2020年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專項訓(xùn)練：全等三角形(含解析)

1、2020年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專項訓(xùn)練：全等三角形(含解析)2020年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專項訓(xùn)練：全等三角形(含解析)全等圖形能夠完全的圖形叫做全等圖形,兩個圖形全等,它們相同、相同全等三角形兩個能完全的三角形叫做全等三角形考點一全等圖形及全等三角形考點聚焦重合形狀大小重合全等圖形能夠完全的圖形叫做全等圖形,兩個圖形全等性質(zhì)1全等三角形的對應(yīng)邊性質(zhì)2全等三角形的對應(yīng)角常見結(jié)論全等三角形的對應(yīng)邊上的高全等三角形的對應(yīng)邊上的中線全等三角形的對應(yīng)角平分線 考點二全等三角形的性質(zhì)相等相等相等相等相等性質(zhì)1全等三角形的對應(yīng)邊性質(zhì)2全等三角形的對應(yīng)角對應(yīng)相等元素三角形是否全等一般三角形兩邊一角兩邊及其全等(SAS)兩邊

2、及其中一邊的 不一定全等兩角一邊 兩角及其夾邊全等(ASA)兩角及其中一角的 全等(AAS)三角不一定全等三邊全等(SSS)直角三角形斜邊、直角邊全等(HL)考點三全等三角形的判定夾角對角1.全等三角形的判定定理對邊對應(yīng)相等元素三角形是否全等一兩邊一角兩邊及其全等2.常見結(jié)論(1)有兩邊和其中一邊上的中線對應(yīng)相等的兩個三角形全等;(2)有兩邊和第三邊上的中線對應(yīng)相等的兩個三角形全等;(3)有兩角和其中一角的平分線對應(yīng)相等的兩個三角形全等;(4)有兩角和第三個角的平分線對應(yīng)相等的兩個三角形全等;(5)有兩邊和其中一邊上的高對應(yīng)相等的銳角(或鈍角)三角形全等;(6)有兩邊和第三邊上的高對應(yīng)相等的銳

3、角(或鈍角)三角形全等.2.常見結(jié)論3.基本圖形梳理注意組成全等三角形的基本圖形,全等圖形都是由圖形的平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱等圖形變換而得到的,所以全等三角形的基本圖形大致有以下幾種:(1)平移型如圖18-1的圖形屬于平移型,它們可看成由對應(yīng)邊在一直線上移動所構(gòu)成的,故該對應(yīng)邊的相等關(guān)系一般可由同一直線上的線段和差得到.圖18-13.基本圖形梳理圖18-1(2)對稱型如圖18-2,下面幾種圖形屬于對稱型:它們的特征是可沿某一直線對折,直線兩旁的部分能完全重合(軸對稱圖形),重合的頂點就是全等三角形的對應(yīng)頂點.(3)旋轉(zhuǎn)型如圖18-3,下面幾種圖形屬于旋轉(zhuǎn)型:它們可看成是以三角形的某一頂點為中心旋轉(zhuǎn)

4、所構(gòu)成的,故一般有一對相等的角隱含在對頂角中或某些角的和差中.圖18-2圖18-3(2)對稱型圖18-2圖18-34.在判定三角形全等時,還要注意的問題(1)根據(jù)已知條件與結(jié)論認真分析圖形;(2)準確無誤地確定每個三角形的六個元素;(3)根據(jù)已知條件,確定對應(yīng)元素,即找出相等的角或邊;(4)對照判定方法,看看還需什么條件兩個三角形就全等;(5)想辦法找出所需的條件.4.在判定三角形全等時,還要注意的問題考點四三角形的穩(wěn)定性和四邊形的不穩(wěn)定性三角形的穩(wěn)定性如果一個三角形三邊的長度確定,那么這個三角形的形狀和大小就完全確定.三角形的這個性質(zhì)叫做三角形的穩(wěn)定性四邊形的不穩(wěn)定性當(dāng)一個四邊形四邊的長度確

5、定時,這個四邊形的形狀、大小不唯一確定.四邊形的這個性質(zhì)叫做四邊形的不穩(wěn)定性考點四三角形的穩(wěn)定性和四邊形的不穩(wěn)定性三角形的如果一個三考點五角平分線的性質(zhì)與判定性質(zhì)角平分線上的點到角兩邊的相等判定角的內(nèi)部到角兩邊的距離相等的點在這個角的上距離平分線考點五角平分線的性質(zhì)與判定性質(zhì)角平分線上的點到角兩邊的考點六線段的垂直平分線定義經(jīng)過線段的中點與這條線段垂直的直線叫做這條線段的垂直平分線性質(zhì)線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離判定到一條線段兩個端點的距離相等的點,在這條線段的上相等 垂直平分線考點六線段的垂直平分線定義經(jīng)過線段的中點與這條線段垂直的題組一必會題對點演練1.2018巴中下列各圖

6、中a,b,c為三角形的邊長,則甲、乙、丙三個三角形和左側(cè)ABC全等的是()A.甲和乙B.乙和丙C.甲和丙D.只有丙B圖18-4題組一必會題對點演練1.2018巴中下列各圖中a,b答案 C解析添加CB=CD,根據(jù)SSS,能判定ABCADC,故A選項不符合題意;添加BAC=DAC,根據(jù)SAS,能判定ABCADC,故B選項不符合題意;添加BCA=DCA,不能判定ABCADC,故C選項符合題意;添加B=D=90,根據(jù)HL,能判定ABCADC,故D選項不符合題意.故選C.2.八上P14例1改編如圖18-5,已知AB=AD, 那么添加下列一個條件后,仍無法判定ABCADC的是()A.CB=CDB.BAC=

7、DACC.BCA=DCAD.B=D=90圖18-5答案 C2.八上P14例1改編如圖18-5,已知AB圖18-63.八上P29練習(xí)第2題改編如圖18-6,ACCB,ADDB,要證明ABCABD,還需要條件 .(填出一個即可)AD=AC(或BD=BC或DAB=CAB或DBA=CBA,答案不唯一)圖18-63.八上P29練習(xí)第2題改編如圖18-6,AC答案 64.八上P21討論第2題改編如圖18-7,點C,F在AD上,且AF=DC, B=E, A=D,AB=6,則DE=.圖18-7答案 64.八上P21討論第2題改編如圖18-7,點題組二易錯題【失分點】全等三角形的性質(zhì)運用不當(dāng);全等三角形的判定混

8、淆.5.2018成都如圖18-8,已知ABC=DCB,添加以下條件,不能判定ABCDCB的是()A.A=DB.ACB=DBCC.AC=DBD.AB=DCC圖18-8題組二易錯題【失分點】5.2018成都如圖18-8,6.2019臨沂如圖18-9,D是AB上一點,DF交AC于點E,DE=FE,FCAB.若AB=4,CF=3,則BD的長是()A.0.5B.1C.1.5D.2圖18-9B6.2019臨沂如圖18-9,D是AB上一點,DF交A考向一全等三角形的性質(zhì)與判定例12019蘇州如圖18-10,ABC中,點E在BC邊上,AE=AB,將線段AC繞點A旋轉(zhuǎn)到AF的位置,使得CAF=BAE.連接EF,

9、EF與AC交于點G.(1)求證:EF=BC;(2)若ABC=65,ACB=28,求FGC的度數(shù).圖18-10解:(1)證明:線段AC繞點A旋轉(zhuǎn)到AF的位置,AC=AF.CAF=BAE,CAF+CAE=BAE+CAE,即EAF=BAC.在ABC和AEF中,AB=AE,BAC=EAF,AC=AF,ABCAEF(SAS),EF=BC.考向一全等三角形的性質(zhì)與判定例12019蘇州如圖18例12019蘇州如圖18-10,ABC中,點E在BC邊上,AE=AB,將線段AC繞點A旋轉(zhuǎn)到AF的位置,使得CAF=BAE.連接EF,EF與AC交于點G.(2)若ABC=65,ACB=28,求FGC的度數(shù).圖18-10

10、(2)AE=AB,AEB=ABC=65.ABCAEF,AEF=ABC=65,FEC=180-AEB-AEF=180-65-65=50.FGC是EGC的外角,ACB=28,FGC=FEC+ACB=50+28=78.例12019蘇州如圖18-10,ABC中,點E在BC【方法點析】證明兩個三角形全等的注意事項:(1)在正規(guī)考試中,有時候判卷老師看得很快,可能只會找關(guān)鍵的得分點,所以最好寫上在“和中”,這樣寫判卷老師更容易發(fā)現(xiàn)證明思路,方便給分.(2)要按全等判定的順序?qū)?比如用“SAS”證明,必須把“A”寫在兩邊中間.【方法點析】證明兩個三角形全等的注意事項:1.2018龍東地區(qū)如圖18-11,四邊

11、形ABCD中,AB=AD,AC=5, DAB=DCB=90, 則四邊形ABCD的面積為()A.15B.12.5C.14.5D.17| 考向精練 |圖18-11B1.2018龍東地區(qū)如圖18-11,四邊形ABCD中,2.2019南京如圖18-12,D是ABC的邊AB的中點,DEBC,CEAB,AC與DE相交于點F.求證:ADFCEF.證明:DEBC,CEAB,四邊形DBCE是平行四邊形,BD=CE.D是AB的中點,AD=BD,AD=EC.CEAD,A=ECF,ADF=E,ADFCEF(ASA).圖18-122.2019南京如圖18-12,D是ABC的邊AB的3.2019桂林如圖18-13,AB=

12、AD,BC=DC,點E在AC上.(1)求證:AC平分BAD;(2)求證:BE=DE.圖18-133.2019桂林如圖18-13,AB=AD,BC=DC4.如圖18-14,將等腰直角三角形ABC的直角頂點置于直線l上,過A,B兩點分別作直線l的垂線,垂足分別為D,E,求證:BE=DC.圖18-144.如圖18-14,將等腰直角三角形ABC的直角頂點置于直線考向二全等三角形的開放性問題例22018金華、麗水如圖18-15,ABC的兩條高AD,BE相交于點F,請?zhí)砑右粋€條件,使得ADCBEC (不添加其他字母及輔助線),你添加的條件是 .圖18-15答案不唯一,如CA=CB,CE=CD等考向二全等三

13、角形的開放性問題例22018金華、麗水如| 考向精練 |1.2019齊齊哈爾如圖18-16,已知在ABC和DEF中,B=E, BF=CE,點B,F, C, E 在同一條直線上,若使ABCDEF,則還需添加的一個條件是.(只填一個即可)答案 AB=DE(或A=D或ACB=DFE或ACDF) 解析由已知證明兩三角形全等的條件已經(jīng)具有一邊一角對應(yīng)相等,需要添加的條件可以是夾已知角的邊,構(gòu)造SAS全等,也可以添加另外的任一組角構(gòu)造ASA或AAS,或者間接添加可以證明這些結(jié)論的條件即可.圖18-16| 考向精練 |1.2019齊齊哈爾如圖18-16,已解:添加條件:BE=DF或DE=BF或AECF或AE

14、B=DFC或DAE=BCF或AED=CFB或BAE=DCF或DCF+DAE=90等.選擇BE=DF進行證明.證明:在矩形ABCD中, ABCD,AB=CD,ABE=CDF.BE=DF,ABECDF(SAS),AE=CF.2.2019嘉興如圖18-17,在矩形ABCD中,點E,F在對角線BD上.請?zhí)砑右粋€條件,使得結(jié)論“AE=CF”成立,并加以證明.圖18-17解:添加條件:BE=DF或DE=BF或AECF或AEB=考向三角平分線與線段垂直平分線的性質(zhì)例3 如圖18-18,OP為AOB的平分線, PCOA,PDOB,垂足分別是C,D,則下列結(jié)論錯誤的是()A.PC=PDB.CPO=DOPC.CP

15、O=DPOD.OC=OD答案 B圖18-18考向三角平分線與線段垂直平分線的性質(zhì)例3 如圖18-18例4 2019南京如圖18-19,在ABC中,BC的垂直平分線MN交AB于點D,CD平分ACB. 若AD=2,BD=3,則AC的長為.圖18-19例4 2019南京如圖18-19,在ABC中,圖1| 考向精練 |如圖18-20,AB平分CAD, ACB+ADB=180, 求證:BC=BD.證明:在AD上截取AE,使得AE=AC,連接BE.AB平分CAD,CAB=EAB.AB=AB,ACBAEB,BC=BE,ACB=AEB.ACB+ADB=180,AEB+BED=180,ADB=BED,BE=BD

16、.BC=BD.圖18-20| 考向精練 |如圖18-20,AB平分CAD, ACB考向四全等三角形的實際應(yīng)用例5 課間,小明拿著老師的等腰直角三角板玩,不小心掉到兩墻之間,如圖18-21.(1)求證:ADCCEB;(2)從三角板的刻度可知AC=25 cm,請你幫小明求出砌墻磚塊的厚度a的大小(每塊磚的厚度相等)圖18-21考向四全等三角形的實際應(yīng)用例5 課間,小明拿著老師的等腰2020年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專項訓(xùn)練：全等三角形(含解析)例5 課間,小明拿著老師的等腰直角三角板玩,不小心掉到兩墻之間,如圖18-21.(2)從三角板的刻度可知AC=25 cm,請你幫小明求出砌墻磚塊的厚度a的大小(每塊磚的厚度相等)圖18-21(2)一塊墻磚的厚度為a,AD=4a,BE=3a,由(1)得:ADCCEB,DC=BE=3a,在RtACD