二章節(jié)靜電場課件

1、第二章 靜電場本章重點：本章難點：靜電勢及其特性、分離變量法、鏡象法分離變量法（柱坐標）、電多極子第二章靜 電 場靜電場的基本特點： 邊值關系： 等均與時間無關 （ ， 為唯一解） 不考慮永久磁體（） 基本方程：介質分界面上的束縛電荷： 電磁性質方程： 靜電平衡時的導體： 導體內外表面 電荷分布在表面上，電場處處垂直于導體表面 均勻各向同性線性介質：1靜電勢的引入一、靜電場的標勢靜電場標勢簡稱電勢 取負號是為了與電磁學討論一致 滿足迭加原理 的選擇不唯一，相差一個常數(shù)，只要 即可確定 知道2、電勢差 空間某點電勢無物理意義，兩點間電勢差才有意義電勢差為電場力將單位正電荷從P移到Q點所作功負值

2、電場力作正功，電勢下降 電場力作負功，電勢上升 兩點電勢差與作功的路徑無關 參考點 通常選無窮遠為電勢參考點 （1）電荷分布在有限區(qū)域，P點電勢為將單位正電荷從P移到電場力所做的功。（2）電荷分布在無限區(qū)域不能選無窮遠點作參考 點，否則積分將無窮大。 3、電荷分布在有限區(qū)幾種情況的電勢 （1）點電荷 （2）電荷組Qf 產(chǎn)生的電勢 產(chǎn)生的電勢 （3）無限大均勻線性介質中點電荷 點電荷在均勻介質中的空間電勢分布（Q 為自由電荷） （4）連續(xù)分布電荷 二、靜電勢的微分方程和邊值關系 電勢滿足的方程 適用于均 勻介質 泊松方程 導出過程 拉普拉斯方程 適用于無自由電荷分布 的均勻介質2靜電勢的邊值關系

3、 (1) 兩介質分界面0 P Q由于導體表面為等勢面，因此在導體表面上電勢為一常數(shù)。將介質情況下的邊值關系用到介質與導體的分界面上，并考慮導體內部電場為零，則可以得到第二個邊值關系。 （2）導體表面上的邊值關系導出過程： 該公式只適合于靜電場情況。能量不僅分布在電荷區(qū)，而 且存在于整個場中。 解：均勻電場可看作由兩無限大平行板組成的電容器產(chǎn)生的電場。因為電荷分布在無窮區(qū)域，可選空間任一點為參考點，為方便取坐標原點電勢 四、例題 求均勻電場 的電勢 x y z P R 同理 平面為等勢面（Z = 0的平面）。 求近似值：若電偶極子放在均勻介質中（無限大介質）： 注意：考慮了束縛電荷，就不能再考慮

4、介質 ，而用真空中的 。這由 決定。 均勻介質中點電荷產(chǎn)生的束縛電荷分布在自由點電荷附近，介質中電偶極子產(chǎn)生的勢為自由偶極子與束縛偶極子產(chǎn)生的勢的迭加，設 為束縛電荷， 56頁例2 （自學）4帶電Q的導體球（半徑為a）產(chǎn)生的電勢。電荷分布在有限區(qū)，參考點選在無窮遠。根據(jù)對稱性，導體產(chǎn)生的場具有球對稱性，電勢也應具有球對稱性。當考慮較遠處場時，導體球可視為點電荷。 滿足 aQP此題也可用高斯定理（積分形式）求解。 = = 第二章第二節(jié)唯一性定理2.2 唯一性定理、泊松方程和邊界條件二、唯一性定理的內容三、唯一性定理的意義主要內容內邊界條件為邊值關系注：在實際問題中，因為導體內場強為零，可以不包含

5、在所求區(qū)域V內。導體面上的邊界條件可視為外邊界條件。 ：V內兩介質分界面上自由電荷為零二、唯一性定理1均勻單一介質 電場）唯一確定。分布已知， 滿足 若V邊界上 已知，或V邊界上 已知，則 V 內場（ 靜 區(qū)域內證明： 假定泊松方程有兩個解 ，有 在邊界上 令 （1）若給定的是第一類邊值關系 即常數(shù)為零。 電場唯一確定且 電勢也是唯一確定的。雖不唯一，但電場（2）若給定的是第二類邊值關系 常數(shù)， 相差一個常數(shù)， 是唯一確定的。 介質分區(qū)均勻（不包含導體） 已知， 成立，給定區(qū)域 或 。在分界面上， 或 V 內（證明見書P60）sv區(qū)域V內電場唯一確定 均勻單一介質中有導體（證明見教材） Q2

6、Q1 SS1 S2 V（或 Q1、Q2 ）為已知，則區(qū)域 V 已知， 或、內電場唯一確定。當，求 內的電勢。導體中三、唯一性定理的意義更重要的是它具有十分重要的實用價值。無論采用什么方法得到解，只要該解滿足泊松方程和給定邊界條件，則該解就是唯一的正確解。因此對于許多具有對稱性的問題，可以不必用繁雜的數(shù)學去求解泊松方程，而是通過提出嘗試解，然后驗證是否滿足方程和邊界條件。滿足即為唯一解，若不滿足，可以加以修改。 唯一性定理給出了確定靜電場的條件，為求電 場強度指明了方向。四、應用舉例 半徑為a的導體球殼接地 殼內中心放置一個點電荷 Q，求殼內場強。解：點電荷 Q 放在球心處，殼接地 因而腔內場唯

7、一確定。 Q 不滿足 已知點電荷產(chǎn)生的電勢為 但它在邊界上要使邊界上任何一點電勢為0 ， 設 它滿足 根據(jù)唯一性定理，它是腔內的唯一解。 可見腔內場與腔外電荷無關，只與腔內電荷Q有關。 解：導體球具有球對稱性，電荷只分布在外表面上。 假定電場也具有球對稱性，則電勢坐標與 無關。因電荷分布在有限區(qū)，外邊界條件 導體表面電荷Q已知，電場唯一確定。設 滿足 ， 帶電荷Q 的半徑為a 的導體球放在均勻無限大介 質中，求空間電勢分布。 在導體邊界上 3兩種均勻介質（ 和 ） 充滿空間，一半 徑 a 的帶電Q導體球放 在介質分界面上（球心 在界面上），求空間電 勢分布。Q利用 場對稱 對稱性分析：場仍對稱

8、！ 在兩介質分界面上：束縛電荷只分布在導體與介質分界面上。對于上半個空間，介質均勻極化，場具有對稱性，同樣下半空間也具有對稱性。而在介質分界面上 ，所以可考慮球外電場仍具有球對稱性。 試 探 解 QPS2 S1 給定，所以球外場唯一確定。 解：外邊界為無窮遠，電荷分布在有限區(qū) 導體上Q確定常數(shù) 在介質分界面上 下半空間 上半空間 導體球面上面電荷分布： 下半球面上均勻分布 上半球面上均勻分布 束縛電荷分布：其他實例：Q左半空間電勢？Q球殼外空間電勢？第二章第三節(jié)分離變量法2. 3 拉普拉斯方程的解 分離變量法、分離變量法的適用條件四、應用實例（習題課）三、解題步驟二、拉普拉斯方程的解在坐標系中

9、的形式1、空間 ，自由電荷只分布在某些介質（或導 體）表面上，將這些表面視為區(qū)域邊界， 可用 拉普拉斯方程。一、拉普拉斯方程的適用條件2、在所求區(qū)域的介質中若有自由電荷分布，則要求 自由電荷分布在真空中產(chǎn)生的勢為已知。 一般所求區(qū)域為分區(qū)均勻介質，則不同介質分界面上有束縛面電荷。區(qū)域V中電勢可表示為兩部分的和，即 ， 為已知自由電荷產(chǎn)生的電勢， 不滿足 ， 為束縛電荷產(chǎn)生的電勢，滿足拉普拉斯方程但注意，邊值關系還要用 而不能用二、拉普拉斯方程在幾種坐標系中解的形式1、直角坐標 （1）令 令（2）若 （3）若 ，與 無關。 注意：在（1）、（2）兩種情況中若考慮了某些邊界條件， 將與某些正整數(shù)有

10、關，它們可取1，2，3， ，只有對它們取和后才得到通解。 柱坐標 討論 ，令 有兩個線性無關解 、單值性要求 ， 只能取整數(shù)，令 若 ， 3球坐標 締合勒讓德函數(shù)（連帶勒讓德函數(shù)） 若 不依賴于 ，即 具有軸對稱性，通解為 -為勒讓德函數(shù) 若 與 均無關， 具有球對稱性， 通解：三解題步驟 根據(jù)具體條件確定常數(shù)選擇坐標系和電勢參考點 坐標系選擇主要根據(jù)區(qū)域中分界面形狀，參考點主要根據(jù)電荷分布是有限還是無限；分析對稱性、分區(qū)寫出拉普拉斯方程在所選 坐標系中的通解；（1）外邊界條件： 電荷分布有限 注意：邊界條件和邊值關系是相對的。導體邊界可視為外邊界，給定 （接地 ），或給定總電荷 Q，或給定

11、。電荷分布無限，電勢參考點一般選在有限區(qū)。如 （直角坐標或柱坐標），電勢可選在坐標原點。 均勻場中，（2）內部邊值關系：介質分界面上 一般討論分界面無自由電荷的情況 四應用舉例1、兩無限大平行導體板，相距為 ，兩板間電勢 差為V (與 無關)，一板接地，求兩板間的 電勢 和 。xyOVZ解：（1）邊界為平面，故應選直角坐標系 下板 ，設為參考點 （2）定性分析：因在 （常數(shù)），可考慮 與 無關。 (4) 定常數(shù)： (5) 電場為均勻場 常數(shù) 電勢：(3) 列出方程并給出解： 方程的解： 一對接地半無限大平板，相距為 ，左端有一極板電勢為 V（常數(shù)），求兩平行板之間的電勢。x y z V解：（1

12、）邊界為平面，選直角坐標系；上、下兩平板接地，取為參考點；且當 （2） 軸平行于平板，且 與 無關，可設 （3）確定常數(shù) A，B，C，D，k 通解 兩邊同乘 并從0 b積分： （m = 奇數(shù)） （m = 偶數(shù)） 令 半徑 a，帶有均勻電荷分布 的無限長圓柱導體， 求導體柱外空間的電勢和電場。解：電荷分布在無限遠，電勢零點可選在有限區(qū)，為簡單可選在導體面 r = a 處，即 選柱坐標系。對稱性分析： 導體為圓柱，柱上電荷均勻分布， 一定與 無關。 柱外無電荷，電場線從面上發(fā)出后，不會終止到面上，只能終止到無窮遠，且在導體面上電場只沿 方向，可認為與z無關， x y z o r 當 r = a 時

13、， 在導體面上 補充題1長方形盒的長為A、寬為B、高為C，上蓋電位為 ，其余接地，求盒內的電位分布。 CAB補充題2無窮長導體圓筒，半徑為a，厚度可以忽略不計。圓筒分成相等的兩個半片，相互絕緣。其中的一半的電位為 ，另一半電位為 ，求圓筒內的電位分布。4一半徑為 a，介電常數(shù)為 的無 限長電介質圓柱，柱軸沿 方 向， 方向上有一外加均勻電 場 ，求空間電勢分布和柱面 上的束縛電荷分布。 解：(1)邊界為柱面,選柱坐標系。均勻場電勢在無窮遠處不為零，故參考點選在有限區(qū)域，例如可選在坐標原點常數(shù)（或0） x y z O (2) 考慮對稱性電勢與z無關，設柱內電勢為 ，柱外為 它們分別滿足 , 。通

14、解為： (3) 確定常數(shù) 因為有外加均勻場，它們對x軸對稱，可考慮 、 也 相對x軸對稱（ 為偶函數(shù)），所以 中不應包 含 項，故：、 均為零。 常數(shù)（或零），有限，故中不應有 項 。 （均勻場電勢）， 中不含 項），得 （因此 時， 兩邊 為任意值， 前系數(shù)應相等（ ）（4）解為 （5）求柱內電場： 仍沿x方向 Z（6）柱面上束縛面電荷分布 （7）若圓柱為導體，可用上述方法重新求解，或令 5如圖所示的導體球（帶電Q）和不帶電荷的導體球殼，用分離變量法求空間各點的電勢及球殼內、外面上的感應電荷。 解：(1)邊界為球形，選球坐標系，電荷分布在有限區(qū)，選 若將Q移到殼上，球接地為書中P64例題 （

15、2）設球殼內為I區(qū)，殼外為II區(qū)。 球殼內:球殼外 電荷在球上均勻分布，場有球對稱性， 與 無關 III（3）確定常數(shù) 導體殼為等勢體 在導體殼上 （4） （5）球殼上的感應電荷 殼外面 殼內面 以上結果均與高斯定理求解一致。R0 z 6均勻介質球（介電常數(shù)為 ）的中心置一自由電偶極子 ，球外充滿另一種介質（介電常數(shù)為 ），求空間各點電勢和束縛電荷分布。解: (1) 與 的邊界為球面，故選球坐標系，電荷分布在有限區(qū)，選(2)設球內電勢為 ，球外電勢為 ,球外無自由電荷分布，電勢滿足 。但球內有自由偶極子，不滿足拉普拉斯方程，但滿足泊松方程?？紤]偶極子使介質極化，極化電荷分布在偶極子附近和球面上

16、。自由偶極子在介質中產(chǎn)生的電勢所以 滿足 還可設 為簡單令 考慮軸對稱： （3）確定常數(shù) R0， 有限 R 邊值關系 并注意到 比較 的系數(shù)，得 （4）電勢解為 （5）球面上束縛（極化）電荷分布 補充題3 一半徑為R0的球面，給定球面上任意一點 P 的電勢 ， 為常數(shù)，求面內外的電勢分布。R0 P O答案：注意：答案：作業(yè)： 1、2、4、5 補充題 3、4 選作：6 *、補充題 1、2補充題4 有一半徑為 a 的無限長圓柱導體，柱軸沿 方向，沿 方向上有一外加均勻電場 ，求空間電勢分布（球外為真空）和面電荷分布（令柱面處電勢為零）。x y z O 第二章第四節(jié)鏡 象 法2.4 鏡 象 法重點掌

17、握： 1、鏡象法的基本概念 2、求解電勢的基本方法 求解泊松方程的難度 、電象法的概念和適用條件 一般靜電問題可以通過求解泊松方程或拉普拉斯方程得到電場。但是，在許多情況下非常困難。例如，對于介質中、導體外存在點電荷的情況雖然可以采用疊加法求解，但是求解比較困難。求解的困難主要是介質分界面或導體表面上的電荷一般非均勻分布的，造成電場缺乏對稱性。 Q Q 2. 以唯一性定理為依據(jù) 在唯一性定理保證下，采用試探解，只要保證解滿足泊松方程及邊界條件即是正確解。 特別是對于只有幾個自由點電荷時，可以將導體面上感應電荷分布等效地看作一個或幾個點電荷來給出嘗試解。 電象法概念、適用情況電象法： 用假想點電

18、荷來等效地代替導體邊界面上的面電荷分布，然后用空間點電荷和等效點電荷迭加給出空間電勢分布。適用情況： 所求區(qū)域有少許幾個點電荷，它產(chǎn)生的感應電荷一般可以用假想點電荷代替。 b)導體邊界面形狀比較規(guī)則，具有一定對稱性。 c) 給定邊界條件注意： a）做替代時，所研究空間的泊松方程不能被改變（即自由 點電荷位置、Q 大小不能變）。所以假想電荷必須放在 所求區(qū)域之外。 b）不能改變原有邊界條件（實際是通過邊界條件來確定假 想電荷的大小和位置）。 c）一旦用了假想（等效）電荷，不再考慮原來的電荷分布。 d）坐標系選擇仍然根據(jù)邊界形狀來定。 格林等效層定理（不證明）* （1）等勢面包圍的體積V內的電荷在

19、V外產(chǎn)生的電勢與在此等勢面上置一導體面，并將V內電荷都搬到導體上所產(chǎn)生的電勢完全一樣。 （2）相反，帶電導體所產(chǎn)生的電勢也可以用導體面內一定等效電荷分布來代替，只要它產(chǎn)生與導體表面完全重合的等勢面。 等勢面 VQP導體面 QPQQ 四、應用舉例 接地無限大平面導體板附近有一點電荷，求空間電勢。Q Q/ P z 解：根據(jù)唯一性定理左半空間 右半空間，Q在（0，0，a）點， 電勢滿足泊松方程。邊界上 從物理問題的對稱性和邊界條件考慮，假想電荷應在左半空間 z 軸上。 設電量為 ，位置為（0，0， ） 由邊界條件確定 和 、 唯一解是 因為象電荷在左半空間，所以舍去正號 解討論：（a）導體面上感應電

20、荷分布（b）電荷Q 產(chǎn)生的電場的電力線全部終止在導體面上 它與無導體時，兩個等量異號電荷產(chǎn)生的電場在 右半空間完全相同。 （c） 與 位置對于導體板鏡象對稱，故這種方法稱 為鏡象法（又稱電象法）（d）導體對電荷Q 的作用力相當兩點電荷間的作用力解：（1）分析： 因導體球接地故球的電勢為零。根據(jù)鏡象法原則假想電荷應在球內。因空間只有兩個點電荷，場應具有軸對稱，故假想電荷應在線上，即極軸上。 真空中有一半徑R0的接地導體球，距球心 a R0 處有一點電荷 Q，求空間各點電勢。 球坐標系 P R O Z（2）由邊界條件確定 和 設 因 任意的解得 ，因此Q發(fā)出的電力線一部分會聚到導體球面上，剩余傳到

21、無窮遠。 球面感應電荷分布 （3）討論： 導體球接地后，感應電荷總量不為零，可認為電荷 移到地中去了。（4）若導體不接地，可視為 分布在導體面上。不接地導體已為等勢體，加上 還要使導體為等勢體， 必須均勻分布在球面上。這時導體球上總電量 （因為均勻分布球面上可使導體產(chǎn)生的電勢等效于在球心的點電荷產(chǎn)生的電勢）。 （5）若導體球不接地，且?guī)献杂呻姾?，導體上總電荷為 ，此時要保持導體為等勢體， 也應均勻分布在球面上。 等效電荷一般是一個點電荷組或一個帶電體系，而不一定就是一個點電荷。（6）導體球不接地而帶自由電荷 時 所受到的作用力可以看作 與 及位于球心處的等效電荷 的作用力之和。設 ， ，第

22、一項為排斥力，第二項為吸引力（與 無關，與 正負無關）。當 時，F(xiàn) 0 ，即正電荷與帶正電導體球在靠的很近時會出現(xiàn)相互吸引。3有一點電荷 位于兩個互相垂直的半無限大接地導體板所圍成的直角空間內，它到兩個平面的距離為 a 和 b，求空間的電勢。 假想電荷應在第 I 象限之外。 要保證互相垂直的兩個接地導體板的電勢同時為零，應當放幾個電荷？ 解：（1）分析：Q（-a, -b, 0）-Q（a, -b, 0）xyOQ（a, b, 0）-Q （-a, b, 0）S2 S1 Q（2）電勢分布 放在 處用鏡象法求解的條件是什么？ （3）若兩平面夾角 象電荷數(shù)4另外幾種容易求解又常見的情況： 作業(yè) 8、9、1

23、1、 2.5 格林函數(shù)方法三、用格林函數(shù)求解一般的邊值問題一、點電荷密度的函數(shù)表示二、格林函數(shù)內容提要本節(jié)僅研究泊松方程解的格林函數(shù)方法。 它與點電荷解的邊值相關，但可以解靜電學的許多邊值問題。 設V內電荷分布 已知， 第一邊值問題 給定V邊界S上的各點電勢 或給定邊界S上法向分量 第二邊值問題求V內各點電勢值。本節(jié)內容不作考試要求。格林函數(shù)方法在求解靜電場的某些問題中非常有用，而且在理論物理的研究中是很重要的工具。一、點電荷密度的函數(shù)表示 處于 點上的單位點電荷的密度 一般 2常用公式 點電荷的泊松方程：設電勢為 單位點電荷產(chǎn)生的電勢 空間區(qū)域V上的邊界條件 或 常數(shù) 格林函數(shù)的對稱性 （偶

24、函數(shù)） 對于靜電場的點電荷問題 稱為靜電場的格林函數(shù) （ 或 常數(shù)） 只對 微商。2. 格林函數(shù)上單位點電荷在無窮空間中激發(fā)的電勢 （1）無界空間中的格林函數(shù) 的距離 到 球坐標中 （偶函數(shù)）顯然滿足點電荷泊松方程。 （2）上半空間的格林函數(shù) （3）球外空間的格林函數(shù) 設點電荷Q = 1 坐標為 觀察點為 （ 相當于題中的 a ） 設假想點電荷在 ，它的坐標為 （它在 連線上，題中b對應這里的 ） 三、用格林函數(shù)求解一般的邊值問題相應格林函數(shù)問題：V內 點上有單位點電荷， ， 給定，求V內 。 滿足 （真空情況） 解為 邊界上1. 第一類邊值問題求解的格林方法（1）V內有電荷分布（2）二者的聯(lián)

25、系由格林第二公式給出 滿足泊松方程，為V內電勢 設（為討論方便 與 互換） 為格林函數(shù) 只要知道相應問題的 和 即可得到 2第二類邊值問題解的格林函數(shù)方法 ，S上 給定， （1）V內有電荷分布 求V內相應格林函數(shù)問題 在S上） 常數(shù)（ （2） 只要知道 和 ，即可馬上得到 （1） 的求解本身也不是一件很容易的事情。一般只有區(qū)域幾何形狀規(guī)則、簡單才容易求解。電象法是求解格林函數(shù)的有效方法之一。3格林函數(shù)方法求解討論 （2）格林函數(shù)方法也可用來解拉普拉斯方程的邊值問題。由 第一類邊值問題 第二類邊值問題 第二章第六節(jié)電多極矩2.6 電多極矩 二、電多極矩一、電勢的多極展開 三、電荷體系在外電場中 的能量(相互作用能)主要內容一、電勢的多極展開 小區(qū)域電荷分布若已知 ，原則上可通過求電勢。 一般若體電荷分布不均勻或區(qū)域不規(guī)則，積分十分困難（用計算機可數(shù)值求解）。 但是在許多實際情況中，電荷分布區(qū)域的線度遠小于該區(qū)域到場點的距離，可以近似處理，解析求解。條件 。P O(1)