二章節(jié)邏輯代數(shù)基礎課件

1、第二章 邏輯代數(shù)基礎第一節(jié) 邏輯代數(shù) 邏輯代數(shù)是由邏輯變量集K，常量0、1，“與”、“或”、“非”三種運算構成的代數(shù)系統(tǒng)。一、邏輯變量 邏輯變量集指邏輯代數(shù)中所有可能變量的集合，它可用任何字母表示，但每個變量的取值只可能為常量0或1，表示兩種狀態(tài)。二、邏輯運算 1、或運算 符號“+”，L=A+B 真值表：ABL000011101111 2、與運算 符號“”，L=AB 真值表：ABL000010100111 4、或非運算 L=A+B 真值表：ABL001010100110 5、與非運算 L=AB 真值表：ABL001011101110 7、異或運算 符號“ ”，L = A B = AB+AB 真

2、值表：ABL000011101110注意：先“非”后“與”最后“或”；先括號內再括號外；同種邏輯運算符號按從左到右的順序。三、 邏輯函數(shù)1、定義 設某一邏輯網(wǎng)絡的輸入邏輯變量為 A1，A2，An，輸出邏輯變量為F，當 A1，A2，An的取值確定后，F(xiàn)的值就惟一確定。則稱F是A1，A2，An的邏輯函數(shù)。記為：F=f（A1，A2，An）邏輯網(wǎng)絡A1AnA2F （1）邏輯表達式 邏輯表達式是由邏輯變量和“與”“或”“非”三種運算符構成的式子。 如：F=f（A，B）=AB+AB 2、邏輯函數(shù)的表示法（2）真值表 由邏輯變量的所有可能取值組合及其對應的邏輯函數(shù)所構成的表格。ABF000011101110

3、（3）卡諾圖 由邏輯變量的所有可能組合的小方格構成的圖形。例.表達式：F=AB+AC+ABCABCF000000110100011010011010110111111111ABC00 01 11 10 01真值表：卡諾圖：（5）交換律 A+B=B+A AB =BA（6）結合律 （A+B）+C=A+（B+C） （AB） C=A（BC）（7）分配律 （A+B）C=AC+BC A+（B C）=（A+B）（A+C）2.2定理定理1：德摩根定理 （1）（X1+X2+Xn） = X1X2Xn （2）（X1X2Xn） = X1+X2+Xn敘述：n個邏輯變量的“或”的“非”等于各個邏輯變量的“非”的“與”；

4、n個邏輯變量的“與”的“非”等于各邏輯變量的“非”的“或”。定理3：對偶定理對偶定義：f （X1，X2，Xn，0，1，+，）= f（X1，X2，Xn，1，0，+）敘述：邏輯函數(shù)f(X1，X2，Xn，0，1，+，)，若把該函數(shù)中的“”換為“+”，“+”換為“”，0換為1，1換為0，而變量保持不變，則所得函數(shù)稱原函數(shù)的對偶函數(shù)。定理：f（X1，X2，Xn，0，1，+，）= f（X1，X2，Xn，0，1，+，）敘述：任何函數(shù)的對數(shù)偶函數(shù)，可通過原函數(shù)的所有變量取反，再對整個函數(shù)求反而得。推理1： 原函數(shù)f與對偶函數(shù)f互為對偶函數(shù)，（f） =f推理2： f=g f= g自對偶函數(shù)：若f=f，則稱f為自

5、對偶函數(shù)。 定理4 展開定理1. f(X1, ,Xi, ,Xn) = Xif(X1, ,1, Xn)+Xif(X1, 0, Xn)2. f(X1, ,Xi, ,Xn) = Xi+ f(X1, ,0, ,Xn) Xi+ f(X1, ,1, ,Xn)敘述：任何邏輯函數(shù)都可對它的某一個變量Xi展開，或展開“與一或”形式，或展開為“或一與”形式。2.3常用公式1、AB+AB=A2、A+AB=A3、A+AB=A+B4、AB+AC+BC=AB+AC5、AB+AB=AB+AB第三節(jié) 邏輯函數(shù)的形式一、基本形式 1.與或式 一個函數(shù)表達式中包含著若干個與式，每個與式中可有多個以原變量或反變量出現(xiàn)的字母，所有這

6、些與項的或運算就構成與或式。 例.F=AB+BC+ABC二、邏輯函數(shù)的標準形式 最小項表達式 最大項表達式1.最小項 定義 最小項就是包含函數(shù)中所有變量的乘積項。變量或以原變量或以反變量形式出現(xiàn)，且每個變量在乘積項中出現(xiàn)且只出現(xiàn)一次。數(shù)目 n個變量最多可有 個最小項。用mi表示，0i2n-1舉例 三變量A，B，C，可構成 個最小項：8ABC ABC ABC ABCABC ABC ABC ABC用“1”表示原變量，“0”表示反變量，構成二進制數(shù)的對應的十進制數(shù)即為m的下標。=m0 =m1 =m2 =m3=m4 =m5 =m6 =m7 2n2.最小項表達式（1）給定最小項之和所組成的邏輯表達式為最

7、小項表達式。（2）任意一個不是最小項表達式形式的邏輯函數(shù)可通過反復使用下式將其變?yōu)樽钚№棻磉_式： A=A（B+B）（3）最小項表達式的主要性質：若mi是邏輯函數(shù)F（A1，A2，An） 的一個最小項，則使mi=1的一組變量取值必定使F值為1；若F1和F2都是A1，A2，An的函數(shù)，則F=F1+F2將包括F1和F2中所有的最小項，G=F1F2將包括F1和F2的公共最小項；反函數(shù)F必定由原函數(shù)F所包含的最小項之外的全部最小項組成；（4）最小項表達式是邏輯函數(shù)標準形式之一，稱之為“積之和范式”或“主析取范式”。3.最大項 定義 給定函數(shù)的n個邏輯變量，它們所組成的和項中，每個變量或以原變量或以反變量的

8、形式出現(xiàn)，且僅出現(xiàn)一次，這個和項稱為n變量的最大項。 數(shù)量 n變量可構成2n個最大項，用Mi表示，其中0i2n-1 =M7 =M6 =M5 =M4 =M3 =M2 =M1 =M0 A+B+C A+B+C A+B+C A+B+C A+B+C A+B+C A+B+C A+B+C 舉例 3變量A，B，C可構成8個最大項： 用0代替最大項中原變量，1代替反變量所得二進制數(shù)的等值十進制數(shù)即是下標i。最大項的性質： 對于任一最大項，只有一組變量可使其值為0； 任意兩個最大項Mi和Mj（ij）之和必為1； n變量的所有2n個最大項之積為0： 4.最大項表達式（1）由給定函數(shù)的最大項之積所組成的邏輯表達式為最

9、大項表達式。（2）任意一個不是最大項表達式形式的邏輯函數(shù)可通過反復使用下式將其變?yōu)樽畲箜棻磉_式： A=A+BB（3）最大項表達式的主要性質可根據(jù)最小項表達式的性質得出。最小項表達式和最大項表達式是邏輯函數(shù)的兩種標準形式。5.最小項和最大項的關系： （1）同一邏輯問題中，下標相同的最小項和最大項之間存在互補關系，即mi=Mi； （2）對于一個用最小項表達式表示的n變量函數(shù)，改用最大項表達式表示時，其最大項的編號必定都不是最小項的編號，這些最小項的個數(shù)與最大項的個數(shù)之和為2n； （3）對于邏輯函數(shù)F，F(xiàn)的最小項為F中最小項以外的所有最小項； （4）F中包含mi，則F中必包含M2n-i-1； 三、邏

10、輯函數(shù)的三種表示方法的關系 1.表達式與真值表（1）最小項表達式中的各個最小項與真值表中F=1的各行變量取值一一對應；（2）最大項表達式中各個最大項與真值表中F=0的各行變量取值一一對應。 2.表達式與卡諾圖卡諾圖中標“1”的小方格與最小項表達式中的最小項一一對應。 邏輯函數(shù)表達式的形式不惟一，但都可以轉換成惟一的標準形式，方法有兩種： 代數(shù)轉換法真值表轉換法 第四節(jié) 邏輯函數(shù)的化簡最簡邏輯函數(shù)的形式： 最簡與或形式 最簡或與形式最簡式的條件： 一個給定函數(shù)等效的積之和式中，若同時滿足乘積項數(shù)最少；每個乘積項中變量的個數(shù)最少，則成此積之和式是給定函數(shù)的最簡式。 兩種化簡方法： 代數(shù)化簡法 卡諾

11、圖化簡法 一、代數(shù)化簡法 應用常用公式、定理、公理進行化簡。二、卡諾圖化簡法 1.化簡原理 F=ABC+ABC=（A+A）BC=BC即卡諾圖上相鄰的兩個小方格可合成一項?！跋噜彙保核交虼怪狈较驇缀蜗噜?。2.形成“圈”的規(guī)則：（1）n變量卡諾圖中，任何2m格標“1”的相鄰單元可形成一個圈，該圈所代表的乘積項由n-m個變量組成；（2）若相鄰標“1”的單元格個數(shù)非2m個，則至少形成兩個圈。3.化簡步驟：（1）列出邏輯函數(shù)的最小項表達式；（2）畫對應卡諾圖；（3）確定化簡相鄰項的組合，形成“圈”；（4）寫出最簡式。4.化簡規(guī)則：（1）等效性 所有標“1”的小方格都劃進圈內，所有值為0 的小方格都劃在

12、圈外。（2）最簡性圈數(shù)最少，圈內小方格數(shù)最多。包含無關最小項的邏輯函數(shù)的化簡（1）無關最小項 變量的某些取值不可能出現(xiàn) 變量某些取值下使邏輯函數(shù)的值不確定（2）方法 恰當?shù)亓顭o關項取值“0”或取值“1”，使函數(shù)化為最簡。例1. A、B、C、D表示8421碼，F(xiàn)為輸出，當8421碼對應的十進制數(shù)5時，輸出“1”，否則輸出“0”，求其最簡式。例2. 十字路口的交通信號燈，紅、綠黃分別用A、B、C表示，燈亮“1”，燈滅“0”，停車時L=1，通車時L=0，用卡諾圖化簡此函數(shù)。多輸出函數(shù)的化簡 對同一組變量的輸入，有多個不同函數(shù)輸出，并且多個輸出間有關聯(lián)，應考慮化簡結果使多個輸出函數(shù)間公共部分最多，即用到的與項最少。1.證明下列等式（1）AB+AC+BC+CD=AB+C（2）BC+D+D（B+C）（DA+B）=B+D（3）AB+BC+CA=AB+BC+CA（4）AB+BC+CA=（A+B）（B+C）（C+A）2.用摩根或香農(nóng)定理求反函數(shù)3.求最小項表達式和最大項表達式 F（A，B，C）=A+BC+ABC4.用代數(shù)化簡法化簡下式為最間與或式（1）F=AB+AC+BC（2）F=ABC