場(chǎng)量定義和計(jì)算

1、場(chǎng)量定義和計(jì)算一、場(chǎng)量的定義和計(jì)算(一) 電場(chǎng)1. 什么是電場(chǎng)？ 這種存在于電荷周圍，能對(duì)其他電荷產(chǎn)生作用力的特殊的物質(zhì)稱為電場(chǎng)?？梢?jiàn)電荷是產(chǎn)生電場(chǎng)的源。2. 電場(chǎng)強(qiáng)度的定義 電場(chǎng)強(qiáng)度嚴(yán)格的數(shù)學(xué)表達(dá)式為： 在此要求實(shí)驗(yàn)電荷足夠小，以使該電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)不致使原電場(chǎng)發(fā)生畸變。場(chǎng)量定義和計(jì)算3. 庫(kù)侖定律 其中： 為真空中介電常數(shù)。4. 電場(chǎng)強(qiáng)度的計(jì)算 其中： 是源電荷指向場(chǎng)點(diǎn)的方向。(1) 點(diǎn)電荷周圍電場(chǎng)強(qiáng)度的計(jì)算公式：場(chǎng)量定義和計(jì)算例1：在直角坐標(biāo)系中，設(shè)一點(diǎn)電荷q 位于點(diǎn) ， 計(jì)算空間點(diǎn) 的電場(chǎng)強(qiáng)度。解：如圖 點(diǎn)的坐標(biāo)矢量為：點(diǎn)的坐標(biāo)矢量為：點(diǎn)電荷電場(chǎng)強(qiáng)度的計(jì)算公式其中：所以:場(chǎng)量定義和計(jì)算結(jié)

2、論： 在直角坐標(biāo)系中，若源電荷 所在點(diǎn)的坐標(biāo)為 ，場(chǎng)點(diǎn)P 的坐標(biāo)為 ，則P 點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度為：多個(gè)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng) 如果有多個(gè)點(diǎn)電荷源,場(chǎng)域中某點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度應(yīng)該是所有點(diǎn)電荷在該場(chǎng)中產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度的矢量和。場(chǎng)量定義和計(jì)算(2) 連續(xù)分布的電荷源產(chǎn)生的電場(chǎng)a.線電荷分布：電荷沿某一曲線連續(xù)分布 。 線電荷密度定義： 單位長(zhǎng)度上的電荷量。 上所帶的電荷量：產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度為：該線電荷在空間產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度： 場(chǎng)量定義和計(jì)算b.面電荷分布：電荷沿空間曲面連續(xù)分布。 面電荷密度定義：?jiǎn)挝幻娣e上的電荷量。 上所帶的電荷量：產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度為：該面電荷在空間產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度： 場(chǎng)量定義和計(jì)算c.體電荷分布: 電荷在某空

3、間體積內(nèi)連續(xù)分布 。體電荷密度定義：?jiǎn)挝惑w積內(nèi)的電荷量。 上所帶的電荷量：產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度為：該體電荷在空間產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度: 場(chǎng)量定義和計(jì)算解：根據(jù)題意，選取圓柱坐標(biāo)系面元：面元上的電荷量為：從此電荷源到 z 軸上 P 點(diǎn)的距離矢量為：距離大小為：根據(jù)面分布電荷在空間一點(diǎn)所產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度公式： 例2：設(shè)有一無(wú)限大的均勻帶電平面，面電荷密度為 。 求：距平面h高處的電場(chǎng)強(qiáng)度 。場(chǎng)量定義和計(jì)算 由于電荷分布的對(duì)稱性，對(duì)每一個(gè)面元 ，將有一個(gè)對(duì)稱面元 與之對(duì)應(yīng)，這兩個(gè)面元上的電荷在P點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度的徑向分量相互抵消，因此P點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度的徑向分量為零。 可見(jiàn)：無(wú)限大均勻帶電平面產(chǎn)生的電場(chǎng)是均勻的,與距

4、離 h無(wú)關(guān)，方向?yàn)樵撈矫娴姆ň€方向。場(chǎng)量定義和計(jì)算（二）電位 電荷 在電場(chǎng)中受力為：電荷在靜電場(chǎng)中由P點(diǎn)移動(dòng)到A點(diǎn)，外力所做的功為： 電位差定義： 單位正電荷由P點(diǎn)移動(dòng)到A點(diǎn)，外力所做的功稱為A點(diǎn)和P點(diǎn)之間的電位差。 1. 電位差電荷 在電場(chǎng)中要保持靜止，需受外力作用為：場(chǎng)量定義和計(jì)算結(jié)論： 空間兩點(diǎn)的電位差只 與兩點(diǎn)所在位置有關(guān)， 而與積分路徑無(wú)關(guān)。例3：計(jì)算原點(diǎn)處一點(diǎn)電荷q 產(chǎn)生的電場(chǎng)中AP之間的電位差。解：選取求坐標(biāo)系，點(diǎn)電荷q 產(chǎn)生的電場(chǎng)所以：o場(chǎng)量定義和計(jì)算（1）電位定義： 外力將單位正電荷是由無(wú)窮遠(yuǎn)處移到A點(diǎn)，則A點(diǎn)和 無(wú)窮遠(yuǎn)處的電位差稱為A點(diǎn)的電位。2. 電位以無(wú)窮遠(yuǎn)處為零電位參

5、考點(diǎn)。 為電荷源到A點(diǎn)的距離。（2）電位計(jì)算：a.點(diǎn)電荷的電位計(jì)算：多個(gè)點(diǎn)電荷的電位計(jì)算：其中： 為第i個(gè)電荷源到A點(diǎn)的距離。場(chǎng)量定義和計(jì)算b.連續(xù)分布的電荷源的電位計(jì)算線電荷分布：面電荷分布：體電荷分布：3. 電場(chǎng)強(qiáng)度 與電位 之間的關(guān)系場(chǎng)量定義和計(jì)算例4: 有一對(duì)等量異號(hào)相距很近的電荷構(gòu)成電偶極子，如圖， 求：P點(diǎn)的電位和電場(chǎng)強(qiáng)度 。解：取球坐標(biāo)系， P點(diǎn)的電位因?yàn)椋簞t：電場(chǎng)強(qiáng)度：場(chǎng)量定義和計(jì)算(三) 磁場(chǎng)產(chǎn)生磁場(chǎng)的源： a.永久磁鐵 b.變化的電場(chǎng) c.電流周圍，即運(yùn)動(dòng)的電荷1. 什么是磁場(chǎng)？ 存在于載流回路或永久磁鐵周圍空間，能對(duì)運(yùn)動(dòng)電荷施力的特殊物質(zhì)稱為磁場(chǎng)?？梢?jiàn)： 磁場(chǎng)力 、運(yùn)動(dòng)速

6、度 和磁感應(yīng)強(qiáng)度 三者相互垂 直，且滿足右手螺旋法則。2. 磁感應(yīng)強(qiáng)度 的定義場(chǎng)量定義和計(jì)算電流元電流元 在空間所產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為： 該式稱為畢奧薩伐爾定律。安培力實(shí)驗(yàn)定律： 3. 磁感應(yīng)強(qiáng)度的計(jì)算其中： 為真空磁導(dǎo)率。得到：比較場(chǎng)量定義和計(jì)算例5：求如圖所示的電流線 I 在O點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度。解：取圓柱坐標(biāo)系將電流線分成 三段分別求這三段電流在O點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度。a.閉合電流回路在空間所產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度：特斯拉(T)場(chǎng)量定義和計(jì)算（1） 段在O點(diǎn)產(chǎn)生的（2） 段在O點(diǎn)產(chǎn)生的（3） 段在O點(diǎn)產(chǎn)生的O點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度:場(chǎng)量定義和計(jì)算例6：求長(zhǎng)為l ，載有電流 I 的細(xì)直導(dǎo)線在P點(diǎn)產(chǎn)生的磁

7、感應(yīng)強(qiáng)度。解：如圖所示，選用圓柱坐標(biāo)系式中：所以： 場(chǎng)量定義和計(jì)算式中：于是得：有限長(zhǎng)度電流線磁感應(yīng)強(qiáng)度：無(wú)限長(zhǎng)載流直導(dǎo)線周圍磁感應(yīng)強(qiáng)度： 即：場(chǎng)量定義和計(jì)算b. 面電流情況: 電流在某一曲面上流動(dòng)。面電流密度： 定義為在與電流線垂直的方向上單位長(zhǎng)度流過(guò)的電流。 上流過(guò)的電流量：產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為：整個(gè)面電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)：(A/m)場(chǎng)量定義和計(jì)算解：如圖，選用直角坐標(biāo)系 上流過(guò)的電流為例7：設(shè)一面電流密度為 的無(wú)限大均勻?qū)Я髅?，求：距該?面h高處的磁感應(yīng)強(qiáng)度？與 對(duì)稱的取線元其中：場(chǎng)量定義和計(jì)算該面電流在P點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度：無(wú)限大均勻?qū)Я髅鎯蓚?cè)的磁感應(yīng)強(qiáng)度：場(chǎng)量定義和計(jì)算c. 體電流情況:

8、電流在某一體積內(nèi)流動(dòng)。體電流密度： 定義為在與電流線垂直的方向上平面內(nèi)單位面積流過(guò)的電流。 上流過(guò)的電流量：產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為：整個(gè)體電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)：(A/m2)場(chǎng)量定義和計(jì)算 (四) 矢量磁位 1. 磁通量 磁感應(yīng)強(qiáng)度對(duì)一個(gè)曲面的面積分稱為穿過(guò)該曲面的磁通量。若曲面閉合：磁感應(yīng)強(qiáng)度：根據(jù)梯度規(guī)則：則有：根據(jù)高斯定律：場(chǎng)量定義和計(jì)算利用矢量恒等式：已知：和結(jié)論： 穿過(guò)空間任意閉合曲面的磁通量恒為零。這就是磁通連續(xù)性原理。它說(shuō)明磁感線是連續(xù)的閉合矢線，磁場(chǎng)是無(wú)散場(chǎng)。 場(chǎng)量定義和計(jì)算2. 矢量磁位的引入根據(jù)矢量恒等式：引入矢量 ，令 則：該矢量 稱為矢量磁位，單位為韋伯/米（Wb/m）。 3. 矢

9、量磁位的計(jì)算規(guī)范條件：對(duì)線電流的情況：已知：a.線電流矢量磁位計(jì)算場(chǎng)量定義和計(jì)算利用矢量恒等式：則：矢量磁位：該式為線電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)中的矢量磁位計(jì)算公式。為零！場(chǎng)量定義和計(jì)算b.面電流矢量磁位計(jì)算面電流密度：(A/m)矢量磁位：c.體電流矢量磁位計(jì)算體電流密度：矢量磁位：(A/m2)場(chǎng)量定義和計(jì)算例8：試求電流為I, 半徑為a 的小圓環(huán)在遠(yuǎn)離圓環(huán)處的磁感應(yīng)強(qiáng)度。解：先求 再求 ，選用球坐標(biāo)系，已知：在直角坐標(biāo)系中所以：場(chǎng)量定義和計(jì)算如圖：其中：可得：當(dāng)：場(chǎng)量定義和計(jì)算將：得：式中 為圓環(huán)的面積。 小電流環(huán)的磁矩：因?yàn)?，最后得：場(chǎng)量定義和計(jì)算二.麥克斯韋方程組的建立(一)安培環(huán)路定律麥克斯韋第

10、一方程1. 安培環(huán)路定律已知：無(wú)限長(zhǎng)載流直導(dǎo)線周圍的磁感應(yīng)強(qiáng)度為：場(chǎng)量定義和計(jì)算引入一個(gè)新矢量 ，令 則： 矢量 稱為磁場(chǎng)強(qiáng)度，單位為安培/米（A/m）。 安培環(huán)路定律： 在真空中，磁場(chǎng)強(qiáng)度沿任意回路的線積分，等于該回路所限定的曲面上穿過(guò)的總電流。若積分回路中包含多個(gè)電流則：場(chǎng)量定義和計(jì)算例9: 如圖所示，一無(wú)限長(zhǎng)同軸電纜芯線通有均勻分布的電流I，外導(dǎo)體通有均勻的等量反向電流，求各區(qū)域的磁感應(yīng)強(qiáng)度。 解: 根據(jù)題意，取圓柱坐標(biāo)系。（1） 區(qū)域內(nèi)導(dǎo)體的電流密度為:取半徑為 r 的圓環(huán)為積分回路，根據(jù)安培環(huán)路定律: 磁感應(yīng)強(qiáng)度為: 場(chǎng)量定義和計(jì)算同理取半徑為r 的圓為積分回路，則有: （2） 區(qū)域

11、該區(qū)域的磁感應(yīng)強(qiáng)度為:（3） 區(qū)域外導(dǎo)體的電流密度為:同理，取半徑為r 的圓為積分回路，則有: 可得：（4） 區(qū)域場(chǎng)量定義和計(jì)算2. 位移電流 傳導(dǎo)電流連續(xù)是安培環(huán)路定律成立的前提。 位移電流的提出： 在電容器兩極板間，由于電場(chǎng)隨時(shí)間的變化而存在位移電流，其數(shù)值等于流向正極板的傳導(dǎo)電流。如圖：穿過(guò) 的傳導(dǎo)電流為 ，則： 穿過(guò) 的傳導(dǎo)電流為 ，則： 矛盾？S場(chǎng)量定義和計(jì)算平板電容器極板上的電荷： 位移電流的計(jì)算 傳導(dǎo)電流：位移電流：位移電流密度：引入一個(gè)新矢量 ，在真空中令 ，則位移電流密度表示為： 某曲面上的位移電流：電位移矢量 場(chǎng)量定義和計(jì)算3. 全電流定律 引入位移電流之后，穿過(guò) S 面的

12、總電流為：總電流密度為：某曲面上全電流 I 為： 全電流定律： 該方程稱為麥克斯韋第一方程。該式的物理意義：它表明磁場(chǎng)不僅由傳導(dǎo)電流產(chǎn)生，也能由 隨時(shí)間變化的電場(chǎng)，即位移電流產(chǎn)生。 場(chǎng)量定義和計(jì)算(二) 法拉第電磁感應(yīng)定律麥克斯韋第二方程1. 法拉第電磁感應(yīng)定律 磁場(chǎng)中的一個(gè)閉合導(dǎo)體回路的磁通量發(fā)生變化時(shí)，回路中就產(chǎn)生了感應(yīng)電流，表示回路中感應(yīng)了電動(dòng)勢(shì)，且感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的大小正比于磁通對(duì)時(shí)間的變化率 。數(shù)學(xué)表達(dá)式為：E該閉合回路中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為：閉合回路中的磁通量為：可得：場(chǎng)量定義和計(jì)算引起磁通變化的原因： (2) 閉合回路與恒定磁場(chǎng)之間存在相對(duì)運(yùn)動(dòng),這時(shí)回路中的感 應(yīng)電動(dòng)勢(shì)稱為動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)。 (3

13、) 既存在時(shí)變磁場(chǎng)又存在回路的相對(duì)運(yùn)動(dòng)，則總的感應(yīng)電動(dòng) 勢(shì)為： (1) 閉合回路是靜止的，但與之交鏈的磁場(chǎng)是隨時(shí)間變化的， 這是回路中產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)稱為感生電動(dòng)勢(shì)。場(chǎng)量定義和計(jì)算例10: 如圖所示，一個(gè)矩形金屬框的寬度d 是常數(shù)，其滑動(dòng)的一邊以勻速v 向右移動(dòng)，求：下列情況下線框里的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。 （1） 恒定均勻；（2） 。 解：（1）已知其中：場(chǎng)量定義和計(jì)算（2）已知場(chǎng)量定義和計(jì)算2. 法拉第電磁感應(yīng)定律的推廣 當(dāng)空間某曲面內(nèi)的磁通隨時(shí)間變化時(shí)，意味著空間存在著感應(yīng)電場(chǎng)，感應(yīng)電場(chǎng)沿曲面邊界的積分為該曲線上的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。經(jīng)麥克斯韋推廣的電磁感應(yīng)定律為：該方程稱為麥克斯韋第二方程。該式說(shuō)明：變

14、化的磁場(chǎng)產(chǎn)生電場(chǎng)。即電場(chǎng)不僅由電荷源產(chǎn)生， 也可由時(shí)變的磁場(chǎng)產(chǎn)生。 場(chǎng)量定義和計(jì)算(三)電場(chǎng)的高斯定律麥克斯韋第三方程 若以該點(diǎn)電荷為中心，做一半徑為R 的球面，則電場(chǎng)強(qiáng)度穿出該球面的通量為如果閉合曲面內(nèi)包含n個(gè)點(diǎn)電荷，則：如果閉合曲面內(nèi)含有連續(xù)分布的電荷，則： 該方程稱為麥克斯韋第三方程。該式表明：穿過(guò)任何閉合曲面的電通量等于該閉合曲面所包圍 的凈電荷。 場(chǎng)量定義和計(jì)算例11：一均勻帶電球殼，電荷密度為 ，球殼內(nèi)外半徑分別為a、b，求各區(qū)域中的電位移矢量 。解：如圖，選球坐標(biāo)系，由于球殼內(nèi)均勻 帶電，所產(chǎn)生的電場(chǎng)具有中心對(duì)稱性。（1） 區(qū)域取半徑為 R 的球面為高斯面，根據(jù)電高斯定律: 可得

15、：場(chǎng)量定義和計(jì)算（2） 區(qū)域取半徑為 R 的球面為高斯面，根據(jù)電高斯定律: 可得：場(chǎng)量定義和計(jì)算（3） 區(qū)域同理取半徑為 R 的球面為高斯面，根據(jù)電高斯定律: 可得：場(chǎng)量定義和計(jì)算數(shù)學(xué)表達(dá)式為：該式表明： 通過(guò)任何閉合曲面的磁通量恒為零。磁力線總是連續(xù)的，它不會(huì)在閉合曲面內(nèi)積累或中斷，故稱磁通連續(xù)性原理。 該方程稱為麥克斯韋第四方程。(四)磁場(chǎng)的高斯定律麥克斯韋第四方程場(chǎng)量定義和計(jì)算(五)電流連續(xù)性方程麥克斯韋第五方程從封閉曲面流出的電流，必然等于封閉曲面內(nèi)正電荷的減少率：設(shè)流出封閉曲面的電流為：該封閉曲面內(nèi)的總電荷為：則：該方程稱為麥克斯韋第五方程。該式表明： 從封閉曲面流出的電流，必然等于封閉曲面內(nèi)正電荷的減少率，反之亦然。 場(chǎng)量定義和計(jì)算（一）麥克斯韋方程組的積分形式： 一般情況：無(wú)源的情況：三、麥克斯韋方程組的積分形式和微分形式場(chǎng)量定義和計(jì)算恒定電磁場(chǎng)(存在直流電流) 正弦電磁場(chǎng)（存在時(shí)間因子 ） 注意：利用積分形式的麥克斯韋方程可直接求解具有對(duì)稱性的場(chǎng)。如：中心對(duì)稱性場(chǎng)，軸對(duì)稱性場(chǎng)，平面對(duì)稱性場(chǎng)。場(chǎng)量定義和計(jì)算例12 ：