高等數(shù)學導數(shù)與微分練習題之歐陽學創(chuàng)編

1、求 d y2 歐陽學創(chuàng)編求 d y2 作業(yè)習題時間：2021.03.031、求下列函數(shù)的導數(shù)。創(chuàng)作：歐陽學（）y 3 x22； （2） x； （）y sin bx；（ 4 ）y x 2 ； （ 5 ） ； （ 6 ） )1 。2、求下列隱函數(shù)的導數(shù)。（）y sin cos( x ) 0；（）已知xy , y。3 、求參數(shù)方程x (t t ) y t )( 0)所確定函數(shù)的一階導數(shù)dy與二階導數(shù) 。dx24、求下列函數(shù)的高階導數(shù)（） y x 求 y ( n ) ； （2）y x2sin 2 x 求 y(50)。5、求下列函數(shù)的微分。（）y , ( 0)； （） arcsin x1 2。6、雙曲線

2、x y a 2 ，在點(2 a, 3b)處的切線方程與法線方程。7、用定義求f，其中 ,f ( x ) x 0, 0.并討論導函數(shù)的連續(xù)性。歐陽學創(chuàng)編x 歐陽學創(chuàng)編x 作業(yè)習題參考答案：1、（）解：y3 x22322x3( 2 ( 2 2 。（）解：ysin x x sin x ) x x 2。（）解：ysin sin a bx cos 。（）解：y x22)x 2 x22x 2 x2x2 x22。（）解： ) 1 1 ( ) ) 2 ( ( x 1 2( x 2 ( x 2 。（）解： x ln ) )x 1 x) x ( ln1 1 )。2、（）解：兩邊直接關(guān) 求導得 cos sin( y

3、 x x )。（）解：將 代入原方程解得y 原方程兩邊直接關(guān) x 導得yxy，上 方 程 兩 邊 關(guān) 于再 次 求 導 得 y2y歐陽學創(chuàng)編將 ， 2 歐陽學創(chuàng)編將 ， 2 代入上邊第一個方程得y ，將 ，y 代入上邊第二個方程得y。3、解：dx dya(1 t ), sin t dt ； dt a t cot (1 t ) 2； y d dt ( ) 2 dx dx2t 1 1 t ) (1 t ) 4 2。4、（）解：y；y；依此類推y( ) ( x, ( 。（）解：設(shè)u sin x, ,則u ( ) sin(2 x 2)( ，代入萊布尼茨公式，得y(50) x2sin )(50) 50

4、x ) 50 x ) 2 48 ) 2! 2 50 ( sin 2 x cos 2 12252sin 2 x)。5、（）解：y dy x .（）解：y 2 2arcsin 2 2x ；(1 2)32dy 2 x。32(1 6 、 解 ： 首 先 把 點(2 a, 3b)代 入 方 程 左 邊 得歐陽學創(chuàng)編， 即點； 故x 0( ) x x 0 求 歐陽學創(chuàng)編， 即點； 故x 0( ) x x 0 求 2 2 4a b 2 4 , 3b) a 2 a b 2是切點。對雙曲線用隱函數(shù)求導得 x 2 yy 2 0, y , 2 2 過點(2 a, )的切線的斜率為y , ) ab 23a 2b3a故

5、過點(2 a, )的切線方程為 3b b( x ；過點(2 a, )的法線方程為 3b 3a( x )。7、解：f(0) x 0f ( ) f (0) x x 0 x xx sin xx 0同理f f 0 。顯 然f 2 1 1 1 1 cos x sin x x x x在 點 連續(xù)，因此只需考查f 在 點的連續(xù)性即可。但已知1x在 點不連續(xù)，由連續(xù)函數(shù)的四則運算性質(zhì)知f在 點不連續(xù)。討論習題：1、設(shè)f ( ) x , f。2、求和 xx x。3、設(shè) 函 數(shù)f ( x 在上 有 定 義 ， 且 滿 足x f ( x) x 3 x, x 證明f 存在，且f 。討論習題參考答案：歐陽學創(chuàng)編2 x

6、3 2 x 3 3 f l lim1、解：因為歐陽學創(chuàng)編 ( x x f ( x (3 ), 0 x 易知f ( x在開區(qū)間2x( x 0.( (0,3) 內(nèi)都是可導的；又對于分段點 ， ，有f limx f ( x) f (0) x limx x ) x，f(0) limx f ( x) f x limx x2( x ，即 ；f limx 3x 2 ( x lim x 2 x ，f(3) limx 3x2 x limx ( 2) ，即 f不存在；所以除 之外在區(qū)間( (3, 內(nèi)均可導，且有2、解：因為1 1 1 ， (1 n) n )nx ， n n x n nx n ) 2；3 、 證 ：

7、 ， 0 0 x f ( x) x 3 x, x 可 知 當 時 ，即f (0) 。又 f ( x f ( ) f x 3 , ( x x x x；已知 xx 0 x 03，由兩邊夾定理可得歐陽學創(chuàng)編u ( x) f (u )u ( x) f (u ) x f lim f ( x) (0) x 。思考題：1、若f u) u不可導，在 可導，且 u0 x 0，則 f g ( ) 處（ ）（1）必可導，（2）必不可導，（3）不一定可導。2、設(shè)g 連續(xù)，且f ( x ) 2 g ( )，求f 。思考題參考答案：1、解：正確選擇是（）例如：在 處不可導；若取u g x) x在x 0 則f ( x) 在 即（）不正確。又若取