立體幾何知識(shí)點(diǎn)

1、精心整理精心整理立體幾何知識(shí)點(diǎn)一、空間幾何體多面體：由若干個(gè)多邊形圍成的幾何體，叫做多面體。圍成多面體的各個(gè)多邊形叫做多面體的面,相鄰兩個(gè)面的公共邊叫做多面體的棱,棱與棱的公共點(diǎn)叫做多面體的頂點(diǎn).棱柱：有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱。兩個(gè)互相平行的面叫做底面,其余各面叫做側(cè)面.3棱錐：有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐。底面是正多邊形，且各側(cè)面是全等的等腰三角形的棱錐叫做正棱錐。正棱錐的性質(zhì)：各側(cè)棱相等，各側(cè)面都是全等的等腰三角形；頂點(diǎn)在底面上的射影是底面正多邊形的中心。

2、4棱臺(tái)：用一個(gè)平行于底面的平面去截棱錐，底面與截面之間的部分叫做棱臺(tái)。由正棱錐截得的棱臺(tái)叫做正棱臺(tái)。正棱臺(tái)的性質(zhì)：各側(cè)棱相等，各側(cè)面都是全等的等腰梯形；正棱臺(tái)的兩底面以及平行于底面的截面是相似的正多邊形5旋轉(zhuǎn)體：由一個(gè)平面圖形繞一條定直線旋轉(zhuǎn)所形成的封閉幾何體叫旋轉(zhuǎn)體，這條定直線叫做旋轉(zhuǎn)體的軸，6圓柱、圓錐、圓臺(tái)：分別以矩形的一邊、直角三角形的直角邊、直角梯形垂直于底邊的腰所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)而形成的曲面所圍成的幾何體分別叫做圓柱、圓錐、圓臺(tái)。圓柱.圓錐.圓臺(tái)的性質(zhì)：平行于底面的截面都是圓；過軸的截面（軸截面）分別是全等的矩形、等腰三角形、等腰梯形。注：在處理圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開圖

3、問題時(shí)，經(jīng)常用到弧長(zhǎng)公式l=aR7球:以半圓的直徑為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面叫做球面球面所圍成的幾何體叫做球體（簡(jiǎn)稱球）8簡(jiǎn)單空間圖形的三視圖：一個(gè)投影面水平放置，叫做水平投影面，投影到這個(gè)平面內(nèi)的圖形叫做俯視圖。一個(gè)投影面放置在正前方，這個(gè)投影面叫做直立投影面，投影到這個(gè)平面內(nèi)的圖形叫做主視圖（正視圖）。和直立、水平兩個(gè)投影面都垂直的投影面叫做側(cè)立投影面，通常把這個(gè)平面放在直立投影面的右面，投影到這個(gè)平面內(nèi)的圖形叫做左視圖（側(cè)視圖）。三視圖的主視圖、俯視圖、左視圖分別是從物體的正前方、正上方、正左方看到的物體輪廓線的正投影圍成的平面圖形。（1）.三視圖畫法規(guī)則：高平齊：主視圖與左視圖的高要

4、保持平齊長(zhǎng)對(duì)正：主視圖與俯視圖的長(zhǎng)應(yīng)對(duì)正寬相等：俯視圖與左視圖的寬度應(yīng)相等空間幾何體三視圖：正視圖（從前向后的正投影）側(cè)視圖（從左向右的正投影）；正視乙側(cè)視俯視圖（從上向下正投影例題1.某四棱錐底面為直角梯形，1條側(cè)棱與底面垂直，四棱錐的三視圖如右圖月i示1則其體積為例題2.右圖是底面為正方形的四棱錐，其中棱（1）.三視圖畫法規(guī)則：高平齊：主視圖與左視圖的高要保持平齊長(zhǎng)對(duì)正：主視圖與俯視圖的長(zhǎng)應(yīng)對(duì)正寬相等：俯視圖與左視圖的寬度應(yīng)相等空間幾何體三視圖：正視圖（從前向后的正投影）側(cè)視圖（從左向右的正投影）；正視乙側(cè)視俯視圖（從上向下正投影例題1.某四棱錐底面為直角梯形，1條側(cè)棱與底面垂直，四棱錐的

5、三視圖如右圖月i示1則其體積為例題2.右圖是底面為正方形的四棱錐，其中棱PA垂直于底面，它的三視圖正確的是（俯視A6)VA正前方圖5空間幾何體的直觀圖一一斜二測(cè)畫法特點(diǎn):斜二測(cè)坐標(biāo)系的y軸與x軸正方向成45角;原來與X軸平行的線段仍然與X平行，長(zhǎng)度不變;原來與y軸平行的線段仍然與y平行，長(zhǎng)度為原來的一半.常用結(jié)論：平面圖形面積與其斜二側(cè)直觀圖面積之比為2邁:1.例.如果一個(gè)水平放置的平面圖形的斜二測(cè)直觀圖是一個(gè)底角為45,腰和上底均為1的等腰梯形,那么原平面圖形的面積是（）.C2+屮2*2D.1+、：29特殊幾何體表面積公式（c為底面周長(zhǎng)，h為高，h為斜高，1為母線）：S圓臺(tái)表C+譏+Rl+R

6、2）S球面=4nR210.柱體、錐體、臺(tái)體和球的體積公式：11V-（S+TFF+S）hV飛（S*SS+S）h二?。╮2+rR+R2）hV=4加臺(tái)3圓口33球3例題3:已知某幾何體的俯視圖是如圖5所示的矩形，正視圖（或稱主視圖）是一個(gè)底邊長(zhǎng)為8、高為4的等腰三角形，側(cè)視圖（或稱左視圖）是一個(gè)底邊長(zhǎng)為6、高為4的等腰三角形例4.已知各頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上的正四棱柱高為4，體積為16，則這個(gè)球的表面積是（）A.16kB.20kC.24兀D.32n例5半徑為R的半圓卷成一個(gè)圓錐，則它的體積為.練習(xí)：1.已知一個(gè)幾何體的三視圖及其大小如圖1,這個(gè)幾何體的體積V=（A.12kB.16kC.18kD.64k.

7、右圖是一個(gè)幾何體的三視圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù),可得該幾何體的表面積是（）A.32kb.16kC.12kd.8k俯視圖.某幾何體的三視圖如圖所示，其俯視圖是由一個(gè)半圓與其直徑組成的圖形，則此幾何體的體積是（）A20A.n3B6n10n34.一個(gè)幾何體的三視圖是三個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形和對(duì)角線,如圖所示，則此幾何體的體積為（）115A.6B.3C.6D.1個(gè)空間幾何體的三視圖如圖所示，根據(jù)圖標(biāo)出的尺寸，可得這個(gè)幾何體的體積為（）A.4B.8C.12D.24若一個(gè)底面為正三角形、側(cè)棱與底面垂直的棱柱的三視圖如下圖所示,則這個(gè)棱柱的體積為（）A.12朽B.6C.27朽D.36朽二、立體幾何點(diǎn)線面的位置關(guān)系T11

8、2T左視圖111111中點(diǎn)，則以下結(jié)論中不成立的是（）A.EF與BB垂直B.EF與BD垂直1C.EF與CD異面D.EF與AC異面11TOC o 1-5 h z例2已矢Um,n是兩條不同直線，a,p,y是三個(gè)不同平面，下列命題中正確的是（）A.若mIIa,nIIa,則mIInB.若a丄丫,P丄丫,則aIIpC.若mIIa,mIP,則aIIPD.若m丄a,n丄a,則mIIn練習(xí)：1設(shè)直線m與平面a相交但不垂直，則下列說法中正確的是（）A.在平面a內(nèi)有且只有一條直線與直線m垂直B.過直線m有且只有一個(gè)平面與平面a垂直C.與直線m垂直的直線不可能與平面a平行D.與直線m平行的平面不可能與平面a垂直2設(shè)

9、a,b為兩條直線,a，p為兩個(gè)平面，下列四個(gè)命題中，正確的命題是（）A.A.若ab與a所成的角相等，則abB.若a/a,bp,ap，則abC.C.若aua,bup,ab，則apD.若a丄a,b丄p,a丄p，則a丄b3給出下列四個(gè)命題：垂直于同一直線的兩條直線互相平行.垂直于同一平面的兩個(gè)平面互相平行.BBC精心整理精心整理B若直線/,/與同一平面所成的角相等，則/,/互相平行.1212若直線I,/是異面直線，則與/,/都相交的兩條直線是異面直線.1212其中假命題的個(gè)數(shù)是()(A)1(B)2(C)3(D)44設(shè)a、p、y為平面，m、n、/為直線，則m丄0的一個(gè)充分條件是()(A)a丄0二/,m

10、丄/(B)acy二M,a丄y,0丄y(C)a(C)a丄y,0丄y,m丄a(D)n丄a,n丄0,m丄a設(shè)M、N是不同的直線,a、0、y是不同的平面，有以下四個(gè)命題：若a/0,a/y,則0/y若a丄0,m/a，則m丄0若m丄a,m/0，則a丄0若m/n,nua,則m/a其中真命題的序-號(hào)是()A.B.C.D.三、線線平行的判斷：三角形中位線定理；構(gòu)造平行四邊形，其對(duì)邊平行；對(duì)應(yīng)線段成比例，兩直線平行；平行于同一直線的兩直線平行；(平行的傳遞性)如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線和交線平行；(線面平行的性質(zhì))如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，所得交線平行；

11、(面面平行的性質(zhì))垂直于同一平面的兩直線平行；(線面垂直的性質(zhì))線面平行的判斷：如果平面外的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行。兩個(gè)平面平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的直線必平行于另一個(gè)平面。例1、(三角形中位線定理)如圖，在正方體ABCD-ABCD中，E是AA的中點(diǎn)，求證：AC/平111111面BDE。D1連接0，D1連接0，/-E；J1才、/|八禮/丄亠證明：連接AC交BD于0,E為AA的中點(diǎn)，O為AC的中點(diǎn)1EO為三角形AAC的中位線EO/AC11又EO在平面BDE內(nèi)，AC在平面BDE外1AC/平面BDE。1例2、(證明是平行四邊形)已知正方體ABCD-ABCD,O是底AB

12、CD對(duì)角線的交點(diǎn)求證：CO11111面ABD;ii證明：（1）連結(jié)AC，設(shè)AiCicBiD廣Oi，連結(jié)AO111.ABCD-ABCD是正方體/.AACC是平行四邊形111111.AC/AC且AC二ACTOC o 1-5 h zii11又O,O分別是AC,AC的中點(diǎn)，0C/AO且OC二AO111ii11AOCO是平行四邊形C1OAO1，AO1u面ABD,CO農(nóng)面ABD.CO面ABD1111111i113、面面平行的判斷：(i)個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面，這兩個(gè)平面平行。(2)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行。例4、如圖，在正方體ABCD-ABCD中，E、F、G分別是1111AB、A

13、D、CD的中點(diǎn)求證：平面DEF平面BDG.111證明：E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)，EFIIBD又EF平面BDG,BDu平面BDG.EF平面BDGDG空EB四邊形DGBE為平行四邊形11,DEIIGB1又DE農(nóng)平面BDG,GBu平面BDGDE平面BDGEFcD1E二E,平面,DEIIGB1111練習(xí)：1、(利用三角形中位線)如圖，已知四棱錐P-ABCD的底精心整理D面ABCD是菱形，PA丄平面ABCD,點(diǎn)F為PC的中點(diǎn).求證：PA/平面BDF;精心整理D精心整理精心整理2、（構(gòu)造平行四邊形）如圖，在三棱柱ABC-ABC中，每個(gè)側(cè)面均為正方形，D為底邊AB的中點(diǎn),1113、2、（構(gòu)造平行四邊形）

14、如圖，在三棱柱ABC-ABC中，每個(gè)側(cè)面均為正方形，D為底邊AB的中點(diǎn),1113、E為側(cè)棱CC的中點(diǎn)，求證：CD平面AEB;11A（線面平行的性質(zhì)）如圖，四面體ABCD被一平面所截，截面EFGH求證：CD平面EFGH（1）證明：截面EFGH是一個(gè)矩形,EFGH,又GH?平面BCD.EF面BCD,而EF?面ACD,面ACDn面BCD=CD.EFCD,ACD平面EFGHBEEDBCCD4（對(duì)應(yīng)線段成比例，兩直線平行，面面平行得到線面平行）如下圖設(shè)p為長(zhǎng)方形ABCD所在平面外一點(diǎn)，m、n分別為ab、pd上的點(diǎn)且MB=dn求證：直線MN平面PBC。分析：要證直線MN平面PBC,只需證明MN平面PBC內(nèi)

15、的一條直線或MN所在的某個(gè)平面平面PBC證法一：過N作NRDC交PC于點(diǎn)R,連結(jié)RB,依題意得DCNR=DN=AM=AB-MB=DCMB=NR二MB,NRNPMBMBMBNRDCAB,A四邊形MNRB是平行四邊形AMNRB.又.RB平面PBC,A直線MN平面PBC證法二：過N作NQAD交PA于點(diǎn)Q,連結(jié)QM,am=dn=aq,QMPB又NQADBC,A平面MQN平面PBC直線MN平面PBCMBNPQP棱AB、PD的中點(diǎn).求證：AF/平面PCE;CB如CB5、（中位線定理、平行四邊形）如圖，四棱錐P棱AB、PD的中點(diǎn).求證：AF/平面PCE;CB如CB分析：取PC的中點(diǎn)G,連EG.,FG,則易證

16、AEGF是平行四邊形BC的中點(diǎn)。求證：EF/面ADCo6、（平行的傳遞性）已知正方體ABCD-A、B、C、D中，E,F分別是BC的中點(diǎn)。求證：EF/面ADCo四、立體幾何垂直總結(jié)1、線線垂直的判斷：線面垂直的定義：若直線垂直于一平面，這條直線垂直于平精心整理/線面垂直的定義：若直線垂直于一平面，這條直線垂直于平精心整理/補(bǔ)充：一條直線和兩條平行直線中的一條垂直，也必垂直平行線中的另一條。2、線面垂直的判斷：（1）如果一直線和平面內(nèi)的兩相交直線垂直，這條直線就垂直于這個(gè)平面。（2）如果兩條平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，那么另一條也垂直于這個(gè)平面。（3）一直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面，它也垂

17、直于另一個(gè)平面。4）如果兩個(gè)平面垂直，那么在個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線必垂直于另個(gè)平面3、面面垂直的判斷：一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的垂線，這兩個(gè)平面互相垂直。證明線線垂直的常用方法:例1、（等腰三角形三線合一）如圖，已知空間四邊形ABCD中，BC二AC,AD二BD,E是AB的中點(diǎn)。求證：（1）AB丄平面CDE;（2）平面CDE丄平面中點(diǎn)。求證：（1）AB丄平面CDE;（2）平面CDE丄平面ABC。A證明：BC=ACAE=BEnCE丄ABAD=BD、同理，AE=BE又CEcDE=E（2）由（1）有AB丄平面CDE又AB匸平面ABC,CDAB丄平面CDEB平面CDE丄平面ABC例2、（菱形的對(duì)角線互相

18、垂直、等腰三角形三線合一）已知四棱錐P-ABCD的底面是菱形.PB=PD,E為PA的中點(diǎn).（I）求證：PC/平面BDE;（II）求證：平面PAC丄平面BDE.例3、（線線、線面垂直相互轉(zhuǎn)化）已知AABC中ZACB二90,SA丄面ABC,AD丄SC，求證：AD丄B是圓O的直徑，C是圓O的圓周上異于A、B的任意一點(diǎn)，且圖2PA=AC，點(diǎn)E是線段PC的中點(diǎn)求證：AE丄平面PBC證明：PA丄口O所在平面，BC是口O的弦，BC丄PA圖2又AB是口O的直徑，ZACB是直徑所對(duì)的圓周角，CBC丄ACCPApAC=A,PAu平面PAC,ACu平面PACBC丄平面PAC,AEu平面PAC，：AE丄BCPA=AC

19、，點(diǎn)E是線段PC的中點(diǎn)AE丄PCPCBC=C,PCu平面PBC,BCu平面PBCAE丄平面PBC例5、（證明所成角為直角）在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是等腰梯形，ABCD,ZDAB=B60,AE丄BD，CB=CD=CF.求證：BD丄平面AED；證明因?yàn)樗倪呅蜛BCD是等腰梯形，ABCD,ZDAB=60,B所以ZADC=ZBCD二120.又CB二CD,所以ZCDB二30,因此ZADB=90,即AD丄BD.又AE丄BD，且AEQAD二A,AE,AD?平面AED,所以BD丄平面AED.例6、（勾股定理的逆定理）如圖7-7-5所示，已知直三棱柱ABCA1B1C1中，AABC為等腰直角三角形，Z

20、BAC=90。，且AB=AA,D、E、F分別為BJ、CQ、BC的中點(diǎn).求證：（1）DE平面ABC;（2）B/丄平面AEF.例7、（三垂線定理）證明：在正方體ABCD-ABCD中,AC丄平面BCDi證明：連結(jié)ACBD丄AC.IAC為AC在平面AC上的射影練習(xí)；1、如圖在三棱錐PABC中，AB=AC,D為BC的中點(diǎn)，PO丄平面ABC,垂足O落在線段AD上證明：AP丄BC;22、直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=|aA1,D是棱AA1的中點(diǎn)，DC丄BD.證明：DC1BCO精心整理精心整理PAD三棱錐EABD的側(cè)面積.=ADPAD三棱錐EABD的側(cè)面積.=AD.求證：(1)CD丄PD；EF丄

21、平面PCD./;3.如圖，平行四邊形ABCD中，ZDAB=60,AB=2,AD=4.將ACBD沿BD折起到AEBD的位置，使平面EBD丄平面ABD.(l)求證：AB丄DE;求內(nèi)4、在正二棱柱ABC-ABC中，若AB=2,AA=1，求點(diǎn)1111A到平面ABC的距離。15、如圖所示，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是矩形，側(cè)棱PA垂直于底面，E、F分別是AB、PC的中點(diǎn),五、直線與方程直線的傾斜角定義：x軸正向與直線向上方向之間所成的角叫直線的傾斜角。特別地，當(dāng)直線與x軸平行或重合時(shí)，我們規(guī)定它的傾斜角為0度。因此，傾斜角的取值范圍是00;當(dāng)。,180。丿時(shí)，k0時(shí)，方程表示圓，此時(shí)圓心為P+E

22、2-4F半徑為當(dāng)D+E2-4F=0時(shí)，表示一個(gè)點(diǎn)；當(dāng)D+E2-4Fol與C相離:y,A2+B2d=rol與C相切；drol與C相交表示切點(diǎn)坐標(biāo)，r表示半(2)設(shè)直線l:Ax+By+C=0，圓C:(x-a)2+(y-b)2=r2，先將方程聯(lián)立消元，得到一個(gè)一元二次方程之后，令其中的判別式為A，則有注：如果圓心的位置在原點(diǎn)，可使用公式xx+yy=r2表示切點(diǎn)坐標(biāo)，r表示半00“徑。(3)過圓上一點(diǎn)的切線方程：圓x2+y2=r2，圓上一點(diǎn)為(x0,y0)，則過此點(diǎn)的切線方程為xx+yy=r2(課本命題).圓(x-a)2+(y-b)2=r2，圓上一點(diǎn)為(x0,y0)，則過此點(diǎn)的切線方程為(x0-a)(x-a)+(y；-b)(y-b)=匕(課本命題的推廣).4、圓與圓的位關(guān)系：通過兩圓半徑的和(差)，與圓心距(d)之間的大小比較來確定。設(shè)圓C:C-a+J-b=r2,C:(x一