP交l于點(diǎn)F，連結(jié)PC與PD，PD交AB于點(diǎn)G.(1)求證：PACPDF；(2)若AB5，求PD的長；(3)在點(diǎn)P運(yùn)動過程中，設(shè)x，tanAFDy，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式(不要求寫出x的取值范

12、圍)【答案】（1）證明看法析；（2）；（3）.【分析】試題剖析：（1）應(yīng)用圓周角定理證明APDFPC，獲得APCFPD，又由PACPDC，即可證明結(jié)論.（2）由AC=2BC，設(shè)，應(yīng)用勾股定理即可求得BC，AC的長，則由AC=2BC得，由ACEABC可求得AE，CE的長，由形，從而可求得PA的長，由AEF是等腰直角三角形求得可知APB是等腰直角三角EF=AE=4，從而求得DF的長，由（1）PACPDF得，即可求得PD的長.（3）連結(jié)BP，BD，AD，依據(jù)圓的對稱性，可得，由角的變換可得，由AGPDGB可得，由AGDPGB可得，兩式相乘可得結(jié)果.試題分析：（1）由APCB內(nèi)接于圓O，得FPCB，又

13、BACE90BCE，ACEAPD，APDFPC.APDDPCFPCDPC，即APCFPD.又PACPDC，PACPDF.（2）連結(jié)BP，設(shè)，ACB=90，AB=5，.ACEABC，ABCD，如圖，連結(jié)BP，.，即.，APB是等腰直角三角形.PAB45，AEF是等腰直角三角形.EF=AE=4.DF=6.由（1）PACPDF得，即.PD的長為.（3）如圖，連結(jié)BP，BD，AD，AC=2BC，依據(jù)圓的對稱性，得AD=2DB，即ABCD，BPAE，ABPAFD.，.AGPDGB，.AGDPGB，.，即.，.與之間的函數(shù)關(guān)系式為.考點(diǎn)：1.單動點(diǎn)問題；2.圓周角定理；3.相像三角形的判斷和性質(zhì)；4.勾股

14、定理；5.等腰直角三角形的判斷和性質(zhì)；6.垂徑定理；7.銳角三角函數(shù)定義；8.由實(shí)質(zhì)問題列函數(shù)關(guān)系式.6問題背景:如圖（a）,點(diǎn)A、B在直線l的同側(cè)，要在直線l上找一點(diǎn)C，使AC與BC的距離之和最小，我們能夠作出點(diǎn)B對于l的對稱點(diǎn)B,連結(jié)AB與直線l交于點(diǎn)C，則點(diǎn)C即為所求.（1）實(shí)踐運(yùn)用：如圖(b)，已知，O的直徑CD為4，點(diǎn)A在O上，ACD=30，B為弧AD的中點(diǎn)，P為直徑CD上一動點(diǎn)，則BP+AP的最小值為（2）知識拓展：如圖(c)，在RtABC中，AB=10，BAC=45，BAC的均分線交BC于點(diǎn)D，E、F分別是線段AD和AB上的動點(diǎn)，求BE+EF的最小值，并寫出解答過程【答案】解：（

15、1）22（2）如圖，在斜邊AC上截取AB=AB，連結(jié)BBAD均分BAC，點(diǎn)B與點(diǎn)B對于直線AD對稱過點(diǎn)B作BFAB,垂足為F，交AD于E，連結(jié)BE則線段BF的長即為所求(點(diǎn)到直線的距離最短)在RtAFB/中，BAC=450,AB/=AB=10，BE+EF的最小值為【分析】試題剖析：（1）找點(diǎn)A或點(diǎn)B對于CD的對稱點(diǎn)，再連結(jié)此中一點(diǎn)的對稱點(diǎn)和另一點(diǎn)，和MN的交點(diǎn)P就是所求作的地點(diǎn)，依據(jù)題意先求出CAE，再依據(jù)勾股定理求出AE，即可得出PA+PB的最小值：如圖作點(diǎn)B對于CD的對稱點(diǎn)E，連結(jié)AE交CD于點(diǎn)P，此時(shí)PA+PB最小，且等于A作直徑AC，連結(jié)CE，依據(jù)垂徑定理得弧BD=弧DEACD=30，

16、AOD=60，DOE=30AOE=90CAE=45又AC為圓的直徑，AEC=90C=CAE=45CE=AE=AC=22AP+BP的最小值是22（2）第一在斜邊AC上截取AB=AB，連結(jié)BB，再過點(diǎn)B作BFAB，垂足為F，交AD于E，連結(jié)BE，則線段BF的長即為所求7已知：ABC內(nèi)接于O，D是弧BC上一點(diǎn)，ODBC，垂足為H1）如圖1，當(dāng)圓心O在AB邊上時(shí)，求證：AC=2OH；2）如圖2，當(dāng)圓心O在ABC外面時(shí)，連結(jié)AD、CD，AD與BC交于點(diǎn)P，求證：ACD=APB；（3）在（2）的條件下，如圖3，連結(jié)BD，E為O上一點(diǎn)，連結(jié)DE交BC于點(diǎn)Q、交AB于點(diǎn)N，連結(jié)OE，BF為O的弦，BFOE于點(diǎn)

17、R交DE于點(diǎn)G，若ACDABD=2BDN，AC=，BN=，tanABC=，求BF的長【答案】（1）證明看法析；（2）證明看法析；（3）24.【分析】試題剖析：（1）易證OH為ABC的中位線，可得AC=2OH；（2）APB=PAC+ACP，ACD=ACB+BCD，又PAC=BCD，可證ACD=APB；（3）連結(jié)AO延伸交于O于點(diǎn)I，連結(jié)IC，AB與OD訂交于點(diǎn)M，連結(jié)OB，易證GBN=ABC，因此BG=BQ.在RtBNQ中，依據(jù)tanABC=，可求得NQ、BQ的長.利用圓周角定理可求得IC和AI的長度，設(shè)QH=x，利用勾股定理可求出QH和HD的長度，利用垂徑定理可求得ED的長度，最后利用tanO

18、ED=即可求得RG的長度，最后由垂徑定理可求得BF的長度試題分析：（1）在O中，ODBC，BH=HC，點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，AC=2OH；2）在O中，ODBC，弧BD=弧CD，PAC=BCD，APB=PAC+ACP，ACD=ACB+BCD，ACD=APB；（3）連結(jié)AO延伸交于O于點(diǎn)I，連結(jié)IC，AB與OD訂交于點(diǎn)M，連結(jié)OB，ACDABD=2BDN，ACDBDN=ABD+BDN，ABD+BDN=AND，ACDBDN=AND，ACD+ABD=180，2AND=180，AND=90，tanABC=，BNQ=QHD=90，ABC=QDH，OE=OD，OED=QDH，ERG=90，OED=GBN，GBN

19、=ABC，ABED，BG=BQ=，GN=NQ=，ACI=90，tanAIC=tanABC=，IC=，由勾股定理可求得：AI=25，設(shè)QH=x，tanABC=tanODE=，HD=2x，OH=ODHD=，BH=BQ+QH=，OB2=BH2+OH2，解得：，當(dāng)QH=時(shí)，QD=，ND=，MN=，MD=15,，QH=不切合題意，舍去，當(dāng)QH=時(shí)，QD=ND=NQ+QD=，ED=，GD=GN+ND=,EG=EDGD=，tanOED=，EG=RG，RG=，BR=RG+BG=12,BF=2BR=24考點(diǎn)：1圓；2相像三角形；3三角函數(shù)；4直角三角形.8水庫大壩截面的迎水坡坡比（DE與AE的長度之比）為1：0

20、.6，背水坡坡比為1：2，大壩高DE=30米，壩頂寬CD=10米，求大壩的截面的周長和面積【答案】故大壩的截面的周長是（634+305+98）米，面積是1470平方米【分析】試題剖析：先依據(jù)兩個(gè)坡比求出AE和BF的長，而后利用勾股定理求出AD和BC，再由大壩的截面的周長=DC+AD+AE+EF+BF+BC，梯形的面積公式可得出答案試題分析：迎水坡坡比（DE與AE的長度之比）為1：0.6，DE=30m，AE=18米，在RTADE中，AD=DE2AE2=634米背水坡坡比為1：2，BF=60米，在RTBCF中，BC=CF2BF2=305米，周長=DC+AD+AE+EF+BF+BC=634+10+3

21、05+88=（634+305+98）米，面積=（10+18+10+60）302=1470（平方米）故大壩的截面的周長是（634+305+98）米，面積是1470平方米9如圖，AB是O的直徑，PA、PC與O分別相切于點(diǎn)A，C，PC交AB的延伸線于點(diǎn)D，DEPO交PO的延伸線于點(diǎn)E(1)求證：EPD=EDO；(2)若PC=3，tanPDA=3，求OE的長45【答案】（1）看法析；（2）.【分析】【剖析】（1）由切線的性質(zhì)即可得證.（2）連結(jié)OC，利用tanPDA=3，可求出CD=2,從而求得4OC=3，再證明OEDDEP，依據(jù)相像三角形的性質(zhì)和勾股定理即可求出OE的長.2【詳解】（1）證明：PA，

22、PC與O分別相切于點(diǎn)A，C，APO=CPO,PAAO，DEPO，PAO=E=90，AOP=EOD，APO=EDO，EPD=EDO.（2）連結(jié)OC，PA=PC=3，3tanPDA=，4在RtPAD中，AD=4，PD=PA2AD2=5，CD=PD-PC=5-3=2，3tanPDA=，4在RtOCD中，OC=3，2225OD=OCCD=，2EPD=ODE，OCP=E=90，OEDDEP，PDPEDE=2，DODEOEDE=2OE,在RtOED中，OE2+DE2=OD2，即5OE2=52=25，24OE=52【點(diǎn)睛】本題考察了切線的性質(zhì)；銳角三角函數(shù)；勾股定理和相像三角形的判斷與性質(zhì)，充分利用tanP

23、DA=3，得線段的長是解題重點(diǎn).410超速行駛是引起交通事故的主要原由上周末，小明和三位同學(xué)試試用自己所學(xué)的知識檢測車速，如圖，觀察點(diǎn)設(shè)在到萬豐路（直線AO）的距離為120米的點(diǎn)P處這時(shí)，一輛小轎車由西向東勻速行駛，測得此車從A處行駛到B地方用的時(shí)間為5秒且APO60，BPO45（1）求A、B之間的行程；（2）請判斷此車能否超出了萬豐路每小時(shí)65千米的限制速度？請說明原由（參照數(shù)據(jù)：21.414,31.73）【答案】【小1】73.2【小2】超限制速度【分析】解：（1）AB100(31)73.2(米)6分(2)此制速度v=18.3米/秒11已知AB是O的直徑，弦CDAB于H，CD延上一點(diǎn)E作O的

24、切交AB的延于F，切點(diǎn)G，接AG交CD于K1）如1，求：KEGE；2）如2，接CABG，若FGB1ACH，求：CAFE；2（3）如3，在（2）的條件下，接CG交AB于點(diǎn)N，若sinE3，AK10，求CN5的【答案】（1）明分析；（2）EAD是等腰三角形明分析；（3）2010.13【分析】剖析：1）接OG，由已知易得OGE=AHK=90，由OG=OA可得AGO=OAG，從而可得KGE=AKH=EKG，即可獲得KE=GE；2）FGB=，由AB是直徑可得AGB=90，從而可得KGE=90-，合GE=KE可得1EKG=90-，在GKE中可得E=2，由FGB=ACH可得ACH=2，可得2E=ACH，由此

25、即可獲得CAEF；（3）以下2，作NPAC于P，由（2）可知ACH=E，由此可得sinE=sinACH=AH3，設(shè)AH=3a，可得AC=5a，AC5CH4CH=4a，則tanCAH=，由（2）中結(jié)論易得CAK=EGK=EKG=AKC，從而可AH3得CK=AC=5a，由此可得HK=a，tanAKH=AH3，AK=10a，聯(lián)合AK=10可得a=1，HK則AC=5；在四邊形BGKH中，由BHK=BKG=90，可得ABG+HKG=180，聯(lián)合AKH+GKG=180，ACG=ABG可得ACG=AKH，在RtAPN中，由tanCAH=4PN，可設(shè)PN=12b，AP=9b，由3APtanACG=PNtanA

26、KH=3可得CP=4bAC=AP+CP=5，則可得b=5，由CP，由此可得13b13此即可在RtCPN中由勾股定理解出CN的長.試題分析：（1）如圖1，連結(jié)OGEF切O于G，OGEF，AGO+AGE=90，CDAB于H，AHD=90，OAG=AKH=90，OA=OG，AGO=OAG，AGE=AKH，EKG=AKH，EKG=AGE，KE=GE2）設(shè)FGB=，AB是直徑，AGB=90，AGE=EKG=90，E=180AGEEKG=2，F(xiàn)GB=1ACH，2ACH=2，ACH=E，CAFE3）作NPAC于PACH=E，AH3sinE=sinACH=，設(shè)AH=3a，AC=5a，AC5則CH=AC2CH2CAFE，CAK=AGE，AGE=AKH，CAK=AKH，4a，tanCAH=CH4，AH3AH=3，AK=22，AC=CK=5a，HK=CKCH=4a，tanAKH=AHHK10aHKAK=10，10a10，a=1AC=5，BHD=AGB=90，BHD+AGB=180，在四邊形BGKH中，BHD+HKG+AGB+A