無套利定價(jià)法

1、第一章無套利定價(jià)法的思想 1.1 無套利思想的產(chǎn)生及發(fā)展在高鴻業(yè)宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)（第五版）中，我們知道了市場中一般商品通常是通過 均衡價(jià)格理論，即假定消費(fèi)者追求最大消費(fèi)效用、生產(chǎn)者追求最大生產(chǎn)利潤、然后在 一定條件下，存在一個(gè)一般經(jīng)濟(jì)均衡的價(jià)格體系，使得商品的供需達(dá)到平衡。作為特 殊商品的金融資產(chǎn)的定價(jià)似乎也應(yīng)遵循這一原則，但由于金融市場的最主要的特征在 于未來的不確定性，沿“均衡定價(jià)論”的道路前進(jìn)步履十分艱難。所以得出一個(gè)精確 的金融資產(chǎn)定價(jià)理論變得迫在眉睫，這時(shí)無套利思想應(yīng)運(yùn)而生.早在20世紀(jì)20年代，凱恩斯（1923）在其利率平價(jià)理論中，首次將無套利原則 引入金融變量的分析中。其后，米勒和莫迪

2、格利亞（1958）創(chuàng)造性地使用無套利分析 方法來證明其公司價(jià)值與資本結(jié)構(gòu)無關(guān)定理，即著名的MM定理.羅斯的套利定價(jià)（APT） 理論的產(chǎn)生使人們進(jìn)一步認(rèn)識到無套利思想的重要性。經(jīng)濟(jì)學(xué)家們甚至將無套利思想 看做是金融經(jīng)濟(jì)學(xué)區(qū)別于經(jīng)濟(jì)學(xué)的重要特征.羅斯曾指出：“大多數(shù)現(xiàn)代金融不是基于 無套利直覺理論,就是基于無套利的實(shí)際理論。事實(shí)上，可以把無套利看做是統(tǒng)一所有 金融的一個(gè)概念。因此，無套利定價(jià)思想構(gòu)成了金融經(jīng)濟(jì)學(xué)基本定理（也稱資產(chǎn)定價(jià)的 基本定理）。第二章無套利定價(jià)法的原理 2。1什么是套利套利（Arbitrage）是指在某項(xiàng)資產(chǎn)的交易過程中，交易者可在不需要期初投資 支出的條件下便可獲得無風(fēng)險(xiǎn)報(bào)酬

3、，但在實(shí)際市場中，套利一般指的是一個(gè)預(yù)期能產(chǎn)生 無風(fēng)險(xiǎn)盈利的策略，可能會承擔(dān)一定的低風(fēng)險(xiǎn)。套利有五種基本形式：空間套利、時(shí)間套利、工具套利、風(fēng)險(xiǎn)套利和稅收套利。 由于金融產(chǎn)品通常是無形的，所以不需要占據(jù)空間，所以沒有空間成本，而且金融市場 上存在的賣空機(jī)制（即投資者可以在不擁有某種產(chǎn)品的前提下便擁有以高價(jià)賣光該種 產(chǎn)品的權(quán)利，然后低價(jià)買回該種產(chǎn)品，通過價(jià)格差獲得利潤）大大增加了套利機(jī)會，并且 金融產(chǎn)品在時(shí)間和空間上的多樣性（如遠(yuǎn)期合約，期權(quán)合約）也使得套利更加便利。 套利存在的條件：1、存在兩個(gè)不同的資產(chǎn)組合，它們的未來損益相同，但它們的成本卻不同；2、存在兩個(gè)成本相同的資產(chǎn)組合，它們的未來損

4、益卻不同；3、一個(gè)組合其購建成本為零，但損益大于等于零，且至少在某一狀態(tài)下大于零。2.2什么是無套利定價(jià)“無套利定價(jià)”原理是指金融產(chǎn)品在市場的合理價(jià)格是這個(gè)價(jià)格使得市場不存 在套利機(jī)會，即在該種價(jià)格下金融產(chǎn)品的組合不會使投資者獲得無風(fēng)險(xiǎn)利潤。無套利定價(jià)的基本方法:將金融資產(chǎn)的“頭寸”與市場中其他金融資產(chǎn)的頭寸組 合起來，構(gòu)筑起一個(gè)在市場均衡時(shí)不能產(chǎn)生不承受風(fēng)險(xiǎn)的超額利潤的組合頭寸，由此 測算出該項(xiàng)頭寸在市場均衡時(shí)的價(jià)值即均衡價(jià)格。該種價(jià)格會使得套利者處于這樣一 種境地：他通過套利形成的財(cái)富的現(xiàn)金價(jià)值，與他沒有進(jìn)行套利活動時(shí)形成的財(cái)富的現(xiàn) 金價(jià)值完全相等，即套利不能影響他的期初和期末的現(xiàn)金流量狀

5、況。無套利定價(jià)的關(guān)鍵技術(shù)是“復(fù)制”技術(shù)，所謂復(fù)制是指即用一組證券來復(fù)制另 外一組證券，其要點(diǎn)是使復(fù)制組合的現(xiàn)金流特征與被組合的現(xiàn)金流特征完全一致，復(fù) 制組合的多頭（空頭）與被復(fù)制組合的空頭（多頭）互相之間完全實(shí)現(xiàn)頭寸對沖。 2.3無套利的基本理論（1）同損益同價(jià)格如果兩種證券具有相同的損益，則這兩種證券具有相同的價(jià)格。（2）靜態(tài)組合復(fù)制定價(jià)：如果一個(gè)資產(chǎn)組合的損益等同于一個(gè)證券，那么這個(gè)資產(chǎn)組合的價(jià)格等于證券的 價(jià)格。這個(gè)資產(chǎn)組合稱為證券的“復(fù)制組合”。（3）動態(tài)組合復(fù)制定價(jià)：如果一個(gè)自融資交易策略最后具有和一個(gè)證券相同的損益，那么這個(gè)證券的價(jià)格 等于自融資交易策略的成本。這稱為動態(tài)套期保值策

6、略.第三章無套利定價(jià)法的應(yīng)用3。1在確定狀態(tài)下資產(chǎn)的定價(jià)例1：假設(shè)2個(gè)零息票債券A和B,兩者都是1年后的同一天到期，面值都是100 元，如果債券A的當(dāng)前價(jià)格為98元，并假設(shè)不考慮交易成本和違約情況，債券B的當(dāng)前價(jià)格應(yīng)為多少？2。如果PB = 97。5元,當(dāng)前是否存在套利?如何套利？解：（1）由同損益同價(jià)格定價(jià)理論可知，因?yàn)閮煞N零息債券同一天到期，且面 值相同，即未來損益相同，所以要想不存在套利機(jī)會，兩者的價(jià)格應(yīng)該相同，所以債券 B的當(dāng)前價(jià)格也應(yīng)該為98元。（2）如果PB=97.5元，此種情況下B債券被低估，當(dāng)然存在套利機(jī)會。具 體操作為，投資者應(yīng)該買低賣高，即他應(yīng)該花97.5元買進(jìn)債券B,同時(shí)

7、以98元賣出債 券A,則期初凈獲得0.5元的利潤，一年之后因?yàn)閮煞N債券的面值相同，但所持的頭寸 相反,所以剛好可以抵消。例2靜態(tài)組合復(fù)制定價(jià)假設(shè)3種零息票債券A、B和C，面值都是100元，它們的當(dāng)前市場價(jià)格分別 為（1）1年后到期的零息票債券A的當(dāng)前市場價(jià)格為98元，（2）2年后到期的零息票債券B的當(dāng)前市場價(jià)格為96元，（3）3年后到期的零息票債券C的當(dāng)前市場價(jià)格為93元，并假設(shè)不考慮交易成本和違約情況，如果一個(gè)附息債券D的息票率為10%，一年支付 一次利息,期限為3年問：1.債券D的當(dāng)前價(jià)格應(yīng)為多少？2.如果PD=120元，當(dāng)前是否存在套利？如何套利？解：（1）由無套利定價(jià)的基本理論第二條知

8、，如果一個(gè)資產(chǎn)組合的損益與一個(gè)證 券的損益相同，那么該資產(chǎn)組合的價(jià)格與該證券的價(jià)格相同。先看一個(gè)息票率為10%， 一年支付一次利息的三年后到期的債券的損益情況。面值為100元，息票率為10%, 所以第一年末、第二年末利息分別為10元，第三年末本息和110元，由復(fù)制技術(shù)可知, 要找一個(gè)資產(chǎn)組合，并且該組合未來時(shí)間的損益應(yīng)該和該證券相同，所以（1）要購買 0.1份債券A,1年后損益為10元：（2）購買0。1份債券B，兩年后損益為10元：（3） 購買1.1份債券C，一年后損益為110元。所以債券D的價(jià)格應(yīng)該等于該資產(chǎn)組合的價(jià)格，即P=0.1*98+0.1*96+11*93=121.7 元。（2）當(dāng)該

9、種債券價(jià)格為120元時(shí),低于無套利時(shí)的定價(jià)121.7元，所以該種 債券被低估，當(dāng)然存在套利機(jī)會。并且由買低賣高原則可知投資者以120元應(yīng)該買入 一份債券D，并且賣出0.1份債券A,0O 1份債券B，1。1份債券C，則此時(shí)投資者的 利潤為1.7元,1年后用債券A的損益去支付第一年的債券D的利息，第二年用債券B 的損益去支付第一年的債券D的利息，第二年用債券C的損益去支付第債券D的本息。 例3動態(tài)組合復(fù)制定價(jià)假設(shè)面值都為100元的零息票債券，從現(xiàn)在開始，1年后到期的零息票債券A 的當(dāng)前市場價(jià)格為98元；從1年后開始，在2年后到期的零息票債券B的市場價(jià)格恰 好也為98元。問：1。從現(xiàn)在開始，2年后到

10、期的零息票債券債券C的當(dāng)前價(jià)格應(yīng)為多少？2.如果PG=97元，當(dāng)前是否存在套利?如何套利？解：（1）由無套利定價(jià)的基本理論（3）知，如果一個(gè)自融資交易策略最后具有和 一個(gè)證券相同的損益，那么這個(gè)證券的價(jià)格等于自融資交易策略的成本.由題意知面值為100元，2年后到期的債券C的損益為第一年末0元，第二年 末為100元，所以應(yīng)構(gòu)造相同損益的自融資組合。該組合為（1）購買0。98份一年后 到期的面值為100元的債券A,一年后債券A的損益為100*0.98=98元：（2） 一年后 用從債券A中所獲得的98元再去購買一年后開始,2年到期的面值為100元的債券B， 2年后，債券B的損益為100元。該種融資組

11、合的損益與債券C的損益完全相同，所以債券C的價(jià)格應(yīng)該等于自 融資交易策略的成本，即等于0.98 * 98=96.04元。（2）當(dāng)該種債券價(jià)格為97元時(shí)，高于于無套利時(shí)的定價(jià)96.04元，所以該種 債券被高估，當(dāng)然存在套利機(jī)會。并且由買低賣高原則可知投資者以97元應(yīng)該賣空一 份債券C,并且以96.04元買入0.98份債券A，則期初投資者凈掙0.96元：一年后用 債券A所獲得的98元去購買一份債券B,兩年后用債券B的損益去彌補(bǔ)債券C的損益。 這樣投資者凈獲利0.96元。3。2在不確定狀態(tài)下資產(chǎn)的定價(jià)金融經(jīng)濟(jì)社會中常見的不確定狀態(tài)有以下幾種-資產(chǎn)的未來損益不確定-假設(shè)市場在未來某一時(shí)刻存在有限種狀態(tài)

12、-在每一種狀態(tài)下資產(chǎn)的未來損益已知-但未來時(shí)刻到底發(fā)生哪一種狀態(tài)不知道例4 假設(shè)有一個(gè)無紅利支付的風(fēng)險(xiǎn)證券A，當(dāng)前的市場價(jià)格為100元，1年后的市 場有兩種狀態(tài)，在狀態(tài)1時(shí)證券A的價(jià)格上升至105元,在狀態(tài)2時(shí)證券A的價(jià)格下降為95元；同樣也有一個(gè)證券B,它在1年后的損益為：在狀態(tài)1時(shí)價(jià)格上升至105元，在 狀態(tài)2時(shí)價(jià)格下跌為95元;假設(shè)不考慮交易成本和信用風(fēng)險(xiǎn)，問：1.證券B的當(dāng)前價(jià)格應(yīng)為多少？2。如果證券B的當(dāng)前價(jià)格PB = 99元，當(dāng)前是否存在套利?如何套利？3。如果證券B的當(dāng)前價(jià)格PB=110元，當(dāng)前是否存在套利？如何套利？ 解：(1)由同損益同價(jià)格理論知，B的合理價(jià)格也為100元；如

13、果B為99元，價(jià)值被低估，則買進(jìn)B，賣空A；如果B為110元，價(jià)值被高估，則買進(jìn)A，賣空B.現(xiàn)在考慮如何利用證券A和無風(fēng)險(xiǎn)債券來構(gòu)建一個(gè)與證券B損益相同的組合。例5 (資金借貸無成本)假設(shè)有一風(fēng)險(xiǎn)證券A，當(dāng)前的市場價(jià)格為100元，1年后 的市場出現(xiàn)兩種可能的狀態(tài)：狀態(tài)1和狀態(tài)2.狀態(tài)1時(shí)，A的未來損益為105元，狀態(tài) 2時(shí)，95元.有一證券B，它在1年后的未來損益也是：狀態(tài)1時(shí)120元，狀態(tài)2時(shí)110 元。另外，假設(shè)不考慮交易成本，資金借貸也不需要成本.求證券B的價(jià)格？如果證券B的當(dāng)前價(jià)格PB=110元，當(dāng)前是否存在套利？如何套利？解：(1)用圖表示證券A，證券B和無風(fēng)險(xiǎn)債券一年后的損益狀況如

14、下100風(fēng)險(xiǎn)派券A風(fēng)險(xiǎn)旅券B說金俏貸100風(fēng)險(xiǎn)派券A風(fēng)險(xiǎn)旅券B說金俏貸現(xiàn)在構(gòu)建一個(gè)組合，使證券A和無風(fēng)險(xiǎn)債券一年后的損益等于證券B的損益狀況.假設(shè)X份證券A和Y份無風(fēng)險(xiǎn)債券(Y大于0為借出錢，小于0為借入錢)，要使得組合的損 益與證券B的損益相同，則應(yīng)滿足如下式子：1051 120一F + Wo解該方程組得X=1，Y=15,即買入1份證券A，借出15元，則證券B的價(jià)格等于1大 100+15=115元.應(yīng)該保證等號兩邊現(xiàn)金流價(jià)值相同，方向相反，符號相反.(2)證券B的價(jià)格為110元時(shí)，小套利定價(jià)時(shí)的115元，說明證券B被高估，所以存 在套利機(jī)會，應(yīng)該買低賣高，即買入證券B，賣空入，借入資金15元

15、。例6：（資金借貸有成本）假設(shè)有一風(fēng)險(xiǎn)證券A,當(dāng)前的市場價(jià)格為100元,1年后的市 場出現(xiàn)三種可能的狀態(tài)：狀態(tài)1、2和3。狀態(tài)1、2和3時(shí)，A的未來損益分別為110。25,99。75，90.25元。有一證券B，它在1年后的未來損益也是：狀態(tài)1、2和3時(shí), 分別為125,112.5和109元。另外，假設(shè)不考慮交易成本,資金借貸的年利率為5.06%。（1）B的合理價(jià)格為多少呢?（2）如果B的價(jià)格為110元，如何套利?解：（1）用圖表示證券A，證券B和無風(fēng)險(xiǎn)債券一年后的損益狀況如下風(fēng)險(xiǎn)證券A岡險(xiǎn)證券解：（1）用圖表示證券A，證券B和無風(fēng)險(xiǎn)債券一年后的損益狀況如下風(fēng)險(xiǎn)證券A岡險(xiǎn)證券B資金借貸的損益與證

16、券B的損益1相同299. 的損益與證券B的損益1相同299. 7590. 251. 05061. 0506112. 5109現(xiàn)在構(gòu)建一個(gè)組合，使證券A和無風(fēng)險(xiǎn)債券一年后的損益等于證券B的損益狀況。假 設(shè)X份證券A和Y份無風(fēng)險(xiǎn)債券（Y大于0為借出錢，小于0為借入錢），要使得組合 ,則應(yīng)滿足如下式子：（其中1. 0506=1+5.06%）125?51.0506125125解此方程組無解!（2）該問題無解！結(jié)束語現(xiàn)在金融經(jīng)濟(jì)社會中的金融產(chǎn)品種類頗多，各種金融產(chǎn)品的定價(jià)方式也有所不同, 所以導(dǎo)致定價(jià)基本理論很多，如絕對定價(jià)理論、相對定價(jià)理論、風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)理論、一 般均衡定價(jià)理論、套利定價(jià)理論等.本文只是介紹其中最基礎(chǔ)的無套利定價(jià)理論，適用 于初學(xué)金融工程的學(xué)生。此外，在無套定價(jià)理論中除上述幾種定價(jià)法之外，還有動態(tài)組合復(fù)制技術(shù)來定價(jià)、 還有合成金融工具、模仿金融工具定價(jià)法，各種定價(jià)理論都有各自的適用背景，希望同 學(xué)們能多多總結(jié)！下面簡單總結(jié)一下無套利定價(jià)原理：無套利定價(jià)原理就是金融學(xué)，金融工程的核心思想，“同損益同價(jià)格”實(shí)際上就