常用統(tǒng)計(jì)量及其應(yīng)用

1、第四章常用統(tǒng)計(jì)量及其應(yīng)用第一節(jié)平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差的概念一、平均數(shù)反映一組性質(zhì)相同的觀測值的平均水平或集中趨勢的統(tǒng)計(jì)量，其數(shù)學(xué)定義為1nxxin i 1平均數(shù)在一定程度上代表一組數(shù)據(jù)的整體水平，體育工作中， 常用這一概念來反映事物的某些特征。例如，某中學(xué)的體育平均達(dá)標(biāo)率，學(xué)生的平均身高，年齡某地區(qū)高考體育加試平均分?jǐn)?shù)等等。二、標(biāo)準(zhǔn)差樣本平均數(shù)描述數(shù)據(jù)的集中趨勢，反映樣本數(shù)據(jù)的平均水平。但是， 平均數(shù)對整體的代表性是有條件的。例如，吉斯莫先生經(jīng)營一家工廠，規(guī)模不大，現(xiàn)欲招聘一名工人，湯姆先生參加面試，老板告訴他，本廠全體人員的工資入平均每人每周 300 元，湯姆一聽，欣然接受，上班一天后，來找老板，聲

2、稱受騙，老板算了一筆帳，湯姆聽了無話可說。該廠工資分配表如下：人員吉斯莫弟弟個(gè)親戚個(gè)領(lǐng)工個(gè)工人合計(jì)23平均工資300 元周工資（元周）240010002502001006900說明：該廠平均工資盡管較高， 但由于各個(gè)工資相差太大， 平均數(shù)對整體的代表性較差。這就說明在實(shí)際應(yīng)用中， 僅有平均數(shù)是不夠的， 還要考慮到數(shù)據(jù)的離散程度。 在數(shù)據(jù)相對比較集中時(shí)，平均數(shù)才具有代表性。反映樣本離散程度的統(tǒng)計(jì)量，稱之為標(biāo)準(zhǔn)差設(shè)樣本觀測值為x1 , x2 xn , 平均數(shù)為 x ，看看如何來定量計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差？樣本的離散程度自然是相對平均數(shù)x 而言的為此構(gòu)造出n(xix)i1n( xi x) 0但上式各項(xiàng)有正有負(fù)，

3、正負(fù)抵消i1所以要反映離散程度的大小可以讓上式各項(xiàng)加以絕對值或求平方，但帶絕對值后不便于處理，所以，選擇后者從而有n(xix )2i1上式與樣本含量的大小有關(guān)，所以，求平均的1nn( xix )2i1在實(shí)際應(yīng)用中，上式對總體離散程度的估計(jì)往往偏小若以自由度（n1 ）代替n，則是無偏的因此，構(gòu)造1n1n(xix) 2 ? s2i 1上式中 s2稱為樣本方差，還原成原來的量綱則有1nS(xi x) 2n1 i 1稱為標(biāo)準(zhǔn)差，反映樣本的離散程度。結(jié)束語：樣本平均數(shù)反映樣本數(shù)據(jù)的整體水平， 但是要結(jié)合標(biāo)準(zhǔn)差， 標(biāo)準(zhǔn)差反映樣本數(shù)據(jù)的離散程度對于運(yùn)動(dòng)成績，表現(xiàn)為成績的穩(wěn)定性。第 6 次課（3學(xué)時(shí)）教學(xué)目的

4、： 通過本次課的教學(xué)，使學(xué)生了解平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差在體育中的具體應(yīng)用，掌握利用平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差制定評分評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)的方法。教學(xué)內(nèi)容：平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差在體育中的應(yīng)用1標(biāo)準(zhǔn)百分2累進(jìn)計(jì)分3離差法制定評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)在制定離差評價(jià)表中的應(yīng)用教學(xué)重點(diǎn)：標(biāo)準(zhǔn)百分和累進(jìn)計(jì)分的計(jì)分思想離差評價(jià)表的制定過程教學(xué)難點(diǎn)：累進(jìn)計(jì)分法教學(xué)內(nèi)容的組織安排：標(biāo)準(zhǔn)百分和累進(jìn)計(jì)分是體育統(tǒng)計(jì)的重要內(nèi)容，在體育評分和評價(jià)中有重要應(yīng)用， 為了讓學(xué)生在實(shí)際工作中能正確地運(yùn)用，教學(xué)中重點(diǎn)講授計(jì)分思想， 讓學(xué)生掌握兩種計(jì)分方法的實(shí)質(zhì)。教學(xué)方法上，采用“探索式”教學(xué)教師提出想法，啟發(fā)學(xué)生積極思維，探索出計(jì)分公式。離差法制定評分價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，主要借助于正態(tài)分布的概率

5、計(jì)算，前面已學(xué)過， 舉一個(gè)例子講解說明即可。離差評價(jià)表的制定，純屬應(yīng)用內(nèi)容，簡單、直觀、舉一個(gè)例子說明制表過程，學(xué)生即可接受。需要強(qiáng)調(diào)，以上計(jì)分和評價(jià)方法的應(yīng)用條件和各自的優(yōu)點(diǎn)及缺點(diǎn)。開始語平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差是體育統(tǒng)計(jì)中兩個(gè)重要的統(tǒng)計(jì)量，上次課學(xué)習(xí)了計(jì)算方法，本次課介紹它們在體育領(lǐng)域里的應(yīng)用。第二節(jié)平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差在體育中的應(yīng)用平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差在體育中的應(yīng)用很廣，這里列舉個(gè)主要方面，分別加以介紹一、標(biāo)準(zhǔn)百分（分）在體育工作中，人們得到的數(shù)據(jù)資料往往是體育項(xiàng)目的成績，不便于對個(gè)體進(jìn)行評價(jià)。加之， 體育項(xiàng)目種類繁多，各項(xiàng)目的性質(zhì)也相差較大，這給綜合評價(jià)帶來很大的不便。 于是產(chǎn)生了體育計(jì)分方法，標(biāo)準(zhǔn)百分計(jì)分

6、法就是其中的一種。（一）標(biāo)準(zhǔn)百分的計(jì)分思想設(shè)隨機(jī)變量 x 服從正態(tài)分布N (u, 2 ) ，則由正態(tài)分布的知識(shí)可知P(u1.96xu1.96)95%P(u2.58xu2.58)99%即： rv x 落在區(qū)間u2.58內(nèi)的概率99% 換句話說，來自總體的樣本觀測值（ x1 , x 2x n ）中絕大部分都落在u3 范圍內(nèi)， 因此計(jì)分范圍可以取u 3 ，其中 u 和未知，可用樣本平均數(shù)x 和標(biāo)準(zhǔn)差 S 代替，從而計(jì)分范圍可定為 x3S （定為 x4S 或5S也行、但太大了不妥，也沒有必要）標(biāo)準(zhǔn)百分的計(jì)分方法是在范圍x3S 內(nèi)均勻計(jì)分， 兩端點(diǎn)分別計(jì)零分或滿分x 點(diǎn)計(jì) 50分（二）標(biāo)準(zhǔn)百分的計(jì)分公式

7、由上可知，區(qū)間x3S 內(nèi)單位長度的分值為1006S從而對于某個(gè)觀測值x 1 其標(biāo)準(zhǔn)百分為田賽： T50(xx)10050100 xx6S6S徑賽： T50(xx ) 10050100 xSx6S6若計(jì)分范圍定為x5S，則標(biāo)準(zhǔn)百分為田賽： T5010(xx)S徑賽： T5010( xx)S需要注意，原始變量必須是正態(tài)分布例4.4 已知某年級男生跳遠(yuǎn)成績x5.20m, S0.40m ，其中甲成績?yōu)?5.85m 乙成績?yōu)?4.48m 試求他們的標(biāo)準(zhǔn)百分。解：跳遠(yuǎn)成績服從正態(tài)分布記為xNu2)，u和 分別用x和 S 代替，則可認(rèn)為( ,該年級男生的跳遠(yuǎn)成績幾乎都落在x3S范圍內(nèi)，所以，在區(qū)間 x3S

8、內(nèi)計(jì)分。根據(jù)上面計(jì)分公式，可的T甲50100 xx100(5.855.20)77.086S5060.40T乙50100(4.485.20)2060.40二、累進(jìn)計(jì)分（一）累進(jìn)計(jì)分的思想標(biāo)準(zhǔn)百分有簡單、直觀、使用方便的優(yōu)點(diǎn)。但由于該計(jì)分方法采用均勻計(jì)分，分值處理一樣，沒有與項(xiàng)目的難度聯(lián)系起來，因此，不利于應(yīng)用。在y體育領(lǐng)域內(nèi)， 難度越大處分值應(yīng)當(dāng)越高，即分?jǐn)?shù)隨成績的提高呈曲線上升，這就是累進(jìn)計(jì)分的基本思想。通常采用二次曲線yax 2bx（二）累進(jìn)計(jì)分公式由于體育項(xiàng)目多種多樣，田賽和徑賽項(xiàng)目情況不同，為了統(tǒng)一起見， 將原始變量進(jìn)行處理。設(shè)原始變量服從正態(tài)分布，樣本平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差分別x 和 S ，先

9、對原變量 x 作如下變換田賽： u徑賽： uxxSxxS以上 u 值有正有負(fù)，為了克服負(fù)值的干擾，再作變換D5u （解釋原因）現(xiàn)以 D 值為自變量，分?jǐn)?shù)y 為因變量，建立二次曲線y kD 2其中 k 和 Z 為待定常數(shù)。為了確定計(jì)分公式，需要根據(jù)具體問題設(shè)定基分點(diǎn)和滿分點(diǎn)，從而建立方程組y 1kD 12y 2kD 22解出k 和 ，即得到累進(jìn)計(jì)分公式y(tǒng)kD 2例 4.5 已測得某年級男生跳遠(yuǎn)成績 x 5.20m, S0.40m 若規(guī)定 xS位置為 60 分，x 3S位置為 100 分，甲、乙兩人的成績分別為5.64m 和 4.78m 試按累進(jìn)計(jì)分法計(jì)算他們的分?jǐn)?shù)。解：兩個(gè)位置xS和 x 3S的

10、 D 值分別為D14D 28根據(jù)題設(shè)，得方程組42 k1 0 082 k解得k0.83,46.67從而累進(jìn)計(jì)分公式為y 0.83D 246.67甲、乙兩人的累進(jìn)分?jǐn)?shù)甲： D15x 155.645.206.1S0.40y10.83D1246.670.83(6.1)246.6778乙： D254.785.203.950.40y 20.83(3.95) 246.6760注意：原始變量必須呈正態(tài)分布三、離差法制定評分評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)利用樣本均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差來制定評分、評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)的方法習(xí)慣上稱為離差法。常見的用離差法制定等級標(biāo)準(zhǔn)的方法是：先根據(jù)具體情況規(guī)定各等級的人數(shù)比例，如優(yōu)秀 10%，良好 20% ，中等 30%

11、，及格 32%，不及格 8%再根據(jù)正態(tài)分布的知識(shí)，計(jì)算出各等級的成績標(biāo)準(zhǔn)。例 4.6 現(xiàn)有一組男生200m 跑成績 x26 秒， S0.4 秒，原始變量基本服從正態(tài)分布，若規(guī)定 12%的人為優(yōu)秀， 20%為良好， 30%為中等， 30%及格， 8%不及格，試求各等級的標(biāo)準(zhǔn)。解：設(shè)優(yōu)秀與良好的分界值為x 1 ，根據(jù)題設(shè)，有P(xx 1 )0.12將原始變量標(biāo)準(zhǔn)化得P( x xx 1 x ) 0.12SS查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，可得x 1x1.17S解和 x 1 x1.17S261.17 0.40 25.5設(shè)良好與中等的分界值為x 2 ，則P(xx 2 )0.120.200.32將 x 標(biāo)準(zhǔn)化并查表，得

12、x 2x0.47S解得 x 2 x0.47S 26 0.47 0.40 25.8同理可求得其它標(biāo)準(zhǔn)（留給學(xué)生課后完成）中等標(biāo)準(zhǔn)： x26.1及格標(biāo)準(zhǔn)： x26.6離差法要求原始變量服從正態(tài)分布。四、制定離差評價(jià)表在中學(xué)體育工作中，教師可以針對學(xué)生的整體成績利用離差法制定各項(xiàng)目的綜合評價(jià)表，在表中，各項(xiàng)目分上等、中上、中等、中下、和下等五個(gè)等級，各等級的計(jì)分標(biāo)準(zhǔn)為：上等： x2S 以上中上： xS x2S中等： xS xS中下： x2S xS下等： x2S以下例 4.7 測得某校初三年級女生身高x 1 154cm ，S1=5cm；60m 跑 x 2 11.2S ，S2=0.8S，體重 x 345

13、kg ， S3=5kg ；鉛球 x 4500cm ， S4=45cm ；胸圍 x 574cm ， S5 =4cm；跳高 x 696cm ， S6=10cm ；肺活量 x 72202mL ， S7=364mL ； 400m跑 x 8 92S， S8=9S經(jīng)檢驗(yàn)， 上述各項(xiàng)指標(biāo)服從正態(tài)分布，試根據(jù)該資料制定離差評價(jià)表。如果某學(xué)生各項(xiàng)指標(biāo)值如下： x 1159cm ， x2=12S， x3=48kg ， x4=480cm ， x5=76cm ， x6=97cm ， x7=2.360mL ，x8=102S，試對該生進(jìn)行綜合評價(jià)。解：離差評價(jià)表如下身體鉛胸跳肺60m400m活高跑重球圍高跑量2s sx

14、s2s結(jié)束部分：總結(jié)標(biāo)準(zhǔn)百分和累進(jìn)計(jì)分的計(jì)分思想以及適用條件。第 7 次課（3學(xué)時(shí)）教學(xué)目的： 通過本次課的教學(xué)使學(xué)生了解平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差在體育中的另外一些應(yīng)用，掌握變異系數(shù)和百分位數(shù)的概念及其應(yīng)用。教學(xué)內(nèi)容：平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差的應(yīng)用（）穩(wěn)定性研究（）選派參賽運(yùn)動(dòng)員（）人數(shù)估計(jì)研究百分位數(shù)及其應(yīng)用教學(xué)重點(diǎn)：變異系數(shù)的概念及其應(yīng)用百分位數(shù)的概念及其應(yīng)用教學(xué)難點(diǎn)：百分位數(shù)的計(jì)算教學(xué)內(nèi)容的組織安排：平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差的應(yīng)用，上次課講了四個(gè)方面，本次課再介紹三個(gè)方面的應(yīng)用，其中穩(wěn)定性研究和選派參賽運(yùn)動(dòng)員兩方面內(nèi)容，在體育工作中具有重要實(shí)用價(jià)值。變異系數(shù)的概念在一般教材中是作為一個(gè)新概念單獨(dú)介紹的。但是我們將其作

15、為平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差的應(yīng)用結(jié)果，這樣更有利于學(xué)生對概念的理解，便于比較，而且突出應(yīng)用。百分位數(shù)也是體育統(tǒng)計(jì)中的重要統(tǒng)計(jì)量由于它對總體分布沒有明確要求，因此， 在體育評價(jià)中具有廣泛的應(yīng)用。其實(shí)，百分?jǐn)?shù)的概念本身和運(yùn)用都很簡單直觀，較困難的是其計(jì)算，教科書中都是直接給出計(jì)算公式，這樣學(xué)生無法理解，也將難以運(yùn)用。 本次課教學(xué)中，擬針對一個(gè)實(shí)例， 引導(dǎo)學(xué)生導(dǎo)出百分位數(shù)的計(jì)算公式，使學(xué)生在探索過程中掌握內(nèi)容的實(shí)質(zhì)。培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立分析問題和解決問題的能力。開始部分：帶學(xué)生一起復(fù)習(xí)平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差的應(yīng)用。五、穩(wěn)定性研究樣本標(biāo)準(zhǔn)差可用來比較單位相同， 平均數(shù)相近的幾組數(shù)據(jù)的離散程度， 但對于如下兩種情況，則無法比較。

16、單位不同單位相同，平均數(shù)相差較大。故引進(jìn)描述變異程度的另一統(tǒng)計(jì)量變異系數(shù)定義為CVS 100%X利用變異系數(shù)，不同項(xiàng)目之間可以比較其離散程度。例 4.8 測得某運(yùn)動(dòng)員百米跑和跳運(yùn)兩項(xiàng)目的20 次成績經(jīng)初步計(jì)算， 100m : x 112S ，S1=0.15S，跳遠(yuǎn)： x 25.9m ， S2=0.18m 試比較差運(yùn)動(dòng)員兩個(gè)項(xiàng)目的穩(wěn)定性。解：計(jì)算兩項(xiàng)目的變異系數(shù)CV1S100%0.15 100% 1.25%x112CV2S2100%0.183.05%x 2100%5.9CV1CV 2故可認(rèn)為百米跑成績較穩(wěn)定。六、選派參賽運(yùn)動(dòng)員例 4.9 某教練員要從兩名標(biāo)槍運(yùn)動(dòng)員中選派一個(gè)參加比賽，現(xiàn)有兩人近期

17、訓(xùn)練成績?nèi)缦拢杭祝?40.5041.2640.4439.6240.1242.1039.8440.1838.7039.54乙： 40.4842.8840.5039.5038.0043.3238.7241.8236.8440.24試根據(jù)不同比賽狀況選派參賽隊(duì)員解：經(jīng)計(jì)算 x甲40.23, S甲0.945x乙40.23 ， S乙 2.04最好成績甲： 42.10m乙： 43.32m若比賽級別高，估計(jì)他們的平均成績就得到好名次，則可派甲隊(duì)參賽；若比賽級別高，對手的實(shí)力較強(qiáng)，兩名隊(duì)員只有在發(fā)揮最好成績時(shí)才有可能取得名次，則可選派乙隊(duì)員參賽。七、人數(shù)的估計(jì)研究例 4.10 已測得某大學(xué)生男生跳遠(yuǎn)成績的平均

18、數(shù)x5.20m, 標(biāo)準(zhǔn)差 S0.15m 原始變量基本呈正態(tài)分布， 該校男生共1500 人，試分別估計(jì)跳遠(yuǎn)成績在 5.50m 以上，5.30m 至 5.50m之間， 4.9m 以下的人數(shù)。解：跳遠(yuǎn)成績 x N (5.20,4.15) 2P(x 5.50)1 P( x5.50) 1P( x5.202)0.1510.9772 0.0228P(5.305.50) P( x5.50)P( x 5.30) .P( x5.202)P( x5.200.67)0.150.150.97720.74860.2286P(x 4.9)x 5.200.0228P(2)0.15故成績在5.50m 以上的人數(shù)： 15000.

19、0228 34（人）成績在 5.30至 5.50 之間人數(shù)： 15000.2286343 （人）成績在 4.90m 以下的人數(shù)： 15000.022834（人）第三節(jié)百分位數(shù)及其應(yīng)用利用平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差進(jìn)行體育評分、評價(jià)時(shí)， 均要求原始變量服從正態(tài)分布，如果總體不服從正態(tài)分布， 或總體分布不明時(shí)則不能運(yùn)用平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差進(jìn)行評分評價(jià)，應(yīng)用百分位數(shù)來描述。一、百分位數(shù)的概念將一組數(shù)據(jù)從小到大依次排列，并將數(shù)列100 等分，與第 H 等分相對應(yīng)的數(shù)，稱為第H 百分位數(shù)，記用PH，H 稱為 PH 的位置百分，第 50 百分位數(shù)就是中位數(shù)，中位數(shù)是百分位數(shù)的一個(gè)特列。例如，現(xiàn)有1000 個(gè)數(shù)據(jù)，按從小到大

20、的次序排列后，得到數(shù)據(jù)（ x 1 ， x 2 ， x 10 ， x 11, ?x 20 , ?x 100 , ? x 500 , ? x 900 , ?x 1000）則第 1 百分位數(shù)為 x10，即 Px101Px20,P50，P90 x 9 0 02x 5 0 0 x 10 的位置百分為H1， x 20 的位置百分為 2x 500 的位置百分為50， x 900 的位置百分為 90，計(jì)算公式為：x k 的位置百分Hkkkn100010100在 PH 前面有 H% 的數(shù)百分位數(shù)與位置百分互為數(shù)學(xué)運(yùn)算二、百分位數(shù)的計(jì)算設(shè)原始資料已整理成頻數(shù)分布表例 4.11 某年齡組150 名男生 60m 跑成績的頻數(shù)分布表如下（表4.3）試求 P5P10 P25P50 P75P90表 4.1（專教 P53）P10 組序組限組中值頻數(shù)（ 5）累計(jì)頻數(shù)（ F）累計(jì)頻率（）17.57.65221.327.87.958106.738.18.25223221.348.48.55316342.058.78.854210570.069.09.152613187.379.39.451214395.389.69.75414798.099.910.05214999.31010.210.351150100.0計(jì)算百分位數(shù)的思想是： 頻數(shù)分布表已將數(shù)據(jù)從小到大依次排列各組內(nèi)的數(shù)設(shè)想在組內(nèi)均勻分布