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1、芬斯勒時空中的宇宙論北京師范大學天文系 曹盛林能量力和動量力力等于動量隨時間的變化動量力Fp力等于能量隨距離的變化能量力Fe能量力和動量力相等嗎？Fp = Fe是否總是無條件成立的？哈密頓原理動量能量作用量對時空微分的順序動量力：作用量先對距離微分能量力：作用量先對時間微分平坦時空微分順序可交換動量力恒等于能量力其中C為作用量。什么是基本的物理量？力、能量、動量和作用量能量 L T 力 作用量 T L動量普朗克常數(shù)就是作用量從黑體能量分布的研究發(fā)現(xiàn)，作為人為的常數(shù)引入；量綱是作用量。能否認為微觀（量子）世界的實質(zhì)是：物質(zhì)的輻射和轉(zhuǎn)移是以普朗克常數(shù)h為基元的。其自然的結(jié)果是：能量、動量、時間和空

2、間不再是獨立量！“測不準關(guān)系”正是約束條件！ET = h = PL 正則變換中的一對正則量在量子世界中是相互約束的。時空微分順序不可交換動量力不等于能量力其中K和C為對易子。C和四維間隔如果令p = mv和E = mc2則有或是s2或s2是pr Et或是Et pr 也就是C取正或C取負這是人為的。為消除人為的影響，可將它們?nèi)∑椒?。于是有或利用芬斯勒幾何擴展時空結(jié)構(gòu)物理理論和幾何學物理學的實質(zhì)性進展總伴隨著幾何結(jié)構(gòu)的變化。 狹義相對論：閔柯夫斯基空間（偽歐基里德空間）； 廣義相對論：愛因斯坦空間（偽黎曼空間）； 量子力學：希爾伯特空間。關(guān)于芬斯勒(Finsler)時空芬斯勒幾何就是沒有二次型限制

3、的黎曼幾何。 時空結(jié)構(gòu)向高次形式發(fā)展：二次形式是基于地球上局部測量建立起的歐氏幾何和牛頓第二定律的需要而出現(xiàn)的。 考慮更一般的情況應該突破二次形限制，幾何上就進入了芬斯勒空間。陳省身先生的詩 物理幾何是一家， 共同攜手到天涯。 黑洞單極窮奧秘， 纖維連絡(luò)織錦霞。 進化方程孤立異， 對偶曲率瞬息差。 疇算竟有天人用， 拈花一笑欲無言。 楊振寧先生的詩 天衣豈無縫， 匠心剪接成。 渾然歸一體， 廣邃妙絕倫。 造化愛幾何， 四力纖維能。 千古寸心事， 歐高黎嘉陳。黎曼：關(guān)于幾何基礎(chǔ)中的假設(shè)1854年，黎曼在哥丁根的就職演說關(guān)于幾何基礎(chǔ)中的假設(shè)，推廣高斯的內(nèi)蘊幾何思想，首先提出了n維流形的概念，定義了

4、流形兩點間的距離： ds2=gijdxidxj 并以此出發(fā)建立了一般的黎曼幾何。在演說中黎曼指出：“其次簡單的情形可能是ds能用四次微分形式的四次方根表達的流形。對這個比較一般的情形的研究實際上并不要求本質(zhì)上不同的方法?！保ㄒ姅?shù)學珍寶p606)物理學家對芬斯勒幾何的論述1924年愛丁頓在相對論的數(shù)學理論一書中在討論“幾何學分支和電動力學”時提及，通常采用基本張量*Gij=gij+Fij其中g(shù)ij為對稱張量Fii為反對稱張量。為得到新的不變量，我們可利用表達式*Bijkl*Blmnidxjdxkdxmdxn，從而得到新的理論洞察力。1977年Rindler在相對論精義一書中提到芬斯勒幾何并給出一

5、類非黎曼度規(guī)： ds2=(dx4+dy4)1/2。Asanov研究了相對論的芬斯勒推廣；他用芬斯勒空間的密切黎曼度量張量取代通常廣義相對論中的黎曼度量張量，在分析了愛因斯坦場方程對拉格朗日密度構(gòu)造的限制條件的基礎(chǔ)上指出：目前已知的，僅有唯一的非黎曼度規(guī)函數(shù) 滿足限制條件。時空坐標變換及其特征四次形式的四維間隔不變量 令v=vx則有： c4dt4+dx4+dy4+dz42c2dt2dx2+2dy2dz2= c4dt4+dx4+dy4+dz4 2dt2 dx2+2dy2dz2。 能否建立新時空變換保證這類四次形式不變？時空變換及其逆變換用對偶速度v1=c2/v表示的時空變換及其逆時空變換群時空變換

6、群是一個群而通常的羅侖茲群是時空變換群的唯一子群。速度合成公式速度合成公式最能表現(xiàn)時空群的全部性質(zhì) 速度合成公式可寫成故易得：(1)wc,vcVc,vc（或wc ） Vc,(3)wc,vcVc, (4)w=c（或v=c）V=c (柏格曼:相對論引論)時空變換群的性質(zhì)兩個亞光速變換的合成仍是亞光速變換；超光速與亞光速變換的合成是超光速變換；兩超光速變換的合成是亞光速變換；光速與任何速度（包括超光速,亞光速的速度和光速本身）的合成速度仍是光速。通常的相對論僅討論了前，后兩個性質(zhì)！狹義相對論中的速度合成狹義相對論認為一切運動速度都低于真空中的光速c，因此參與合成的兩個速度均小于或等于c，于是得到圖中

7、所示的合成速度。光速和任意速度的合成仍是光速。0.5c和2c的合成速度易達極大速度合成公式存在奇點長度和速度間的關(guān)系愛因斯坦認為當速度運動到光速，在靜系看來一個球會壓縮成餅了，所以大于光的速度變得沒意義了。但按新的時空變換關(guān)系當越過光速以后，壓縮成的餅又重新擴張形成一個對稱圖像。光速是一個臨界點，而時空圖中的光錐將是一臨界面。從突變論觀點來看，光錐實際上是一個突變面。能量，動量和速度的關(guān)系愛因斯坦認為，當運動物體接近光速，能量就變成無限大，超光速的速度沒有存在的可能。這里的結(jié)果表明當運動超光速后能量反又下降，光速也是臨界點。結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性和事態(tài)空間 結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性問題當一個體系受到外界干擾時，對于微小

8、的干擾只引起系統(tǒng)狀態(tài)作相應的微小變化；這樣的體系稱為是結(jié)構(gòu)穩(wěn)定的。反之，對于微小擾動能引起系統(tǒng)巨大變化的體系稱為結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定的。事態(tài)空間通常人們處理物理問題往往一開始就注重初始條件和邊界條件。其實已將我們的注意力限制在一個狹小的范圍內(nèi)了。如果一個N維體系有M個自由系數(shù)，則我們可將這M個系數(shù)視為連續(xù)變化的獨立參量并構(gòu)成一個N+M維的新空間，稱它為事態(tài)空間。于是通常研究的物理問題成了事態(tài)空間的一個子域中的問題。體系狀態(tài)的多重性和臨界面一個體系可能有很多不同情況的解，這些解在事態(tài)空間構(gòu)成不同的子域，這些子域間由一些具有某些奇異點組成的特殊面連接，如何找出這些特殊的臨界面，是突變理論的基本特征。突變理論

9、的三個定理隱函數(shù)定理: 令f(x)=f(x1,x2, ,xn)在點x0是具有非零梯度的函數(shù)，即： f|x00 則可能找到一個新坐標系y=y(x)使得 f=y1.莫爾斯引理: 黑森矩陣H定義為： 若f=0, det H0,則可得： f Mni 莫爾斯鞍 Mni (y)=y12yi2+yi+12+yn2 莫爾斯鞍Mn0在y=0有極小值。唯一穩(wěn)定的莫爾斯鞍是Mn0。托拇定理：A 分裂引理令f(x)在某點x0有: f = 0, det H = 0 如果黑森H有l(wèi)個零本征值和i個負本征值，則函數(shù)f(x)可分裂為： f(x)=fNM(x1, ,xl)+Mn-li(xl+1, ,xn) 非莫爾斯函數(shù)fNM(

10、x1, ,xl)可以分類：B 分類定理 令fNM(x,c)是由分裂引理劃分出的非莫爾斯函數(shù)，它依賴于k個控制參量和l個狀態(tài)參量，則有： fNM(x,c) = Cat( l , k ), Cat(l,k) = CG(l) + Pert(l,k) Cat(l,k)是突變函數(shù)， CG(l)是芽（germ) Pert(l,k)是擾動。時空突變及其意義ds4與ds2的比較從微分映射理論觀點ds2和ds4是拓撲等價的，它們在零點附近有相同的性質(zhì)。但芽y=x2它在零點是拓撲（甚至是微分）穩(wěn)定的，而芽y=x4在零點是微分（甚至是拓撲）不穩(wěn)定的。時空突變利用突變理論可以證明在芬斯勒度量ds4定義下的時空是會發(fā)生

11、突變的。它是屬于通常突變理論中的所謂雙尖點（double cusp)突變。它有三種基本類型：x4+y4,x4y4,和x4+y42x2y2。光錐是臨界面通常相對論意義下的光錐和視界將是臨界面，其上發(fā)生突變的結(jié)果是產(chǎn)生超光速和亞光速運動偶。因此，不可能在通?！傲Α钡淖饔孟掳岩粋€亞光速運動的元粒子加速到超光速。類時，類空和光錐間的轉(zhuǎn)換光錐是突變面，因此兩個足夠能量的光子可轉(zhuǎn)換成超光速和亞光速粒子對，相反，超光速和亞光速粒子對可轉(zhuǎn)換成一對相應能量的光子，完全類似于正反粒子對和光子或介子對間的彼此轉(zhuǎn)換。光錐是發(fā)生突變的臨界面時空狀態(tài)函數(shù) f(T,X,Y,Z)=T4+X4+Y4+Z42T2X2+2Y2Z2

12、,令f=0,和fs=0這里 ,s=T,X,Y,Z。即黑森矩陣H（T，X，Y，Z）托姆定理用于時空結(jié)構(gòu)非退化子矩陣H（Y，Z）：退化子矩陣H（T，X）：剖分引理將f 分為： fM(Y,Z)=Y4+Z4+2Y2Z2 莫爾斯部分 fNM(T,X)=T4+X42T2X2非莫爾斯部分莫爾斯部分的莫爾斯鞍： M02=Y2+Z2子流形M（T，X）分為： H(T,X) 0 T2X20 時空的類空態(tài) H(T,X) = 0 T = X 類光突變態(tài) （奇點） T=X=0 原點(平庸奇點) 可見，通常相對論中的光錐乃是時空流形中的突變面。愛因斯坦場方程愛因斯坦張量: Gij=RijgijR分量形式的場方程: Gij=

13、8Tij 張量形式的場方程: G=8T宇宙學常數(shù) Gijgij=8Tij1929年哈勃發(fā)現(xiàn)宇宙正在膨脹,宇宙常數(shù)的引入顯得有些多余.1931年4月愛因斯坦拋棄了未經(jīng)證明的宇宙常數(shù).天文最新觀測似乎要求宇宙常數(shù)的存在.暗能量問題微波背景輻射射電星系宇宙的量天尺超新星宇宙正加速膨脹 m=0.3,=0.7芬斯勒結(jié)構(gòu)及其三個不變量芬斯勒結(jié)構(gòu)： 函數(shù)F：TM0，）滿足： 1)F(x,y)= F(x,y) 2)F|TM0是C的； 3) 在TM0正定。 稱F為M上的芬斯勒結(jié)構(gòu)。希爾伯特形式： 構(gòu)造了一個1-形式，它是SM上的整體微分形式，稱為希爾伯特形式。 利用嘉當結(jié)構(gòu)方程可由它得到芬斯勒結(jié)構(gòu)中的聯(lián)絡(luò)1-形

14、和曲率2-形。基本張量： 利用歐拉齊次函數(shù)特性可得： F2(x,y)=gijyiyj。 其中： 稱基本張量或芬斯勒度規(guī)張量。嘉當張量： 嘉當張量定義為： 或由基本張量gij的定義可得：芬斯勒度規(guī)的突變性質(zhì)結(jié)合突變理論和芬斯勒幾何,當希爾伯特形式和基本張量為零時,恰好符合突變條件.而按相對論,突變面恰好是奇點和光錐.這使通常相對論中的奇點和光錐有了新的性質(zhì).類時和類空測地線就是突變的兩種結(jié)果,因此廣義相對論中通常不考慮的類空測地線就可能有觀測意義,我們希望它能與天體中的超光速膨脹符合一致.(h,v)-Berwald-Moor度規(guī)(h,v)-Berwald-Moor度規(guī)的定義芬斯勒函數(shù)廣義拉格朗日

15、空間(M,g)標準線性d-聯(lián)絡(luò)定義：對于廣義拉格朗日空間(M,g)的標準線性d-聯(lián)絡(luò) 其中除了黎曼曲率 外還有擴展的愛因斯坦場方程水平和垂直部分史瓦西場中的突變及觀測檢驗史瓦西度規(guī)的徑向簡化由度規(guī) ds2=dt2 + 1dr2， 其中 可通過測地線方程得初積分 由此可以得到 因為0 0時vc,會出現(xiàn)超光速運動。 史瓦西場中的超光速運動有 很多特殊的性質(zhì)，特別有趣 的是它給出的運動規(guī)律與天 文學中觀測到的超光速膨脹 現(xiàn)象十分吻合。現(xiàn)在已觀測 到數(shù)十個這類天體，它們大 多數(shù)是河外天體，但在銀河 系內(nèi)也觀測到兩個超光速膨 脹天體。 后面我們用圖形說明。史瓦西場的排斥性質(zhì)廣義相對論的引力場特征與牛頓引

16、力公式有很大的差別，其中最重要一點是接近奇點附近的排斥現(xiàn)象排斥“力”的大小隨距奇點距離的增大很快減小，所達速度越大排斥也更猛烈。史瓦西場中超光速膨脹的速度變化從視界附近開始運動元粒子的速度隨離開視界的距離迅速增加但在20倍半徑內(nèi)增加很快，50倍以外幾乎完全消失。速度越大加速過程越快，這與通常概念相反。史瓦西場中超光速膨脹的軌跡在史瓦西半徑固定情況下，速度越大，加速越快。這與引力場中亞光速運動過程的特征完全相反。史瓦西場中超光速膨脹軌跡相同速度但在不同史瓦西半徑下，史瓦西半徑越小，運動元粒子被加速越快。這也與通常概念完全相反，倒很類似于“黑洞”蒸發(fā)所表現(xiàn)的特征即質(zhì)量越小的黑洞蒸發(fā)得越快！河外射電

17、源的超光速膨脹甚長基線干涉儀和甚大陣觀測到天體的超光速膨脹甚長基線干涉儀工作原理圖將兩個（或更多）相隔數(shù)百或上千公里的射電天線同時對準同一個射電源，并用射電干涉技術(shù)讓其形成分辨率極高的清晰圖象，以觀測源的精細結(jié)構(gòu)。發(fā)現(xiàn)了射電源的超光速膨脹。類星體3C273的亮度分布變化類星體3C273在甚長基線干涉儀觀測下得到的混雜圖，此圖表明，兩子源間距離的變化速度超過了光速，且有明顯的加速過程。原圖見Nature290(1981)（封面）。The Structural Evolution of the Superluminal Radio Galaxy 3C 120銀河系內(nèi)的微類星體1994年觀測到銀河系

18、內(nèi)“微類星體”的超光速膨脹。它屬于恒星量級的。已觀測到兩個這類天體。類星體3C273的超光速膨脹10多年的觀測結(jié)果能被史瓦西場的類空測地線非常好地擬合，這說明，通常忽略的類空測地線可能有觀測意義。左圖是求最佳擬合過程的殘差圖，由圖可看出存在最小殘差。直線擬合3C273觀測結(jié)果用直線擬合前圖關(guān)于類星體3C273超光速膨脹10多年的觀測數(shù)據(jù)。擬合結(jié)果置信度低于5%。賽福特星系3C120的超光速膨脹3C120是具有超光速膨脹的活動星系核，5年多的觀測結(jié)果也符合史瓦西場的類空測地線。左圖是求最佳擬合過程的殘差圖，由圖可看出存在極小殘差。直線擬合3C120的觀測結(jié)果與上圖同樣的觀測數(shù)據(jù)用直線擬合顯然是不

19、理想的。3C120觀測數(shù)據(jù)擬合圖3C120觀測數(shù)據(jù)的擬合曲線類星體3C345的非徑向超光速膨脹徑向距離和軌道角間的變化關(guān)系。角速度隨徑向距離的變化非徑向超光速膨脹其軌道角速度理論上存在一個極大值。觀測結(jié)果顯示了此極大值的存在。Gain-assisted superluminal light propagationL.J.Wang, A. Kuzmich & A. DogarinNEC Research Institute, 4 Independence Way, Princeton, New Jersey 08540,USANature |VOL 406|20 JULY 2000反常色散和超光

20、速運動物質(zhì)的折射率和色散每一種物質(zhì)有其介電性質(zhì)，它決定了光（或電磁波）在其中的傳遞速度。如果物質(zhì)的折射率為n則光在該介質(zhì)中的傳遞速度為vg=c/n。物質(zhì)的折射率通常是隨光的頻率而變的即n=n()。于是光在介質(zhì)中將發(fā)生色散。一般隨 增加n緩慢增加則稱正常色散。但有的物質(zhì)會出現(xiàn)折射率在某一頻率處出現(xiàn)突然地減小這種現(xiàn)象稱反常色散。反常色散介質(zhì)中光的群速度和相速度有趣的是在反常色散介質(zhì)中，光的傳遞群速度可能超過真空中的光速c。設(shè)n0=n(0) n()=n0+ dn/d 于是對于正常色散有dn/d 0而對于反常色散則有dn/d 0。通常定義光在這類介質(zhì)中的相速度vp和群速度vg 分別為： 由此看出當(n

21、0+ dn/d )c，這就是反常色散介質(zhì)中可能生的超光速（superluminal)傳遞現(xiàn)象。它能通過物理實驗證實嗎？關(guān)于“負速度”問題負速度是反常色散的預言當(n0 dn/d )0時將有vgc時可能出現(xiàn)負速度，從而使T: |F=4,m=4 |2: |F=4,m=2銫原子的激發(fā)態(tài)： |0: |F=4,m=3 增助反常色散增益曲線和折射率隨頻率的變化；折射率是由理論公式計算的。王利軍等的實驗裝置示意圖6厘米厚的銫原子氣室（常溫下）；光學泵使銫原子處于基態(tài)|1；喇曼泵使銫原子由基態(tài)|1經(jīng)激發(fā)態(tài)在躍遷到基態(tài)|2使激光脈沖達到超光速傳遞。增益曲線和折射率隨頻率變化王利軍等的實驗測得的折射率和增益系數(shù)。

22、雙增益的實現(xiàn)將消除激光脈沖波形的扭曲。通過對參量 1，2 和的測量由下公式計算磁化率:作用波超前真空波62納秒A為銫原子發(fā)生作用的光到達探測器D的光脈沖；B為真空中傳遞的光到達探測器D的光脈沖；A比B早到62(1)納秒。相應的群速指數(shù)ng= 310(5)62納秒超前是時空突變的結(jié)果光錐是突變面就意味著光子可能發(fā)生亞光速和超光速的突變。突變將產(chǎn)生對偶速度對，即v1v2=c2。在王利軍等的實驗中v1=310c,v2=c/310。探測器D接收到的A是v1信號，而D接收到的B是v2信號。雙增益消除波包外形扭曲以往的超光速實驗由于脈沖波形扭曲嚴重使結(jié)果難以給出正確解釋。王利軍等的實驗通過雙增益成功地消除

23、了波形扭曲。光子能走多慢?每秒17米,這恰是一部高級電梯所能達到的最高速度.這是1999年2月的(Nature)發(fā)表的文章給出的結(jié)果.光子可使之完全停下并被儲存起來.光幾乎和普通物質(zhì)一樣可以任意控制其速度.相對論需要擴展!相對論如何擴展?References1. Wang,L.J.,Kuzmich,A. and Dogarin,A. Gain-assisted superluminal light propagation. Nature 406,277-279(2000).2. Einstein,A. On the relativity principle and the conclusion

24、 drawn it, The Collected Papers of Albert Einstein Vol.(Princeten University Press, 433-488,1987).3. Brillouin,L. Wave Propagation and Group Velocity (Academic,New York,1960).4. Garrett, C.G.B. and McCumber, D.E. Propagation of a Gaussian light pulse through an anomalous dispersion medium. Phys.Rev.

25、A 1,305-313(1970).5. Chiao,R.Y. Superluminal (but causal) propagation of wave packets in transparent media with inverted atomic populations. Phys.Rev.A 48 R34-R37(1993).6. Cao, S.L., The theory of relativity and superluminal speeds, I.Kinematical part. Astrophys.Space Sci.145,293-302(1988).7. Rund,

26、H., Differential Geometry of Finsler Space (Speinger-Verlag, Berlin, 1959).8. Asanov,G.S., Finsler Geometry, Relativity and Gauge Theories (D. Reidel Publ Co.,Dordrecht, Holland, 1985).9. Rindler,W., Essential Relativity (Springer-Veriag, Berlin, 1977).10. Chern, S.S., Finsler geometry is just Riemaniann geometry without the quadratic restriction, Notices of the Amer. Math. Soc. September, 959-963, 1996.11. Born,M., Einsteins T