

版權說明:本文檔由用戶提供并上傳,收益歸屬內容提供方,若內容存在侵權,請進行舉報或認領
文檔簡介
1、 12/122021年考研數(shù)學高等數(shù)學復習講義(詳細版) 2019年考研數(shù)學高等數(shù)學復習講義 第一章 函數(shù)、極限、連續(xù) 1.1 函數(shù) (甲)內容要點 一、函數(shù)的概念 1.函數(shù)的定義 設D 是一個非空的實數(shù)集,如果有一個對應規(guī)劃f ,對每一個x D ,都能對應惟一的一個實數(shù)y ,則這個對應規(guī)劃f 稱為定義在D 上的一個函數(shù),記以y =f (x ),稱x 為函數(shù)的自變量,y 為函數(shù)的因變量或函數(shù)值,D 稱為函數(shù)的定義域,并把實數(shù)集 |(),Z y y f x x D = 稱為函數(shù)的值域。 2.分段函數(shù) 如果自變量在定義域內不同的值,函數(shù)不能用同一個表達式表示,而要用兩上或兩個以上的表達式來表示。這
2、類函數(shù)稱為分段函數(shù)。 例如 211x x y f x x x x x +-? =? 是一個分段函數(shù),它有兩個分段點,x 1和x 1,它們兩側的函數(shù)表達式不同,因此討論函數(shù)y =f (x )在分段點處的極限、連續(xù)、導數(shù)等問題時,必須分別先討論左、右極限,左、右連續(xù)性和左、右導數(shù)。需要強調:分段函數(shù)一般不是初等函數(shù),不能用初等函數(shù)在定義域內皆連續(xù)這個定理。 3.隱函數(shù) 形如y =f (x )有函數(shù)稱為顯函數(shù),由方程F (x ,y )=0確定的y y (x )稱為隱函數(shù),有些隱函數(shù)可以化為顯函數(shù)(不一定是一個單值函數(shù)),而有些隱函數(shù)則不能化為顯函數(shù)。 4.反函數(shù) 如果y =f (x )可以解出()x
3、 y ?=是一個函數(shù)(單值),則稱它為f (x )的反函數(shù),記以1()x f y -=。有時也用1()y f x -=表示。 二、基本初等函數(shù) 1.常值函數(shù) y C (常數(shù)) 2.冪函數(shù) y x =(常數(shù)) 3.指數(shù)函數(shù) x y a =(a 0,a 1常數(shù)) x y e =(e 2.7182,無理數(shù)) 4.對數(shù)函數(shù) log a y x =(a 0,a 1常數(shù)) 常用對數(shù) 10log lg y x x = 自然對數(shù) log ln e y x x = 5.三角函數(shù) sin ;cos ;tan .y x y x y x = cot ;sec ;csc .y x y x y x = 6.反三角函數(shù) a
4、rcsin ;cos ;y x y arc x = arctan ;cot .y x y arc x = 基本初等函數(shù)的概念、性質及其圖像非常重要,影響深遠。例如以后經常會用lim arctan x x + ;lim arctan x x - ;10 lim x x e + ;10 lim x x e - ;0 lim ln x x +等等,就需要對 arctan y x =,x y e =,ln y x =的圖像很清晰。 三、復合函數(shù)與初等函數(shù) 1.復合函數(shù) 設()y f u = 定義域U ()u g x = 定義域X ,值域U* 如果*U U ?,則()y f g x =是定義在X 上的一
5、個復合函數(shù),其中u 稱為中間變量。 2.初等函數(shù) 由基本初等函數(shù)經過有限次四則運算和復合所構成的用一個分析表達式表示的函數(shù)稱為初等函數(shù)。 四、函數(shù)的幾種性質 1.有界性:設函數(shù)y =f (x )在X 內有定義,若存在正數(shù)M ,使x X 都有 ()f x M ,則稱f (x )在X 上是有界的。 2. 奇偶性:設區(qū)間X 關于原點對稱,若對x X ,都有()()f x f x -=-,則稱()f x 在X 上是奇函數(shù);若對x X ,都有()()f x f x -=,則稱()f x 在X 上是偶函數(shù)。奇函數(shù)的圖像關于原點對稱;偶函數(shù)圖像關于y 軸對稱。 3. 單調性:設()f x 在X 上有定義,若
6、對任意1212x X x X x x ?,則稱()f x 在X 上是單調增加的?單調減少的;若對任意1212x X x X x x , 2100 x -要有定義,210010 x x , 因此,()f x 的定義域為(10e , 【例2】 求1 ln 5 y x x x =-+ -的定義域。 解 x x -要有定義,1x 和0 x = 1 ln 5 x -要有定義,546x x x , 因此,定義域為)()()()01445566+, , 【例3】 設()f x 的定義域為()0a a a -,求()21f x -的定義域。 解 要求21a x a -,則211a x a -+, 當1a 時,
7、10a -,21x a +,則1x a + 當01a ,11a x a -+ 也即11a x a -+或11a x a -+- 【例4】 設()102224x g x x ,且1y 所以原來函數(shù)的值域為(0,1)(1,)+。 三、求復合函數(shù)有關表達式 1.已知f (x )和g (x ),求f g (x ). 【例1】 已知()1 x f x x = -,求1()1f f x ? ? -? . 解 1 ()1 111 x f x x x -=-=-, 11()1x f x =- (1x ) 于是,111 (1)()1(1)12x x f f x f x x x ?-=-=? (1,2x x )
8、【例2】 設2 ()1x f x x = +,求()()n f f f x f x =. n 重復合 解 2 222 2 2()()()1111() 12f x x x x f x f f x x x f x x = = +=+, 若 2 ()1k x f x kx = +,則2 12 2 2()()1111() k k k f x x x f x kx kx f x += = +=+ 2 1(1)x k x + 根據(jù)數(shù)學歸納法可知,對正整數(shù)n ,2 ()1n x f x nx =+ 2.已知g (x )和f g (x ),求f (x ). 【例1】 設2(1)x x x f e e e x
9、+=+,求f (x ). 解 令1x e u +=,ln(1)x u =- 22()(1)(1)ln(1)ln(1)f u u u u u u u =-+-+-=-+- 于是 2 () l n (1) f x x x x =-+- 【例2】 已知()x x f e xe -=,且(1)0f =,求f (x ). 解 令,ln x e t x t =,因此ln ()()x t f e f t t = , 221 1 ln 11 ()(1)ln ln 22x x t f x f dt t x t -=? (1)0f =,21 ()ln 2 f x x = 四、有關四種性質 【例1】 設()()F
10、x f x =,則下列結論正確的是( ). (A )若f (x )為奇函數(shù),則F (x )為偶函數(shù) (B )若f (x )為偶函數(shù),則F (x )為奇函數(shù) (C )若f (x )為周期函數(shù),則F (x )為周期函數(shù) (D )若f (x )為單調函數(shù),則F (x )為單調函數(shù) 解 (B)不成立,反例3 2 (),()13 x f x x F x =+ (C)不成立,反例()cos 1,()sin f x x F x x x =+=+ (D)不成立,反例2()2,()(,)f x x F x x =-+在內 (A)成立。 證明 0 ()(0)(),x F x F f t d t f =+?為奇函數(shù)
11、, 00 ()(0)()(0)()()x x F x F f t dt F f u d u -=+=+-? ? (0)()()x F f u du F x =+=? ()F x 為偶函數(shù)。 【例2】 求1 521 ()ln(1).x x I x x e e x x dx -=+-+? 解 1()x x f x e e -=-是奇函數(shù), 2112()(),()ln(1)x x f x e e f x f x x x -=-=-=+是奇函數(shù), 222 22 (1)()ln(1)ln 1 x x f x x x x x +-=-+=+ 22ln1ln(1)()x x f x =-+=- 因此2()l
12、n(1)x x x e e x x -+是奇函數(shù)。 于是 1 1 6 6102 027 I x dx x dx -=+= ?。 【例3】 兩個周期函數(shù)之和是否仍是周期函數(shù)? 解 不一定 (1)()sin cos 23x x f x =+ 1()sin 2x f x = 周期為4 2()os 3 x f x c = 周期為6 4和6的最小公倍數(shù)為12 ()f x 是以12為周期的函數(shù) (2)()sin 2cos f x x x =+ 1()sin 2f x x = 周期為 2()os f x c x = 周期為2 和2沒有最小公倍數(shù) ()f x 不是周期函數(shù) (3)()sin 2(1sin 2)
13、f x x x =+- 1()sin 2f x x = 周期為 2()1sin 2f x x =- 周期為 雖然1()f x ,2()f x 不但都是周期函數(shù),而且它們的周期有最小公倍數(shù)。 但是12()()()1f x f x f x =+=,卻不是周期函數(shù)。(因為沒有最小正周 期。) 【例4】 設()f x ,()g x 是恒大于零的可導函數(shù),且 ()()()()0f x g x f x g x - (B)()()()()f x g a f a g x (C)()()()()f x g x f b g b (D)()()()()f x g x f a g a 解 2 ()1()()()()0
14、()() f x f x g x f x g x g x g x ?=-,故(A)成立。 1.2 極限 (甲)內容要點 一、極限的概念與基本性質 1.極限的定義 (1)lim n n x A = (稱數(shù)列n x 收斂于A ) 任給0,存在正整數(shù)N ,當nN 時,就有n x A -,存在正整數(shù)X ,當xX 時,就有()f x A -,存在正整數(shù)X ,當xX 時,就有()f x A -,存在正整數(shù)X ,當|x|X 時,就有()f x A -,存在正數(shù),當00 x x ,存在正數(shù),當00 x x ,存在正數(shù),當00 x x -,則x 變化一定以后,有()()f x g x (注:當()00g x B
15、 =,情形也稱為極限的保號性) 定理3 (極限的局部有界性)設()lim f x A =,則當x 變化一定以后,()f x 有界的。 定理4 設()lim f x A =,()lim g x B = 則 (1)()()lim f x g x A B +=+? (2)()()lim f x g x A B -=-? (3)()()lim f x g x A B =? (4)()()lim f x A g x B = ()0B (5)()() lim g x B f x A =? ()0A 二、無窮小量 1. 無窮小量定義:若()lim 0f x =,則稱()f x 為無窮小量 (注:無窮小量與x
16、 的變化過程有關,1lim 0 x x =,當x 時1 x 為無窮小量,而0 x x 或其他時, 1 x 不是無窮小量) 2. 無窮大量定義:任給0M ,當x 變化一定以后,總有()f x M ,則稱()f x 為無窮大量,記()lim f x =。 3. 無窮小量與無窮大量的關系:在x 的同一個變化過程中,若()f x 為無窮大量,則 ()1f x 為無窮小量,若()f x 為無窮小量且()0f x ,則() 1 f x 為無窮大量。 4. 無窮小量與極限的關系 ()()()lim f x A f x A a x =?=+ 其中()lim 0a x = 5. 兩個無窮小量的比較 設()()l
17、im 0lim 0f x g x =,且() () lim f x l g x = (1)0l =,稱()f x 是比()g x 高階的無窮小量,記以()()f x o g x =? 稱()g x 是比()f x 低階的無窮小量, (2) 0l ,稱()f x 與()g x 是同階無窮小量。 (3)1l =,稱()f x 與()g x 是等價無窮小量,記以()()f x g x 6. 常見的等價無窮小量 當0 x 時 sin tan arcsin arctan x x x x x x x x , ()()211cos 1ln 1112 a x x x e x x x x ax -+-,(a 為
18、實常數(shù)) 。 7. 無窮小量的重要性質 有界變量乘無窮小量仍是無窮小量。 三、求極限的方法 1. 利用極限的四則運算和冪指數(shù)運算法則 2. 兩個準則 準則1 單調有界數(shù)列極限一定存在。 (1)若1n n x x +(n 為正整數(shù)),又n x m (n 為正整數(shù)) 則lim n n x A =存在且A m (2)若1n n x x +(n 為正整數(shù)),又n x m (n 為正整數(shù)) 則lim n n x A =存在且A m 準則2 (夾逼定理)設()()()g x f x h x 若()()lim lim g x A h x A =,則()lim f x A = 3. 兩個重要公式 公式1 0s
19、in lim 1x x x = 公式2 1lim 1n n e n ?+= ?;1lim 1u u e u ? += ? ;()1 0lim 1v v v e += 4. 用無窮小量重要性質和等價無窮小量代換 5. 用泰勒公式(比用等價無窮小量更深刻) 當0 x 時()2 12! ! n x n x x e x o x n =+ + ()()()35 21 21sin 13!5!21!n n n x x x x x o x n +=-+ +-+ ()()()24 22cos 112!4! 2! n n n x x x x o x n =-+- +-+ ()() ()23 1 ln 1123n
20、n n x x x x x o x n +=-+- +-+ ()()35 21 21arctan 135 21n n n x x x x x o x n +=-+- +-+ () () () ()()2 111112! ! n n n x x x x o x n ?-?+=+ + + +(為實 常數(shù)) 6.洛必達法則 法則1 00? ? 型設(1)()lim 0f x =,()lim 0g x = (2)x 變化過程中,()f x ,()g x 皆存在 (3)() () lim f x A g x = (或) 則 () () lim f x A g x = (或) (注:如果()()lim f
21、 x g x 不存在且不是無窮大量情形,則不能得出() () lim f x g x 不存在且不是無窮大量情形) 法則2 ? ? 型設(1)()lim f x =,()lim g x = (2)x 變化過程中,()f x ,()g x 皆存在 (3)() () lim f x A g x = (或) 則 () ()lim f x A g x = (或) 7.利用導數(shù)定義求極限 基本公式:()() ()0000lim x f x x f x f x x ?+?-=? ?如果存在 8.利用定積分定義求極限 基本公式:()1 11lim 0n n k k f f x dx n n =? = ? ?
22、?如果存在 9.其他綜合方法 10.求極限的反問題有關方法 (乙)典型例題 一、通過各種基本技巧化簡后直接求出極限 【例1】 設n 0 b 0m a ,求1110 1110lim m m m m n n x n n a x a x a x a b x b x b x b -+ 解 1110 1110l i m m m m m n n x n n a x a x a x a b x b x b x b -+ 1 11101 1110lim m n m m m m n n x n n x a a x a x a x b b x b x b x -?+? ?=+ + 0 m n m n a m n
23、b m n ? 當時 當時 當時 【例2】 設0a ,1r ,求1lim()n n a ar ar - + +. 解 1 1l i m ()l i m 11n n n n r a a ar ar a r r - -+=- 特例:(1)求23 12222lim (1)3333n n n +? -+- +-? ? ? ? ? ? ? 解 例2中取23a =,23r =-,可知原式 2 2325 13=?- ? (2)111242 2lim 3311123 3n n n ?+ ? ?=? + ? 【例3】 求1132lim 23 n n n n n +-+. 解 分子、分母用3n 除之, 原式233lim 3
溫馨提示
- 1. 本站所有資源如無特殊說明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請下載最新的WinRAR軟件解壓。
- 2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請聯(lián)系上傳者。文件的所有權益歸上傳用戶所有。
- 3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網頁內容里面會有圖紙預覽,若沒有圖紙預覽就沒有圖紙。
- 4. 未經權益所有人同意不得將文件中的內容挪作商業(yè)或盈利用途。
- 5. 人人文庫網僅提供信息存儲空間,僅對用戶上傳內容的表現(xiàn)方式做保護處理,對用戶上傳分享的文檔內容本身不做任何修改或編輯,并不能對任何下載內容負責。
- 6. 下載文件中如有侵權或不適當內容,請與我們聯(lián)系,我們立即糾正。
- 7. 本站不保證下載資源的準確性、安全性和完整性, 同時也不承擔用戶因使用這些下載資源對自己和他人造成任何形式的傷害或損失。
最新文檔
- 2025年湖南省長沙市中考歷史真題(原卷版)
- 量子行業(yè)發(fā)展基礎分析
- 流動司法便民服務站工作制度
- 老年護理課件中職
- 老年護理課件
- 老年護理服務培訓課件
- 老年心理健康概述
- 2025年安檢排爆市場調研報告
- 財務報表分析報告應用合同
- 不動產抵押合同變更協(xié)議
- 港口裝卸作業(yè)培訓
- 2025年湖北省武漢市中考數(shù)學真題(無答案)
- 鉗工考試試題及答案
- 2025年廣東省佛山市順德區(qū)中考二模物理試題(含答案)
- 拖欠維修費車輛以車抵債協(xié)議范本
- 研發(fā)項目變更管理制度
- 2024-2025學年下學期小學數(shù)學人教版三年級期末必刷??碱}之復式統(tǒng)計表
- 2025至2030中國復印機行業(yè)發(fā)展趨勢分析與未來投資戰(zhàn)略咨詢研究報告
- 暑假安全家長會4
- 呼倫貝爾農墾集團有限公司招聘筆試題庫2025
- 如何使用S1000D規(guī)范
評論
0/150
提交評論