六大基本初等函數圖像以其性質

1、桂林師范高等?？茖W校14生化班六大基本初等函數圖像及其性質一、常值函數（也稱常數函數）y=C（此中C為常數）；常數函數（yC）C0yyCy0 xO平行于x軸的直線定義域R二、冪函數yx，x是自變量，是常數；y11.冪函數的圖像：yx2yx2yx1O冪函數的性質；性質yxyx2yx3函數定義域RRR值域R0,+)R奇偶性奇偶奇單一性增0,+)增增(-,0減公共點（1,1）C0yO軸自己定義域Ryxyx3x1yx20,+)0,+)非奇非偶增xyx1x|x0y|y0奇(0,+)減(-,0)減第1頁桂林師范高等?？茖W校14生化班1）當為正整數時，函數的定義域為區(qū)間為x(,)，他們的圖形都經過原點，并當

2、1時在原點處與x軸相切。且為奇數時，圖形對于原點對稱；為偶數時圖形對于y軸對稱；2）當為負整數時。函數的定義域為除掉x=0的全部實數；3）當為正有理數m時，n為偶數時函數的定義域為（0,+），n為奇數時函數的定義域為（-n,+），函數的圖形均經過原點和（1,1）；4）假如mn圖形于x軸相切，假如mn,圖形于y軸相切，且m為偶數時，還跟y軸對稱；m，n均為奇數時，跟原點對稱；5）當為負有理數時，n為偶數時，函數的定義域為大于零的一確實數；n為奇數時，定義域為去除x=0之外的一確實數。三、指數函數yax(x是自變量,a是常數且a0，a1)，定義域是R；無界函數指數函數的圖象：yaxyyyax(a1

3、)(0a1)(0,1)y1(0,1)y1OxOx指數函數的性質；性質yax(a1)yax(0a1)函數定義域R值域(0，+)奇偶性非奇非偶公共點過點(0，1)，即x0時，y1單一性（，）在（，）是減函數在是增函數1）當a1時函數為單一增,當0a1時函數為單一減；2）無論x為什么值,y老是正的,圖形在x軸上方；3）當x0時,y1,因此它的圖形經過(0,1)點。第2頁桂林師范高等?？茖W校3.（選，增補）指數函數值的大小比較aN*；a.底數互為倒數的兩個指數函數xf(x)ax，f(x)1a的函數圖像對于y軸對稱。h(x)3xyf(x)2x(0,1)Ox14生化班yx1f(x)axf(x)a(0,1)

4、Oxb.1.當a1時，a值越大，yax的圖像越湊近y軸；g(x)yx131xb.2.當0a1時，a值越大，yax的圖像越遠離y軸。指數的運算法例（公式）；q(x)2(0,1)Oa.整數指數冪的運算性質(a0,m,nb.根式的性質；Q)；nnananaamanamn(1)a；(2)當n為奇數時，(1)當n為偶數時，nana(a0)(2)amanamnaa(a0)c.分數指數冪；(3)amnanmanmmnam(a0,m,nZ*,n1)(1)annnnm11*abab(4)(2)anmnam(a0,m,nZ,n1)an第3頁桂林師范高等專科學校14生化班四、對數函數ylogax(a是常數且a0,a

5、1)，定義域x(0,)無界1.對數的觀點：假如a(a0，a1)的b次冪等于N，就是abN，那么數b叫做以a為底N的對數，記作logaNb,此中a叫做對數的底數，N叫做真數，式子logaN叫做對數式。對數函數ylogax與指數函數yax互為反函數，因此ylogax的圖象與yax的圖象對于直線yx對稱。2.常用對數：log10N的對數叫做常用對數，為了簡易，N的常用對數記作lgN。3.自然對數：使用以無理數e2.7182為底的對數叫做自然對數，為了簡易，N的自然對數logeN簡記作lnN。對數函數的圖象：yOx1yylogax(a1)(1,0)xOx1(1,0)x5.對數函數的性質；ylogax(

6、0a1)性質ylogaxylogax函數(a1)(0a1)定義域(0，+)值域R奇偶性非奇非偶公共點過點(1，0)，即x1時，y0單一性在(0,+)上是增函數在(0,+)上是減函數1）對數函數的圖形為于y軸的右方，并過點(1,0)；2）當a1時，在區(qū)間(0,1)，y的值為負，圖形位于x的下方；在區(qū)間(1,+)，y值為正，圖形位于x軸上方，在定義域是單一增函數。a1在實質中極少用到。第4頁桂林師范高等?？茖W校14生化班6.（選，增補）對數函數值的大小比較aN*；yylogaxa.底數互為倒數的兩個對數函數ylogax，ylog1x(1,0)aOx的函數圖像對于x軸對稱。yf(x)log2xylo

7、g1xaf(x)b.1.當a1時，a值越大，f(x)logaxlog3xx軸；的圖像越湊近O(1,0)xyb.2.當(0a1)時，a值越大，f(x)logax(1,0)xO的圖像越遠離x軸。f(x)log1x3對數的運算法例（公式）；假如a0，a1，M0，N0，那么：logaMNlogaMlogaNMlogaNlogaMlogaNlogaMnnlogaM對數恒等式：alogaNN(a0且a1，N0)f(x)log1x2換底公式：logaN0,a1，一般經常(1)logbN（alogab換為e或10為底的對數,即logbNlnN或lnblogbNlgN）lgb由公式和運算性質推倒的結論：nnlo

8、ganblogabd.對數運算性質(1)1的對數是零，即loga10；同理ln10或lg10(2)底數的對數等于1，即logaa1；同理lne1或lg101第5頁桂林師范高等?？茖W校14生化班五、三角函數1.正弦函數ysinx,有界函數，定義域x(,)，值域y1,1圖象：五點作圖法：0，3，2222.余弦函數ycosx，有界函數，定義域x(,)，值域y1,1圖象：五點作圖法：0，3，2223.正、余弦函數的性質；性質ysinx(kZ)ycosx(kZ)函數定義域R值域-1,1-1,1奇偶性奇函數偶函數周期性T2T2對稱中心(k,0)(k,0)2對稱軸xk2(k,0)2在x2k,2k2上是增函數

9、在x2k,2k上是增函數2單一性在x2k,2k3上是減函數在x2k,2k上是減函數22x2k2時，ymax1x2k時，ymax1最值x2k時，ymin1x2k時，ymin12第6頁桂林師范高等?？茖W校14生化班4.正切函數ytanx，無界函數，定義域xxk,(kZ)，值域y(,)y2x523O325222222ytanx的圖像5.余切函數ycotx，無界函數，定義域xxk,kZ,y(,)yx3523O3253222222ycotx的圖像6.正、余切函數的性質；性質ytanx(kZ)ycotx(kZ)函數定義域xk2xk值域RR奇偶性奇函數奇函數周期性TT單一性在(k,k)上都是增函數在(k,(

10、k1)上都是減函數22對稱中心k,0)k(,0)22零點(k,0)(k,0)2第7頁桂林師范高等?？茖W校14生化班7.正割函數ysecx，無界函數，定義域xxk,(kZ)，值域secx1y2122353O35x222-12228.余割函數ycscx1ysecx的圖像，無界函數，定義域xxk,(kZ)，值域cscx1sinxy513222323O25x2-122ycscx的圖像9.正、余割函數的性質；性質ysecx(kZ)ycscx(kZ)函數定義域xxkxxk2值域(，11,)(，11,)奇偶性偶函數奇函數周期性T2T2(2k,2k)(2k,2k3)(2k,2k)(2k3,2k2)減22223

11、單一性減(2k,2k)(2k,2k)(2k,2k)(2k,2k)增222增2第8頁桂林師范高等?？茖W校14生化班續(xù)表：性質ysecx(kZ)ycscx(kZ)函數對稱中心(k,0)(k,0)2對稱軸xkxk2漸近線xkxk2六、反三角函數1.反正弦函數yarcsinx，無界函數，定義域-1,1，值域0,A.反正弦函數的觀點：正弦函數ysinx在區(qū)間,上的反函數稱為反正弦函數，記為22yarcsinx2.反余弦弦函數yarccosx，無界函數，定義域-1,1，值域0,B.反余弦函數的觀點：余弦函數ycosx在區(qū)間0,上的反函數稱為反余弦函數，記為yyyarccosx2-12O1x2O1x-1ya

12、rcsinx的圖像yarccosx的圖像反正、余弦函數的性質；性質函數yarcsinxyarccosx定義域-1,1-1,1值域0,0,奇偶性奇函數非奇非偶函數單一性增函數減函數第9頁桂林師范高等專科學校14生化班4.反正切函數yarctanx，有界函數，定義域x(,),值域,22C.反正切函數的觀點：正切函數ytanx在區(qū)間,上的反函數稱為反正切函數，記為22yarctanx5.反余切函數yarccotx，有界函數，定義域x(,),值域0,D.反余切函數的觀點：余切函數ycotx在區(qū)間0,上的反函數稱為反余切函數，記為yarccotxyy2Ox22Oxyarctanx的圖像yarccotx的

13、圖像反正、余弦函數的性質；函數性質定義域yarctanxyarccotxR值域,0,22奇偶性奇函數非奇非偶單一性增函數減函數第10頁桂林師范高等?？茖W校14生化班三角函數公式匯總一、隨意角的三角函數在角正弦：正切：正割：的終邊上任取一點P(x,y)，記：rx2y2。sinyxr余弦：cosrtanyxx余切：cotysecrrx余割：cscy二、同角三角函數的基本關系式倒數關系：sincsc1，cossec1，tancot1商數關系：tansin，cotcoscossin平方關系：sin2cos21，1tan2sec2，1cot2csc2三、引誘公式軸上的角，口訣：函數名不變，符號看象限；軸

14、上的角，口訣：函數名改變，符號看象限。四、和角公式和差角公式sin()sincoscossin)tantantan(tantansin()sincoscossin1cos()coscossinsin)tantantan(tantancos()coscossinsin1五、二倍角公式sin22sincostan22tan1tan2cos2cos2sin22cos2112sin2二倍角的余弦公式常用變形：（規(guī)律：降冪擴角，升冪縮角）1cos22cos21cos22sin21sin2(sincos)21sin2(sincos)2cos21cos2，sin21sin2，tan1cos21sin222sin2cos2第11頁桂林師范高等?？茖W校14生化班六、三倍角公式sin33sin4sin34sinsin()sin(3)3cos34cos33cos4coscos(3)cos()tan33tan33tantantan()tan()13tan233七、和差化積公式sinsin2sincoscoscos2coscos2222sinsin2cossincoscos2sinsin2222八、協助角公式asinxbcosxa2b