2021-2022學(xué)年吉林省長春市東北師范大學(xué)附屬中學(xué)數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末檢測模擬試題含解析

1、2021-2022高二下數(shù)學(xué)模擬試卷考生須知：1全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1從，中任取個(gè)不同的數(shù)字，從，中任取個(gè)不同的數(shù)字，可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)的個(gè)數(shù)為（ ）ABCD2設(shè)，都為大于零的常數(shù)，則的最小值為（ ）。ABCD3已知隨機(jī)變量服從

2、正態(tài)分布, 且, 則 ( )ABCD4已知函數(shù)，則等于（ ）A-1B0C1D5若點(diǎn)P在拋物線上，點(diǎn)Q（0,3），則|PQ|的最小值是（ ）ABCD6橢圓與直線相交于兩點(diǎn)，過中點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)連線斜率為，則（ ）ABC1D27已知是離散型隨機(jī)變量，則（ ）ABCD8下列函數(shù)既是偶函數(shù)，又在上為減函數(shù)的是（ ）ABCD9我國古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)中有這樣一些數(shù)學(xué)用語，“塹堵”意指底面為直角三角形，且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱，而“陽馬”指底面為矩形且有一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐現(xiàn)有一如圖所示的塹堵，當(dāng)塹堵的外接球的體積為時(shí)，則陽馬體積的最大值為A2B4CD10已知集合2，3，則ABCD2，3，11設(shè)等比數(shù)列滿

3、足，則的最大值為A32B128C64D25612直線：，所得到的不同直線條數(shù)是（）A22B23C24D25二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13已知平行六面體中，則的長為_14拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為_15已知二項(xiàng)式的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，則展開式中的系數(shù)為_16已知集合，則_三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）已知的展開式中第五項(xiàng)的系數(shù)與第三項(xiàng)的系數(shù)之比是.求：（1）展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和；（2）展開式中系數(shù)最大的項(xiàng).18（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的

4、極坐標(biāo)方程為.（1）寫出的普通方程和的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，求的最小值及此時(shí)的直角坐標(biāo).19（12分）已知函數(shù)，.（）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間與極值；（）當(dāng)時(shí)，若函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)，求的值20（12分）（1）求關(guān)于的不等式的解集；（2）若關(guān)于的不等式在時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍21（12分）已知函數(shù).（1）求函數(shù)的極值；（2）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，且，證明：.22（10分）已知知x為正實(shí)數(shù)，n為正偶數(shù)，在的展開式中，（1）若前3項(xiàng)的系數(shù)依次成等差數(shù)列，求n的值及展開式中的有理項(xiàng)；（2）求奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和與偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和，并比較它們的大小.參考答案一、選擇題：本題共12小題，

5、每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】根據(jù)選取的兩個(gè)偶數(shù)是否包含0分為兩種情況，種數(shù)相加得到答案.【詳解】選取的兩個(gè)偶數(shù)不包含0時(shí)： 選取的兩個(gè)偶數(shù)包含0時(shí)：故共有96個(gè)偶數(shù)答案選A【點(diǎn)睛】本題考查了排列組合，將情況分類可以簡化計(jì)算.2、B【解析】由于，乘以，然后展開由基本不等式求最值，即可求解【詳解】由題意，知，可得，則，所以當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)，故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用基本不等式求最值問題，其中解答中根據(jù)題意給要求的式子乘以是解決問題的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于中檔題3、B【解析】先計(jì)算出，由正態(tài)密度曲線的對(duì)

6、稱性得出，于是得出可得出答案【詳解】由題可知，由于，所以，因此，故選B.【點(diǎn)睛】本題考查正態(tài)分布在指定區(qū)間上的概率，考查正態(tài)密度曲線的對(duì)稱性，解題時(shí)要注意正態(tài)密度曲線的對(duì)稱軸，利用對(duì)稱性來計(jì)算，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題4、B【解析】先求，再求.【詳解】由已知，得：所以故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了分段函數(shù)求值，屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】試題分析：如圖所示，設(shè)，其中，則，故選B.考點(diǎn)：拋物線.6、A【解析】試題分析：設(shè)，可得，由的中點(diǎn)為，可得，由在橢圓上，可得，兩式相減可得，整理得，故選A考點(diǎn)：橢圓的幾何性質(zhì)【方法點(diǎn)晴】本題主要考查了直線與橢圓相交的位置關(guān)系，其中解答中涉及到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡

7、單的幾何性質(zhì)的應(yīng)用，當(dāng)與弦的斜率及中點(diǎn)有關(guān)時(shí)，可以利用“點(diǎn)差法”，同時(shí)此類問題注意直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立，運(yùn)用判別式與韋達(dá)定理解決是解答的關(guān)鍵，著重考查了學(xué)生的推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題7、A【解析】分析：由已知條件利用離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望計(jì)算公式求出a，進(jìn)而求出，由此即可求出答案.詳解：是離散型隨機(jī)變量，由已知得，解得，.故選：A.點(diǎn)睛：本題考查離散型隨機(jī)變量的方差的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差計(jì)算公式的合理運(yùn)用.8、B【解析】通過對(duì)每一個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷得出答案.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)：函數(shù)在既不是偶函數(shù)也不是減函數(shù)，故排除；對(duì)于選項(xiàng)：函數(shù)既是偶函數(shù)

8、，又在是減函數(shù)；對(duì)于選項(xiàng)：函數(shù)在是奇函數(shù)且增函數(shù)，故排除；對(duì)于選項(xiàng)：函數(shù)在是偶函數(shù)且增函數(shù)，故排除；故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的增減性以及奇偶性的判斷，屬于較易題.9、D【解析】由已知求出三棱柱外接球的半徑，得到，進(jìn)一步求得AB，再由棱錐體積公式結(jié)合基本不等式求最值【詳解】解：塹堵的外接球的體積為，其外接球的半徑，即，又，則即陽馬體積的最大值為故選：D【點(diǎn)睛】本題考查多面體的體積、均值定理等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，是中檔題10、B【解析】直接根據(jù)交集的定義求解即可【詳解】因?yàn)榧?，3，所以，根據(jù)交集的定義可得，故選B【點(diǎn)

9、睛】研究集合問題，一定要抓住元素，看元素應(yīng)滿足的屬性.研究兩集合的關(guān)系時(shí)，關(guān)鍵是將兩集合的關(guān)系轉(zhuǎn)化為元素間的關(guān)系，本題實(shí)質(zhì)求滿足屬于集合且屬于集合的元素的集合.11、C【解析】先求出通項(xiàng)公式公式，再根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)和等差數(shù)列的求和公式，可得，令，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性即可求出【詳解】由，可得，解得，令，當(dāng)或時(shí)，有最小值，即，的最大值為，故選C【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式等差數(shù)列的求和公式，指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)和復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題12、B【解析】根據(jù)排列知識(shí)求解，關(guān)鍵要減去重復(fù)的直線.【詳解】當(dāng)m,n相等時(shí)，有1種情況；當(dāng)m,n不相等時(shí)，有 種情況，但 重復(fù)了8條直線，因此共有條

10、直線.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查排列問題，關(guān)鍵在于減去斜率相同的直線，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】可得，由數(shù)量積的運(yùn)算可得，開方可得；【詳解】如圖所示：，故故的長等于.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查空間向量模的計(jì)算，選定為基底是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題14、2【解析】先求出拋物線的準(zhǔn)線方程，再求點(diǎn)(2,-1)到準(zhǔn)線的距離得解.【詳解】由題得拋物線的準(zhǔn)線方程為，所以點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為.故答案為：2【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的簡單幾何性質(zhì)，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平.15、4860【解析】由題意可知,即二項(xiàng)式為，所以，所以的系數(shù)為4860，填4860。

11、16、【解析】根據(jù)集合的交集補(bǔ)集運(yùn)算即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以因?故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合的補(bǔ)集，交集運(yùn)算，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）和.【解析】分析：（1）由條件求得，令，可得展開式的各項(xiàng)系數(shù)的和(2)設(shè)展開式中的第項(xiàng)、第項(xiàng)、第項(xiàng)的系數(shù)分別為，.若第項(xiàng)的系數(shù)最大，則，解不等式即可.詳解：展開式的通項(xiàng)為. 依題意，得. (1)令，則各項(xiàng)系數(shù)的和為. (2)設(shè)展開式中的第項(xiàng)、第項(xiàng)、第項(xiàng)的系數(shù)分別為，.若第項(xiàng)的系數(shù)最大，則 , 得. 于是系數(shù)最大的項(xiàng)是和.點(diǎn)睛：本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，二

12、項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題18、（1）的普通方程為：，的直角坐標(biāo)方程為：（2）的最小值為，此時(shí)的直角坐標(biāo)為【解析】（1）直接利用參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程公式得到答案.（2）最小值為點(diǎn)到直線的距離，,再根據(jù)三角函數(shù)求最值.【詳解】（1）：，化簡：.： ，由，化簡可得：.所以的普通方程為：，的直角坐標(biāo)方程為：；（2）由題意，可設(shè)點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，因?yàn)槭侵本€，所以的最小值，即為到的距離的最小值，利用三角函數(shù)性質(zhì)求得最小值.，其中，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，取得最小值，最小值為，此時(shí)的直角坐標(biāo)為.【點(diǎn)睛】本題考查了參數(shù)方程，極坐標(biāo)方程，利用三角函數(shù)求最小值可以簡化運(yùn)算.19、（）的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.極大值

13、是，無極小值.（）1【解析】（）把代入，令，求出極值點(diǎn)，再求出的單調(diào)區(qū)間，確定函數(shù)的極值；（）函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)，等價(jià)于的極小值等于0，列出等式，可求得t.【詳解】解：（）當(dāng)時(shí)，則，令，得，的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.的極大值是，無極小值.（）當(dāng)時(shí)，由，得，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，的極小值是，只要，即，令，則，在上單調(diào)遞增.，的值是1.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)函數(shù)求增減區(qū)間和極值；以及根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，確定參數(shù)的取值，數(shù)形結(jié)合方法的應(yīng)用是解決本題的關(guān)鍵.20、（1）；（2）【解析】分析：（1）分類討論，轉(zhuǎn)化為三個(gè)不等式組，即可求解不等式的解集；（2）由題意，令，則不等式恒成立，即

14、為，分類討論即可求解實(shí)數(shù)的取值范圍詳解：（1）原不等式化為： 或或 解得或或 原不等式的解集為 （2）令，則只須即可當(dāng)時(shí)，（時(shí)取等）；當(dāng)時(shí)，（時(shí)取等） 點(diǎn)睛：本題主要考查了絕對(duì)值不等式的求解及其應(yīng)用，其中合理分類討論，轉(zhuǎn)化為等價(jià)不等式組進(jìn)行求解是解答絕對(duì)值問題的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力21、 (1)答案見解析；(2)證明見解析.【解析】分析：（1）求出，分兩種情況討論的范圍，在定義域內(nèi)，分別令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間，求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間，根據(jù)單調(diào)性可得函數(shù)的極值；（2），為函數(shù)零點(diǎn)，可得，要證，只需證，令，在上是增函數(shù)，從而可得結(jié)論.詳解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?當(dāng)時(shí)，在上是減

15、函數(shù)，所以在上無極值；當(dāng)時(shí)，若，在上是減函數(shù).當(dāng)，在上是增函數(shù)，故當(dāng)時(shí)，在上的極小值為.（2）證明：當(dāng)時(shí)，可證明由（1）知，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，是極值點(diǎn)，又，為函數(shù)零點(diǎn)，所以，要證，只需證. ，又，令，則，在上是增函數(shù)，即得證.點(diǎn)睛：本題是以導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用為背景的函數(shù)綜合題，主要考查了函數(shù)思想，化歸思想，抽象概括能力，綜合分析問題和解決問題的能力，屬于較難題，近來高考在逐年加大對(duì)導(dǎo)數(shù)問題的考查力度，不僅題型在變化，而且問題的難度、深度與廣度也在不斷加大，本部分的要求一定有三個(gè)層次：第一層次主要考查求導(dǎo)公式，求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)的幾何意義；第二層次是導(dǎo)數(shù)的簡單應(yīng)用，包括求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值等；第三層次是綜合考查，包括解決應(yīng)用問題，將導(dǎo)數(shù)內(nèi)容和傳統(tǒng)內(nèi)容中有關(guān)不等式甚至數(shù)列及函數(shù)單調(diào)性有機(jī)結(jié)合，設(shè)計(jì)綜合題.22、（1），有理項(xiàng)有三項(xiàng)，分別為：；（2）128,128,相等【解析】（1）首先找出展開式的前3項(xiàng)，然后利用等差數(shù)列的性質(zhì)即可列出等式，求出