等比數(shù)列的概念與性質(zhì)

1、等比數(shù)列（一）智者哲人都告訴我們，為了成功必須付出各種代價(jià)，如果不加上耐心，都是枉然。有勇氣而無耐心，會(huì)使你覆亡；有野心而沒耐心，會(huì)摧毀你似錦的前程；堅(jiān)持而無耐心，終究經(jīng)不起時(shí)間長流的激蕩。莊子曰：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭.”意思：“一尺長的木棒，每日取其一半，永遠(yuǎn)也取不完” 。如果將“一尺之棰”視為一份，則每日剩下的部分依次為：9，92，93，94，95，96， 97堤、木，巢、鳥、雛、毛、色依次構(gòu)成數(shù)列： 出門見九堤，每堤有九木，每木有九巢，每巢有九鳥，每鳥有九雛，每雛有九毛，每毛有九色,問共有幾堤，幾木，幾巢，幾鳥，幾雛，幾毛，幾色？（孫子算經(jīng)）如果一碗面由256根面條組成,請(qǐng)問需

2、要拉面師傅拉幾次才能得到?“一尺之棰，日取其半，萬世不竭。”某種汽車購買時(shí)的價(jià)格是10萬元，每年的折舊率是15%，這輛車各年開始時(shí)的價(jià)值（單位：萬元）分別是：拉面時(shí)前9次拉伸成的面條根數(shù)構(gòu)成一個(gè)數(shù)列: 上面數(shù)列有什么共同特點(diǎn) ?從第二項(xiàng)起,每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比都等于同一個(gè)常數(shù)。1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 25610，100.85,100.852 ,100.853,1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256等比數(shù)列的定義 一般的，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列。這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通

3、常用字母q表示。(q0）或名 稱等差數(shù)列等比數(shù)列定 義從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的比都等于同一個(gè)常數(shù), 這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列.這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，用q表示.從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列叫做等差數(shù)列.這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，用d表示對(duì)等比數(shù)列的認(rèn)識(shí)：（1） 即等比數(shù)列的每一項(xiàng)都不為0；（2） 即等比數(shù)列的公比不為0；（3） 為非零常值數(shù)列； 9練一練指出下列數(shù)列是不是等比數(shù)列，若是，說明公比；若不是，說出理由 (3) 2, -2, 2, -2, 2(1) ,2, 4, 16, 64, (2) 16, 8, 1, 2, 0,不是是不一定(4) b, b,

4、 b, b, b, b, b, 不是等比數(shù)列通項(xiàng)的求法已知等比數(shù)列an首項(xiàng)為a1，公比為q，則通項(xiàng)an=？a2=a1qa3=a2q=(a1q)q=a1q2a4=a3q=(a1q2)q=a1q3an=a1qn-1迭代法 , 累乘法2.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式 問題：如何用和表示第項(xiàng).歸納猜想法疊乘法這個(gè)式子相乘得，所以.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為函數(shù)觀點(diǎn)方程思想類指數(shù)函數(shù)式解方程,知三求一例1: 一個(gè)等比數(shù)列的第3項(xiàng)與第4項(xiàng)分別是12與18，求它的第1項(xiàng)與第2項(xiàng).把代入 ，得把的兩邊分別除以的兩邊，得解：設(shè)這個(gè)等比數(shù)列的第1項(xiàng)是 ，公比是 ，那么因此答：這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng)與第2項(xiàng)分別是 與 .作差（等差） 作

5、商（等比）例2：等比數(shù)列 中，求解：由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的特點(diǎn)可得：q=10,a1=-30解：n=1 a1=21=2 n=2 a2=22=4可得：q=2nAn+Ba=（等差）nABna=（等比）例3：由下列等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，求首項(xiàng)與公比（1）an=2n (2) an= 310n 思考:你能判斷它們的增減性嗎?五.小結(jié)數(shù)列等差數(shù)列等比數(shù)列定義同一常數(shù)通項(xiàng)公式性質(zhì) an+1-an=dd 叫公差 an= a1+(n-1)d an=am+(n-m)d你還知道等差數(shù)列有什么性質(zhì)嗎?你能類比寫出等比數(shù)列的性質(zhì)嗎?q叫公比 an=a1qn-1 an=amqn-m等比中項(xiàng)KEY：等比數(shù)列的許多概念都可以在等

6、差數(shù)列的眾多概念中找到相似的對(duì)應(yīng)！ 如果在a與b中間插入一個(gè)數(shù)G，使a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項(xiàng)。例2 將20，50，100三個(gè)數(shù)分別加上相同的常數(shù)，使這三個(gè)數(shù)依次成等比數(shù)列，求它的公比q.解 設(shè)所加常數(shù)為a，依題意20+a，50+a，100+a成等比數(shù)列，則去分母，得(50+a)2 (20+a) (100+a) ，即2500+100 a + a22000+120 a + a2解得 a25.代入計(jì)算，得所以公比練習(xí)（1）2，18；（2）16，4 求下列各組數(shù)的等比中項(xiàng)：小結(jié)（一）等比數(shù)列（二）當(dāng)你迷茫的時(shí)候，手邊的事情就是好事情，不要猶豫，不要覺得可能自己會(huì)錯(cuò)過什么，你猶豫

7、的時(shí)候，手邊的事情就沒做好，最后這輩子啥也沒得到。等比數(shù)列的力量KEY：用函數(shù)的眼光來看等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，原來如此！想想以前我們學(xué)過幾種函數(shù)的增長模型中，哪一種增長速度最快呢？一張紙對(duì)折，最多能折幾次？無論什么材料的紙，無論紙有多大，也無論紙有多薄，你最多能折幾次呢？當(dāng)然不能裁紙或者借助外力，也不是折了再拆拆了再折的反復(fù)動(dòng)作。趕快動(dòng)手吧，隨便找一張紙?jiān)囋嚳础Ｔ囋嚳矗銜?huì)發(fā)現(xiàn)一個(gè)奇妙的現(xiàn)象。哲學(xué)上是無窮次，而你實(shí)際能折多少次呢？從物理上分析應(yīng)該是有限次，要看你紙的大小，材料。 假設(shè)紙張厚度為0.1mm，對(duì)折9次后，紙張的厚度51.2mm，10次是102.4mm，就折不動(dòng)了 。不可能無限的折疊,

8、因?yàn)榧僭O(shè)紙張厚度為0.1mm，對(duì)折9次后，紙張的厚51.2mm，10次是102.4mm，11次是204.8mm,已經(jīng)不可能從真正意義上說折動(dòng)了。 如果是非常大，非常薄的紙，也不超過9次，折九次時(shí)后紙的總厚度是單張的512倍。如果理論上能折50次，總厚度就是原厚度的2的50次方.嚇人哪，若原厚度是0.045mm，那么總厚度約是4500公里，信嗎？不信，你自己算算。折一次等于原紙厚度的兩倍。一張0.01毫米厚的紙，對(duì)折30次后比珠穆朗瑪峰還高(10737.41824米)。但你只能折七八次，其中的原因你想想就知道了。假設(shè)厚度是0.1毫米，那么42次就相當(dāng)于地球到月亮的距離了，380000千米 。如果

9、那“一張紙”是指通常見的A4左右大小的普通書寫紙，而“折”是指類似通常手工操作的對(duì)折，折九次時(shí)后紙的總厚度是單張的512倍，也就是這時(shí)的厚度遠(yuǎn)大于寬度（寬度已經(jīng)變成原來的512分之1），那由于這“紙”的材料力學(xué)的彎曲和彈性等的特性，在不破壞（撕裂）的條件下是無法做到的。所以，看完這個(gè)你算長知識(shí)了，那就是一張紙最多能折9次！公比q對(duì)數(shù)列的影響q10q1q=1q0遞增遞減常數(shù)列擺動(dòng)數(shù)列a10，即ab同號(hào)！表現(xiàn)在等比數(shù)列中的一個(gè)特征就是隔項(xiàng)必同號(hào)。故本例中b不可能為-3，且a、c也要同號(hào)。因而只有兩組可能的解。正解：題型三、等比數(shù)列的對(duì)稱設(shè)法KEY：本題求解過程中要注意整體思想的運(yùn)用總結(jié)（二）知識(shí)回

10、顧內(nèi)容等差數(shù)列等比數(shù)列定義遞推關(guān)系通項(xiàng)公式前n項(xiàng)和公式性質(zhì)實(shí)際應(yīng)用函數(shù)思想從第二項(xiàng)起,每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù).從第二項(xiàng)起,每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比都等于同一個(gè)常數(shù).an-an-1=d(n2)an/an-1=q(n2)an=a1+(n-1)d或an=ak+(n-k)d an=a1qn-1或an=akqn-kam+an=ap+al(m+n=p+l)ak1,ak2,ak3等差(k1,k2,k3等差)Sk,S2k-Sk,S3k-S2k等差 aman=apal(m+n=p+l)ak1,ak2,ak3等比(k1,k2,k3等差)三數(shù)等差設(shè)為a-d,a,a+d四數(shù)等差設(shè)為a-3d,a-d,a+d,a+

11、3d三數(shù)等比設(shè)為a/q,a,aq或a,aq,aq2an是n的一次函數(shù)，(n,an)在同一直線上Sn是n的二次函數(shù),可求最大值或最小值 例1.在等比數(shù)列an中， (1)若a1a10=10，求其前10項(xiàng)的積; (2)若an0，a2a4+2a3a5+a4a6=25,求a3+a5; (3)若a1a9=256, a4+a6=40,求公比q.練習(xí)：已知 an 為等比數(shù)列，則下列數(shù)列仍是等比數(shù)列的是 . 2an； nan； |an|； an+an+1+an+2 lgan . 例2、已知an、 bn是項(xiàng)數(shù)相同的等比數(shù)列，試判斷anbn是否為等比數(shù)列；思考:2. 已知an，bn是項(xiàng)數(shù)相同的等比數(shù)列， 是等比數(shù)列

12、嗎？1. an是等比數(shù)列，C是不為0的常數(shù)，數(shù)列can是等比數(shù)列嗎？3. 已知an，bn是項(xiàng)數(shù)相同的等比數(shù)列， 是等比數(shù)列嗎？探究:1.通項(xiàng)為an2n1的數(shù)列的圖象與函數(shù) y2x1的圖象有什么關(guān)系？2.等比數(shù)列的增減性:例4、已知數(shù)列an滿足a1=5，an=2an-1+3(n2). 求證： an+3 是等比數(shù)列； 求an。2. 在等比數(shù)列中， ，則此列前九項(xiàng)之積為 _練習(xí)：例8、已知無窮數(shù)列 求證：（1）這個(gè)數(shù)列成等比數(shù)列。（2）這個(gè)數(shù)列中的任一項(xiàng)是它后面第五項(xiàng)的 （3）這個(gè)數(shù)列的任意兩項(xiàng)的積仍在這個(gè)數(shù)列中。判斷一個(gè)數(shù)列是否成等比數(shù)列的方法：1、定義法；2、中項(xiàng)法；3、通項(xiàng)公式法。如果在a與b

13、中間插一個(gè)數(shù)G，使a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項(xiàng)。即 G2=ab (ab0)注意：（1）同號(hào)兩數(shù)才有等比中項(xiàng)； （2）等比中項(xiàng)有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)； （3）若三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，則可設(shè)這三個(gè) 數(shù)分別為aq，a，aq3. 等比中項(xiàng)四.例題講解與規(guī)律探索1. 在243和3中間插入3個(gè)數(shù), 使這5個(gè)數(shù) 成等比數(shù)列. 求這三個(gè)數(shù).2.等比數(shù)列的前三項(xiàng)為a, 2a+2, 3a+3, 問這個(gè) 數(shù)列的第幾項(xiàng)的值是 ?3.已知an, bn是項(xiàng)數(shù)相同的等比數(shù)列, 求證an bn也是等比數(shù)列.例4. 在等比數(shù)列an中，（1）若a4=5,a8=6,則a2a10=_，a6=_（2）若a1a9=64，

14、且a3+a7=20，則a11=_（3）若a7a12=5，則a8a9a10a11=_例5. 已知an是等比數(shù)列，an0且a2a4+2a3a5+a4a6=25，那么a3+a5的值等于（ ） A.5 B.10 C.15 D.20例6. 等比數(shù)列中，首項(xiàng)為98，末項(xiàng)為13，公比 為23，則項(xiàng)數(shù)n =_例7.若三個(gè)數(shù)為x, 2x+2, 3x+3成等比數(shù)列, 則x=_ 例2. 在等比數(shù)列an中， 若a1=2，a5=8，則a3=_4等比數(shù)列的圖象1（1）數(shù)列：1，2，4，8，16，1234567891024681012141618200等比數(shù)列的圖象2（2）數(shù)列：1234567891012345678910

15、0等比數(shù)列的圖象3（1）數(shù)列：4，4，4，4，4，4，4，12345678910123456789100等比數(shù)列的圖象4（1）數(shù)列：1，-1，1，-1，1，-1，1，12345678910123456789100等比中項(xiàng) 觀察如下的兩個(gè)數(shù)之間，插入一個(gè)什么數(shù)后者三個(gè)數(shù)就會(huì)成為一個(gè)等比數(shù)列：（1）1， ， 9 （2）-1， ，-4（3）-12， ，-3 （4）1， ，13261 如果在a與b中間插入一個(gè)數(shù)G，使a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項(xiàng)。等比數(shù)列的通項(xiàng)公式例題1 例1 培育水稻新品種，如果第1代得到120粒種子，并且從第1代起，以后各代的每一粒種子都可以得到下一代的120粒

16、種子，到第5代大約可以得到這種新品種的種子多少粒（保留兩個(gè)有效數(shù)字）？解：由于每代的種子數(shù)是它的前一代種子數(shù)的120倍，因此，逐代的種子數(shù)組成等比數(shù)列，記為 答：到第5代大約可以得到這種新品種的種子 粒. 等比數(shù)列的通項(xiàng)公式例題2 例2 一個(gè)等比數(shù)列的第3項(xiàng)與第4項(xiàng)分別是12與18，求它的第1項(xiàng)與第2項(xiàng). 解：用 表示題中公比為q的等比數(shù)列，由已知條件，有解得 因此，答：這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng)與第2項(xiàng)分別是等比數(shù)列的通項(xiàng)公式例題3 例3 某種電訊產(chǎn)品自投放市場以來，經(jīng)過三次降價(jià)，單價(jià)由原來的174元降到58元. 這種電訊產(chǎn)品平均每次降價(jià)的百分率大約是多少（精確到1%）？ 解：將原單價(jià)與三次降價(jià)后的單

17、價(jià)依次排列，就組成一個(gè)依(1-x)為的公比等比數(shù)列 ，由已知條件，有因此，答：上述電訊產(chǎn)品平均每次降價(jià)的百分率大約是31%.設(shè)平均每次降價(jià)的百分率是x，那么每次降價(jià)后的單價(jià)應(yīng)是降價(jià)前的(1-x)倍.若原價(jià)格為a，則降價(jià)x后的價(jià)格應(yīng)為a-ax=a(1-x)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式練習(xí)1求下列等比數(shù)列的第4，5項(xiàng)：（2）1.2，2.4，4.8， （1） 5，-15，45，形成性訓(xùn)練 1、在等比數(shù)列an中，已知a2 = 5，a4 = 10，則公比 q的值為_ 2、 2與8的等比中項(xiàng)為G，則G的值為_ 3、在等比數(shù)列an中，an0, a2a4+2a3a5+a4a6=36, 那么a3+a5=_4、在等比數(shù)列中a7=6，a10=9，那么a4=_.例題分析例:（2006全國卷I）已知an為等比數(shù)列，公比q1,a2+a4=10, a1.a5=16 求等比數(shù)列 an的通項(xiàng)公式2若G2ab，則a，G，b一定成等比數(shù)列嗎？提示：不一定，若aGb0時(shí)，不滿足等比數(shù)列的判定與證明考點(diǎn)三 已知數(shù)列an滿足a11，an12an1.(1)求證：數(shù)列an1是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式【思路點(diǎn)撥】將遞推公式變形，然后利用等比數(shù)列的定義判定例3(2)由(1)知，an1是以a11為首項(xiàng)，2為公