對(duì)稱性與守恒定律

1、對(duì)稱性與守恒定律問題的提出守恒定律是與宇宙中某些對(duì)稱性相聯(lián)系的。 對(duì)稱性是統(tǒng)治物理規(guī)律的規(guī)律。守恒定律具有比力學(xué)理論更深厚的基礎(chǔ)嗎？守恒定律的普適性宏觀低速宏觀、微觀、低速、高速2-1 系統(tǒng)的對(duì)稱性概述一、系統(tǒng)孤立系統(tǒng)封閉系統(tǒng)開放系統(tǒng)系 統(tǒng)外 界物質(zhì)世界第2章 對(duì)稱性與守恒定律狀態(tài)量狀態(tài)量與系統(tǒng)經(jīng)歷的過程無關(guān)。狀態(tài)量是系統(tǒng)自身所具有的物理量，與外界無關(guān)。過程量過程量與系統(tǒng)自身沒有必然的聯(lián)系，過程量是由外界對(duì)系統(tǒng)過程產(chǎn)生作用的物理量。外力內(nèi)力i jFi fi j fj i動(dòng)量、角動(dòng)量、能量沖量、功作用在系統(tǒng)上的合力二、對(duì)稱性定義:某一研究對(duì)象(體系、事物;物理規(guī)律)對(duì)其狀態(tài)進(jìn)行某種操作,使其狀態(tài)

2、由A到B。若兩狀態(tài)等價(jià)(相同)，就說該研究對(duì)象對(duì)該操作具有對(duì)稱性。例對(duì)中心對(duì)稱操作繞中心旋任意角狀態(tài)A狀態(tài)B狀態(tài)A與狀態(tài)B相同或等價(jià)對(duì)稱性破缺三、幾種對(duì)稱操作1、空間對(duì)稱操作- 空間變換 1)平移 2)旋轉(zhuǎn) 3)鏡象反射 4)空間反演2、時(shí)間變換 1)時(shí)間平移 2)時(shí)間反演3、時(shí)空聯(lián)合操作 伽利略變換- 力學(xué)定律具有不變性 洛侖茲變換-物理定律具有不變性物理矢量的鏡面反射 極矢量 軸矢量平行于鏡面的分量方向相同，垂直于鏡面的分量方向相反。平行于鏡面的分量方向相反，垂直于鏡面的分量方向相同。時(shí)間反演 (t -t) 相當(dāng)于時(shí)間倒流 物理上:運(yùn)動(dòng)方向反向即: 速度對(duì)時(shí)間反演變號(hào)牛頓第二定律對(duì)保守系統(tǒng)

3、-時(shí)間反演不變?nèi)?無阻尼的單擺 武打片 動(dòng)作的真實(shí)性緊身衣 大袍非保守系統(tǒng)不具有時(shí)間反演不變性不真實(shí)真實(shí)陰陽(yáng)圖聯(lián)合操作2-2 功、動(dòng)能和勢(shì)能一、功和功率功力的空間積累外力作功是外界對(duì)系統(tǒng)過程的一個(gè)作用量AB微分形式直角坐標(biāo)系中對(duì)于定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體力矩的功是力做功的角量表述單位：焦耳 J ； 千瓦時(shí) 例1 作用在質(zhì)點(diǎn)上的力為在下列情況下求質(zhì)點(diǎn)從處運(yùn)動(dòng)到處該力作的功：1. 質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌道為拋物線2. 質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌道為直線XYOXYO做功與路徑有關(guān)例2、一隕石從距地面高為h處由靜止開始落向地面，忽略空氣阻力，求隕石下落過程中，萬有引力的功是多少？解：取地心為原點(diǎn)，引力與矢徑方向相反abhRo例3、質(zhì)量

4、為2kg的質(zhì)點(diǎn)在力(SI)的作用下，從靜止出發(fā)，沿x軸正向作直線運(yùn)動(dòng)。求前三秒內(nèi)該力所作的功。解：（一維運(yùn)動(dòng)可以用標(biāo)量）一對(duì)作用力和反作用力的功or1r2r21 m1m2dr1dr2f2f1m1、m2組成一個(gè)封閉系統(tǒng)在dt 時(shí)間內(nèi)功率 力在單位時(shí)間內(nèi)所作的功瞬時(shí)功率等與力與物體速度的標(biāo)積單位：瓦特 W二、動(dòng)能質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)的動(dòng)能定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能ABD rifi 質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理 合外力對(duì)質(zhì)點(diǎn)所做的功等于質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的增量。功是質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能變化的量度過程量狀態(tài)量物體受外力作用運(yùn)動(dòng)狀態(tài)變化動(dòng)能變化末態(tài)動(dòng)能初態(tài)動(dòng)能動(dòng)能是相對(duì)量三、勢(shì)能1、保守力某些力對(duì)質(zhì)點(diǎn)做功的大小只與質(zhì)點(diǎn)的始末位置有關(guān)，而與

5、路徑無關(guān)。這種力稱為保守力。典型的保守力： 重力、萬有引力、彈性力與保守力相對(duì)應(yīng)的是耗散力典型的耗散力： 摩擦力重力的功m在重力作用下由a運(yùn)動(dòng)到b，取地面為坐標(biāo)原點(diǎn).可見，重力是保守力。 初態(tài)量末態(tài)量彈力的功可見，彈性力是保守力。彈簧振子 初態(tài)量末態(tài)量引力的功 兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)之間在引力作用下相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí) ，以M所在處為原點(diǎn),M指向m的方向?yàn)槭笍降恼较?。m受的引力方向與矢徑方向相反?？梢娙f有引力是保守力。rabrdrFMmrdrab2、勢(shì)能、勢(shì)函數(shù) 在受保守力的作用下，質(zhì)點(diǎn)從A-B，所做的功與路徑無關(guān)，而只與這兩點(diǎn)的位置有關(guān)?？梢胍粋€(gè)只與位置有關(guān)的函數(shù)，A點(diǎn)的函數(shù)值減去B點(diǎn)的函數(shù)值，定義為從A -B

6、保守力所做的功，該函數(shù)就是勢(shì)能函數(shù)。AB定義了勢(shì)能差選參考點(diǎn)（勢(shì)能零點(diǎn)），設(shè)保守力做正功等于相應(yīng)勢(shì)能的減少；保守力做負(fù)功等于相應(yīng)勢(shì)能的增加。外力做正功等于相應(yīng)動(dòng)能的增加；外力做負(fù)功等于相應(yīng)動(dòng)能的減少。比較重力勢(shì)能（以地面為零勢(shì)能點(diǎn)）引力勢(shì)能（以無窮遠(yuǎn)為零勢(shì)能點(diǎn)）彈性勢(shì)能（以彈簧原長(zhǎng)為零勢(shì)能點(diǎn)）勢(shì)能只具有相對(duì)意義系統(tǒng)的機(jī)械能質(zhì)點(diǎn)在某一點(diǎn)的勢(shì)能大小等于在相應(yīng)的保守力的作用下，由所在點(diǎn)移動(dòng)到零勢(shì)能點(diǎn)時(shí)保守力所做的功。勢(shì)能和保守力的關(guān)系：勢(shì)能是保守力對(duì)路徑的線積分dllFlFBA保守力沿某一給定的l方向的分量等于與此保守力相應(yīng)的勢(shì)能函數(shù)沿l方向的空間變化率。保守力所做元功勢(shì)能是位置的函數(shù)，用U=U(x

7、,y,z)=EP ( x,y,z)表示，稱為勢(shì)函數(shù)質(zhì)點(diǎn)所受保守力等于質(zhì)點(diǎn)勢(shì)能梯度的負(fù)值那勃勒算符注意：1、只要有保守力，就可引入相應(yīng)的勢(shì)能。2、計(jì)算勢(shì)能必須規(guī)定零勢(shì)能參考點(diǎn)。質(zhì)點(diǎn)在某一點(diǎn)的勢(shì)能大小等于在相應(yīng)的保守力的作用下，由所在點(diǎn)移動(dòng)到零勢(shì)能點(diǎn)時(shí)保守力所做的功。3、勢(shì)能僅有相對(duì)意義，所以必須指出零勢(shì)能參考點(diǎn)。兩點(diǎn)間的勢(shì)能差是絕對(duì)的，即勢(shì)能是質(zhì)點(diǎn)間相對(duì)位置的單值函數(shù)。4、勢(shì)能是屬于具有保守力相互作用的質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)的。2-3 哈密頓函數(shù)描述系統(tǒng)的狀態(tài)函數(shù)一、動(dòng)量和角動(dòng)量能量、動(dòng)量角動(dòng)量是整個(gè)物理學(xué)中最重要的物理量大小：mv 方向：速度的方向1、動(dòng)量 （描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，矢量）系統(tǒng)的動(dòng)量等于各質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量

8、的矢量和在量子理論中，微觀粒子的速度概念失去了意義，但粒子的動(dòng)量概念仍然有效。國(guó)際單位制中動(dòng)量的單位是牛頓定律的另一種形式質(zhì)點(diǎn)所受的外力等于質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量對(duì)時(shí)間的變化率動(dòng)量具有相對(duì)性動(dòng)量和能量的關(guān)系2、角動(dòng)量mo rPL用叉積定義角動(dòng)量軸矢量vrma角動(dòng)量方向角動(dòng)量大小系統(tǒng)的總角動(dòng)量例 一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)沿著一條空間曲線運(yùn)動(dòng)，該曲線在直角坐標(biāo)下的矢徑為：其中a、b、皆為常數(shù)，求該質(zhì)點(diǎn)對(duì)原點(diǎn)的角動(dòng)量。解：已知定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體剛體上的一個(gè)質(zhì)元,繞固定軸做圓周運(yùn)動(dòng)角動(dòng)量為：所以剛體繞此軸的角動(dòng)量為： 剛體繞定軸的角動(dòng)量等于其對(duì)定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角速度之積。剛體轉(zhuǎn)動(dòng)定律的另一種形式剛體所受的外力矩等于剛體角動(dòng)量

9、對(duì)時(shí)間的變化率。轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能與角動(dòng)量的關(guān)系二、相空間三維歐氏空間構(gòu)形空間抽象空間自由度-確定系統(tǒng)位置所需的最少獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)。三維歐氏空間中一個(gè)質(zhì)點(diǎn)：用x,y,z確定質(zhì)點(diǎn)位置，自由度s=3兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)：自由度s=6，N個(gè)質(zhì)點(diǎn)：自由度s=3N構(gòu)形空間內(nèi)的坐標(biāo)只能確定質(zhì)點(diǎn)位置相空間-表示系統(tǒng)狀態(tài)的空間對(duì)一個(gè)自由度數(shù)為s的系統(tǒng)，它所對(duì)應(yīng)的相空間維數(shù)為2s。若系統(tǒng)作一維運(yùn)動(dòng)，則其自由度數(shù)為1，相空間維數(shù)為2。將一維坐標(biāo)和一維速度分別作軸構(gòu)成直角坐標(biāo)系。該坐標(biāo)系平面稱為相平面。相平面上的圖像稱為相圖，其中各條曲線稱為相軌。用質(zhì)點(diǎn)的位置坐標(biāo)和速度分量來構(gòu)造空間一個(gè)質(zhì)點(diǎn)：用(x,y,z)和(vx,vy,vz)作為坐標(biāo)，

10、維數(shù)為6例 作出無阻尼彈簧振子運(yùn)動(dòng)的相圖振子的自由度數(shù)為1，對(duì)應(yīng)的相空間維數(shù)為2。由上式可知在相空間中振子的運(yùn)動(dòng)軌跡為一橢圓構(gòu)造系統(tǒng)的相空間時(shí)，有四點(diǎn)需引起注意：1、相空間的維數(shù)一定等于系統(tǒng)自由度數(shù)的2倍。即2s。2、相空間的坐標(biāo)中，有s個(gè)坐標(biāo)是取自構(gòu)型空間中表示系統(tǒng)的位置坐標(biāo)，另外s個(gè)是系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)速度或動(dòng)量的坐標(biāo)。3、構(gòu)型空間中坐標(biāo)表示系統(tǒng)位置的坐標(biāo)不必是笛卡爾坐標(biāo)。它可以是位矢、角度、相對(duì)距離等，這樣的坐標(biāo)稱為廣義坐標(biāo)。4、若采用廣義坐標(biāo)，也必須采用一組相對(duì)應(yīng)的廣義速度或廣義動(dòng)量。二、系統(tǒng)的哈密頓函數(shù)在相空間中研究系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)會(huì)帶來很多的方便我們的問題是如何在相空間中找到一個(gè)自然表達(dá)系統(tǒng)狀態(tài)的函

11、數(shù)。系統(tǒng)的動(dòng)能是廣義動(dòng)量的函數(shù)系統(tǒng)的勢(shì)能是廣義坐標(biāo)的函數(shù)定義新函數(shù)=系統(tǒng)的動(dòng)能+勢(shì)能是廣義動(dòng)量和廣義坐標(biāo)的函數(shù)可表示相空間中系統(tǒng)的狀態(tài)函數(shù)哈密頓函數(shù) 定義為保守系統(tǒng)動(dòng)能函數(shù)與勢(shì)能函數(shù)之和， 即：相空間的廣義坐標(biāo)q (=1,2, ,s)相空間的廣義速度 (=1,2, ,s)相空間的廣義動(dòng)量p (=1,2, ,s)系統(tǒng)的總動(dòng)能T=Ek (p1,ps ,t)系統(tǒng)的總勢(shì)能U=Ep (q1,qs ,t)作機(jī)械運(yùn)動(dòng)的系統(tǒng)，哈密頓函數(shù)就是系統(tǒng)的機(jī)械能。例 求彈簧振子系統(tǒng)的哈密頓函數(shù)引入哈密頓函數(shù)后可以方便地導(dǎo)出系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程，即哈密頓正則方程。單擺的哈密頓量為試寫出其正則方程解例 用哈密頓正則方程，求質(zhì)

12、點(diǎn)在與距離平方反比的有心引力作用下的運(yùn)動(dòng)微分方程。解：采用極坐標(biāo)k為常量， r、為廣義坐標(biāo), 對(duì)應(yīng)的廣義動(dòng)量運(yùn)動(dòng)微分方程三、諾特爾定理諾特爾（E.Nother)對(duì)稱性可以分為兩類，一類是系統(tǒng)自身的對(duì)稱性，另一類是物理規(guī)律的對(duì)稱性。1918年建立的諾特爾定理，講的是物理規(guī)律的對(duì)稱性。這個(gè)定理指出：如果系統(tǒng)（的哈密頓函數(shù)）存在某個(gè)不明顯依賴時(shí)間的對(duì)稱性，就必然存在一個(gè)與之對(duì)應(yīng)的守恒量和相應(yīng)的守恒定律。2-4 時(shí)間平移對(duì)稱性與能量守恒一、能量守恒定律時(shí)間平移的對(duì)稱性意味著時(shí)間的均勻性，這將導(dǎo)致能量守恒。對(duì)于小的時(shí)間平移，在t 附近作泰勒級(jí)數(shù)展開若時(shí)間平移具有對(duì)稱性 如果系統(tǒng)對(duì)于時(shí)間平移是對(duì)稱的，那么

13、系統(tǒng)的能量一定守恒。能量守恒定律例 一個(gè)質(zhì)量為m的物體，從離地面距離為h的地方A豎直落下，討論以下兩種情況下系統(tǒng)的能量與時(shí)間對(duì)稱性的關(guān)系：1）自由落體運(yùn)動(dòng)；2）存在于運(yùn)動(dòng)速度成正比的空氣阻力作用。1）自由落體運(yùn)動(dòng)2）存在空氣阻力系統(tǒng)的能量不再守恒，表現(xiàn)在兩個(gè)方面：1) 存在耗散力的作用 2)存在外力作用對(duì)于機(jī)械系統(tǒng)，表現(xiàn)為：系統(tǒng)內(nèi)部存在非保守力，外部有不為零的合外力對(duì)系統(tǒng)作功機(jī)械能守恒定律二、功能原理對(duì)于機(jī)械系統(tǒng)，當(dāng)外力、非保守內(nèi)力做功不為零時(shí)外力對(duì)系統(tǒng)和系統(tǒng)非保守內(nèi)力做功之和等于系統(tǒng)機(jī)械能的增量。例 一個(gè)質(zhì)量為、半徑為的定滑輪（當(dāng)作均勻圓盤）上面繞有細(xì)繩，繩的一端固定在滑輪邊上，另一端掛一質(zhì)

14、量為的物體而下垂。忽略軸處摩擦，求物體由靜止下落高度時(shí)的速度和此時(shí)滑輪的角速度。解：據(jù)機(jī)械能守恒定律：取滑輪、物體、地球?yàn)橄到y(tǒng)2-5 勢(shì)能曲線幾種典型的勢(shì)能曲線xEpOrEpOr0EpOr原子相互作用勢(shì)能曲線勢(shì)能曲線:勢(shì)能隨位置變化的曲線。1、 平衡位置勢(shì)能曲線有極值，質(zhì)點(diǎn)處于平衡位置。勢(shì)能曲線取極小值的平衡點(diǎn)力總是指向平衡位置勢(shì)能曲線取極大值的平衡點(diǎn)力總是背離平衡位置穩(wěn)定平衡不穩(wěn)定平衡圖中勢(shì)能曲線可分成勢(shì)阱A、勢(shì)阱C和勢(shì)壘B三個(gè)區(qū)間。設(shè)系統(tǒng)機(jī)械能守恒，由此勢(shì)能曲線可分析系統(tǒng)狀態(tài)的變化。E=E1 系統(tǒng)被限制在勢(shì)阱A中運(yùn)動(dòng)E=E2 系統(tǒng)在勢(shì)阱A或C中運(yùn)動(dòng)，且二者只居其一。E=E3 系統(tǒng)可在xxd

15、的區(qū)域自由運(yùn)動(dòng)。例 一個(gè)質(zhì)量為m的小球，由一根長(zhǎng)為 的細(xì)桿連接成擺。可在豎直平面內(nèi)繞O點(diǎn)自由擺動(dòng)或轉(zhuǎn)動(dòng)。細(xì)桿質(zhì)量忽略不計(jì)。給定機(jī)械能E的擺的運(yùn)動(dòng)1、作曲線2、對(duì)分別作曲線對(duì)給定的E，討論系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)給定機(jī)械能E的擺的運(yùn)動(dòng)解：1、擺的重力勢(shì)能為2、擺的機(jī)械能用表示為代入2-6 空間平移對(duì)稱性與動(dòng)量守恒一、動(dòng)量守恒定律 空間平移對(duì)稱性意味著空間的均勻性，這將導(dǎo)致動(dòng)量守恒。 如果系統(tǒng)對(duì)于空間某一方向平移是對(duì)稱的，那么系統(tǒng)在這個(gè)方向上的動(dòng)量守恒。推廣： 如果系統(tǒng)對(duì)于空間任意方向平移是對(duì)稱的，那么系統(tǒng)動(dòng)量守恒。所有速度是對(duì)同一個(gè)坐標(biāo)系而言的。由力和動(dòng)量的關(guān)系例 用空間平移對(duì)稱性證明牛頓第三定律 設(shè)質(zhì)點(diǎn)由兩

16、個(gè)質(zhì)點(diǎn)A、B組成，在沒有外力作用的條件下，它們的相互作用勢(shì)能用U表示。如圖，車在光滑水平面上運(yùn)動(dòng)。已知m、M、人逆車運(yùn)動(dòng)方向從車頭經(jīng)t 到達(dá)車尾。求：1、若人勻速運(yùn)動(dòng)，他到達(dá)車尾時(shí)車的速度； 2、車的運(yùn)動(dòng)路程； 3、若人以變速率運(yùn)動(dòng)， 上述結(jié)論如何？ 解：以人和車為研究系統(tǒng)，取地面為參照系。水平方向系統(tǒng)動(dòng)量守恒。1、2、3、二、沖量、動(dòng)量定理 當(dāng)系統(tǒng)受到外界作用時(shí)，其空間平移對(duì)稱性被破壞，即外界作用導(dǎo)致系統(tǒng)對(duì)稱破缺，這必然導(dǎo)致動(dòng)量不守恒，系統(tǒng)與外界將發(fā)生動(dòng)量轉(zhuǎn)移。1、沖量力的元沖量F0tt12tx+單位：牛頓秒2、動(dòng)量定理 在一段時(shí)間內(nèi)系統(tǒng)總動(dòng)量的增量等于這段時(shí)間內(nèi)系統(tǒng)受到外力的沖量。平均沖力

17、例 質(zhì)量為2.5g的乒乓球以10m/s的速率飛來，被板推擋后，又以20m/s的速率飛出。設(shè)兩速度在垂直于板面的同一平面內(nèi)，且它們與板面法線的夾角分別為45o和30o，求：（1）乒乓球得到的沖量；（2）若撞擊時(shí)間為0.01s，求板施于球的平均沖力的大小和方向。45o 30o nv2v1解：取擋板和球?yàn)檠芯繉?duì)象，由于作用時(shí)間很短，忽略重力影響。設(shè)擋板對(duì)球的沖力為 則有：45o 30o nv2v1Oxy取坐標(biāo)系，將上式投影，有：為平均沖力與x方向的夾角。此題也可用矢量法解45o 30o nv2v1Oxyv2v1v1t例 一質(zhì)量均勻分布的柔軟細(xì)繩鉛直地懸掛著，繩的下端剛好觸到水平桌面上，如果把繩的上端

18、放開，繩將落在桌面上。試證明：在繩下落的過程中，任意時(shí)刻作用于桌面的壓力，等于已落到桌面上的繩重量的三倍。ox證明：取如圖坐標(biāo)，設(shè)t時(shí)刻已有x長(zhǎng)的柔繩落至桌面，隨后的dt時(shí)間內(nèi)將有質(zhì)量為dx（Mdx/L)的柔繩以dx/dt的速率碰到桌面而停止，它的動(dòng)量變化率為：根據(jù)動(dòng)量定理，桌面對(duì)柔繩的沖力為：柔繩對(duì)桌面的沖力FF即：而已落到桌面上的柔繩的重量為mg=Mgx/L所以F總=F+mg=2Mgx/L+Mgx/L=3mg2-7 空間旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性與角動(dòng)量守恒旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性意味著空間的各向同性，這將導(dǎo)致角動(dòng)量守恒。外力矩對(duì)系統(tǒng)的角沖量（沖量矩）等于角動(dòng)量的增量。角動(dòng)量守恒定律的兩種情況：1、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量保持不變的單個(gè)剛體。2、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可變的物體。渦旋星系2-8 碰撞物體在短時(shí)間內(nèi)發(fā)生相互作用的過程。碰撞過程的特點(diǎn)：1、各個(gè)物體的動(dòng)量明顯改變。 2、系統(tǒng)的總動(dòng)量(總角動(dòng)量)守恒。彈性碰撞：Ek=0碰撞過程中兩球的機(jī)械能（動(dòng)能）完全沒有損失。非彈性碰撞： Ek0碰撞過程中