8.6.3-第一課時(shí)-平面與平面垂直的判定

1、88教材知識(shí)探究建筑工人砌墻時(shí)為了保證墻面與地面垂直，常常在較高處固定一條端點(diǎn)系有鉛錘的線，再沿著該線砌墻，如圖，這樣就能保證墻面與地面垂直.教材知識(shí)探究建筑工人砌墻時(shí)為了保證墻面與地面垂直，常常在較高問題(1)由上述可知當(dāng)直線與平面垂直時(shí)，過此直線可作無數(shù)個(gè)平面，那么這些平面與已知平面有何關(guān)系？(2)若要判斷兩平面是否垂直，根據(jù)上述問題能否得出一個(gè)方法？提示(1)垂直關(guān)系.(2)可以，只需在一平面內(nèi)找一直線垂直于另一平面即可.問題(1)由上述可知當(dāng)直線與平面垂直時(shí)，過此直線可作無數(shù)個(gè)1.二面角的概念(1)定義：從一條直線出發(fā)的兩_所組成的圖形.(2)相關(guān)概念：這條直線叫做二面角的_，這兩個(gè)半

2、平面叫做二面角的_.(3)畫法：如圖所示.兩個(gè)半平面(4)記法：二面角l或AB或PlQ或PABQ.棱面1.二面角的概念(1)定義：從一條直線出發(fā)的兩_(5)二面角的平面角平面角的大小和點(diǎn)O的選取無關(guān)若有O_l；OA_，OB_；OA_l，OB_l，則二面角l的平面角是_.(6)二面角的平面角的范圍：0180.AOB(5)二面角的平面角平面角的大小和點(diǎn)O的選取無關(guān)若有O_2.面面垂直的定義平面與平面垂直的定義也是證明平面與平面垂直的方法(1)定義：一般地，兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是_，就說這兩個(gè)平面互相垂直.平面與平面垂直，記作：_.(2)畫法：如圖，畫兩個(gè)互相垂直的平面時(shí)，通常把表示平

3、面的兩個(gè)平行四邊形的一組邊畫成_.直二面角垂直2.面面垂直的定義平面與平面垂直的定義也是證明平面與平面垂直3.兩平面垂直的判定如果一個(gè)平面過另一個(gè)平面的_，那么這兩個(gè)平面垂直.垂線3.兩平面垂直的判定如果一個(gè)平面過另一個(gè)平面的_教材拓展補(bǔ)遺微判斷1.平面和分別過兩條互相垂直的直線，則.( )2.若平面內(nèi)的一條直線垂直于平面內(nèi)兩條平行線，則.( )3.應(yīng)用面面垂直的判定定理的關(guān)鍵在于，在其中一個(gè)平面內(nèi)找到或作出另一個(gè)平面的垂線，即實(shí)現(xiàn)面面垂直向線面垂直的轉(zhuǎn)化.( )提示1.不一定.反例斜四棱柱中的底面和側(cè)面.2.不能保證直線和平面垂直，則就不一定成立.教材拓展補(bǔ)遺提示1.不一定.反例斜四棱柱中的

4、底面和側(cè)面.微訓(xùn)練1.已知l，則過l與垂直的平面()A.有1個(gè) B.有2個(gè)C.有無數(shù)個(gè) D.不存在解析由面面垂直的判定定理知，凡過l的平面都垂直于平面，這樣的平面有無數(shù)個(gè).答案C微訓(xùn)練A.有1個(gè) B.有2個(gè)2.對(duì)于直線m，n和平面，能得出的一個(gè)條件是()A.mn，m，n B.mn，m，nC.mn，n，m D.mn，m，n解析n，mn，m，又m，由面面垂直的判定定理得.答案C2.對(duì)于直線m，n和平面，能得出的一個(gè)條件是(微思考1.二面角與平面幾何中的角有什么區(qū)別？提示平面幾何中的角是從一點(diǎn)出發(fā)的兩條射線組成的圖形；二面角是從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形.2.二面角的平面角的大小，與角的頂

5、點(diǎn)在棱上的位置有關(guān)嗎，為什么？提示無關(guān).如圖，根據(jù)等角定理可知，AOBAOB，即二面角的平面角的大小與角的頂點(diǎn)的位置無關(guān)，只與二面角的大小有關(guān).微思考提示無關(guān).如圖，根據(jù)等角定理可知，AOBA題型一二面角及其平面角的概念的理解【例1】下列命題中：兩個(gè)相交平面組成的圖形叫做二面角；異面直線a，b分別和一個(gè)二面角的兩個(gè)面垂直，則a，b所成的角與這個(gè)二面角的平面角相等或互補(bǔ)；二面角的平面角是從棱上一點(diǎn)出發(fā)，分別在兩個(gè)面內(nèi)作射線所成的角的最小角；二面角的大小與其平面角的頂點(diǎn)在棱上的位置沒有關(guān)系.其中正確的是()A. B. C. D.題型一二面角及其平面角的概念的理解兩個(gè)相交平面組成的圖形解析由二面角的

6、定義：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角，所以不對(duì)，實(shí)質(zhì)上它共有四個(gè)二面角；由a，b分別垂直于兩個(gè)面，則a，b都垂直于二面角的棱，故正確；中所作的射線不一定垂直于二面角的棱，故不對(duì)；由定義知正確.故選B.答案B解析由二面角的定義：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形規(guī)律方法1.要注意區(qū)別二面角與兩相交平面所成的角并不一致.2.要注意二面角的平面角與頂點(diǎn)在棱上且角兩邊分別在二面角面內(nèi)的角的聯(lián)系與區(qū)別.3.可利用實(shí)物模型，作圖幫助判斷.規(guī)律方法1.要注意區(qū)別二面角與兩相交平面所成的角并不一致.【訓(xùn)練1】若一個(gè)二面角的兩個(gè)半平面分別垂直于另一個(gè)二面角的兩個(gè)半平面，那么這兩個(gè)二面角()

7、A.相等 B.互補(bǔ)C.相等或互補(bǔ) D.關(guān)系無法確定解析如圖所示，平面EFDG平面ABC，當(dāng)平面HDG繞DG轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，平面HDG始終與平面BCD垂直，所以兩個(gè)二面角的大小關(guān)系不確定，因?yàn)槎娼荋DGF的大小不確定.答案D【訓(xùn)練1】若一個(gè)二面角的兩個(gè)半平面分別垂直于另一個(gè)二面角的題型二求二面角的大小【例2】四邊形ABCD是正方形，PA平面ABCD，且PAAB.(1)求二面角APDC的平面角的度數(shù)；(2)求二面角BPAD的平面角的度數(shù)；(3)求二面角BPAC的平面角的度數(shù)；(4)求二面角BPCD的平面角的度數(shù).題型二求二面角的大小(1)求二面角APDC的平面角的度解(1)PA平面ABCD，CD平面AB

8、CD，PACD，又四邊形ABCD為正方形，CDAD，又PAADA，PA，AD平面PAD，CD平面PAD，又CD平面PCD，平面PAD平面PCD.二面角APDC的平面角的度數(shù)為90.(2)PA平面ABCD，AB，AD平面ABCD.ABPA，ADPA.BAD為二面角BPAD的平面角.又由題意知BAD90，二面角BPAD的平面角的度數(shù)為90.解(1)PA平面ABCD，CD平面ABCD，(3)PA平面ABCD，AB，AC平面ABCD.ABPA，ACPA.BAC為二面角BPAC的平面角.又四邊形ABCD為正方形，BAC45，即二面角BPAC的平面角的度數(shù)為45.(4)作BEPC于E，連接DE，BD，且B

9、D與AC交于點(diǎn)O，連接EO，如圖.由題意知PBCPDC，則BPEDPE，從而PBEPDE.DEPBEP90，且BEDE.(3)PA平面ABCD，AB，AC平面ABCD.ABBED為二面角BPCD的平面角.PA平面ABCD，BC平面ABCD，PABC.又ABBC，PAABA，PA，AB平面PAB，BC平面PAB，又PB平面PAB，BCPB.BED120.二面角BPCD的平面角的度數(shù)為120.BED為二面角BPCD的平面角.BED120規(guī)律方法確定二面角的平面角的方法：(1)定義法：在二面角的棱上找一特殊點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂直于棱的射線.(2)垂面法：過棱上一點(diǎn)作棱的垂直平面，該平面與二面角

10、的兩個(gè)半平面產(chǎn)生交線，這兩條交線所成的角，即為二面角的平面角.(3)線面垂直法：該法就是利用線面垂直來尋找二面角的平面角，是最常用的也是最好用的一種方法.由一個(gè)半平面內(nèi)異于棱上的點(diǎn)A向另一半平面作垂線，垂足為點(diǎn)B，由B點(diǎn)向二面角的棱作垂線，垂足為點(diǎn)O，連接AO，則AOB為二面角的平面角(或其補(bǔ)角).規(guī)律方法確定二面角的平面角的方法：【訓(xùn)練2】如圖所示，AB是O的直徑，PA垂直于O所在的平面，C是圓周上的一點(diǎn)，且PAAC，求二面角PBCA的大小.解PA平面ABC，BC平面ABC，PABC.AB是O的直徑，且點(diǎn)C在圓周上，ACBC.又PAACA，PA，AC平面PAC，BC平面PAC.而PC平面PA

11、C，PCBC.又BC是二面角PBCA的棱，PCA是二面角PBCA的平面角.由PAAC知，PAC是等腰直角三角形，PCA45，即二面角PBCA的大小是45.【訓(xùn)練2】如圖所示，AB是O的直徑，PA垂直于O所在的題型三平面與平面垂直的證明線面面面探究1證明平面與平面垂直【例31】如圖所示，在長方體ABCDA1B1C1D1中，ABAD1，AA12，M是棱CC1的中點(diǎn).證明：平面ABM平面A1B1M.題型三平面與平面垂直的證明線面面面探究1證明平面與證明由長方體的性質(zhì)可知A1B1平面BCC1B1，又BM平面BCC1B1，所以A1B1BM.又CC12，M為CC1的中點(diǎn)，所以C1MCM1.又B1B2，所以

12、B1M2BM2B1B2，從而BMB1M.又A1B1B1MB1，A1B1，B1M平面A1B1M，所以BM平面A1B1M，因?yàn)锽M平面ABM，所以平面ABM平面A1B1M.證明由長方體的性質(zhì)可知A1B1平面BCC1B1，又B1B探究2平面與平面垂直條件的探求【例32】如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD為菱形，BAD60，側(cè)面PAD為等邊三角形.(1)求證：ADPB；(2)若E為BC邊上的中點(diǎn)，能否在棱PC上找到一點(diǎn)F，使平面DEF平面ABCD？并證明你的結(jié)論.探究2平面與平面垂直條件的探求(1)求證：ADPB；(1)證明設(shè)G為AD的中點(diǎn)，連接PG，BG，如圖.因?yàn)镻AD為等邊三角形，所以PG

13、AD.在菱形ABCD中，DAB60，G為AD的中點(diǎn)，所以BGAD.又因?yàn)锽GPGG，BG，PG平面PGB，所以AD平面PGB.因?yàn)镻B平面PGB，所以ADPB.(1)證明設(shè)G為AD的中點(diǎn)，連接PG，BG，如圖.(2)解當(dāng)F為PC的中點(diǎn)時(shí)，滿足平面DEF平面ABCD.如圖，設(shè)F為PC的中點(diǎn)，連接DF，EF，DE，則在PBC中，EFPB.在菱形ABCD中，GBDE，而EF平面DEF，DE平面DEF，EFDEE，所以平面DEF平面PGB.由(1)，得AD平面PGB，而AD平面ABCD，所以平面PGB平面ABCD.所以平面DEF平面ABCD.(2)解當(dāng)F為PC的中點(diǎn)時(shí)，滿足平面DEF平面ABCD.規(guī)律

14、方法證明兩兩垂直常用的方法：(1)定義法：即說明兩個(gè)半平面所成的二面角是直二面角.(2)判定定理法：在其中一個(gè)平面內(nèi)尋找一條直線與另一個(gè)平面垂直，即把問題轉(zhuǎn)化為線面垂直.(3)性質(zhì)法：兩個(gè)平行平面中的一個(gè)垂直于第三個(gè)平面，則另一個(gè)也垂直于此平面.規(guī)律方法證明兩兩垂直常用的方法：【訓(xùn)練3】過點(diǎn)S引三條線段SA，SB，SC，其中BSC90，ASCBSA60，且SASBSCa.求證：平面ABC平面BSC.證明如圖，取BC的中點(diǎn)D，連接SD，AD，由于ASCBSA60，且SASBSCa，所以SAC，SAB為正三角形，所以三角形ABC為等腰直角三角形，【訓(xùn)練3】過點(diǎn)S引三條線段SA，SB，SC，其中BS

15、C所以SAD為直角三角形，SDA為直角，所以，平面ABC平面BSC.所以ADBC，又SDBC，所以ADS恰好為二面角SBCA的平面角.所以SAD為直角三角形，SDA為直角，所以ADBC，又一、素養(yǎng)落地1.通過探究發(fā)現(xiàn)及應(yīng)用平面與平面垂直的判定定理，重點(diǎn)培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)及提升邏輯推理素養(yǎng)和直觀想象素養(yǎng).2.求二面角大小的步驟簡(jiǎn)稱為“一作二證三求”.一、素養(yǎng)落地簡(jiǎn)稱為“一作二證三求”.3.平面與平面垂直的判定定理的應(yīng)用思路(1)本質(zhì)：通過直線與平面垂直來證明平面與平面垂直，即線面垂直面面垂直.(2)證題思路：處理面面垂直問題轉(zhuǎn)化為處理線面垂直問題，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為處理線線垂直問題來解決.3.平面與平面

16、垂直的判定定理的應(yīng)用思路(1)本質(zhì)：通過直線與二、素養(yǎng)訓(xùn)練1.已知P為ABC平面外一點(diǎn)，且PAAB，PAAC，ABAC，則下列關(guān)系中錯(cuò)誤的是()A.平面PAB平面ABCB.平面PAC平面ABCC.平面PAB平面PACD.平面PBC平面ABC答案D二、素養(yǎng)訓(xùn)練A.平面PAB平面ABCB.平面PAC2.已知直線m，n是異面直線，則過直線n與過直線m垂直的平面()A.有且只有一對(duì) B.至多一對(duì)C.有一個(gè)或無數(shù)對(duì) D.不存在解析若異面直線m，n垂直，則符合要求的平面有一對(duì)，否則不存在.答案B2.已知直線m，n是異面直線，則過直線n與過直線m垂直的平面3.在正方體ABCDA1B1C1D1中，截面A1BD

17、與底面ABCD所成的二面角A1BDA的正切值等于()答案C3.在正方體ABCDA1B1C1D1中，截面A1BD與底面4.如圖，在空間四邊形ABCD中，ABBC，CDDA，E，F(xiàn)，G分別是CD，DA，AC的中點(diǎn)，求證：平面BEF平面BGD.證明ABBC，G為AC中點(diǎn)，所以ACBG.同理可證ACDG.又BGDGG，BG，DG平面BGD，AC平面BGD.E，F(xiàn)分別為CD，DA的中點(diǎn)，EFAC，EF平面BGD.又EF平面BEF，平面BEF平面BGD.4.如圖，在空間四邊形ABCD中，ABBC，CDDA，E三、審題答題示范(四)平面與平面垂直的證明及二面角的計(jì)算【典型示例】 (14分)如圖，在三棱錐ABCD中，AB平面BCD，BDCD.(1)求證：平面ABD平面ACD；(2)若ABBC2BD，求二面角BACD的正切值.聯(lián)想解題看到想到直線AB垂直于平面BCD內(nèi)的任一直線.看到想到結(jié)合其他條件證明線面垂直.看到想到利用面面垂直的判定定理，即在其中一個(gè)平面內(nèi)找到一條垂直于另一個(gè)平面的直線.看到想到用求二面角的步驟計(jì)算，即“作證求”.三、審題答題【典型示例】 (14分)如圖，在三棱錐ABCD滿分示