淺析常數(shù)變易法

1、淺析常數(shù)變易法第1頁(yè)，共12頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)33分，星期四什么是常數(shù)變易法？ 常數(shù)變易法是求解一階非齊次線性常微分方程的重要方法，即將常數(shù)變易為待定函數(shù)，通過(guò)求解待定函數(shù)的表達(dá)式進(jìn)而求出原方程通解 一階線性常微分方程解法：例如：定義：南開(kāi)大學(xué)第八屆大學(xué)生文化素質(zhì)教育節(jié)暨第四屆大學(xué)生“數(shù)學(xué)之美”論壇第2頁(yè)，共12頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)33分，星期四深入探析常數(shù)變易法揭開(kāi)神秘面紗之一：常數(shù)變易法的本質(zhì)齊次方程：解法：步驟一： 設(shè)步驟二：此時(shí)，u已被視為x的函數(shù)將 代回原式，就得到關(guān)于u與x的方程，從而求解 常數(shù)變易實(shí)質(zhì)上是未知變量代換的過(guò)程南開(kāi)大學(xué)第八屆大學(xué)生文化素質(zhì)

2、教育節(jié)暨第四屆大學(xué)生“數(shù)學(xué)之美”論壇第3頁(yè)，共12頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)33分，星期四VS此時(shí)，二者的本質(zhì)相同，只是常數(shù)變易法中的變量代換更為復(fù)雜，不易辨別。常數(shù)變易法的目的是將原方程變換為只含 與 的方程。從而求出小結(jié)： 常數(shù)變易與變量代換是相互滲透相互聯(lián)系的 齊次的或可化為齊次的方程中所代換的是一個(gè)變量 而一階線性非齊次常微分方程中，由于方程的復(fù)雜性，因此被代換的是一個(gè)表達(dá)式 南開(kāi)大學(xué)第八屆大學(xué)生文化素質(zhì)教育節(jié)暨第四屆大學(xué)生“數(shù)學(xué)之美”論壇第4頁(yè)，共12頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)33分，星期四揭開(kāi)神秘面紗之二：常數(shù)變易法與迭加原理n階常系數(shù)非齊次線性方程解法：+通解這種

3、形式的方程與我們所研究的一階線性非齊次常微分方程有某種程度的相似性 我們是否可以按上述方法將其分解為兩個(gè)方程分別求解，最終得到通解呢？南開(kāi)大學(xué)第八屆大學(xué)生文化素質(zhì)教育節(jié)暨第四屆大學(xué)生“數(shù)學(xué)之美”論壇第5頁(yè)，共12頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)33分，星期四經(jīng)過(guò)推導(dǎo)，驗(yàn)證了我們的猜想。具體過(guò)程如下：+變形：南開(kāi)大學(xué)第八屆大學(xué)生文化素質(zhì)教育節(jié)暨第四屆大學(xué)生“數(shù)學(xué)之美”論壇第6頁(yè)，共12頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)33分，星期四 可見(jiàn)，通過(guò)此方法求得的結(jié)果與常數(shù)變易法結(jié)果實(shí)質(zhì)上是一致的。我們也可以通過(guò)實(shí)際例題來(lái)加以驗(yàn)證，結(jié)論亦成立。 例題1：+將上述結(jié)果進(jìn)行求導(dǎo)：除此之外，上述方法還具有更

4、強(qiáng)的簡(jiǎn)易性與廣泛性。當(dāng)方程右端為多個(gè)式子組成的更復(fù)雜的函數(shù)時(shí)，我們?nèi)匀豢梢允褂么朔椒ǖ玫酵ń狻Ｄ祥_(kāi)大學(xué)第八屆大學(xué)生文化素質(zhì)教育節(jié)暨第四屆大學(xué)生“數(shù)學(xué)之美”論壇第7頁(yè)，共12頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)33分，星期四例題2： 四式代數(shù)和即為原方程通解！此方法大大簡(jiǎn)化了運(yùn)算過(guò)程，從而降低了運(yùn)算量！南開(kāi)大學(xué)第八屆大學(xué)生文化素質(zhì)教育節(jié)暨第四屆大學(xué)生“數(shù)學(xué)之美”論壇第8頁(yè)，共12頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)33分，星期四各方程特解與齊次方程通解的代數(shù)和即為原n階非齊次方程的通解南開(kāi)大學(xué)第八屆大學(xué)生文化素質(zhì)教育節(jié)暨第四屆大學(xué)生“數(shù)學(xué)之美”論壇第9頁(yè)，共12頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)33

5、分，星期四 由此，對(duì)于最初所研究的一階線性常微分方程，又增加了一種十分重要的解法。雖然結(jié)果形式上不同，但本質(zhì)相同。 形式不同的結(jié)果之間只相差一個(gè)常數(shù)。小結(jié)：南開(kāi)大學(xué)第八屆大學(xué)生文化素質(zhì)教育節(jié)暨第四屆大學(xué)生“數(shù)學(xué)之美”論壇第10頁(yè)，共12頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)33分，星期四感悟：著力去挖掘隱藏在結(jié)論背后的理論與方法間 本質(zhì)的聯(lián)系數(shù)學(xué)的魅力在于探求結(jié)果過(guò)程中 邏輯思維 的運(yùn)用，聯(lián)想能力 的拓展與 鍥而不舍的鉆研精神 三者的融會(huì)貫通學(xué)會(huì)的不僅是一種方法，而是一種 思想數(shù)學(xué)之中體現(xiàn) 哲學(xué)真理不斷 嘗試，不斷 求索，就會(huì)加深理解，拓寬思維的深度與廣度第11頁(yè)，共12頁(yè)，2022年，5月20日