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1、 12/122021年考研數(shù)學高等數(shù)學復習講義(詳細版) 2019年考研數(shù)學高等數(shù)學復習講義 第一章 函數(shù)、極限、連續(xù) 1.1 函數(shù) (甲)內容要點 一、函數(shù)的概念 1.函數(shù)的定義 設D 是一個非空的實數(shù)集,如果有一個對應規(guī)劃f ,對每一個x D ,都能對應惟一的一個實數(shù)y ,則這個對應規(guī)劃f 稱為定義在D 上的一個函數(shù),記以y =f (x ),稱x 為函數(shù)的自變量,y 為函數(shù)的因變量或函數(shù)值,D 稱為函數(shù)的定義域,并把實數(shù)集 |(),Z y y f x x D = 稱為函數(shù)的值域。 2.分段函數(shù) 如果自變量在定義域內不同的值,函數(shù)不能用同一個表達式表示,而要用兩上或兩個以上的表達式來表示。這

2、類函數(shù)稱為分段函數(shù)。 例如 211x x y f x x x x x +-? =? 是一個分段函數(shù),它有兩個分段點,x 1和x 1,它們兩側的函數(shù)表達式不同,因此討論函數(shù)y =f (x )在分段點處的極限、連續(xù)、導數(shù)等問題時,必須分別先討論左、右極限,左、右連續(xù)性和左、右導數(shù)。需要強調:分段函數(shù)一般不是初等函數(shù),不能用初等函數(shù)在定義域內皆連續(xù)這個定理。 3.隱函數(shù) 形如y =f (x )有函數(shù)稱為顯函數(shù),由方程F (x ,y )=0確定的y y (x )稱為隱函數(shù),有些隱函數(shù)可以化為顯函數(shù)(不一定是一個單值函數(shù)),而有些隱函數(shù)則不能化為顯函數(shù)。 4.反函數(shù) 如果y =f (x )可以解出()x

3、 y ?=是一個函數(shù)(單值),則稱它為f (x )的反函數(shù),記以1()x f y -=。有時也用1()y f x -=表示。 二、基本初等函數(shù) 1.常值函數(shù) y C (常數(shù)) 2.冪函數(shù) y x =(常數(shù)) 3.指數(shù)函數(shù) x y a =(a 0,a 1常數(shù)) x y e =(e 2.7182,無理數(shù)) 4.對數(shù)函數(shù) log a y x =(a 0,a 1常數(shù)) 常用對數(shù) 10log lg y x x = 自然對數(shù) log ln e y x x = 5.三角函數(shù) sin ;cos ;tan .y x y x y x = cot ;sec ;csc .y x y x y x = 6.反三角函數(shù) a

4、rcsin ;cos ;y x y arc x = arctan ;cot .y x y arc x = 基本初等函數(shù)的概念、性質及其圖像非常重要,影響深遠。例如以后經常會用lim arctan x x + ;lim arctan x x - ;10 lim x x e + ;10 lim x x e - ;0 lim ln x x +等等,就需要對 arctan y x =,x y e =,ln y x =的圖像很清晰。 三、復合函數(shù)與初等函數(shù) 1.復合函數(shù) 設()y f u = 定義域U ()u g x = 定義域X ,值域U* 如果*U U ?,則()y f g x =是定義在X 上的一

5、個復合函數(shù),其中u 稱為中間變量。 2.初等函數(shù) 由基本初等函數(shù)經過有限次四則運算和復合所構成的用一個分析表達式表示的函數(shù)稱為初等函數(shù)。 四、函數(shù)的幾種性質 1.有界性:設函數(shù)y =f (x )在X 內有定義,若存在正數(shù)M ,使x X 都有 ()f x M ,則稱f (x )在X 上是有界的。 2. 奇偶性:設區(qū)間X 關于原點對稱,若對x X ,都有()()f x f x -=-,則稱()f x 在X 上是奇函數(shù);若對x X ,都有()()f x f x -=,則稱()f x 在X 上是偶函數(shù)。奇函數(shù)的圖像關于原點對稱;偶函數(shù)圖像關于y 軸對稱。 3. 單調性:設()f x 在X 上有定義,若

6、對任意1212x X x X x x ?,則稱()f x 在X 上是單調增加的?單調減少的;若對任意1212x X x X x x , 2100 x -要有定義,210010 x x , 因此,()f x 的定義域為(10e , 【例2】 求1 ln 5 y x x x =-+ -的定義域。 解 x x -要有定義,1x 和0 x = 1 ln 5 x -要有定義,546x x x , 因此,定義域為)()()()01445566+, , 【例3】 設()f x 的定義域為()0a a a -,求()21f x -的定義域。 解 要求21a x a -,則211a x a -+, 當1a 時,

7、10a -,21x a +,則1x a + 當01a ,11a x a -+ 也即11a x a -+或11a x a -+- 【例4】 設()102224x g x x ,且1y 所以原來函數(shù)的值域為(0,1)(1,)+。 三、求復合函數(shù)有關表達式 1.已知f (x )和g (x ),求f g (x ). 【例1】 已知()1 x f x x = -,求1()1f f x ? ? -? . 解 1 ()1 111 x f x x x -=-=-, 11()1x f x =- (1x ) 于是,111 (1)()1(1)12x x f f x f x x x ?-=-=? (1,2x x )

8、【例2】 設2 ()1x f x x = +,求()()n f f f x f x =. n 重復合 解 2 222 2 2()()()1111() 12f x x x x f x f f x x x f x x = = +=+, 若 2 ()1k x f x kx = +,則2 12 2 2()()1111() k k k f x x x f x kx kx f x += = +=+ 2 1(1)x k x + 根據(jù)數(shù)學歸納法可知,對正整數(shù)n ,2 ()1n x f x nx =+ 2.已知g (x )和f g (x ),求f (x ). 【例1】 設2(1)x x x f e e e x

9、+=+,求f (x ). 解 令1x e u +=,ln(1)x u =- 22()(1)(1)ln(1)ln(1)f u u u u u u u =-+-+-=-+- 于是 2 () l n (1) f x x x x =-+- 【例2】 已知()x x f e xe -=,且(1)0f =,求f (x ). 解 令,ln x e t x t =,因此ln ()()x t f e f t t = , 221 1 ln 11 ()(1)ln ln 22x x t f x f dt t x t -=? (1)0f =,21 ()ln 2 f x x = 四、有關四種性質 【例1】 設()()F

10、x f x =,則下列結論正確的是( ). (A )若f (x )為奇函數(shù),則F (x )為偶函數(shù) (B )若f (x )為偶函數(shù),則F (x )為奇函數(shù) (C )若f (x )為周期函數(shù),則F (x )為周期函數(shù) (D )若f (x )為單調函數(shù),則F (x )為單調函數(shù) 解 (B)不成立,反例3 2 (),()13 x f x x F x =+ (C)不成立,反例()cos 1,()sin f x x F x x x =+=+ (D)不成立,反例2()2,()(,)f x x F x x =-+在內 (A)成立。 證明 0 ()(0)(),x F x F f t d t f =+?為奇函數(shù)

11、, 00 ()(0)()(0)()()x x F x F f t dt F f u d u -=+=+-? ? (0)()()x F f u du F x =+=? ()F x 為偶函數(shù)。 【例2】 求1 521 ()ln(1).x x I x x e e x x dx -=+-+? 解 1()x x f x e e -=-是奇函數(shù), 2112()(),()ln(1)x x f x e e f x f x x x -=-=-=+是奇函數(shù), 222 22 (1)()ln(1)ln 1 x x f x x x x x +-=-+=+ 22ln1ln(1)()x x f x =-+=- 因此2()l

12、n(1)x x x e e x x -+是奇函數(shù)。 于是 1 1 6 6102 027 I x dx x dx -=+= ?。 【例3】 兩個周期函數(shù)之和是否仍是周期函數(shù)? 解 不一定 (1)()sin cos 23x x f x =+ 1()sin 2x f x = 周期為4 2()os 3 x f x c = 周期為6 4和6的最小公倍數(shù)為12 ()f x 是以12為周期的函數(shù) (2)()sin 2cos f x x x =+ 1()sin 2f x x = 周期為 2()os f x c x = 周期為2 和2沒有最小公倍數(shù) ()f x 不是周期函數(shù) (3)()sin 2(1sin 2)

13、f x x x =+- 1()sin 2f x x = 周期為 2()1sin 2f x x =- 周期為 雖然1()f x ,2()f x 不但都是周期函數(shù),而且它們的周期有最小公倍數(shù)。 但是12()()()1f x f x f x =+=,卻不是周期函數(shù)。(因為沒有最小正周 期。) 【例4】 設()f x ,()g x 是恒大于零的可導函數(shù),且 ()()()()0f x g x f x g x - (B)()()()()f x g a f a g x (C)()()()()f x g x f b g b (D)()()()()f x g x f a g a 解 2 ()1()()()()0

14、()() f x f x g x f x g x g x g x ?=-,故(A)成立。 1.2 極限 (甲)內容要點 一、極限的概念與基本性質 1.極限的定義 (1)lim n n x A = (稱數(shù)列n x 收斂于A ) 任給0,存在正整數(shù)N ,當nN 時,就有n x A -,存在正整數(shù)X ,當xX 時,就有()f x A -,存在正整數(shù)X ,當xX 時,就有()f x A -,存在正整數(shù)X ,當|x|X 時,就有()f x A -,存在正數(shù),當00 x x ,存在正數(shù),當00 x x ,存在正數(shù),當00 x x -,則x 變化一定以后,有()()f x g x (注:當()00g x B

15、 =,情形也稱為極限的保號性) 定理3 (極限的局部有界性)設()lim f x A =,則當x 變化一定以后,()f x 有界的。 定理4 設()lim f x A =,()lim g x B = 則 (1)()()lim f x g x A B +=+? (2)()()lim f x g x A B -=-? (3)()()lim f x g x A B =? (4)()()lim f x A g x B = ()0B (5)()() lim g x B f x A =? ()0A 二、無窮小量 1. 無窮小量定義:若()lim 0f x =,則稱()f x 為無窮小量 (注:無窮小量與x

16、 的變化過程有關,1lim 0 x x =,當x 時1 x 為無窮小量,而0 x x 或其他時, 1 x 不是無窮小量) 2. 無窮大量定義:任給0M ,當x 變化一定以后,總有()f x M ,則稱()f x 為無窮大量,記()lim f x =。 3. 無窮小量與無窮大量的關系:在x 的同一個變化過程中,若()f x 為無窮大量,則 ()1f x 為無窮小量,若()f x 為無窮小量且()0f x ,則() 1 f x 為無窮大量。 4. 無窮小量與極限的關系 ()()()lim f x A f x A a x =?=+ 其中()lim 0a x = 5. 兩個無窮小量的比較 設()()l

17、im 0lim 0f x g x =,且() () lim f x l g x = (1)0l =,稱()f x 是比()g x 高階的無窮小量,記以()()f x o g x =? 稱()g x 是比()f x 低階的無窮小量, (2) 0l ,稱()f x 與()g x 是同階無窮小量。 (3)1l =,稱()f x 與()g x 是等價無窮小量,記以()()f x g x 6. 常見的等價無窮小量 當0 x 時 sin tan arcsin arctan x x x x x x x x , ()()211cos 1ln 1112 a x x x e x x x x ax -+-,(a 為

18、實常數(shù)) 。 7. 無窮小量的重要性質 有界變量乘無窮小量仍是無窮小量。 三、求極限的方法 1. 利用極限的四則運算和冪指數(shù)運算法則 2. 兩個準則 準則1 單調有界數(shù)列極限一定存在。 (1)若1n n x x +(n 為正整數(shù)),又n x m (n 為正整數(shù)) 則lim n n x A =存在且A m (2)若1n n x x +(n 為正整數(shù)),又n x m (n 為正整數(shù)) 則lim n n x A =存在且A m 準則2 (夾逼定理)設()()()g x f x h x 若()()lim lim g x A h x A =,則()lim f x A = 3. 兩個重要公式 公式1 0s

19、in lim 1x x x = 公式2 1lim 1n n e n ?+= ?;1lim 1u u e u ? += ? ;()1 0lim 1v v v e += 4. 用無窮小量重要性質和等價無窮小量代換 5. 用泰勒公式(比用等價無窮小量更深刻) 當0 x 時()2 12! ! n x n x x e x o x n =+ + ()()()35 21 21sin 13!5!21!n n n x x x x x o x n +=-+ +-+ ()()()24 22cos 112!4! 2! n n n x x x x o x n =-+- +-+ ()() ()23 1 ln 1123n

20、n n x x x x x o x n +=-+- +-+ ()()35 21 21arctan 135 21n n n x x x x x o x n +=-+- +-+ () () () ()()2 111112! ! n n n x x x x o x n ?-?+=+ + + +(為實 常數(shù)) 6.洛必達法則 法則1 00? ? 型設(1)()lim 0f x =,()lim 0g x = (2)x 變化過程中,()f x ,()g x 皆存在 (3)() () lim f x A g x = (或) 則 () () lim f x A g x = (或) (注:如果()()lim f

21、 x g x 不存在且不是無窮大量情形,則不能得出() () lim f x g x 不存在且不是無窮大量情形) 法則2 ? ? 型設(1)()lim f x =,()lim g x = (2)x 變化過程中,()f x ,()g x 皆存在 (3)() () lim f x A g x = (或) 則 () ()lim f x A g x = (或) 7.利用導數(shù)定義求極限 基本公式:()() ()0000lim x f x x f x f x x ?+?-=? ?如果存在 8.利用定積分定義求極限 基本公式:()1 11lim 0n n k k f f x dx n n =? = ? ?

22、?如果存在 9.其他綜合方法 10.求極限的反問題有關方法 (乙)典型例題 一、通過各種基本技巧化簡后直接求出極限 【例1】 設n 0 b 0m a ,求1110 1110lim m m m m n n x n n a x a x a x a b x b x b x b -+ 解 1110 1110l i m m m m m n n x n n a x a x a x a b x b x b x b -+ 1 11101 1110lim m n m m m m n n x n n x a a x a x a x b b x b x b x -?+? ?=+ + 0 m n m n a m n

23、b m n ? 當時 當時 當時 【例2】 設0a ,1r ,求1lim()n n a ar ar - + +. 解 1 1l i m ()l i m 11n n n n r a a ar ar a r r - -+=- 特例:(1)求23 12222lim (1)3333n n n +? -+- +-? ? ? ? ? ? ? 解 例2中取23a =,23r =-,可知原式 2 2325 13=?- ? (2)111242 2lim 3311123 3n n n ?+ ? ?=? + ? 【例3】 求1132lim 23 n n n n n +-+. 解 分子、分母用3n 除之, 原式233lim 3

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